M1 Math´ematiques avanc´ees, second semestre 2012-2013 Surfaces de Riemann

M1 Math´ ematiques avanc´ ees, second semestre 2012-2013 Surfaces de Riemann

Jean-Claude Sikorav version finale

1 Surfaces de Riemann et objets associ´es. . . .1

1.1 D´efinitions 1.2 Exemples de surfaces de Riemann 1.3 Applications holomorphes. . . .2

1.4 Fonctions m´eromorphes. . . .3

1.5 S´eparabilit´e d’une surface ayant une fonction m´eromorphe non constante. . . .5

1.6 Applications holomorphes propres 2 2 Fibr´e tangent et formes di↵´erentielles. . . .7

2.1 Fibr´e tangent, structure presque complexe 2.2 Formes di↵´erentielles sur une surface de Riemann. . . .8

2.3 Di↵´erentielles holomorphes et m´eromorphes. . . .9

2.4 R´esidus. . . .10

3 Fonctions et formes harmoniques. . . .11

3.1 ´Etoile de Hodge et produit scalaire sur les 1-formes r´eelles `a support compact 3.2 Laplacien et fonctions harmoniques. . . .12

3.3 Fonctions harmoniques et di↵´erentielles holomorphes 3.4 Int´egrale de Dirichlet, principe de DirichletC². . . .13

3.5 Formule de Poisson. . . .14

3.6 Extension harmonique 4 Fonctions harmoniques, suite. . . .16

4.1 Autre expression de l’extension harmonique 4.2^hhHarmonisationⁱⁱd’une fonction sur un disque. . . .17

4.3 Contrˆole des fonctions harmoniques par l’int´egrale de Dirichlet 4.4 Singularit´e inessentielle d’une fonction harmonique. . . .18

5 Construction d’un potentiel dipolaire. . . .19

5.1 Int´egrale de Dirichlet 5.2 ´Enonc´e du th´eor`eme d’existence d’un potentiel dipolaire 5.3 Harmonicit´e et de la propri´et´e d’orthogonalit´e des miminimiseurs. . . .20

5.4 Existence d’un minimiseur. . . .21

5.5 Existence de di↵´erentielles et de fonctions m´eromorphes. . . .22

5.6 Variantes de la construction principale 6 Th´eor`eme d’uniformisation de Poincar´e-Koebe. . . .24

6.1 Surfaces de Riemann simplement connexes 6.2 Exactitude des formes ferm´ees, planarit´e 6.3 Construction de la fonction uniformisante. . . .25

6.4 Lemme cl´e 6.5 Preuve de l’injectivit´e. . . .26 6.6 Fin de la preuve : d´etermination de l’image

7 Revˆetements holomorphes. . . .28 7.1 Revˆetements

7.2 Rel`evements

7.3 Revˆetement universel d’une surface de Riemann. . . .29 7.4 Surface de Riemann vue comme quotient de son revˆetement universel. . . .31 7.5 Groupes d’automorphismes des surfaces de Riemann simplement connexes

8 Fonctions m´eromorphes sur une surface de Riemann compacte. . . .33 8.1 Cas de la sph`ere de Riemann

8.2 Corps de fonctions d’une variable complexe

8.3 Cas d’une surface compacte quelconque. . . .32

*8.4 ´Equivalence entre surfaces de Riemann compactes et corps de fonctions*. . . .34 9 Vari´et´es complexes, espaces projectifs complexes. . . .35 9.1 Fonctions holomorphes de plusieurs variables

9.2 Th´eor`eme des fonctions implicites et d’inversion locale, cas holomorphe 9.3 Vari´et´es et sous-vari´et´es complexes

9.4 Espaces projectifs complexes. . . .36 10 Courbes affines et projectives planes

10.1 D´efinitions, premi`eres propri´et´es

10.2 Connexit´e de R´eg(YP). . . .36 10.3 Courbes projectives planes. . . .37 10.4 ´Etude d’une courbe plane pr`es d’un point singulier. . . .39 10.5 Points singuliers et points r´eguliers

10.6 ´Etude d’une courbe plane pr`es d’un point singulier

10.7 D´esingularisation d’une courbe alg´ebrique plane d’une courbe alg´ebrique plane. . . .40 11 Genre d’une surface de Riemann compacte. . . .42 11.1 Diviseurs, diviseurs principaux, groupe de Picard, diviseur canonique

11.2 Espaces de fonctions et de formes `a pˆoles contrˆol´es et `a z´eros impos´es 11.3 Th´eor`eme de finitude, d´efinition du genre

11.4 Isomorphisme entreH¹(X,R) et les formes harmoniques

11.5 Majoration de`(D+D<sup>0</sup>). . . .45 11.6 Minoration de`(D)

11.7 Surfaces de genre z´ero. . . .46 12 Th´eor`eme de Riemann-Roch. . . .47 12.1 ´Enonc´e

12.2 Preuve en genre z´ero 12.3 Preuve en genre positif

12.4 Premiers corollaires de Riemann-Roch

12.5 Formule du genre d’une courbe plane lisse. . . .49 12.6 Application holomorphe associ´ee `a un espace de fonctions m´eromorphes. . . .50 12.7 Plongement projectif d’une surface de Riemann compacte

13 Surfaces compactes de genre un. . . .51 13.1 Di↵´erentielles holomorphes sur une surface compacte de genre un

13.2 Toute cubique plane lisse est de genre un

13.3 R´ealisation d’une surface compacte de genre un comme cubique plane lisse

13.4 Isomorphisme sur un tore. . . .55

13.5 Classification des surfaces compactes de genre un. . . .56

13.6 Courbes elliptiques, loi de groupe. . . .57

13.7 Loi de groupe sur une cubique lisse. . . .58

13.8 R´ealisation d’un tore complexe de dimension un comme cubique lisse. . . .59

Bibliographie. . . .61

1 Surfaces de Riemann et objets associ´ es

1.1 D´efinitions

Une surface de Riemann est un espace topologique s´epar´e connexe X, muni d’un atlas holomorphe (Ui,'i)i2I o`u

• (Ui)i2I est un recouvrement ouvert deX

• lacarte'i:Ui !Cest un hom´eomorphisme deUi sur un ouvert deC

• toutchangement de cartes i,j='i '_j¹:'j(Ui\Uj)!'i(Ui\Uj) est holomorphe.

Plus pr´ecis´ement, la structure de surface de Riemann est d´efinie par une classe d’´equivalence d’atlas holo- morphes, deux tels atlas ´etant dits ´equivalents si leur r´eunion est encore un atlas holomorphe. Ou encore on peut consid´erer l’atlas maximal associ´e, form´e de toutes les cartes (U,':U !C) telles que ' '_i¹ est holomorphe pour touti2I. Une telle carte sera appel´eecarte holomorphe. Elle estcentr´ee enxsi'(x) = 0.

Notation. Il est commode de noter une carte holomorphe centr´ee z (ouw, ⇣,...), notant ainsi `a la fois la fonction et sa valeur. On note aussiz=x+iy, o`u (x, y) est alors une carte r´eelle, ou syst`eme de coordonn´ees r´eelles.

SoientX etY deux surfaces de Riemann. Un isomorphisme (oubiholomorphisme) entreX etY est une bijection qui envoie l’atlas maximal deX sur celui deY (c’est en particulier un hom´eomorphisme). On note X ⇡Y la relation d’´equivalence ainsi d´efinie.

Une surface de Riemann non compacte est dite ouverte.

Remarques. 1) Contrairement au cas des vari´et´es di↵´erentiables (cf. le cours de G´eom´etrie avanc´ee), nous n’avons pas impos´e de condition de d´enombrabilit´e sur X : existence d’une base d’ouverts ou d’un atlas d´enombrable, m´etrisabilit´e, -compacit´e, paracompacit´e. En fait, nous verrons que ces propri´et´es sont au- tomatiques pour les surfaces de Riemann (th´eor`eme de Rad´o). Nous pourrons alors dire qu’une surface de Riemann est une vari´et´e complexe (ou holomorphe) de dimension un.

