Une application de la dualité des programmes linéaires : programme de fabrication et prix des produits fabriqués

C ^{AHIERS DU} B ^URO

J. B ^OUZITAT

Une application de la dualité des programmes linéaires : programme de fabrication et prix des produits fabriqués

Cahiers du Bureau universitaire de recherche opérationnelle.

Série Recherche, tome 12 (1969), p. 25-36

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PROGRAMME DE FABRICATION ET PRIX DES PRODUITS FABRIQUÉS

par

J. BOUZITAT

S O M M A I R E

Pages

1. Introduction 25 2. Etude d

un programme de fabrication destiné à satis-

faire une demande donnée 26 2.1. Description du modèle linéaire 26

2.2. Expression matricielle du programme linéaire. 27 2.3. Représentation géométrique du programme l i -

néaire 28 2.4. Programme linéaire dual 29

2.5. Interprétation concrète du programme linéaire

dual 31 2.6. Coûts marginaux des produits 33

2.7. Prix assurant un équilibre économique 34 3. Conclusion : coûts marginaux et prix de revient 35

1. INTRODUCTION

Le présent article voudrait apporter quelques éléments de r é - flexion à propos de la formation d'un système de prix sur l'ensemble des produits obtenus dans une fabrication industrielle complexe.

On sait qu'il est difficile, dans de telles conditions, de donner

un sens à la notion de prix de revient d'un produit particulier, isolé

de l'ensemble des produits simultanément fabriqués. Cependant, il

est en général possible de définir des coûts marginaux qui présentent

un grand intérêt économique.

On se propose de m o n t r e r que, dans le c a s des modèles l i - n é a i r e s , la théorie de la dualité conduit t r è s naturellement à la dé- finition des coûts marginaux et met en évidence l e u r s principales p r o p r i é t é s .

(Afin d'appuyer la réflexion sur un support concret, on étudie ici le modèle simple d'un programme de fabrication destiné à s a - t i s f a i r e une demande donnée. Il va de soi que d'autres problèmes de programmation linéaire pourraient s e r v i r de base à des études ana- logues [ 6 , 7, 9, 10, 11 et 17](*)).

2. E T U D E D'UN PROGRAMME DE FABRICATION DESTINE A SA- T I S F A I R E UNE DEMANDE DONNEE

2 . 1 . Description du modèle l i n é a i r e .

Un industriel se propose de faire face à la demande de s e s clients en fabriquant c e r t a i n s produits Pj P². . . Pⁿ en quantités r e s - pectives au moins égales à b², . . . bⁿ, h. étant la quantité de- mandée du produit Pj , m e s u r é e avec une unité a r b i t r a i r e m e n t choi- s i e , m a i s dont la nature (poids, volume, p i è c e . . . ) dépend du p r o - duit c o n s i d é r é .

A cet effet, l'industriel peut m e t t r e en oeuvre différents pro- c e s s u s de fabrication F^x, F², . . . F^m à des "niveaux" r e s p e c t i f s Xj, x², . . . , x^m, qu'il s'agit de déterminer de telle m a n i è r e que le coût de la fabrication soit minimum.

l^^xhypothese de linéarité consiste i c i à admettre que, pour chaque p r o c e s s u s de fabrication F. , le coût est proportionnel au n i - veau x . , ainsi que les quantités des différents produits fabriqués „

Soit c le coût de la m i s e en oeuvre du p r o c e s s u s de f a b r i - cation F. au niveau unité. Soit a... le nombre d'unités du produit P j obtenu à partir du p r o c e s s u s F. m i s en oeuvre au niveau unité.

Il s'agit donc de déterminer un "programme de fabrication" opti- mum ( x j , X2, . . . x^m ) permettant de faire face b la demande pour un cout de fabrication minimum , c ' e s t - à - d i r e qu'il faut résoudre le problème de programmation linéaire suivant :

(*) Les numéros placés entre crochets renvoient aux références bibliographiques qui se trouvent à la fin du cahier.

