Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques
Math360 B
Lundi 6 d´ecembre 2004
Topologie et Calcul Diff´ erentiel
Dur´ee 3 heures – sans document
I
Soient E un espace de Banach, et K une partie convexe ferm´ee de E. On suppose que K est sym´etrique, c’est-`a-dire que −x appartient `a K pour tout x de K. On veut montrer que siK n’est pas un voisinage de 0 dansE, il existe un pointadeE tel quean’appartienne
`
a 2n.K :={2nx :x∈K} pour aucun entier n.
On suppose d´esormais que K ne contient la boule ferm´ee B(0, ε)˜ pour aucun ε >0.
1) Montrer que si K contenait une boule ˜B(x, ε), il contiendrait aussi ˜B(−x, ε), et que pour tout y∈B(0, ε), on aurait, en posant˜ x0 =x+y et x00 =−x+y :
x0 ∈B(x, ε)˜ ⊂K ; x00 ∈B(−x, ε)˜ ⊂K et y= 1
2(x0+x00)∈K donc ˜B(0, ε)⊂ K. Conclure que K ne contient la boule ouverte B(x, ε) pour aucun x ∈ E et aucunε strictement positif.
2) Soient x0 = 0 et r0 = 1. On va construire par r´ecurrence une suite d´ecroissante de boules ferm´ees ˜B(xn, rn) telles que rn ≤2−n et ˜B(xn, rn)∩2n−1.K =∅ pour tout n >0.
Supposant connus xn et rn, montrer queK ne contient pasB³xn
2n,rn
2n
´, et en d´eduire l’existence d’un point yn ∈/ K tel que °
°
° xn
2n −yn
°
°
°< rn
2n. Posant alors xn+1 = 2nyn, montrer que xn+1 ∈ B(xn, rn) \2n.K, puis qu’il existe rn+1 ≤ 2−n−1 tel que ˜B(xn+1, rn+1) soit contenue dansB(xn, rn)\2n.K.
3) Montrer que pourn≤p, on axp ∈B(xn, rn), et en d´eduire quekxp−xnk< rn ≤2−n, puis que la suite (xn) est une suite de Cauchy, qui converge vers un ´el´ement x de E.
Montrer que pour tout n,x = limp→∞xp ∈B(x˜ n, rn). En d´eduire quex n’appartient `a 2n.K pour aucune valeur de l’entier n.
4) Soient V un espace norm´e s´eparable, V0 son dual, et (xm) une suite de points de V. On suppose que pour toute forme lin´eaire continuef sur V, la suite (f(xm)) est born´ee, et on veut montrer que la suite (xm) est born´ee dans V.
On pose :
K :={f ∈V0 : sup
m
|f(xm)| ≤1}=\
m
{f ∈V0 :|f(xm)| ≤1}
Montrer queK est convexe, ferm´e et sym´etrique dansV0. Remarquer que pour toute f ∈V0 il existe un entier n tel que supm|f(xm)| ≤2n, donc que f ∈2n.K. D´eduire alors de ce qui pr´ec`ede que K contient la boule ˜B(0, ε) de V0 pour un ε >0.
Montrer que s’il existait un entier mtel quekxmk> 1
ε, il existerait, par le th´eor`eme de Hahn-Banach, une forme lin´eaire continuef ∈V0 telle que kfk= 1 et f(xm) = kxmk > 1
ε, et en d´eduire que ε.f appartiendrait `a ˜B(0, ε) et pas `a K.
Conclure que supmkxmk ≤ 1 ε.
II
Soit X un espace m´etrique compact. On note C∗ l’ensemble des nombres complexes non nuls et
H
0 l’ensemble des fonctions continues f : X → C∗ pour lesquelles existe une fonction continue g:X →C v´erifiant f = eig.1) Montrer que si f :X →C∗ est une fonction constante, alors f ∈
H
0.2) Montrer que sif etf1 sont deux ´el´ements de
H
0, les fonctionsf.f1 et ff1 appartiennent
` a
H
0.3) Soitλ la fonction d´efinie sur le demi-planP :={z ∈C:<e(z)>0}par : λ(u+iv) = arctg v
u − i
2log(u2+v2) (pour u >0 et v∈R)
Montrer que λ est continue de P dans C et que eiλ(z) = z pour tout z de P. En d´eduire que si f :X →C∗ est une fonction continue telle que <e(f(x)) >0 pour tout x ∈X, on a f = eig pour g=λ◦f, doncf ∈
H
0.4) Soient f etf1 deux fonctions continues de X dans C∗. Montrer que δ := infx∈X|f(x)|
est strictement positif. On suppose que supx∈X|f(x)−f1(x)|< δ. Montrer que pour tout x de X, on a
¯
¯
¯
¯
f(x)−f1(x) f(x)
¯
¯
¯
¯
<1, et en d´eduire que
<e
µf1(x) f(x)
¶
≥1−
¯
¯
¯
¯
1− f1(x) f(x)
¯
¯
¯
¯
>0 puis que f1
f ∈
H
0, et enfin que f ∈H
0 si et seulement si f1 ∈H
0.5) D´eduire de la question pr´ec´edente que
H
0 est ouvert et ferm´e dans l’espaceC
(X,C∗) muni de la distance de la convergence uniforme.On suppose d´esormais queX est le cercle unit´e deC, c’est-`a-direX :={z ∈C:|z|= 1}.
6) En utilisant queXest l’image par la fonctiont 7→eit de l’intervalle r´eel [−π, π], montrer que X est connexe et compact.
Soit g : X → R une fonction continue. Montrer que, si on pose g1(z) = g(z)−g(−z), l’ensemble g1(X) est un intervalle compact de R centr´e en 0 (utiliser le fait que g1 est impaire.) En d´eduire que 0∈ g1(X), puis qu’il existe z ∈ X tel que g(z) =g(−z), et enfin que g ne peut ˆetre injective.
7) Montrer que si la fonction j :z 7→z de X dans C∗ appartenait `a
H
0, il existerait une fonction continue g : X → C telle que j = eig et que g serait alors injective et `a valeurs r´eelles. Conclure en utilisant 6) que j /∈H
0.8) On se propose de montrer que C et C∗ ne sont pas hom´eomorphes. Supposant, par l’absurde, que ϕ:C∗ →C est un hom´eomorphisme, on d´efinit, pourz ∈X et t ∈[0,1] :
f(z, t) =ϕ−1(tϕ(z))∈C∗ et ft(z) =f(z, t). Montrer que f0 est constante et quef1 =j.
Montrer que f est uniform´ement continue sur le compact X ×[0,1]. En d´eduire que pour tout ε >0, il existe un δ >0 tel que :
max(|z −w|,|t−s|)< δ =⇒ |f(z, t)−f(w, s)| ≤ε
puis que|s−t|< δ ⇒d(fs, ft)≤ε. Conclure que l’application t 7→ft est continue de [0,1]
dans
C
(X,C∗), et que l’ensemble T0 :={t ∈[0,1] :ft ∈H
0}est ouvert et ferm´e dans [0,1], contient 0 et pas 1.Conclure enfin que C et C∗ ne sont pas hom´eomorphes.
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