De la 1G vers la TG - Partie 1- Maths - S Pluot

De la 1G vers la TG - Partie 1- Maths - S Pluot

Correction 1

1. x −∞ −1

2 1 +∞

1−x + + 0 −

2x+ 1 − 0 + +

(1−x)(2x+1) − 0 + 0 −

2. x −∞ 2 3 +∞

x−3 − − 0 +

−2x+ 4 + 0 − −

(x−3)(−2x+4) − 0 + 0 −

Correction 2

a. Le polynômex²−3x+2a pour discriminant :

∆ =b²−4·a·c= (−3)²−4×1×2 = 9−8 = 1 On a la simplication suivante : √

∆ =√ 1 = 1 Le discriminant étant strictement positif, ce polynôme admet les deux racines suivantes :

x1= −b−√

∆ 2a

= −(−3)−1 2×1

= 2 2

= 1

x2= −b+√

∆ 2a

= −(−3) + 1 2×1

= 4 2

= 2

Le coecient du second degré étant positif, on a le tableau de signes suivant :

x −∞ 1 2 +∞

x²−3x+2 + 0 − 0 +

Ainsi, l'ensemble des solutions de cette équation est : S=]

−∞; 1[

∪] 2 ; +∞[

b. Le polynôme x²−x−2a pour discriminant :

∆ =b²−4·a·c= (−1)²−4×1×(−2) = 1 + 8 = 9 On a la simplication suivante : √

∆ =√ 9 = 3 Le discriminant étant strictement positif, ce polynôme admet les deux racines suivantes :

x1= −b−√

∆ 2a

= −(−1)−3 2×1

= −2 2

=−1

x2= −b+√

∆ 2a

= −(−1) + 3 2×1

= 4 2

= 2

Le coecient du second degré étant positif, on a le tableau de signes suivant :

x −∞ −1 2 +∞

x²−x−2 + 0 − 0 +

Ainsi, l'ensemble des solutions de cette équation est : S=]

−1 ; 2[

c. Le polynôme−9x²+12x−4a pour discriminant :

∆ =b²−4·a·c= 12²−4×(−9)×(−4) = 144−144 = 0 Le discriminant étant nul, ce polynôme admet une unique rqcine :

− b

2a =− 12

2×(−9) = 12 18= 2

3

Puisque le coecient du second degré de ce polynôme est négatif, o a le tableau de signes suivant :

x −∞ 2

3 +∞

−9x²+12x−4 − 0 −

Ainsi, l'ensemble des solutions de cette équation est : S=R

Correction 3

1. On a le développement suivant : P=(

x+ 1)

·(

2·x²+b·x−12)

= 2·x³+b·x²−12·x+ 2·x²+b·x−12

= 2·x³+( b+ 2)

·x²+( b−12)

·x−12

Par identication avec la forme développée réduite de P, on obtient le système d'équations ci-dessous :









2 = 2 b+ 2 = 7

−7 = b−12

−12 = −12

On en déduit la factorisation : P=(

x+ 1)

·(

2·x²+ 5·x−12)

2. Etudions le second facteur de la factorisation. Ce poly- nome du second degré a pour discriminant :

∆ =b²−4·a·c= 5²−4×2×(−12) = 25 + 96 = 121 On a la simplication : √

∆ =√

121 = 11

Le discriminant étant strictement positif, ce polynôme admet les deux racines suivantes :

x₁= −b−√

∆ 2·a

= −5−11 2×2

= −16 4

=−4

x₂= −b+√

∆ 2·a

= −5 + 11 2×2

= 6 4

= 3 2

Le coecient du terme du second degré étant positif, on obtient le tableau de signes suivant :

x −∞ −4 −1 ³₂ +∞

x+ 1 − − 0 + +

2·x²+5·x−12 + 0 − − 0 +

P − 0 + 0 − 0 +

Correction 4

La réponse a. est fausse :

La tangente à la courbeCf au point d'abscisse0est par- allèle à l'axe des abscisses. On en déduit que le nombre dérivé de la fonctionf en0vaut0

La réponse b. est fausse :

Un nombre dérivée de0 en−1entrainerai une tangente Feuille 43 - http ://s.pluot.chingatome.fr

parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse−1de la courbeCf.