Déterminer un ou plusieurs programmes ( x^p x ^ . . x^m) s a t i s - faisant aux n contraintes (une par produit fabriqué) :

!

xi^an + ^x2^a2 i + • • • + ^xi^ai i + . . . + x^ma^{m l} ^ ,

Xia! 2 + X2a22 + + Xiai 2 + + Xman,2 * b2 >

Xi^ai j ^{+ X}2^a2 j + • • • + ^Xi^ai j + • • • + X r a a r a j * b j ,

Xi^ai n + ^X2^a2n + • • • + ^Xi^ai n + • • • + ^Xm^amn > ^bn -

ainsi qu'aux m conditions de signe (une par p r o c e s s u s de f a b r i c a - tion) :

I

et à la condition d^!optimisation économique : x c + x²c² + . . . + x . c . + . . . 4- x^mc^m minimum.

(Il est possible de m o n t r e r que tout problème de p r o g r a m m a - tion linéaire peut être ramené à la forme canonique c i - d e s s u s , dont la forme la plus générale diffère seulement par le fait que c e r - taines contraintes peuvent se présenter sous forme d'égalités, et que c e r t a i n e s inconnues peuvent n ' ê t r e a s t r e i n t e s à aucune condi- tion de signe [17].)

2*2 . Expression matricielle du programme linéaire.

Il est classique de m e t t r e le problème précédent sous une forme plus condensée en utilisant les notations v e c t o r i e l l e s et m a t r i c i e l l e s [16].

Désignons par x le vecteur ligne (x^l9 x^?, . . . , x^m) [programme de fabrication] , par b le vecteur ligne (b^ b², . . . , bⁿ) [demande] ,

par A la m a t r i c e des coefficients techniques a^

an ^ai 2 ^am

/ cette m a t r i c e , ayant m lignes \ 21 2 2 2 n et n colonnes, est une m a t r i c e ] ,

\ d e "format" (m, n) / a « a _ • • • • • a „

_ml m 2 mn_

/ c ' \

par c le vecteur colonne [ ² [ c o û t ] .

Selon l e s conventions c l a s s i q u e s du c a l c u l v e c t o r i e l et m a t r i - c i e l [produit s c a l a i r e ligne par colonne, et adaptation des formats

[(p, q)] , le programme linéaire précédent peut s ' é c r i r e :

Î

x A ^ b - représentant l e s contraintes

(l.m) (m.n) (l.n)

m

Zxi^ai j > bj

pour j € { ] , 2, . . . . , n } . x > 0 - représentant l e s

f¹*¹") ( 1 , m ) conditions de signe x^t ^ 0 pour i £ { l , 2, . . . , m}, x c minimum - représentant la condition

(l.fl) (m.l) ^m

d'optimisation £ ^xi Ciinini-

— i 1 i = i mu m

2 . 3 . Représentation géométrique du programme linéaire.

L e s contraintes et les conditions de signe définissent l ' e n - semble C des programmes r é a l i s a b l e s , et il est naturel de sup- poser que cet ensemble n'est pas vide, s i l'on tient compte de l ' i n - terprétation concrète du modèle.

Chaque inégalité linéaire définit, dans l ' e s p a c e v e c t o r i e l R^B de dimension m décrit par l e s points ( x^x, x², . . . , x^m) , un demi- espace limité par un "hyperplan". L ' e n s e m b l e C des p r o g r a m m e s r é a l i s a b l e s est donc r e p r é s e n t é dans cet espace par l ' i n t e r s e c t i o n de (m+n) " d e m i - e s p a c e s f e r m é s " , c ' e s t - à - d i r e par un "tronçon", ou domaine polyédrique convexe fermé, dont l e s sommets (en nombre fini) représentent l e s programmes dits "extrêmes".

