Universit´e Paris-Sud 2018–2019 Math201
Feuille 2 : S´ eries
Exercice 1 - S´eries t´elescopiques. Pour chacune des suites (un)n>1 ci-dessous, trouver une expression simplifi´ee de la somme partielle Sn = Pn
k=1uk associ´ee `a la s´erie de terme g´en´eral un. Conclure quant `a la nature de la s´erie.
un= ln
1 + 1 n
; un= 1
n(n+ 1) ;
un= 1
n(n+ 1)(n+ 2) ; un= ln
n(n+ 2) (n+ 1)2
.
Exercice 2 - Comparaison avec une int´egrale. On ´etudie la s´erie de terme g´en´eral un= n(lnn)1 α, avec α param`etre fix´e dansR∗+.
1. On note fα la fonction d´efinie sur ]1,+∞[ par fα(t) = t(lnt)1 α. Faire une ´etude rapide de cette fonction, et en dessiner le graphe.
2. Montrer que pour tout entier n>2 et tout r´eel t∈[n, n+ 1], on a un>fα(t)>un+1. En d´eduire un encadrement de la somme partielle
Sn=u2+u3+· · ·+un
par deux int´egrales defα sur des intervalles ad´equats pourn>3.
3. Quelle est la nature de la s´erie P
n>2 1 n(lnn)α ?
Exercice 3 - Fonction Zeta de Riemann. Pour tout s∈C, on s’int´eresse `a la s´erie X
n>1
1/ns.
Lorsque cette s´erie converge, on note sa sommeζ(s). ζ est la c´el`ebrefonction zeta de Riemann.
1. Lorsque s= 1, montrer que la s´erie pr´ec´edente, c’est `a dire X
n>1
1 n,
ne converge pas. On pourra contredire le crit`ere de Cauchy en regardant une tranche o`un∈ {k+ 1, . . . ,2k}.
2. Montrer que pour tout s∈R>1 la s´erie pr´ec´edente converge.
1
Exercice 4 - Bonus. Montrer le crit`ere de Bertrand : soitα, β deux r´eels. Montrer que la s´erie
X
n>2
1 nαln(n)β, converge si, et seulement si,α >1 ouα= 1 etβ >1.
Exercice 5 - Divers crit`eres. D´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral (un)n>1 lorsque :
un=n ln
1 + 1 n
; un=en1 −1− 1
n un= ln
cos1
n
; un=ecosn1
un= (n!)2
(2n)!; un= 1
n2cosn1 un= an
(1 +an)2 avec a∈R∗+; un= n!
αn avec α >0 un= n!
nn; un=e−
√n
un= (−1)n 1 +√
n; un= (−1)nlnn n2 En bonus
un= 1
n2lnn; un= (−1)n n4+n+ 1 un= 2n+ 3n+n4
n5n+ 7n7+ 2; un=n−lnn un=
n−1 2n+ 1
n
; un= 1
n!
un= n
n+ 1 n2
; un= (−1)n
nα
Exercice 6 - L’espace de Hilbert. On noteE l’espace vectoriel des suites r´eelles tendant vers 0, et F le sous ensemble de E form´e des suites (un)n∈N telles que P
nu2n converge.
Montrer queF est un sous espace vectoriel deE.
Exercice 7 - S´eries altern´ees.
1. Soit S =P∞ n=1
(−1)n−1
n3 . Donner une valeur approch´ee de S, en garantissant une erreur inf´erieure ou ´egale `a 10−3.
2. Soit (un)n∈N une suite de nombre r´eels. Montrer que si la s´erie de terme g´en´eral un
est absolument convergente, alors la s´erie de terme g´en´eral (un)2 converge. Donner un exemple de s´erie P
nun convergente, mais telle que la s´erie P
n(un)2 diverge.
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3. Soient un= √n−(−1)(−1)n n andvn= (−1)√nn.
(a) V´erifier que un∼n→∞ vn, et que la s´erie de terme g´en´eral vn converge.
(b) Que peut-on en d´eduire de la s´erie de terme g´en´eral un ?
(c) ´Etudier la nature de la s´erie de terme g´en´eral un−vn, et en d´eduire celle de la s´erie de terme g´en´eralun.
(d) Etudier la convergence de P∞ n=1
(−1)n
√
nα+(−1)n en fonction de α >0.
Exercice 8 (?) - Crit`ere d’Abel.
1. Etudier la s´erie de terme g´en´eral un= √sin(n)
nlnn.
2. Plus g´en´eralement, soit (cn)n∈Nune suite d´ecroissante de r´eels positifs qui converge vers 0. Montrer que la s´erie P
cnzn converge si|z|61 etz6= 1
Exercice 9 (?) - Crit`ere de Cauchy. Soit (un)n∈N une suite d´ecroissante de r´eels positifs telle queP
nun converge. Monter queun=o
1 n
.
Exercice 10 (?) - Convergence absolue. On dit que la s´erie P
n∈Nun, de terme un∈R, est commutativement convergente si pour toute permutationσ:N−→N(i.e. toute bijection σ de Ndans lui mˆeme), la s´erie
X
n∈N
uσ(n)
converge. Montrer que P
n∈Nun est commutativement convergente si, et seulement si, elle est absolument convergente.
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