Or, on voit que la courbeCf n'admet pas une telle tan- gente au point d'abscisse−1.

La réponse correcte est c. :

La tagente à la courbeCfau point d'abscisse−3est une droite passant par les pointsA(−4 ; 4 )etB(−2 ; 2 ).

Le coecient directeur de cette tangente a pour valeur : yB−yA

x_B−x_A = 2−4

(−2)−(−4) = −2

−2 + 4 = −2 2 =−1 Correction 5

1. La fonctionf est une fonction polynôme qui admet pour dérivée :

f^′(x) =( 5·x⁴)

+ 3·( 2·x)

−1 + 0

= 5·x⁴+ 6·x−1

2. La fonction f est une fonction polynômiale qui admet pour dérivée :

f^′(x) = 2·( 7·x⁶)

−( 2·x)

−2 + 0

= 14·x⁶−2·x−2 Correction 6

1. a. La fonction f^′ dérivée de la fonction f admet l'expression :

f^′(x) =−1

2·3·x²−2x+5 2 =−3

2·x²−2·x+5 2 b. Le nombre dérivée de la fonctionf au point d'abscisse

−2 a pour valeur : f^′(−2) =−3

2·(−2)²−2·(−2) +5 2

=−3

2×4 + 4 +5

2 =−6 + 4 +5 2 = 1

2 2. a. L'image du nombre 2 par la fonction f a pour

valeur : f(−2) =−1

2·(−2)³−(−2)²+5

2·(−2) + 2

=−1

2×(−8)−4−5 + 2 = 4−4−5 + 2 =−3 Ainsi, le point de coordonnées (−2 ;−3 ) est le point de contact de la tangente à la courbeCf.

La formule donnant l'équation réduite de la tangente à une courbe permet d'obtenir l'équation réduite de la tangente(T):

y=f^′(−2)·[

x−(−2)]

+f(−2) y=1

2·( x+ 2)

−3 y=1

2·x+ 1−3 y=1

2·x−2

b. On a le tracé suivant :

-4 -3 -2 -1 I 2 3

-4 -3 -2 -1 2 3 4

J

O

C

Correction 7

a. La fonctionf admet pour dérivée : f^′(x) = 2·x+ 1

2·√ x

= 2·x×2·√ x 2·√

x

+ 1 2·√

x

=4·x·√ x+ 1 2·√

x b. L'expression de la fonction g est données sous la forme

du produit des fonctionsuetv dénies par : u(x) =x ; v(x) =√

x qui admettent pour dérivées :

u^′(x) = 1 ; v^′(x) = 1 2·√

x

La formule de dérivation du quotient permet d'obtenir l'expression de la fonctiong^′ dérivée de la fonctiong:

g^′(x) =u^′(x)·v(x) +u(x)·v^′(x) = 1·√

x+x· 1 2·√

x

= √

x+ x 2·√

x

=√ x×2·√

x 2·√

x

+ x

2·√ x

= 2·x 2·√ x

+ x

2·√ x

= 3·x 2·√ x

Correction 8

1. L'expression de la fonction f est donnée sous la forme du produit des fonctionsuetv dénies par :

u(x) =x+ 2 ; v(x) = e^−x+1 qui admettent pour dérivées :

u^′(x) = 1 ; v^′(x) =−e^−x+1

La formule de dérivation d'un produit permet d'obtenir l'expression de la fonctionf^′ dérivée de la fonctionf: f^′(x) =u^′(x)·v(x) +u(x)·v^′(x) = 1·e^−x+1+(

x+2)

·(

−e^−x+1)

= 1·e^−x+1+(

−x−2)

·e^−x+1=(

1 +−x−2)

·e^−x+1

= (

−x−1)

·e^−x+1=−( x+ 1)

·e^−x+1

2. La fonction exponentielle étant strictement positive sur R, le signe de la fonctionf^′ ne dépend que du signe de son facteur−(

x+1)

. Or, ce facteur admet pour tableau de signes surR:

x −∞ −1 +∞

−(x+ 1) + 0 +

On en déduit le signe de la fonctionf^′ sur[

−2 ; 4] :

x −2 −1 4

f^′(x) + 0 +

On a les images suivantes par la fonctionf: Feuille 43 - http ://s.pluot.chingatome.fr

f(−2) =(

−2 + 2)