2) Modulo cette condition de d´enombrabilit´e, une surface de Riemann est naturellement une surface r´eelle (vari´et´e di↵´erentiable de dimension deux). De plus, le jacobien d’un changement de cartes i,j, vu comme une application entre ouverts de R² est | i,j⁰ |² qui est positif, donc celle-ci est canoniquement orient´ee.

R´eciproquement, on peut montrer que toute surface orient´ee connexe admet une structure de surface de Riemann.

1.2 Exemples de surfaces de Riemann

1) Tout ouvert connexeU ⇢Cest une surface de Riemann avec un atlas `a une carte. Rappelons leth´eor`eme d’uniformisation de Riemann: si U est simplement connexe(tout lacetS¹=@ !U s’´etend continˆument

`a ) et di↵´erent deC,U est isomorphe au disque unit´e ouvert .

Plus g´en´eralement, on verra que toute surface de Riemann simplement connexe est isomorphe `a C,C ou `a (th´eor`eme d’uniformisation de Poincar´e-Koebe). Rappelons aussi queCet ne sont pas isomorphes carCn’admet aucune fonction holomorphe born´ee non constante.

Par exemple, siU =H={z2C|Imz >0}(demi-plan sup´erieur, ouhyperbolique, oude Lobatchevsky, oude Poincar´e), un tel isomorphisme est donn´e par'(z) =z i

z+i.

Un exemple d’ouvert non simplement connexe est l’anneau (ou couronne) A(r, R) = R\ ^r, o`u

r = (0, r) est le disque ouvert centr´e en 0 de rayon r. On peut montrer que toute surface de Riemann hom´eomorphe `a un anneau est isomorphe `aC^⇤, ^⇤= \{0}ou `a unAr,R, avecR/rinvariant biholomorphe ( 1

2⇡log(R/r) est appel´e lemodule del’anneau). Exercice : montrer queC^⇤, ^⇤etAr,Rne sont pas isomorphes.

2) Lasph`ere de RiemannC=C[{1}. Comme espace topologique, c’est le compactifi´e d’Alexandrov deC, il est donc hom´eomorphe `aS². La structure holomorphe est donn´ee par un atlas `a deux cartes :

U0=C, '0= Id , U₁=C^⇤[{1}

'₁(z) =1

z siz6=1, '₁(1) = 0.

Il n’y a donc qu’un changement de cartes (avec son inverse) :

0,1(z) = 1

z = ₁,0(z), C^⇤!C^⇤.

On l’appelle aussi droite projective complexe, en la consid´erant comme le quotient de C²\ {0} par les ho- moth´eties (on y reviendra). On la note alorsP¹(C) ouCP¹.

3) Les toresT⇤:=C/⇤, o`u⇤ est unr´eseaudeC, c’est-`a-dire un sous-groupe discret de rang maximal, soit deux, donc ⇤⇡Z². On munitT⇤ de la topologie quotient, il est toujours hom´eomorphe `a T² =R²/Z² = S¹⇥S¹. SiU est un ouvert de Ctel queU\(U+ ) =;pour tout 2⇤\ {0}, ce qui est vrai si diam(U) est assez petit, la projectionU !T est un hom´eomorphisme sur son image. Son inverse est par d´efinition la carte'U, on obtient ainsi une structure de surface de Riemann surT . Les changements de cartes sont des translations, donc holomorphes.

Remarques : (i) on peut aussi d´efinir cette structure comme le quotient de celle deCpar l’action propre et libre de⇤, comme pour les structures di↵´erentiables.

(ii) Comme vari´et´e di↵´erentiable,T⇤est toujours isomorphe `a T<sup>2</sup>. Mais comme surface de Riemann, on verra queT⇤ est isomorphe `aT⇤⁰ si et seulement s’il existea2C^⇤ tel quea⇤=⇤⁰.

4) Courbes alg´ebriques affines lisses. Soit x 2 C[x, y] un polynˆome non constant. Noter que D1P(x, y) 2 L(C,C) est la multiplication par@P/@P(x, y), o`u@P/@xest la d´eriv´ee de la fonction holomorpheP(., y). De mˆeme, D2P(x, y)2L(C,C) est la multiplication par@P/@y(x, y). En particulier, ces applications lin´eaires sont nulles ou surjectives.

On noteXP =P ¹({0}). On suppose queDP = (@P/@x,@P/@y) ne s’annule pas surXP. Par th´eor`eme des fonctions implicites,XPest une surface (r´eelle) lisse, et au voisinage de (x, y), (x, y)7!x(resp. (x, y)7!y) est une carte si @P/@y 6= 0 (resp.@P/@x6= 0). Un changement de cartes de x<sub>|U</sub> `a y_|V a pour di↵´erentielle DP2(x, y) ¹ DP1(x, y), qui estC-lin´eaire : les changements de cartes sont holomorphes, donc on d´efinit ainsi surXP une structure de surface de Riemann.

Remarque. Nous d´efinirons plus tard la notion de courbe alg´ebrique projective lisse, qui est l’analogue de 4) avecC² remplac´e par P²(C) = (C³\ {0})/C^⇤, le plan projectif complexe. Un r´esultat remarquable de Riemann est que ceci est la mˆeme chose qu’une surface de Riemann compacte. En particulier, les tores sont repr´esent´es par des cubiques ou des quartiques lisses (Abel, Jacobi). Exemple : siP(x, y) =y² (x³+ 1), la courbe projectiveXP =XP[{[0 : 1 : 0]}est isomorphe `aC/(Z+jZ), o`uj = ( 1 +ip

3)/2.

1.3 Applications holomorphes

D´efinition. Soient X et Y deux surfaces de Riemann. Une application f :X !Y est holomorphe si elle est continue et si f ' ¹ est holomorphe pour tout couple (', ) de cartes holomorphes deX et deY. Il est clair qu’il suffit que ce soit vrai pour'et dans des atlas holomorphes. En particulier, sif :X!C est une fonction, elle est holomorphe si et seulement sif ' ¹est holomorphe pour toute carte holomorphe 'deX[ceci implique clairement la continuit´e de f].

On note Hol(X, Y) l’ensemble des applications holomorphes deX dansY, et O(X) = Hol(X,C) celui des fonctions holomorphes surX. C’est un anneau commutatif unitaire, contenantC, donc uneC-alg`ebre.

L’applicationf estbiholomorphesi elle est holomorphe, bijective et d’inverse holomorphe : c’est la mˆeme chose qu’un isomorphisme de surfaces de Riemann.

Propri´et´e d’analyticit´e. Si f, g 2Hol(X, Y) etf 6=g, l’ensemble de co¨ıncidence E ={x2X |f(x) = g(x)} est discret (´etant ferm´e, il est donc localement fini). En particulier :

• deux applications holomorphes qui co¨ıncident sur un ouvert non vide sont ´egales

• sif 2Hol(X, Y)est non constante, toute fibref ¹({y} est localement finie.

D´emonstration. Six2Eet', sont des cartes holomorphes centr´ees enxet enf(x) =g(x),F = f ' ¹ et G= g ' ¹ sont des fonctions holomorphes sur un ouvert deC, donc leur ensemble de co¨ıncidence est discret ou est un ouvert non vide. DoncE est une r´eunion disjointeD[U, o`uDest discret etU ouvert.

De plus, D est ouvert dans E, donc U est ferm´e dansE, donc dans X. Par hypoth`ese, U 6= X, donc par connexit´e deX on aU =;, doncE=Dest discret.

Corollaire. L’anneauO(X)est int`egre.

D´emonstration.Sif, g2O(X)\ {0},f ¹({0}) etg ¹({0}) sont localement finis, doncf g6= 0.

Une application holomorphe a une forme normale locale donn´ee par la proposition suivante.

Proposition et d´efinitions. Soitf :X !Y une application holomorphe non constante entre surfaces de Riemann, et soit x2X.

(i) Il existe un unique entierd2N^⇤, appel´edegr´e(ou aussimultiplicit´e) def enxet not´edeg_x(f), avec la propri´et´e suivante : si est une carte holomorphe deX centr´ee enf(x), il existe une carte holomorphe deY centr´ee 'en x, telle que f ' ¹(z) =z^d pourz assez petit.