L ' ensemble des points donnant à la fonction économique x c une valeur constante k est un hyperplan H^k , et l e s hyperplans o b t e - nus pour l e s diverses valeurs de k forment une famille d'hyper - plans p a r a l l è l e s dans l ' e s p a c e R^m de dimension m .

Résoudre le programme linéaire considéré revient donc à c h e r - cher, dans le domaine polyédrique convexe fermé C , le ou l e s points situés dans l'hyperplan H^k correspondant à la valeur k la plus petite possible. Compte tenu de l'interprétation concrète du m o - dèle, il est naturel de supposer c e s points optimums à distance finie. Il est a l o r s intuitif (du moins s i m ^ 3 , c ' e s t - à - d i r e si l'on peut faire une figure dans le plan ou dans l ' e s p a c e ) , et l'on peut é t a b l i r de façon rigoureuse en s'appuyant sur la convexité du domaine C et des hyperplans H^k , que l'ensemble des points opti- mums comprend au moins un sommet du domaine C , et même qu'il se confond avec le domaine convexe admettant pour sommets l e s sommets optimums de C [9 et 16] .

Il suffit donc de r e c h e r c h e r l e s p r o g r a m m e s optimums extrêmes (ce qui est un problème combinatoire), en "appuyant" sur le domaine polyédrique convexe C l'hyperplan H^k qui correspond à la v a - leur minimum de k .

On y parvient, de façon c l a s s i q u e , par la méthode du simplexe (en cheminant de sommet en sommet adjacent de C , de manière à faire d é c r o î t r e autant qu'il est possible la valeur k de la fonc- tion économique), ou par la méthode duale du simplexe (en partant de points e x t é r i e u r s à C où la valeur k est trop petite, et en faisant c r o î t r e k jusqu'à ce que l'hyperplan H^k s'appuie sur le domaine C ) [6 et 17].

Dans le c a s g é n é r a l où le problème ne présente pas de dégé- n é r e s c e n c e , l'hyperplan d'appui touche le domaine polyédrique con- vexe C en un sommet unique, qui définit le programme optimum c h e r c h é .

(Dès que le problème comporte plus de 4 ou 5 v a r i a b l e s ou contraintes, l e s c a l c u l s doivent ê t r e faits à l'aide d'une machine arithmétique. )

2 . 4 . Programme linéaire dual.

Il est classique d ' a s s o c i e r au programme linéaire (I) un autre programme l i n é a i r e (II) formé à partir du même vecteur ligne b

[demande], de la même m a t r i c e des coefficients techniques A, du même vecteur colonne c [coût], et où il s'agit de déterminer un vecteur colonne

/ y² \ / dont il faudra c h e r c h e r une\

y ~ I . . . 1 \ interprétation concrète /

\ yⁿ /

I

A y ^ ^c n

(m.n) (n, 1) (m. 1) V 1 a^{i j y j} < ^Ci

pour i G { 1 , 2, . . . , m } , y ^ 0 _ représentant l e s

<ⁿ«¹> ^{( n}>^{l )} conditions de signe > 0

pour j G { 1, 2, . . . , n}, b y maximum . représentant la condition (l.n) (n.l) . . . V i_

| d'optimisation 2-» b . y . maximum.

j=i ^J On dit que les deux programmes linéaires (I) et (II) sont en dua- lité , ou qu'ils se correspondent par dualité. Cette correspondance

est manifestement réciproque. On voit, en particulier, qu'à chaque contrainte de l'un des problèmes correspond une variable (xiou Vj) de l ' a u t r e problème.

Comme l e s problèmes considérés sont sous forme canonique, toutes les contraintes se présentent sous forme d'inégalités ( r e m a r - quer leurs s e n s ) , et toutes les v a r i a b l e s sont a s t r e i n t e s à ê t r e posi- tives ou nulles.

On remarque aussi l'échange des r ô l e s du vecteur ligne b et du vecteur colonne c quand on passe d'un problème à l'autre, et le changement de sens de la condition d'optimisation [17].