·e^−(−2)+1= 0·e²⁺¹= 0 f(−1) =(

−1 + 2)

·e^−(−1)+1= 1·e¹⁺¹= e² f(4) =(

4 + 1)

·e⁻⁴⁺¹= 5·e⁻³

Ainsi, la fonction f admet le tableau de variations ci- dessous sur[

−2 ; 4] :

−2 −1 4

0

e²

5·e⁻³ x

Variation def

Correction 9

1. L'expression de la fonction f est donnée sous la forme du produit des fonctionsuetv dénies par :

u(x) =x²−2·x+ 1 ; v(x) = e^−2·x+6 qui admettent pour dérivées :

u^′(x) = 2·x−2 ; v^′(x) =−2·e^−2·x+6

La formule de dérivation d'un produit permet d'obtenir l'expression de la fonctionf^′ dérivée de la fonctionf: f^′(x) =u^′(x)·v(x) +u(x)·v^′(x)

= (

2·x−2)

·e^−2·x+6+(

x²−2·x+ 1)

·(

−2·e^−2·x+6)

= (

2·x−2)

·e^−2·x+6+(

−2·x²+ 4·x−2)

·e^−2·x+6

= [(

2·x−2) +(

−2·x²+ 4·x−2)]

·e^−2·x+6

= (

2·x−2−2·x²+ 4·x−2)

·e^−2·x+6

= (

−2·x²+ 6·x−4)

·e^−2·x+6

2. La fonction exponentielle étant strictement positive, on en déduit que le signe de la fonctionf^′ ne dépend que du signe de son facteur−2·x²+6·x−4. Ce polynôme du second degré admet pour discriminant :

∆ =b²−4·a·c= 6²−4×(−2)×(−4) = 36−32 = 4 On a la simplication : √

∆ =√ 4 = 2

Le discriminant étant strictement positif, ce polynôme admet les deux racines suivantes :

x1= −b−√

∆ 2·a

= −6−2 2×(−2)

= −8

−4

= 2

x2=−b+√

∆ 2·a

= −6 + 2 2×(−2)

=−4

−4

= 1

Le coecient du terme du second degré étant stricte- ment positif, on en déduit le signe de ce polynôme sur R:

x −∞ 1 2 +∞

−2·x²+6·x−4 − 0 + 0 −

Ainsi, nous obtenons le signe de la fonction f^′ sur [0,7 ; 6]

:

x 0,7 1 2 6

f^′(x) − 0 + 0 −

On en déduit le tableau de variations (sans les ordon- nées) de la fonctionf:

0,7 1 2 6

x

Variation def

Correction 10

1. Le dénominateur étant un polynôme du second degré, son discriminant a pour valeur :

∆ =b²−4ac= (−2)²−4×2×3 = 4−24 =−20<0 Ce polynôme n'admet aucune racine : le dénominateur de ce quotient ne s'annule jamais.

On a en déduit que la fonctionf est dénie pour tout nombre réel : Df =R.

2. L'expression de la fonction f est donnée sous la forme du quotient des deux fonctionsuet vdénie par :

u(x) =x²−x+ 3 ; v(x) = 2x²−2x+ 3 qui admette pour dérivée :

u^′(x) = 2x−1 ; v^′(x) = 4x−2

Ainsi, la formule de dérivation du quotient de fonctions donne l'expression de la fonctionf^′:

f^′(x) =u^′(x)·v(x)−u(x)·v^′(x) [v(x)]2

=

(2x−1)(

2x²−2x+ 3)

−(

x²−x+ 3)

×( 4x−2) (3x²+ 2x+ 1)2

=

(4x³−4x²+6x−2x²+2x−3)

−(

4x³−2x²−4x²+2x+12x−6) (3x²+2x+1)2

=

(4x³−6x²+ 8x−3)