(ii) Si U et V sont les domaines de d´efinition de ' et de , quitte `a remplacer par a (a 2 C^⇤) et

`

a diminuer U, on peut supposer que '(U) = = (V) et que f(U) = V. Donc f est ouverte et f :U!f(U)est ´equivalent (biholomorphiquement) `az^d : ! . Donc pour touty2Y\ {f(x)}assez proche de f(x), on acard(f ¹({y})\U) = deg_x(f).

(iii) On adeg_x(f) = 1si et seulement siDf(x)6= 0. Sideg_x(f) 2, on dit quexest unpoint de ramification (c’est la mˆeme chose qu’un point critique). L’ensembleR(f)⇢X des points de ramification est discret et ferm´e, ou de fa¸con ´equivalente localement fini. Son image B(f) ⇢ Y est l’ensemble des points de branchement(= valeurs critiques).

D´emonstration. Soit'0une carte holomorphe centr´ee enx. Alorsg= f '₀¹est une fonction holomorphe d´efinie au voisinage de 0 et telle que g(0) = 0. De plus, elle n’est pas identiquement nulle, sinon f serait constante par propri´et´e d’analyticit´e. Donc il existe d 2 N^⇤ tel que g(z) = z^dh(z) avec h holomorphe et h(0)6= 0. La fonction k(z) =zh(z)^1/d a une d´etermination bien d´efinie sur r pour r assez petit, de plus k⁰(0) = (h(0))^1/d, donc quitte `a diminuer encorerc’est un biholomorphisme sur son image. Alors'=k '0, d´efinie sur U ='₀¹( r), convient.

Si l’on poseV = ¹( _r^d), on af(U) =V et f :U !f(U) est ´equivalente `az^d : r! r^d. Donc si l’on remplace'parr ¹'et parr ^d , on obtient les propri´et´es annonc´ees.

La propri´et´e que d est le nombre d’images r´eciproques de y proche de f(x) qui sont proches de x implique quedest unique. Autre preuve : si'1 et 1 sont des cartes holomorphes centr´ees enxetf(x), on a (' '₁¹)(z)⇠az aveca6= 0, ( 1 1)(w)⇠bw avecb6= 0, donc

1 f '₁¹(z) = ( 1 1) ( f ' ¹) (' '₁¹)(z)⇠ba^dz.

Doncdest caract´eris´e par la propri´et´e 1 f '₁¹(z)⇠Cz^d pour tout (ou pour un) couple ('1, 1). Ceci ach`eve la preuve de (i) et (ii).

(iii) On a deg_x(f) = 1 si et seulement si ( f ' ¹)(z)⇠Cz avecC6= 0, soitD( f ' ¹)(0)6= 0, soit Df(x) 6= 0. Six2 R(f) et U est un voisinage sur lequel on a f ='^d, alorsR(f)\U ={x} puisque crit(z7!z^d) ={0}, doncR(f) est discret. De plus, la caract´erisationDf(x) = 0 montre qu’il est ferm´e.

Corollaires. (i) Une application holomorphe injective est un biholomorphisme sur son image.

(ii) Toute fonction holomrophe sur une surface de Riemann compacte, toute fonction holomorphe est con- stante.

D´emonstration. (i) Le degr´e def est 1 en tout point doncf est partout un biholomorphisme local. ´Etant injective, c’est un biholomorphisme sur son image.

(ii) Par compacit´e,|f|a un maximum, doncf n’est pas ouverte, donc elle est constante.

*Remarque. En revanche, si X est ouverte, on peut montrer queO(X) n’est pas r´eduit aux constantes. Il est mˆeme ´enorme, par exemple il contient toujoursO(C), l’anneau des fonctions enti`eres : sif 2O(X)\C, O(C) s’injecte dansO(X) viah7!h f. On peut aussi montrer queX est une vari´et´e de Stein, c’est `a-dire admet un plongement holomorphe propre f = (f1,· · ·, fn),fi 2O(X), dansCⁿ. La question est ouverte de savoir si on peut toujours prendren= 2.*

1.4 Fonctions m´eromorphes

D´efinition. SoitX une surface de Riemann. Unefonction m´eromorphesurX est une fonction holomorphe f d´efinie surX\Do`uDest un sous-ensemble localement fini, et qui a un pˆole au voisinage de chaque point de x : ceci veut dire que si ' est une carte holomorphe centr´ee en x, f ' ¹ a un pˆole en 0. C’est alors clairement vrai pour toute carte holomorphe centr´ee, avec un pˆole de mˆeme ordre, appel´e ordre du pˆole x.

Si cet ordre estk, on peut ´ecriref =z ^kho`uzest une carte holomorphe centr´ee ethest holomorphe avec h(x)6= 0.

Fonctions m´eromorphes vues comme applications holomorphes X ! P¹(C). A une fonction` m´eromorphef :X\D!Con associe une applicationfe:X !P<sup>1</sup>(C) =C[{1}, non identiquement ´egale `a 1, en prolongeantf par1surD. Montrons quefeest holomorphe en toutx2D, doncfe2Hol(X,P¹(C)).

Soit':U !Cune carte holomorphe centr´ee enx, avecU assez petit pour queU\D={x}. Par hypoth`ese on a f ' <sup>1</sup>(z) = z <sup>d</sup>h(z) avec d 2 N<sup>⇤</sup>, h holomorphe sur '(U)\ {0}, et h(0) 6= 0. Quitte `a diminuer U on peut supposer que h ne s’annule pas. Utilisant la carte'₁(z) = z ¹ d´efinie sur C^⇤[{1}, il vient '₁ fe ' ¹(z) =z^d(h(z)) ¹ sur'(U) : doncfeest holomorphe pr`es dex.

R´eciproquement, si h 2 Hol(X,P¹(C)) et h n’est pas constamment ´egale `a 1, D = h ¹({1}) est localement fini, etf =h_|X\D2O(X\D). De plus, sih(x) =1, il existe une carte'centr´ee enxtelle que '₁ h ' ¹(z) =z^d, soit f ' ¹(z) =z ^d, doncf est m´eromorphe.

On obtient ainsi la

Proposition. L’applicationf 7!feest une bijection entre les fonctions m´eromorphes surX et les applica- tions holomorphes de X dansP¹(C)non identiquement ´egale `a1.

Notation. Nous identifieronsfe=f.

Si f et g sont deux fonctions m´eromorphes surX, de pˆolesD[D⁰, f+g 2O(X\(D[D⁰) est aussi m´eromorphe surX (ses pˆoles peuvent ˆetre plus petits queD[D⁰), etf gaussi (mˆeme remarque). De mˆeme, sif 6= 0, x=f ¹({0}) est localement fini etg= 1

f, avecg= 0 sur les pˆoles def, est dansO(X\f ¹({0}) et est m´eromorphe surX. On en d´eduit la

Proposition. SiX est une surface de Riemann, l’ensemble des fonctions m´eromorphes est un corps pour les lois usuelles. On le noteM(X), on note M^⇤(X) le groupe multiplicatif des fonctions m´eromorphes non nulles.

Remarque.Nous verrons queM(X) contient toujours des fonctions non constantes, de plus :

• siX est compacte,M(X) est une extension alg´ebrique finie quelconque deC(x)

• siX est ouverte,M(X) est le corps des fractions deO(X) (siXest un ouvert deC, c’est essentiellement le th´eor`eme de Mittag-Le✏er).

1.5 S´eparabilit´e d’une surface ayant une fonction m´eromorphe non constante

Proposition (Poincar´e-Volterra). Toute surface de Riemann ayant une fonction m´eromorphe non con- stante est s´eparable.

D´emonstration. Soitf :X !P¹(C) une application holomorphe non constante. Nous dirons qu’un ouvert Ue ⇢X estr´eguliersiUe est contenu dans un (ouvert hom´eomorphe `a un) disque etfe:U !f(Ue) est propre.

Notons que les ouverts r´eguliers forment une base de la topologie deX, et que deux ouverts r´eguliers distincts qui ont la mˆeme projection sont disjoints : en e↵et, leur intersection est un ouvert ferm´e dans chacun d’eux.