D'après le théorème fondamental de dualité des programmes l i n é a i r e s (voir, dans le p r e m i e r a r t i c l e du présent c a h i e r , une dé- monstration élémentaire de ce théorème) ,

si l'un des deux programmes en dualité admet une solution bornée (c'est- à-dire conduisant b un optimum fini), il en est de même de l'autre, et les deux optimums sont égaux :

min x c = m a x b y

D ' a i l l e u r s , si x est un programme r é a l i s a b l e quelconque ( c ' e s t - à - d i r e vérifiant l e s contraintes et l e s conditions de signe) du problème (I) et s i y est un programme r é a l i s a b l e quelconque du problème (II) ,

b y ^ x A y ^ xc

Il résulte de c e s inégalités (impliquées par l e s contraintes et les conditions de signe) et du théorème de dualité qu'un couple de programmes r é a l i s a b l e s est un couple de programmes optimums x , Y s i et seulement s i

b y = x c

De plus (voir le p r e m i e r a r t i c l e du présent cahier } ,

Î

Ce sont l e s relations d'exclusion, n é c e s s a i r e s et suffisantes pour qu^!un couple de programmes r é a l i s a b l e s soit un couple de p r o - g r a m m e s optimums.

On peut l e s e x p r i m e r , sous leur forme forte, de la façon s u i - vante :

[3 x | x . > 0] « >. V y, 2 a^u5 T = c j

J3 x | £ x ^ . > b . J <•_•> Vy , y, = oj

Il existe un programme optimum x du problème (I) dans lequel une variable est strictement positive, s i , et seulement s i , la contrainte correspondante du problème (IJ) est 'bloquée" (ou " s e r r é e " ) dans tout programme optimum y .

Il existe un programme optimum x du problème (I) dans lequel une contrainte n'est pas bloquée (ou s e r r é e ) s i , et seulement s i , la variable correspondante du problème (II) est nulle dans tout programme optimum y .

2 . 5 . Interprétation concrète du programme linéaire dual.

Des considérations d'homogénéité évidentes imposent que, dans le programme dual (II) du programme de fabrication (I), les va- r i a b l e s , y², . . . , yⁿ représentent des prix unitaires attachés r e s - pectivement aux produits P j , P ² , . P ⁿ demandés en quantités r e s p e c t i v e s b ^ b , b^ par les clients qu'il s'agit de s a t i s - f a i r e .

Les conditions de signe du problème (II) expriment que l e s prix unitaires y¹ , y , . . . y sont positifs ou nuls .

Avec c e s prix unitaires, le prix global de l'ensemble des p r o - duits obtenus à partir du p r o c e s s u s F. m i s en oeuvre au niveau

n

unité est ^ ^ai j y j '> de sorte que l e s contraintes du problème (II) j = i

expriment, pour chacun des m p r o c e s s u s de fabrication, que le prix global de l'ensemble des produits obtenus est au plus égal au coût de m i s e en oeuvre du p r o c e s s u s .

Enfin la condition d'optimisation du problème (II) exprime que , parmi tous l e s prix unitaires y , y², . . . , yⁿ vérifiant l e s con- t r a i n t e s et l e s conditions de signe, l e s prix optimums y , y², . . . yⁿ

n

sont ceux qui maximisent le prix total £ kjYj des produits dé- j à

mandés par les c l i e n t s .

Pour i n t e r p r é t e r le problème (II), on peut a l o r s imaginer qu' un second industriel propose au premier de lui vendre les produits qu'il doit fournir b ses clients, soit l e s quantités b^x, b², . . . , bⁿ des produits r e s p e c t i f s P¹, P² , . . . , Pⁿ .

