Examen de Mathématiques

MS3-I Janvier 2006 Durée 3 heures

Examen de Mathématiques

Calculatrice et document sont interdits.

Barème indicatif : 4+5+4+7 Exercice 1 :

Soit la formulef(x;y) = xy y−x.

1. Pour quels(x;y)∈R²,f(x;y)est-elle définie ? On noteDl’ensemble de tous ces couples.

2. ReprésenterD;Dest-il un fermé, un ouvert, un compact ? 3. Montrer quef ne possède pas d’extremums relatifs.

4. f possède-t-elle un extremum absolu surD? Exercice 2 :

1. L’intégrale Z 1

0

e^t

t dtest-elle convergente ? 2. On pose∀x∈R^∗₊,∀t∈[0; 1], f(x, t) = e^t

t+x et∀x∈R^∗₊, F(x) = Z 1

0

f(x, t)dt (a) Montrer queF est de classeC¹surR^∗+, et calculerF⁰(x).

(b) En déduire queF est décroissante surR^∗+.

(c) A l’aide d’un encadrement de la fonctionf, montrer que∀x∈R^∗+, 0≤F(x)≤ e−1 x . (d) Déduire de la question précédente la limite deF en+∞.

Exercice 3 :

Étudier la convergence des séries suivantes : a) X

lnn+ 2

n b) X 2ⁿ

(2n)! c) X cosn n²+ 1

Exercice 4 :

On définit pour tout entiernstrictement positif la fonctionfnpar :

∀x∈]0; 1], f_n(x) =−xⁿ

n lnxetfn(0) = 0 1. [Question de cours]Démontrer que∀x∈]−1; 1[, ln(1−x) =−

∞

X

k=1

xⁿ n. 2. Montrer que pour toutn∈N^∗, fnest une fonction continue.

3. Pourn∈N^∗fixé, étudier les variations de la fonctionf_n, et déterminerα_n= sup{|f_n(x)|, x∈[0; 1]}.

4. Montrer que la série de fonctionP

f_nconverge normalement sur[0; 1].

5. En utilisant sans les démontrer les deux résultats suivants :

∞

X

k=1

1 k² = π²

6 ainsi que la décomposition en éléments

simples 1

X(X+ 1)² = 1

X − 1

X+ 1− 1

(X+ 1)², calculer la somme :

∞

X

k=1

1 k(k+ 1)². 6. Pourn∈N^∗fixé, montrer queR1

0 f_n(t)dt= _n(n+1)¹ 2.

7. En précisant bien tous les résultats des questions précédentes utilisés, calculer l’intégrale I =

Z ₁

0

lnxln(1−x)dx