L’ouvertf(X)⇢P¹(C) admet une base d´enombrable (Un) form´ee d’ouverts connexes (par exemple des disques). En ne gardant que ceux qui sont l’image d’un ouvert r´egulier, on peut supposer qu’ils ont tous cette propri´et´e. SoitUel’ensemble des ouverts r´eguliers tels quef(Ue) est un desUn. montrer : 1) Ue est une base de la topologie deX et 2)U est d´enombrable.

1) Six2X etVe est un voisinage dex, il contient un sous-voisinage ouvertfW tel quef :Wf!f(fW) est ´equivalente `a z^d : ! . Ensuite, f(fW) contient un Un contenant f(x), donc f ¹(Un)\fW est un

´el´ement deUequi contientxet est contenu dansWf, cqfd. (on peut montrer quef :f ¹(Un)\fW !Un est encore ´equivalente `az^d : ! , mais c’est inutile)

2) Pour tout Ue 2 Ue, l’ensemble S1(eU) = {Ve 2 U |e Ue \Ve 6= ;} est d´enombrable. En e↵et, il est la r´eunion d´enombrable des En ={Ve 2 S1(U)e | f(eV) = Un}, qui sont deux `a deux disjoints. Comme Ue est contenu dans un disque donc s´eparable,En est au plus d´enombrable doncS1(Ue) est au plus d´enombrable

Consid´erons alors le graphe d’intersection des ´el´ements deU : les sommets sont les ´el´ements deU, et il y a une une arˆete entreUe et Ve si et seulement siUe\Ve 6=;). Nous venons de voir que le degr´e de chaque sommet (nombre d’arˆetes dont il est une extr´emit´e) est d´enombrable. Par ailleurs, la connexit´e deXentraˆıne

celle du graphe d’intersection : si l’on fixeUe0, tout sommet Ue est l’extr´emit´eUen d’un chemin Ue0Ue1· · ·Uen

tel que Uei\Uei+16=;, le plus petitnpossible est la distanced(Ue0,Ue).

Donc les sommets sont en nombre au plus d´enombrable : l’ensemble des sommets `a distance  n de Ue0 est d´enombrable par r´ecurrence sur N, puisqu’une r´eunion d´enombrable d’ensembles d´enombrables est d´enombrable. En appliquant encore ce dernier fait, on voit que l’ensemble de tous les sommets est d´enombrable. Noter que cet argument prouve que tout graphe connexe dont les degr´es des sommets sont (au plus) d´enombrables est (au plus) d´enombrable.

1.6 Applications holomorphes propres

Rappels. 1) Une application continuef :X !Y entre deux espaces topologiques localement compacts est dite propresi l’image r´eciproque de tout compact est compacte. Ceci implique qu’elle est ferm´ee. En e↵et, si F ⇢X est ferm´e ety2f(F), soitV un voisinage compact dey dansY, alors f ¹(V)\F est compact, donc aussi son image, qui vaut f(F)\V. Commey2f(F)\V,y 2f(F)\V doncf(F) est ferm´e.

Si f est de plus ouverte et Y est connexe, f est donc surjective. C’est en particulier le cas pour une application holomorphe propre entre surfaces de Riemann.

2) Si X et Y sont des vari´et´es orient´ees connexes de mˆeme dimension et f 2C¹(X, Y) est propre, on peut d´efinir son degr´e (cf. le cours de G´eom´etrie avanc´ee) et l’on a la propri´et´e

(8y2Y \f(Crit(f)) deg(f) = X

x2f ¹({y})

deg_x(f).

Ici deg_x(f) = ±1 suivant que Df(x) pr´eserve ou renverse l’orientation. Si X et Y sont des surfaces de Riemann, f(Crit(f)) = B(f) est l’image propre d’un ensemble localement fini, donc est localement fini.

Nous allons voir que la formule ci-dessus reste vraie pour tout y2Y, avec deg_x(f)2N^⇤ (et non plus dans { 1,1}) d´efini ci-dessus.

Proposition. Soitf :X !Y une application holomorphe non constante entre deux surfaces de Riemann, et soit y02Y. Soit :V ⇡W ⇢Cune carte holomorphe centr´ee en y0.

(i) L’image r´eciproquef ¹({y0})est form´ee d’un nombre fini de points x1,· · ·, xk,k2N^⇤. De plus, pour r >0 assez petit, on a r ⇢W et il existe des cartes centr´ees en les xi,'i : Ui ⇡ ^ri, de domaines disjoints, telles que

f ¹( ¹( r)) = [k

i=1

Ui

(8i= 1,· · ·, k) f(z) ='i(z)^di sur Ui, di = deg_xi(f).

(ii) On a

Xk

i=1

di= X

x2f ¹({y0})

deg_x(f) = deg(f).

(iii) On adeg(f) = 1si et seulement si f est un biholomorphisme.

(iv) L’ensemble des points de branchementB(f) =f(R(f))⇢Y est localement fini.

D´emonstration. (i) Cette image r´eciproque est un ensemble compact et localement fini, donc fini. Par le th´eor`eme de forme normale d’une application holomorphe, il existe des cartes centr´ees en les xi, '⁰_i :U_i⁰ ⇡

r_i⁰, telles quef(U_i⁰)⇢V et f(z) ='i(z) surUi, di = deg_xi(f).

Montrons que pourr >0 assez petit, on af ¹( ¹( r))⇢ [k

i=1

U_i⁰. Si ce n’est pas le cas, il existe une suite (xn) dansX\([

U_i⁰) telle quef(xn)!y0. L’ensemble{f(xn)|n2N}[{y0}est compact, donc xn

reste dans un compact de X, donc quitte `a extraire on peut supposer que xn converge vers x2X. On a f(x) = limf(xn) =y0, maisx /2

[k

i=1

U_i⁰ ce qui contredit le fait quexdoit ˆetre un desxi.

Soitr >0 assez petit pour que r⇢W,f ¹( ¹( r))⇢ [k

i=1

U_i⁰. Alorsri=r^1/di est au plus ´egal `ar<sup>0</sup><sub>i</sub>. PosonsUi=' <sup>1</sup>( ri) et'i='<sup>0</sup><sub>i</sub>|Ui. Quitte `a diminuerr, lesUi sont disjoints et toutes les autres propri´et´es de (i) sont v´erifi´ees.

(ii) Il suffit de montrer cette formule pour y proche de y0. Si y 2 ¹( r)\ {y0} = ¹( ^⇤_r), l’image r´eciproquef ¹({y}) est la r´eunion disjointe desf ¹({y})\Ui etf ¹({y})\Ui est en bijection avec

( f '_i¹) ¹({ (y)}) ={z2 ^ri |z^di = (y)},

donc a exactementdi points. Enfin, chacun de ces points est de degr´e 1, puisque crit(z7!z^di) ={0}. Donc X

x2f ¹({y})

deg_x(f) = Xk

i=1

di= X

x2f ¹({y0})

deg_x(f) = deg(f).

(iii) En e↵et, pour touty 2Y,f ¹({y}) est r´eduit `a un point x, avec deg<sub>x</sub>(f) = 1, donc f est un biholo- morphisme local bijectif, c’est-`a-dire un biholomorphisme.

(iv) SiK⇢Y est compact,f ¹(K) est compact, doncR(f)\f ¹(K) est fini, doncB(f)\K est fini, cqfd.

2 Fibr´ e tangent et formes di↵´ erentielles

2.1 Fibr´e tangent, structure presque complexe

Rappels. SoitX une surface di↵´erentiable. Six2X, un vecteur tangent enxest une classe d’´equivalence d’objets de la forme (x,', v) o`u':U !R²est une carte d´efinie au voisinage dexetv2R², avec

(x,'1, v1)⇠(x,'2, v2),v2=D('2 '₁¹)('1(x)).v1.

On note TxX l’ensemble de ces vecteurs tangents, appel´e espace tangent en x. Il est naturellement muni d’une structure deR-espace vectoriel de dimension deux (plan r´eel) en posant

(⇤) [(x,', v)] +µ[(x,', w)] = [(x,', v+µw)].