L e s prix de vente unitaires r e s p e c t i f s y , y , . . . yⁿ seront a s t r e i n t s à être positifs ou nuls, bien entendu ; m a i s , d'autre p a r t , pour rendre son offre attrayante, le second industriel p r é c i s e que c e s prix seront t e l s qu'en aucun c a s le p r e m i e r industriel ne s e r a amené à payer, pour acheter un ensemble de produits qu'il peut fa- briquer simultanément, plus que le coût de leur fabrication. En r e - vanche, parmi tous l e s prix satisfaisant à c e s conditions, l e s prix de vente y , y , . . . , yⁿ seront choisis de manière à m a x i m i s e r le prix de vente total.

Le théorème fondamental de dualité indique que, dans ces con- ditions, le premier industriel paierait au second, pour l'ensemble des produits Qu'il lui achèterait, un prix total égal b ce que lui aurait

coûté la fabrication de ces produits, dans un programme de fabrication optimum.

L e s relations d'exclusion montrent que :

- s i un p r o c e s s u s de fabrication est effectivement m i s en oeuvre dans un programme optimum, l'ensemble des produits obtenus à p a r - t i r de ce p r o c e s s u s est payé, dans tout système de prix optimum, un prix global égal au coût de leur fabrication :

- s i un produit se trouve fabriqué, dans un programme opti- mum, en quantité supérieure à la demande, son prix unitaire est nul dans tout système de prix optimum.

(Il est d'ailleurs intuitif que c e s conditions sont n é c e s s a i r e s et suffisantes pour a s s u r e r l'égalité des deux optimums, prévue par le théorème fondamental de dualité).

Corrélativement, et de façon équivalente,

- s i l'ensemble des produits obtenus à partir d'un p r o c e s s u s de fabrication est payé, dans un système de prix optimum, un prix global inférieur au coût de leur fabrication, ce p r o c e s s u s de f a b r i - cation n ' e s t m i s en oeuvre dans aucun programme optimum ;

- s i le prix unitaire d'un produit est positif dans un système de prix optimum, ce produit est fabriqué, dans tout programme opti- mum, en quantité égale à la demande.

Et les réciproques de c e s propositions sont v r a i e s , d'après la forme forte des relations d'exclusion.

2 . 6 . Goûts marginaux des produits.

Si l e s quantités b^v b², bⁿ , demandées par l e s clients pour l e s produits r e s p e c t i f s P^t , P², . . . , Pⁿ , subissent de petites variations (les coûts cⁱ et les coefficients techniques o.ⁱⁱ r e s - tant constants), le coût minimum x c du programme (I) v a r i e . Mais il est difficile d'étudier s e s variations directement dans le problème (I), où l'ensemble C des programmes r é a l i s a b l e s varie avec le vecteur demande b qui définit les seconds m e m b r e s des contraintes.

Dans le problème (II), au c o n t r a i r e , l e s contraintes ne dé- pendent pas du vecteur demande b , qui définit seulement la fonc- tion économique b y , c ' e s t - à - d i r e la direction de l'hyperplan qu'il faut appuyer sur le domaine polyédrique convexe fermé D défini par les contraintes, pour obtenir le ou les s y s t è m e s de prix opti- m u m s .

Dans le c a s g é n é r a l où le problème (II) ne présente pas de d é g é n é r e s c e n c e , l'hyperplan d'appui touche le domaine D en un sommet unique qui définit le système de prix optimum c h e r c h é . Et ce s y s t è m e de prix y " , y ², . . . , y"ⁿ r e s t e le même lorsque le v e c - teur demande b subit de petites variations, tant que l e s changements de direction correspondants de l'hyperplan d'appui ne le font pas p a s s e r d'un sommet à un autre du domaine D . (Mais, pour de plus grandes variations de b , le système de prix dépendrait du v e c - teur demande.)

D'autre part, d'après le théorème fondamental de dualité, le coût minimum x c du problème (I) est constamment égal au prix maximum b y du problème (II) :

min x c = max b y = b y = b ^ + b²y² + . . . + bⁿyⁿ

3

Ainsi les prix optimums y j , %>•••» yⁿ sont les taux de variation unitaires du cout du programme optimum de fabrication en fonction des quantités respectives b^lt b², . . . , bⁿ demandées par les clients pour les produits P^lt P², . . . , Pⁿ [à condition que les variations de c e s quantités soient a s s e z petites, et que le problème (II) ne présente pas de d é g é n é r e s c e n c e ] .

