A la fin du XVIè siècle, savants et philosophes s'intéressent à deux grands domaines de recherche alors inexplorés : la cinématique ( étude des trajectoires et des vitesses de mobiles en mouvement ) et la géométrie analytique pour la détermination des tangentes à une courbe et des extremums.
Deux idées très éloignées se trouvent à l'origine de l'invention de la notion de dérivée au 17è siècle. La première, celle de Newton ( 1642 - 1727 ), repose sur des considérations de mécanique. A l'instant t, un mobile est en un point M, et à l'instant t + 1, il est en un point N. Si f est la fonction exprimant la distance parcourue, sa vitesse moyenne entre ces deux instants s'exprime par Vm =
h ) t ( f ) h t (
f + − . Ce que devient Vm lorsque h devient de plus en plus petit conduit à la notion de vitesse instantanée, que l'on appellera nombre dérivé de f.
La seconde idée, celle de Leibniz ( 1646 - 1716 ), s'intéresse à la courbe représentative C d'une fonction f.
Soit A un point de cette courbe, ayant pour coordonnées ( t, f ( t ) ), et soit B ( t + h , f ( t + h ) ) un second point de cette courbe. La droite ( AB ), sécante à la courbe C, a pour coefficient directeur le nombre p =
h ) t ( f ) h t (
f + − .
Ce que devient p lorsque h devient de plus en plus petit conduit à la notion de tangente à la courbe C.
Imaginez un surfeur à différents moments de son parcours sur la montagne et le profil de ce parcours.
En chacun des points de ce parcours, sa planche reste en contact avec la " courbe " c'est à dire qu'elle est tangente à la courbe en chacun de ses points : ainsi la pente de sa planche varie lorsque le point de contact se déplace sur la " courbe ". On sait tracer la tangente en un cercle de centre O en un point A de ce cercle.
Dans ce chapitre, on va apprendre à tracer la tangente à une courbe quelconque en un point de cette courbe.
Au XVII e siècle, le mathématicien Fermat appelait " touchante " une telle droite.
1 Nombre dérivé d'une fonction en un point.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Soit C sa courbe représentative dans un repère ( O ;
→
i , →j ) Soit a un nombre réel de l'intervalle I.
Soit A le point de C d'abscisse a.
Soit h un réel tel que a + h ∈ I.
Le taux d'accroissement de f entre a et a + h est le rapport r ( h ) = h
) a ( f ) h a ( f + −
.
f est dérivable en a si et seulement si r ( h ) tend vers un nombre réel quand h tend vers 0 appelé nombre dérivé de f en a.
Notation : f ' ( a ) =
h ) a ( f ) h a ( limf
0 h
− +
→ .
Lecture : f prime de a est égale à la limite quand h tend vers 0 du rapport h
) a ( f ) h a (
f + − .
Exemples : f ( x ) = x². Soit a ∈ . Déterminer si f est dérivable en a et si oui, donner f ' ( a ).
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x. Recherchons la dérivabilité en 0.
1 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = 2006.
Soit a ∈ . Déterminer si f est dérivable en a et si oui, donner f ' ( a ).
2 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = x.
Soit a ∈ . Déterminer si f est dérivable en a et si oui, donner f ' ( a ).
3 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = 3x − 2.
Soit a ∈ . Déterminer si f est dérivable en a et si oui, donner f ' ( a ).
4 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = 1
x définie sur *.
Soit a ∈ *. Déterminer si f est dérivable en a et si oui, donner f ' ( a ).
5 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = x définie sur +.
Soit a ∈ +*. Déterminer si f est dérivable en a et si oui, donner f ' ( a ).
2 Tangente en un point à une courbe.
Soit f une fonction dérivable en un réel a.
Soit C la courbe représentative de f.
La tangente à C au point A ( a ; f ( a ) ) est la droite qui passe par A et dont le coefficient directeur est le nombre dérivé de f en a c'est à dire f ' ( a ).
Une équation de cette tangente est y = f ' ( a ) ( x − a ) + f ( a ).
Démonstration : voir feuille annexe.
E2 Nombres dérivés et tangentes.
Soit f la fonction représentée par la courbe en page n ° 3.
1 ) Tracer en bleu la tangente à la courbe représentative de f en A ( 5 ; 437,5 ).
2 ) Tracer en vert la tangente à la courbe représentative de f en B ( 12 ; 266 ).
3 ) Tracer en rouge la tangente à la courbe représentative de f en C ( 1 ; 205,5 ).
4 ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en A.
5 ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en B.
6 ) Le nombre dérivé de la fonction f en C est f ' ( 1 ) = 132.
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en C.
3 Fonction dérivée et dérivées usuelles.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en toute valeur x de I.
La fonction qui à tout x de I associe f ’ ( x ) est appelée fonction dérivée de f et on la note f ’.