Lefibr´e tangentest la r´eunion disjointeT X =S

x2XTxX. Il est muni de la projection naturelle⇡:T X !X et d’un atlas ( : ⇡ ¹(U) !V ⇥R² tel que pr₁ =' ⇡ o`u ' est une carte, pr₂ : TxX ! R² est R-lin´eaire, et

2 1

1 (z, v) = ('2 '₁¹)(z), D('2 '₁¹(z)).v.

Si X est orient´ee, on se restreint aux cartes orient´ees etTxX est alors un plan r´eel orient´e.

Cas d’une surface de Riemann. Supposons maintenant que X est une surface de Riemann. On d´efinit alorsTxX comme l’ensemble des classes d’´equivalence [', v], o`u cette fois'est une carte holomorphe d´efinie au voisnage dex,v2C, avec

(x,'1, v1)⇠(x,'2, v2),v2= ('2 '₁¹)⁰('1(x)).v1.

La formule (⇤) o`u cette fois et µ sont dans C le munit naturellement d’une structure d’espace vectoriel complexe de dimension un ou droite complexe. Le fibr´e tangent est d´efini de la mˆeme fa¸con, il est muni de la projection⇡ et d’un atlas ( :⇡ <sup>1</sup>(U)!V ⇥Ctel que pr<sub>1</sub> =' ⇡ o`u 'est une carte holomorphe, pr₂ :TxX!R² estC-lin´eaire, et

2 1

1 (z, v) = ('2 '₁¹)(z),('2 '₁¹)⁰(z)).v.

Structure presque complexe. Identifant C = R² on a une application naturelle de TxX avec cette d´efinition^hhcomplexeⁱⁱsurTxX avec la d´efinition^hhr´eelleⁱⁱ, qui est clairement une bijection. La multiplication par i dans TxX apparaˆıt alors comme une structure complexe sur le R-espace vectoriel TxX, c’est-`a-dire un ´el´ement Jx 2End<sub>R</sub>(TxX) tel que J<sub>x</sub><sup>2</sup>= IdTxX. De plus, Jx d´epend de fa¸con C<sup>1</sup> dexc’est-`a dire que l’application (x, v)7!(x, Jxv) estC¹. Une telle application x7!Jx est appel´eestructure presque complexe sur la surface di↵´erentiable X. On peut aussi la voir comme un di↵´eomorphsime J de T X qui pr´eserve chaque fibre, est lin´eaire et v´erifieJ²= Id.

Expression dans une carte holomorphe. Soit z = x+iy une carte holomorphe, on a, dans la base ( @

@x, @

@y) deTxX :

J( @

@x) = @

@y , J( @

@y) = @

@x. On en d´eduit

dx J = dy , dy J =dx.

Proposition. (i) Si f : X ! Y est une application de classe C¹ entre surfaces de Riemann elle est holomorphe si et seulement siDxf :TxX !Tf(x)Y estC-lin´eaire en tout pointx2X.

(ii) SiX est une surface de Riemann, la structure presque complexe surX d´etermine la structure de surface de Riemann.

D´emonstration. (i) Par d´efinition,f est holomorphe si et seulement si f ' ¹ est holomorphe au sens usuel pour tout couple de cartes holomorphes (', ) surX etY. On sait que ceci ´equivaut `a laC-lin´earit´e de D( f ' <sup>1</sup>)x = D f(x Dfx (D'<sub>x</sub><sup>1</sup> pour tout xdans le domaine de '. Or D'x et D f(x) sont C-lin´eaires d’apr`es la d´efinition des structures complexes surTxX etTf(x)X. D’o`u le r´esultat.

(ii) Il suffit de montrer que cela d´etermine les fonctions holomorphesf 2O(U) o`u U est un ouvert deX : ceci r´esulte de (i) appliqu´e avecY =C.

*Remarques. 1) Le th´eor`eme suivant est vrai mais pas ´evident (il est dˆu `a Gauss (1825, cf [SG] pp. 46-50) dans le cas analytique r´eel, `a A. Korn et L. Lichtenstein (1914-1916, r´ef´erences dans [SG]) dans le cas C<sup>1</sup>, et admet une version mesurable due `a Ahlfors et Bers, cf. [Ahlfors]) :

Th´eor`eme. SoitX une surface di↵´erentiable munie d’une structure presque complexe. Alors c’est une surface de Riemann. En particulier, toute surface riemannienne ( = munie d’une m´etrique riemannienne) orient´ee est une surface de Riemann.

Le ^hhen particulierⁱⁱvient de ce qu’un plan r´eel euclidien orient´e est une droite complexe : la multiplication pariest le quart de tour dans le sens positif. Concr`etement, ceci veut dire que toute m´etrique riemannienne sur une surface admet localement des coordonn´eesconformesouisothermes, dans lesquelles la m´etrique est ds² =f(x, y)(dx²+dy²). Si la surface est orient´ee, x+iy est alors une carte holomorphe (pourvu qu’elle soit positive, sinon on prendx iy).

2) On peut montrer (A.M. Garsia, Comment. Math. Helv. 1968, R.A. R¨uedy, Comment. Math. Helv. 1971) que toute surface de Riemann se r´ealise comme surface lisse dansR³ avec la structure riemannienne induite.

En revanche, on n’obtient pas ainsi toute surface riemannienne puisqu’une surface compacte dans R³ a forc´ement des points o`u la courbure est positive.*

2.2 Formes di↵´erentielles sur une surface de Riemann

Soit X une surface de Riemann. On d´efinit l’alg`ebre des formes di↵´erentielles complexes comme la complexifi´ee de⌦^⇤(X,R) :

⌦^⇤(X,C) =⌦^⇤(X,R)⌦RC==⌦⁰(X,C) ⌦¹(X,C) ⌦²(X,C).

Concr`etement, uneq-forme di↵´erentielle complexeest la donn´ee pour tout x2X d’une forme q-R-lin´eaire

!x:TxX!C, d´ependant de fa¸conC¹dex. Ou encore elle s’´ecrit de fa¸con unique!=!r+i!io`u!r=<! et !i==!sont dans⌦^k(X,R)

Le produit ext´erieur et la di↵´erentielle s’´etendent parC-lin´earit´e pour munir ⌦^⇤(X,C) d’une structure de C-alg`ebre di↵´erentielle gradu´ee, avec ⌦<sup>0</sup>(X,C) = C<sup>1</sup>(X,C). Les formes complexes `a support compact seront not´ees ⌦^⇤_C,c(X). Sik2N, on d´efinit de fa¸con ´evidente l’espaceC^k⌦^⇤(X,C).

Si!2⌦¹(X,C) etx2X,!x est une applicationR-lin´eaire entre les deux espaces vectoriels complexes (droites complexes)TxX etC, donc elle se d´ecompose de fa¸con unique en une partieC-lin´eaire et une partie anti-C-lin´eaire :

!^1,0_x = 1

2(!x i!x Jx), !^0,1_x =1

2(!x+i!x Jx).

On obtient ainsi une d´ecomposition ⌦¹(X,C) =⌦^1,0(X) ⌦^0,1(X), qu’on appelle d´ecomposition en types :

!^1,0 (resp. !^0,1) est de type (1,0) (resp. (0,1)). Si f 2 N, on a de mˆeme C^k⌦¹(X,C) = C^k⌦^1,0(X) C^k⌦^0,1(X).

Dans une carte holomorphe z =x+iy, on a! =gdx+hdy et ! =kdx^dy, o`u g,h et k sont dans C¹(U,C), et

(g0dx+h0dy)^(g1dx+h1dy) = (g0h1 g1h0)dx^dy d(gdx+hdy) =⇣@h

@x

@g

@y

⌘dx^dy.

Nous allons exprimer tout cela en rempla¸cantxetyparzetz. On a alors⌦^1,0(U) =C¹(U,C)dz,⌦^0,1(U) = C¹(U,C)dz, c’est-`a-dire que !2⌦¹(U,C) se d´ecompose de fa¸con unique

!=gdz+hdz , g, h2C¹(U, C).

