JournéesdeProbabilités2008 ChristopheProfeta Pénalisationdediffusionsrécurrentesparunefonctionexponentielledeleurtempslocal

(1)

P´ enalisation de diffusions r´ ecurrentes par une fonction exponentielle de leur temps local

Christophe Profeta

Institut Elie Cartan Nancy I

Journ´ees de Probabilit´es 2008

(2)

Qu’est-ce que la pénalisation ? Etude de 2 exemples Cadre général

Plan de la pr´ esentation

1 Qu’est-ce que la p´enalisation ? Motivations

D´efinition

2 Etude de 2 exemples

Cas d’une diffusion r´ecurrente nulle Cas d’une diffusion r´ecurrente positive

3 Cadre g´en´eral

La th´eorie de Krein Bibliographie

(3)

Depuis quelques années, les travaux de Roynette, Vallois et Yor ont fournit de très nombreux résultats de pénalisations, concernant pour la plupart le mouvement brownien ou les processus de Bessel de dimension δ∈]0,2[.

Peut-on généraliser les résultats obtenus dans le cas brownien

`

a des diffusions quelconques ?

(4)

Motivations D´efinition

Historique

Depuis quelques années, les travaux de Roynette, Vallois et Yor ont fournit de très nombreux résultats de pénalisations, concernant pour la plupart le mouvement brownien ou les processus de Bessel de dimension δ∈]0,2[.

Peut-on généraliser les résultats obtenus dans le cas brownien

`

a des diffusions quelconques ?

(5)

On considère X une diffusion récurrente, régulière, à valeurs dans I = [0,l). On la suppose à échelle naturelle, réfléchie en 0, et définie sur l’espace canonique Ω :=C(R+7→R+).

On note (F_t)t≥0 sa filtration naturelle etF∞:= W

t≥0

F_t.

On suppose par ailleurs que sa mesure de vitessemest sans atomes, et strictement positive sur un voisinage de 0.

(6)

Notations

On considère X une diffusion récurrente, régulière, à valeurs dans I = [0,l). On la suppose à échelle naturelle, réfléchie en 0, et définie sur l’espace canonique Ω :=C(R+7→R+).

On note (F_t)t≥0 sa filtration naturelle etF∞:= W

t≥0

F_t.

On suppose par ailleurs que sa mesure de vitessemest sans atomes, et strictement positive sur un voisinage de 0.

(7)

Soit (Γ_t,t≥0) un processus mesurable `a valeurs dansR+, (F_t)-adapt´e, et tel que 0<Ex[Γt]<∞ pour toutt >0 et tout x∈I.

D´efinition

On dit que (Γt,t ≥0) satisfait le principe de pénalisation s’il existe une probabilité Qx définie sur (Ω,F_∞) telle que :

∀s >0, ∀Λ_s ∈ F_s, lim

t→∞Ex

1Λs

Γt

Ex[Γt]

=Qx(Γs).

En fait :

Q/P et Q|Fs =M_s^Γ·P|Fs

On choisit désormais (Γt,t ≥0) = (e^−αL^t,t ≥0) où α >0 et L représente le temps local en 0 de X.

(8)

D´ efinition

D´efinition

∀s >0, ∀Λ_s ∈ F_s, lim

t→∞Ex

1Λs

Γt

Ex[Γt]

=Qx(Γs).

En fait :

(9)

D´efinition

∀s >0, ∀Λ_s ∈ F_s, lim

t→∞Ex

1Λs

Γt

Ex[Γt]

=Qx(Γs).

En fait :

(10)

Cas r´ ecurrent nul : E

^x

[T

₀

] = +∞

Exemple du mouvement brownien r´efl´echi en 0

Th´eor`eme [Roynette, Vallois, Yor]

Ex

e^−αL^t

t→+∞∼ r 2

πt

x+ 1 α

Q^(α)_|F_s =

x+ 1 α

αe^−αL^s ·P|Fs

Q^(α)(L∞∈dl) =αe^−αl1_{l≥0}

=⇒Le temps local est fini sous Q^(α), et le processus est devenu transient.

(11)

Ex

e^−αL^t

t→+∞∼ r 2

πt

x+ 1 α

Q^(α)_|F_s =

x+ 1 α

αe^−αL^s ·P|Fs

Q^(α)(L∞∈dl) =αe^−αl1_{l≥0}

(12)

Cas r´ ecurrent nul : E

^x

[T

₀

] = +∞

Ex

e^−αL^t

t→+∞∼ r 2

πt

x+ 1 α

Q^(α)_|F_s =

x+ 1 α

αe^−αL^s ·P|Fs

Q^(α)(L∞∈dl) =αe^−αl1_{l≥0}

(13)

Soitg = sup{t ≥0;Xt = 0}.