Tableau à apprendre par cœur.
f ( x ) f ’ ( x ) Ensemble de dérivabilité
k ( constante ) 0
x 1
mx + p m
x² 2x
x3 3x²
xn avec n un entier non nul nxn-1 1
x avec x ≠ 0 -
²
x1 ] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞ [ x avec x > 0
x 2
1 ] 0 ; + ∞ [
sin x cos x x en radians
cos x - sin x x en radians
Calculer f ' ( x ) et préciser l'ensemble de définition de f et de f '.
1 ) f ( x ) = x² 2 ) f ( x ) = x3 3 ) f ( x ) = x4
4 ) f ( x ) = 5 5 ) f ( x ) = -6 6 ) f ( x ) = 1
x 7 ) f ( x ) =
²
x1 8 ) f ( x ) =
x3
1 9 ) f ( x ) = 4
x 1 4 Dérivée d'une somme.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors la fonction u + v est dérivable sur I et ( u + v )’ = u’ + v’.
Autrement dit : la dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées.
Démonstration de cours : voir feuille annexe.
Exemple : f ( x ) = x3 + x². Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe.
E4 Savoir dériver une somme.
Calculer f ' ( x ) et préciser l'ensemble de définition de f et de f '.
1 ) f ( x ) = x² + x3 2 ) f ( x ) = x4 + 5 3 ) f ( x ) = -6 + 1
x 4 ) f ( x ) =
² x1 + 3
x 1 5 ) f ( x ) =
x1 + x4
6 ) f ( x ) = 1 + x² + x3 + 4 x
1
5 Dérivée de k u ( k est une constante ).
Soit u une fonction dérivable sur I.
Soit k une constante.
Alors la fonction k × u est dérivable sur I et ( k × u )’ = k × u’.
Autrement dit : la dérivée du produit d’une fonction par une constante est égale au produit de la constante par la dérivée de la fonction.
Démonstration de cours : voir feuille annexe.
Exemple : f ( x ) = 3x². Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe.
E5 Savoir dériver le produit k u.
Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions définies sur .
1 ) f ( x ) = -2x3 2 ) g ( x ) = 2x² − x + 3
3 ) h ( x ) = x3 + 3
2 x² − 1 4 ) i ( x ) = -x² + 3x − 1
5 ) j ( x ) = 1 4 x4 − 1
3 x3 6 ) n ( x ) = -
3 x 2 3
+ 2
² x
3 + 4x − 1
6 Dérivée d’un produit.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors la fonction u × v est dérivable sur I et ( u × v ) ' = u' × v + v ' × u.
Démonstration de cours : voir feuille annexe.
Exemple : f ( x ) = ( 3x + 5 ) ( -2x + 4 ). Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe.
Dérivée de un.
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit n un entier naturel non nul.
Alors la fonction un est dérivable sur I et pour tout n ∈ * , on a ( un ) ' = n u ' un-1.
Exemple : f ( x ) = ( 6x − 7 )5 . Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe.
E6 Savoir dériver un produit.
Calculer la dérivée de la fonction f sur si rien n'est précisé, sinon donner les ensembles de définition.
1 ) f ( x ) = x ( 3x − 1 ) 2 ) f ( x ) = x² ( 3x + 4 )
3 ) f ( x ) = ( x² + 3 ) ( x − 2 ) 4 ) f ( x ) = ( 3x − 1 )3 5 ) f ( x ) = 3 ( 1 − 2x )4
Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I.
On suppose v ( x ) non nul sur I.
Alors la fonction v
1est dérivable sur I et
² v
' v v
1 '
−
=
.
Démonstration de cours : voir feuille annexe.
Exemple : f ( x ) = 3 x 2
1+ . Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe.
E7 Savoir dériver l'inverse d'une fonction.
Calculer f ' ( x ) et préciser l'ensemble de définition de f et de f '.
1 ) f ( x ) = 1
x 2 ) f ( x ) =
² x
1 3 ) f ( x ) =
4 x 3
1+ 4 ) f ( x ) =
5 x 2
1+
− 5 ) f ( x ) = 3x²+15x+7 6 ) f ( x ) = 2x3
−1 7 ) f ( x ) =
) 6 x 2 )(
5 x 3 (
1 +
− 8 ) f ( x ) =
) 7 x 2 )(
3 x 5 (
1 +
+
− 8 Dérivée d'un quotient.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
On suppose v ( x ) non nul sur I.
Alors la fonction v
uest dérivable sur I et
² v
u ' v v ' u v
u' = −
.
Démonstration de cours : voir feuille annexe.
Exemple : f ( x ) = x 5 7
2 x
3−+ . Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe.
E8 Savoir dériver un quotient.
P 58 n ° 21 f4. P 58 n ° 22 f2.
P 58 n ° 23. P 58 n ° 24.