On dit que les prix optimums y^, y², . . . y^ ^{s o n}t ^^es coûts mar- ginaux des produits respectifs IJ , P²,... Pⁿ . lorsqu' il s sont deman- dés en Quantités b^x, b². . . . bⁿ [ 6 , 7 et 9 ] .

Comme il est naturel, on vérifie que, s i un produit est fa- briqué, dans un programme optimum, en quantité supérieure à la demande, son coût marginal est nul (voir l e s relations d'exclusion) .

Il résulte a u s s i de l'étude précédente que la vente aux coûts marginaux des quantités b^{l t} b², . . . , bⁿ des produits r e s p e c t i f s Pj, P². , . , Pⁿ couvre exactement les coûts de fabrication de l ' e n - semble de c e s produits dans un programme optimum.

2.7. Prix assurant un équilibre économique-

Si un industriel fabrique effectivement les quantités b^t, b². . . , bⁿ des produits r e s p e c t i f s P^x, P², . . , , Pⁿ, dans l e s conditions envisagées, en utilisant un programme optimum, les prix optimums y^x » y² »•••» yⁿ > ^Qui ^{s o n t des} coûts marginaux, sont aussi les prix uni- taires qui, régnant sur le marché, assureraient un équilibre économique [7 et 9 ] .

Si l'on suppose, en effet, que l'industriel, fabriquant l e s quan- t i t é s b j , b² , . . . , bⁿ des produits r e s p e c t i f s P^x , P² , . . . , Pⁿ , puisse en acheter ou en vendre sur le m a r c h é des quantités quel- conques aux prix unitaires r e s p e c t i f s y^t, y², . . . , y , il n'est pas tenté de modifier sa ligne de conduite s ' i l considère seulement le bilan financier de l'opération.

Car, en fabriquant à l'aide d'un programme optimum l e s quan- t i t é s b j , b², bⁿ des produits r e s p e c t i f s P i , P², . . . , Pⁿ , et en les vendant aux prix du m a r c h é , l'industriel r é a l i s e un bénéfice nul puisque, d'après le théorème fondamental de dualité, le prix de vente global couvre exactement les coûts de fabrication (ce que l e s relations d'exclusion montrent de façon plus détaillée).

Mais il lui est impossible de r é a l i s e r un bénéfice positif, quel que soit le programme de fabrication adopté, s i l e s prix du m a r c h é sont supposés s t a b l e s . Car, d'après les contraintes du problème (II) conduisant à la détermination des prix y. , le coût de la m i s e en oeuvre de tout p r o c e s s u s de fabrication est au moins égal au prix de vente global, sur le m a r c h é , de l'ensemble des produits obtenus à p a r t i r de ce p r o c e s s u s .

L'équilibre économique annoncé se trouve donc bien réalisé.

On peut ajouter que, s i la fabrication des quantités b^p b². . . , bⁿ des produits r e s p e c t i f s P¹, P², . . . , Pⁿ à l^faide d'un programme optimum conduit en fait l'industriel à fabriquer c e r t a i n s produits en excédent, l e s prix y. de c e s produits sont nuls, ce qui est con- forme à la loi de l'o è r e et de la demande suivant laquelle l ' e x c é - dent de l'offre sur la demande fait b a i s s e r le prix du m a r c h é .

3. CONCLUSION : COUTS MARGINAUX E T P R I X DE REVIENT L'étude précédente a montré que, pour les modèles l i n é a i r e s de p r o g r a m m e s de fabrication, la définition et les propriétés des coûts marginaux se présentent naturellement en application de la dualité des programmes linéaires.

L e s coûts marginaux des différents produits P j , P², . . . , Pⁿ sont l i é s aux quantités r e s p e c t i v e s b^it b^..., bⁿ qu'il faut en f a - b r i q u e r .