En particulier, sif =f(z)2C¹(U,C) (ou C¹(U,C)), on a df= @f

@zdz+@f

@zdz=df^1,0+df^0,1,

avec @f

@z = 1 2

@f

@x i@f

@y , @f

@z =1 2

@f

@x+i@f

@y .

On note@f =df^1,0, @f =df^0,1. Doncf est holomorphe si et seulement si@f = 0.

Ensuite, dz^dz= 0 =dz^dz etdz^dz= 2idx^dy= dz^dz, d’o`u

d(gdz+hdz) =dg^dz+dh^dz= @g

@zdz+@g

@zdz ^dz+ @h

@zdz+@h

@zdz ^dz

= @h

@z

@g

@z dz^dz.

2.3 Di↵´erentielles holomorphes et m´eromorphes

D´efinitions. Une di↵´erentielle holomorphe sur une surface de Riemann X est une 1-forme complexe de type (1,0), ! 2 ⌦^1,0(X), dont l’´ecriture dans toute carte holomorphe est de la forme g(z)dz o`u g est une fonction holomorphe usuelle. Il suffit que ce soit vrai pour chaque pointx2X pour une carte holomorphe '=zenx: en e↵et, si =west une autre carte holomorphe enx, on a un changement de cartesz=f(w) o`u f est une fonction holomorphe usuelle. Doncg(z)dz = g(f(w))f⁰(w)dw, ce qui est de la forme voulue.

Autre d´efinition : localement,!=df o`uf est holomorphe.

Proposition. Soit!2⌦^1,0(X). Alors! est holomorphe si et seulement sid!= 0.

D´emonstration. Dans une carte holomorphe,!=f(z)dz, d’o`ud!= (@f /@z)dz^dz, donc (d!= 0) ´equivaut

`

a (@f /@z= 0) soit (f holomorphe) soit (!holomorphe).

Notation. On note⌦¹_X l’espace des di↵´erentielles holomorphes.

Exemples. 1) Sif est une fonction holomorphe,df est une di↵´erentielle holomorphe.

2) La forme dz d´efinie sur C descend sur le tore T⇤ = C/⇤, on la note encore dz. Elle est clairement holomorphe. Noter qu’elle ne s’annule jamais. Donc si ! 2⌦¹_T⇤, on peut ´ecrire ! = f dz avecf 2O(T⇤).

CommeT⇤ est compact et connexe,f est constante : ⌦¹_T⇤ =Cdz.

3) Sur Xx³+px+q ⇢ C², ! = dx

y d´efinit une forme holomorphe jamais nulle (exercice). On verra qu’elle s’´etend en une forme holomorphe jamais nulle quand on rajoute le point `a l’infini.

D´efinitions.Unedi↵´erentielle m´eromorphesur une surface de Riemann est une di↵´erentielle holomorphe! d´efinie surX\D o`uxest un sous-ensemble localement fini, telle que, siz est une carte holomorphe centr´ee d´efinie sur un voisinageU dex2D, on a!=f dzsurU\D, o`uf a un pˆole enz. Il est clair qu’il suffit que ce soit vrai pour une carte holomorphe centr´ee, et que l’ordre kdu pˆole def ne d´epend pas de la carte. On dit que! a unpˆole d’ordrek enx.

Autrement dit, en tout pointx2Xon a l’expression locale!=f(z)dzo`uf est m´eromorphe d´efinie au voisinage de 0. Si!est non nulle,f n’est jamais nulle (mˆeme argument que pour montrer qu’un application holomorphe non constante n’est pas localement constante), donc on peut d´efinir degx(!) comme l’entier d2Ztel quef(z)⇠z^d, ceci ´etant clairement ind´ependant de la carte. Si deg_x(!) = 0 (resp.<0), ! a un z´ero (resp. un pˆole) enx. L’ensemble des z´eros et des pˆoles de!est localement fini, donc fini siXest compact.

Donc pour!di↵´erentielle m´eromorphe non nulle surX compacte, on peut d´efinir deg(!) =P

x2Xdeg_x(!).

On noteM¹X l’espace des di↵´erentielles m´eromorphes.

Exemple. Si f est une fonction m´eromorphe, la forme di↵´erentielle df sur le compl´ementaire des pˆoles donne clairement une di↵´erentielle m´eromorphe sur la surface tout enti`ere, non nulle sif est non constante.

Proposition. SiX est compacte,deg(!)est ind´ependant de!si!2M¹X\ {0}. Ce nombre est non n´egatif si! est holomorphe, donc s’il est n´egatif on a ⌦¹_X= 0.

D´emonstration. Soient!0et!1deux di↵´erentielles m´eromorphes non nulles. Alors!1=f!0avecf fonction m´eromorphe non nulle. Pour tout x2X, on a

deg_x(!1) = 8>

<

>:

deg_x(!0) si f(x)2C^⇤

k+ deg_x(!0) si f a un z´ero d’ordrek en x k+ deg_x(!0) si f a un pˆole d’ordrek en x.

Donc

deg(!1) deg(!0) = X

x2f ¹({0})

deg_x(f) X

x2f ¹({1})

deg_x(f) = 0.

Exemple. Si X =P¹(C) etf =z (identit´e), dza un unique pˆole, qui est en 1et d’ordre deux. En e↵et, dans la carte holomorphe centr´eew=1

z, on adz= dw

w². Donc toute di↵´erentielle m´eromorphe non nulle a un degr´e 2, et en particulier n’est jamais holomorphe.

2.4 R´esidus

D´efinition. Soit!une di↵´erentielle m´eromorphe. Dans une carte holomorphe centr´eezen un pointx, elle s’´ecrit !=f(z)dz o`u f est m´eromorphe en 0. Ler´esidude! enxest celui deg en z´ero. Autrement dit, si

X

n k

anzⁿ est le d´eveloppement en s´erie de Laurent de g, on a r´esx(!) =a 1.

Montrons que ceci ne d´epend pas de la carte. Pour cela, consid´erons un disque compactD de classeC¹ contenu dans le domaine de d´efinition de zet contenant xdans son int´erieur. Par formule des r´esidus, on a

a 1= 1 2⇡i

Z

z(@D)

g(z)dz= 1 2⇡i

Z

@D

!.

Donc le terme de droite ne d´epend pas deD. Cette ind´ependance r´esulte aussi de la formule de Stokes (mˆeme siDn’est pas suppos´e contenu dans un domaine de carte), puisqued!= 0 : si ⇢Dest un disque contenant x dans son int´erieur et arbitrairement petit, on a

Z

@

! = Z

@D

!. Or si w est une autre carte holomorphe centr´ee et siDest assez petit,Dest contenu dans le domaine de d´efinition dew. Ceci montre l’ind´ependance en la carte, et aussi la propri´et´e

r´esx(!) = 1 2⇡i

Z

@D

!

pour tout disqueD de classeC¹ contenu dans un domaine de d´efinition d’une carte holomorphe centr´ee.

*Remarque. On peut donner une preuve alg´ebrique de l’invariance du r´esidu, mais c’est assez p´enible (cf.

J.-P. Serre,Groupes alg´ebriques et corps de classes, pp.29-31). Celle-ci est valable pour des s´eries formelles sur n’importe quel corps. Noter que la preuve ci-dessus pour les s´eries convergentes surCimplique le r´esultat g´en´eral par principe de prolongement des identit´es alg´ebriques.*

Propri´et´e. On a r´esx(!) = 0si et seulement si! admet une primitive m´eromorphe sur un voisinage dex.

D´emonstration. L’expression int´egrale montre que c’est une condition n´ecessaire. R´eciproquement, si r´esx(!) = 0, dans une carte holomorphe centr´eez, on a

!= X

n6= 1

anzⁿdz=d X

n6= 1

anzⁿ⁺¹ n+ 1 .

*Terminologie classique. Les di↵´erentielles holomorphes sont ditesde premi`ere esp`ece, celles qui sont m´ero- morphes avec r´esidus nulsde seconde esp`ece, les di↵´erentielles m´eromorphes quelconquesde troisi`eme esp`ece.*

Th´eor`eme des r´esidus. Si! est une di↵´erentielle m´eromorphe sur une surface de Riemann compacteX, on a X

x2X

r´esx(!) = 0 (la somme est finie puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de pˆoles).