1 Q^(α)(0<g <∞) = 1,

2 Conditionnellement `ag, (X_t,t≤g) et (X_g_+t,t ≥0) sont ind´ependants,

3 (X_g+t,t ≥0) a mˆeme loi qu’un processus de Bessel de dimension 3 issu de 0,

4 Conditionnellement àL∞=l, (X_t,t ≤g) a même loi qu’un mouvement brownien réfléchi en 0 et stoppé quand son temps local atteint le niveaul.

(14)

Cas r´ ecurrent positif : E

^x

[T

₀

] < +∞

Exemple du mouvement brownien r´efl´echi en 0 et en 1

Th´eor`eme

Soitr l’unique solution dans ]0,^π₂[ de l’´equation α=rtan(r).

Ex

e^−αL^t

t→∞∼ exp

−r² 2t

cos(r(1−x)) cos(r)

2α r²+α+α² Q^(α)_x|F_s = exp

r²

2s−αLs

cos(r(1−Xs)) cos(r(1−x)) ·Px|Fs

Q^(α)x (L∞=∞) = 1

=⇒Le temps local reste infini sousQ^(α).

(15)

Th´eor`eme

Ex

e^−αL^t

t→∞∼ exp

−r² 2t

r²

2s−αLs

Q^(α)x (L∞=∞) = 1

(16)

Cas r´ ecurrent positif : E

^x

[T

₀

] < +∞

Th´eor`eme

Ex

e^−αL^t

t→∞∼ exp

−r² 2t

r²

2s−αLs

Q^(α)x (L∞=∞) = 1

(17)

Xt=x+Bet+L⁰_t(X)−L¹_t(X) + Z t

0

rtan(r(1−Xs))ds, o`u Be_t est unQ^(α)-mouvement brownien issu de 0.

(18)

Pr´ eliminaires

On suppose :I = [0,l],m(dx) =m(x)dx etl+m([0,l[)<∞.

On introduit sa r´esolvante : R_λ(x,y) =

Z ∞

0

e^−λtp(t,x,y)dt,

où p(t,x,y) désigne la densité de transition de X, ainsi que son générateur infinitésimal G:= ∂²

∂m∂x.

Notant Φ et Ψ les 2 fonctions propres solutions de : (G[Φ(·, λ)] =λΦ(·, λ) sur [0,l]

Φ(0, λ) = 1 et Φ⁰(0, λ) = 0, et

(G[Ψ(·, λ)] =λΨ(·, λ) sur [0,l]

Ψ(0, λ) = 0 et Ψ⁰(0, λ) = 1.

On a :

R_λ(x,y) = Φ(x, λ) (R_λ(0,0)Φ(y, λ)−Ψ(y, λ)) for x ≤y.

(19)

Ici, la fonctionω7→ _R

−ω2(0,0) est méromorphe, ses zéros et ses pôles étant tous réels.

L’´equation α+ 1

R_−ω²(0,0) = 0 admet donc une unique solutionr dans [0, ω₁[.

(20)

R´ esultats

Hypoth`ese

Il existeβ >0 etc ∈]r², ω²₁[ tel que :

∀a∈[0,c], R−a+iv(0,0) =

v→±∞o 1

v^β

.

Th´eor`eme Ex

e^−αL^t

t→+∞∼ 1

r²R_−r²(0,x) 1

∂

∂zRz(0,0)_|z=−r² exp(−r²t) Q^(α)_x|F_s = exp r²s−αLs

R_−r²(0,Xs) R_−r2(0,x) ·Px|Fs

Q^(α)x (L∞=∞) = 1.

(21)

Hypoth`ese

Il existeβ >0 etc ∈]r², ω²₁[ tel que :

∀a∈[0,c], R−a+iv(0,0) =

v→±∞o 1

v^β

.

Th´eor`eme Ex

e^−αL^t

t→+∞∼ 1

r²R_−r²(0,x) 1

∂

∂zRz(0,0)_|z=−r² exp(−r²t) Q^(α)_x|F_s = exp r²s−αLs

R_−r²(0,Xs) R_−r2(0,x) ·Px|Fs

Q^(α)x (L∞=∞) = 1.

(22)

Bibliographie

H. Dym and H. P. McKean

Gaussian processes, function theory, and the inverse spectral problem.

Academic Press, 1976.

L. C. G. Rogers and D. Williams

Diffusions, Markov processes, and martingales.

Cambridge University Press, 2000.

B. Roynette, P. Vallois and M. Yor

Some penalisations of the Wiener measure.

Jpn. J. Math., 1(1) :263–290, 2006.