Le coût marginal 7j du produit Pj est, dans c e s conditions, le taux de variation unitaire du coût du programme optimum de fa- brication lorsque, toutes choses restant égales par a i l l e u r s , la quantité demandée b^ du produit Pj subit une petite variation (les c a s de dégénérescence étant supposés é c a r t é s ) .

Si un produit se trouve fabriqué, dans un programme optimum, en quantité supérieure à la demande, son coût m a r g i n a l est nul.

La vente aux coûts marginaux y^x, y², . . . , yⁿ des quantités bj > t>² , . . . , bⁿ des produits r e s p e c t i f s ~P¹ , P², . . . , Pⁿ couvre exactement les coûts de fabrication de l'ensemble de c e s produits dans un programme optimum (d'après le théorème fondamental de dualité d e s - p r o g r a m m e s l i n é a i r e s ) .

Enfin, l e s coûts marginaux y , y², . . . , yⁿ des produits r e s - pectifs P j , P², . . . , Pⁿ sont a u s s i l e s prix unitaires qui, régnant sur le m a r c h é , a s s u r e r a i e n t l'équilibre économique de la situation envisagée. En effet, s ' i l considère seulement le bilan financier de l'opération, l'industriel qui fabrique, à l'aide d'un programme opti- mum, l e s quantités b^v b², . . . , bⁿ des produits r e s p e c t i f s P^x,

P2, . . . y Pⁿ > pour les vendre aux prix du m a r c h é , n'est pas tenté de modifier sa ligne de conduite, c a r il lui est impossible d'amé- l i o r e r ce bilan financier. D'autre part, l e s prix y des produits Pj qui se trouvent en excédent sur le m a r c h é sont nuls, ce qui est conforme à la loi de l'offre et de la demande.

L e s coûts marginaux présentent donc, entre autres propriétés , c e l l e s qu'il est d'usage d'exiger des prix de revient. Mais il faut i n s i s t e r sur le fait qu'iZ est difficile de donner un sens b la notion de prix de revient d'un produit particulier, isolé de l ' ensemble des pro- duits obtenus en même temps que lui dans une fabrication industrielle complexe . Seul est défini le prix de revient de l'ensemble des pro- duits fabriqués, et la répartition de ce prix entre l e s différents p r o - duits ne peut être faite de façon logique que s i l'on se r é f è r e aux conditions économiques p a r t i c u l i è r e s de la fabrication considérée . Autrement dit, il est impossible de dé finir des prix de revient immuables

qui puissent servir b tous les usages»

Si les coûts marginaux ne peuvent pas non plus servir a tous les usages, ils sont du moins dé finis de façon précise, dans un modèle linéaire qui tient compte de certaines conditions économiaues dont il s dépendent

Il est toujours intéressant de déterminer les coûts marginaux des produits fabriqués, en même temps que les p r o g r a m m e s de fa- brication optimums, en résolvant simultanément deux problèmes de programmation linéaire en dualité. ( D ' a i l l e u r s , l'application de la méthode du simplexe à l'un de c e s problèmes équivaut à l'applica- tion de la méthode duale du simplexe à l'autre, de sorte que la r é - solution de l'un des problèmes conduit, sans calculs supplémentaires, à la résolution de l'autre [17].

Il faut encore ajouter que la notion de coûts marginaux n'est pas liée au caractère linéaire du modèle considéré . M a i s , s i leur défini- tion r e s t e presque aussi simple dans le cas des modèles non l i - n é a i r e s , leur étude est a l o r s plus délicate. Le cas l i n é a i r e , qui vient d'être présenté, peut utilement s e r v i r d'introduction à des c a s plus généraux, et par exemple aux cas importants des programmes con- vexes ou concaves et des programmes l i n é a r i s a b l e s (voir le t r o i - sième a r t i c l e du présent c a h i e r ) .