D´emonstration. On peut supposer! non nulle. Six1,· · ·, xn sont les pˆoles de!, soient Di des disques C¹ disjoints contenant les xi dans leur int´erieur. Alors la forme!est lisse sur⌦=X\(

[n

i=1

Int(Di)), qui est un domaine compact `a bordC¹, avec @⌦=

[n

i=1

@Di, @Di ´etant orient´e dans le sens oppos´e `a celle du bord de Di. Puisqued!= 0, la formule de Stokes donne

0 = Z

⌦

= Xn

i=1

Z

@Di

!= 2⇡i Xn

i=1

r´esx(!).

Remarque. Pour une preuve alg´ebrique de la formule des r´esidus, cf. Serre, op. cit., pp. 32-35.

3 Fonctions harmoniques

3.1 ´Etoile de Hodge et produit scalaire sur les 1-formes r´eelles `a support compact

D´efinition. SiXest une surface de Riemann, l’´etoile de Hodge⇤est l’automorphismeC-lin´eaire de⌦¹(X,C) d´efini par ⇤!= ! J. Dans une carte holomorphez=x+iy, on a

⇤dx( @

@x) = dx(J @

@x) = dx(@

@y) = 0

⇤dx(@

@y) =dx(J @

@y) = dx( @

@x) = 1.

Donc⇤dx=dy, d’o`u⇤dy= dx,dz= idz,dz=idz.Noter que⇤pr´eserve⌦^1,0(X),⌦^0,1(X) et⌦¹(X,R).

Il est aussi clairement d´efini sur les formes de classeC^k, k2N[{1}.

D´efinition. Une 1-forme!2⌦¹(X,C) est ditecoferm´eesid(⇤!) = 0, soit @f

@x+@g

@y = 0 si!=f dx+gdy.

Produit scalaire sur ⌦¹_c(X,R). Si↵, 2⌦¹_c(X,R), avec↵=g0dx+h0dy etg1dx+h1dy dans une carte holomorphe, il vient

↵^ ⇤ = (g0dx+h0dy)^( h1dx+g1dy) = (g0g1+h0h1)dx^dy.

En particulier :

↵^ ⇤↵= (g²₀+h²₀)dx^dy.

Ainsi, (↵, )7!↵^ est une application bilin´eaire sym´etrique de ⌦¹(X,R)⇥⌦¹(X,R) dans ⌦²(X,R), et

↵^ ⇤↵est une forme qui est non-n´egative pour l’orientation deX, et s’annule exactement aux points o`u ↵ s’annule. Donc si↵et sont `a support compact, on en d´eduit un produit scalaire sur ⌦¹_c(X) :

h↵, i^L2(X)= Z

X

↵^ ⇤ . La norme associ´ee est not´ee

||↵||L²(X)=⇣ Z

X

↵^ ⇤↵⌘^1/2 .

Attention : nous ne savons pas encore queX est r´eunion d´enombrable de compacts, mais comme↵et sont

`a support compact, il n’y a pas de probl`emes `a d´efinir l’int´egrale avec une partition de l’unit´e.

On peut ´etendre ces d´efinitions :

• si↵, 2C⁰⌦(X,R) et siKest un compact deX, on peut d´efinirh↵, i^L2(K)= Z

K

↵^ ⇤ ,||↵||^L2(K)= h↵,↵i^1/2L²(K)

• on d´efinit l’espace vectorielL²C⁰⌦¹(X,R) des 1-formes continuesde carr´e int´egrable, c’est-`a-dire telles

que Z

X

↵^ ⇤↵:= sup

Kcompact||↵||²L²(K)<1<1.

Une telle forme a un support qui est une r´eunion d´enombrable croissante de compacts (Kn) [rappelons que nous ne savons pas encore queXest r´eunion d´enombrable de compacts], et l’on a

Z

Km\Kn

↵^⇤↵!0 sim, n! 1. Si↵, 2L²⌦¹(X,R), on peut prendre la mˆeme suite (Kn) pour les deux, et d´efinir

h↵, i^L2(X)= lim

n h↵, i^L2(Kn). Cette limite existe et ne d´epend pas de (Kn). En e↵et,

h↵, iL²(Km\Kn) ||↵||L²(Km\Kn)|| ||L²(Km\Kn),

donc ¸ca tend vers 0. Et si (Ken) est une autre suite avec les mˆemes propri´et´es, pour tout nil existem n tel que Kn ⇢Kemet Ken⇢Km, d’o`u

h↵, i_L²₍^Ke^m) h↵, i^L2(Km) ⌦

↵, i^L2(Km\Kn) + h↵, i_L²₍^Ke^m\^Keⁿ⁾, donc ¸ca tend vers 0.

Remarque. On pourrait compl´eter L²C⁰⌦¹(X,R) en L²⌦¹(X,R), espace de Hilbert (r´eel) des 1-formes mesurables de carr´e int´egrable. Mais nous n’en aurons pas besoin.

3.2 Laplacien et fonctions harmoniques

D´efinitions. Soit X une surface de Riemann. Le laplacien d’une fonction u 2 C²(X,R) est la 2-forme di↵´erentielle continue

u=d(⇤df) = d(du J)2C⁰⌦²(X,R).

Si u= 0, on dit queuestharmonique. Dans une carte holomorphez=x+iy, on a

u=d @u

@ydx+@u

@xdy = @²u

@x²+@²u

@y² dx^dy.

Noter que le laplacien uest d´efini de fa¸con intrins`eque comme forme di↵´erentielle de degr´e deux, alors que la fonction @²u

@x² +@²u

@y² d´epend du choix de la carte holomorphe. SiX est un ouvert deC, on retrouve bien la d´efinition habituelle des fonctions harmoniques. Les propri´et´es classiques des fonctions harmoniques sur les ouverts deCs’´etendent ais´ement :

Propri´et´es. SoitX une surface de Riemann.

(i) Soit u 2 C²(X,R). Alors u est harmonique si et seulement si u est localement la partie r´eelle d’une fonction holomorphe, unique `a une constante pr`es.

(ii) Soit u: X ! R harmonique, alors elle v´erifie le principe du maximum : si elle a un extr´emum local en un point, elle est constante. En particulier, toute fonction harmonique sur une surface de Riemann compacte est constante.

(iii) Les fonctions harmoniques sont invariantes par les applications holomorphes : siu harmonique sur X etf :Y !X est holomorphe,u f est harmonique sur Y.

(iv) SiU ⇢X est un ouvert connexe d’adh´erence compacte, avecFr(U)6=;, et siu1etu2sont deux fonctions continues sur U qui co¨ıncident surFr(U) et sont harmoniques dans U, alors u1 =u2. Ceci s’applique en particulier au cas o`uU = Int(K)o`u K est un domaine connexe `a bordC¹.

D´emonstration.(i) et (ii) sont des ´enonc´es locaux connus pour des fonctions sur des ouverts de C, donc ils passent `a une surface de Riemann en utilisant une carte holomorphe.

(iii) Ceci r´esulte de la caract´erisation (i).

(iv) Par sym´etrie il suffit de prouveru1 u20. PuisqueU est compact la fonctionu1 u2a un maximum en un point x. Si x2 U, u1 u2 est constante sur U donc sur Fr(U), donc est nulle. Si x 2Fr(U), on a u1 u2(u1 u2)(x) = 0, cqfd.

3.3 Formes harmoniques et di↵´erentielles holomorphes

Une fonction harmonique u:X !Rsur une surface de Riemann est localement la partie r´eelle d’une fonction holomorphe f = u+iv, celle-ci ´etant d´efinie `a une constante pr`es. Noter que, dans une carte holomorphe z=x+iy, les ´equations de Cauchy-Riemann donnent

dv= @v

@xdx+@v

@ydy= @u

@ydx+@u

@xdy=⇤du.

D´efinition. Une forme harmonique [de degr´e un] sur une surface de Riemann X est une 1-forme ferm´ee r´eelle qui est localement la di↵´erentielle d’une fonction harmonique. On noteH¹(X,R) l’espace des formes harmoniques surX.

Proposition. Soit↵2⌦¹(X,R). Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i)↵est harmonique

(ii) ↵est ferm´ee et coferm´ee :d↵=d(⇤↵) = 0 (iii)↵+i⇤↵est holomorphe.

De plus, l’application ↵ 7! ↵+i⇤↵ est un isomorphisme entre les R-espaces vectoriels H¹(X,R) et ⌦¹_X, d’inverse !7! <(!).

D´emonstration. Le r´esultat est local, donc on peut supposerX = et↵=f dx+gdy. Alors⇤↵= gdx+f dy et ↵+i⇤↵= (f+ig)d(x+iy), donc

d↵= @g

@x

@f

@y dx^dy , d(⇤↵) = @f

@x+@g

@y dx^dy.

Donc (ii) ´equivaut aux ´equations de Cauchy-Riemann pourf+ig, donc `a (iii). Cela implique alors (f+ig)dz= dhavechholomorphe, donc↵=d(<(h)) est harmonique, d’o`u (i). Et si (i) est vrai,↵=du=@u

@xdx+@u

@ydy, avecuharmonique. Donc

d(⇤↵) =d( @u

@ydx+@u

@xdy) = @²u

@x² +@²u

@y² dx^dy= 0.

Commed(du) = 0, (ii) est vrai. Donc (i) et (ii) sont ´equivalents

Ensuite, si (i)-(ii) sont vrais, ! := ↵+i⇤↵= h(z)dz est une di↵´erentielle holomorphe, donc (iii) est vrai. R´eciproquement, si ! = h(z)dz est une di↵´erentielle holomorphe, elle a une primitive holomorphe k(z) =

Z z 0

h(⇣)d⇣, et↵=<(!) =d(<(k)) est une forme harmonique.

Donc l’application R-lin´eaire ↵ 2 H¹(X,R) 7! ↵+i⇤↵ est `a valeurs dans ⌦¹_X. Elle est clairement injective, et si ! 2 ⌦¹_X est donn´ee, alors ↵ = <(!) est dans H¹(X,R) et ! (↵+i⇤↵) est une forme holomorphe de partie r´eelle nulle, donc nulle.

D´efinition. Si ↵est une forme harmonique, ⇤↵ est appel´ee conjugu´ee harmonique. C’est clairement une forme harmonique. Attention, si X est non compacte, ↵ peut ˆetre exacte sans que ⇤↵ le soit, exemple : X =C^⇤, ↵=dlog|z|,⇤↵=d✓.

3.4 Int´egrale de Dirichlet, principe de Dirichlet C²

D´efinitions. Soitu:⌦!Rune fonction de classeC¹ sur un domaine (compact ou non) dans une surface de Riemann. L’int´egrale de Dirichletest

D^⌦(u) =||du||²L²(⌦)= Z

⌦

du^ ⇤du2[0,+1].

Nous noterons C_D¹_<1(⌦) l’espace des fonctions C¹ sur un domaine ⌦ ⇢ X telles que D(X) < 1. Si u, w2C_D¹_<1(⌦), on peut d´efinir

D⁰⌦(u, w) =hdu, dwi^L2(⌦)= Z

X

du^ ⇤dw.

On a alors la propri´et´e

D^⌦(u+w) =D^⌦(u) + 2D⁰⌦(u, w) +D^⌦(w).

Proposition (principe de DirichletC²). On suppose queK⇢X est un domaine compact `a bordC², avec

@K non vide. Siu2C²(K,R), les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i) uest harmonique sur K.

(ii) uminimiseD^K sur C_u¹(K,R) :={v2C¹(K,R)|v_|@K =u}. (iii) Pour toutw2C₀¹(K), on aD⁰K(u, w) = 0.

D´emonstration. (i) ,(iii)Siw2C₀¹(K,R), on a D⁰K(u, w) =

Z

K

du^ ⇤dw= Z

K

dw^ ⇤du= Z

K

d(w⇤du) wd(⇤du)

= Z

@K

w⇤du Z

K

w u par Stokes et le fait qued⇤du= u

= Z

K

w u carw= 0 sur@K.

Ceci est nul pour toutwsi et seulement si u= 0, cqfd.

(ii) , (iii) Puisque C_u¹(K,R) = f +C₀¹(K,R), (ii) ´equivaut `a : pour tout w 2 C₀¹(K,R), la fonction t7!D^K(u+tw) =D^K(u) + 2tD⁰K(u, w) +t²D^K(w) a un minimum en 0. PuisqueD^K(w) 0, ceci ´equivaut

` a (iii).

3.5 Formule de Poisson

Proposition. Soituune fonction r´eelle continue sur le disque ferm´e ⇢Cet harmonique dans l’int´erieur.

Alors

u(z) = 1 2⇡

Z 2⇡

0

u(e^i✓) 1 |z|²

|e^i✓ z|²d✓

=<⇣ 1 2⇡

Z 2⇡

0

u(e^i✓)e^i✓+z e^i✓ zd✓⌘

.

D´emonstration. On part de la formule de la moyenne :

u(0) = 1 2⇡

Z 2⇡

0

u(e^i✓)d✓= 1 2⇡i

Z

@

u(⇣)d⇣.

On utilise l’automorphisme biholomorphe du disque'z(⇣) = ⇣+z

1 +z⇣ : il envoie 0 surzet est holomorphe au voisinage du disque ferm´e [comme tous les automorphismes de ]. Par invariance holomorphe des fonctions harmoniques, on a

u(z) = (u 'z)(0) = 1 2⇡i

Z

@

u('z(e⇣))de⇣.

Posant ⇣='z(e⇣), soit⇣e=' z(⇣), il vientde⇣= 1 |z|²

(1 z⇣)²d⇣, donc

u(z) = 1 2⇡i

Z

@

u(⇣) 1 |z|² (1 z⇣)²

1 z⇣

⇣ z d⇣= 1 2⇡i

Z

@

u(⇣) 1 |z|² (1 z⇣)(⇣ z)d⇣

= 1 2⇡i

Z

@

u(⇣)1 |z|²

|⇣ z|²d⇣ puisque⇣⇣ = 1.

Posant ⇣=e^i✓, on trouve la premi`ere formule. La deuxi`eme vient de

<⇣e^i✓+z e^i✓ z

⌘=1 2

⇣e^i✓+z

e^i✓ z +e ^i✓+z e ^i✓ z

⌘= 1 |z|²

|e^i✓ z|²

3.6 Extension harmonique

D´efinition. SoitX une surface de Riemann. Un disque conformesurX est un domaine compact D ⇢X tel qu’il existe une carte holomorphe l’envoyant sur le disque ferm´e . Clairement, tout point deX est dans l’int´erieur d’un tel disque conforme.

Th´eor`eme. SoitD⇢X un disque conforme dans une surface de Riemann. Siu:@D!Rest une fonction continue, il existe une unique fonction ue2 C⁰(D,R), telle que eu_|@D =u et euest harmonique sur Int(D).

On appelleuel’extension harmonique deu`aD.

D´emonstration. Nous avons d´ej`a prouv´e l’unicit´e comme cons´equence du principe du maximum. Reste `a montrer l’existence. Par invariance holomorphe, on se ram`ene au cas o`u X =CetD = . On d´efinit alors e

usur par la formule de Poisson :

e

u(z) = 1 2⇡

Z 2⇡

0

u(e^i✓) 1 |z|²

|e^i✓ z|²d✓=<⇣ 1 2⇡

Z 2⇡

0

u(e^i✓)e^i✓+z e^i✓ zd✓⌘

.

La seconde forme montre queueest la partie r´eelle d’une fonction holomorphe sur , donc est harmonique.

Il reste `a montrer que quandz tend verse^i✓0 2@ ,u(z) tend verse u(e^i✓0). La formule de Poisson appliqu´ee

`

a la fonction 1 montre qu’on a 1 2⇡

Z 2⇡

0

1 |z|²

|e^i✓ z|²d✓= 1, donc

|eu(z) u(e^i✓0)|= 1 2⇡

Z 2⇡

0 |u(e^i✓) u(e^i✓0)| 1 |z|²

|e^i✓ z|²d✓.