−(

4x³−6x²+ 14x−6) (3x²+ 2x+ 1)2

= 4x³−6x²+ 8x−3−4x³+ 6x²−14x+ 6 (3x²+ 2x+ 1)2

= −6x+ 3 (3x²+ 2x+ 1)2

3. a. Le dénominateur étant strictement positif (voir question 1. ), le signe de f^′ ne dépend que de son numérateur. On a le tableau de signes suivant :

x −∞ ¹₂ +∞

f^′(x) + 0 −

b. L'image de1 par la fonctionf a pour valeur :

f (1

2 )

= (1

2 )2

−1 2 + 3 2×(1

2 )2

−2×1 2 + 3

= 1 4 −1

2+ 3 2×1

4−1 + 3

=

1−2 + 12 4 1 2 + 2

= 11

4 5 2

=11 4 ×2

5 = 11 10

On a le tableau de variations ci-dessous :

Feuille 43 - http ://s.pluot.chingatome.fr

x

Variation def

−∞ ¹

2 +∞

1 2

1

1 2

4. Ansi, la fonction f admet pour maximum 1, et atteint son maximum pourx=1

2. Correction 11

1. ( u_n)

est la suite arithmétique de premier terme2 et de raison−3. Ses premiers termes ont pour valeur :

u0= 2

u1=u0+r= 2 + (−3) =−1 u2=u1+r=−1 + (−3) =−4 u3=u2+r=−4 + (−3) =−7 2. (

vn

)est la suite géométrique de premier terme54et de raison 1

3. Ses premiers termes ont pour valeur : v0= 54

v1=q×v0=1

3×54 = 18 v2=q×v1=1

3×18 = 6 v2=q×v2=1

3×6 = 2 Correction 12

On a les cinq premiers termes de la suite( u_n)

: u0= 1

u1= 4·u0

3×0−2 = 4×1 0−2 = 4

−2 =−2 u2= 4·u1

3×1−2 = 4×(−2) 3−2 = −8

1 =−8 u₃= 4·u₂

3×2−2 = 4×(−8)

6−2 = −32 4 =−8 u₄= 4·u₃

3×3−2 = 4×(−8)

9−2 = −32 7 =−32

7 Correction 13

On a les cinq premiers termes de la suite( vn

):

v₀= 1 v₁= 3·v₀

2×0−3 = 3×1 0−3 = 3

−3 =−1 v₂= 3·v₁

2×1−3 =3×(−1) 2−3 = −3

−1 = 3 v₃= 3·v₂

2×2−3 = 3×3 4−3 = 9

1 = 9 v4= 3·v3

2×3−3 = 3×9 6−3 = 27

3 = 9 v5= 3·v4

2×4−3 = 3×9 8−3 = 27

5 Correction 14

1. On a la simplication :

u_n+1−u_n= (n+1)³−2(n+1)²−3(n+1)−(

n³−2n²−3n)

= (n+1)(

n²+2n+1)

−2(n²+2n+1)−3(n+1)−n³+2n²+3n

=(

n³+2n²+n+n²+2n+1)

-2n²-4n-2-3n-3-n³+2n²+3n

=n³+2n²+n+n²+2n+1−2n²−4n−2−3n−3−n³+2n²+3n

= 3n²−n−4

2. Etudions le signe du polynôme du second degré obtenu à la question précédente ; calculons son discriminant :

∆ =b²−4ac= (−1)²−4×3×(−4) = (−1)²−48 = 49 On a la simplication : √

∆ =√ 49 = 7

Le discriminant de ce polynôme du second degré étant positif, on en déduit les deux racines suivantes :

x1= −b−√

∆ 2a

= −(−1)−7 2×3

=−1

x2= −b+√

∆ 2a

= −(−1) + 7 2×3

= 4 3 ≈1,3

Le coecient du terme du second degré de ce polynôme étant positif, on a le tableau de signes ci-dessous :

x −∞ −1 4

3 +∞

3x²−x−4 + 0 − 0 +

Ainsi, la diérence de deux termes consécutif est positif à partir du rang2: (

un)est croissante à partir du rang 2.

Correction 15

1. Voici le tableau complété :

n 0 1 2 3 4

u_n 1 −1 −3 −13 −183

2. L'étude de la diérence de deux termes consécutifs donne :

un+1−un =(

un−un2−1)

−un=−un2−1<0 Ainsi, la diérence de termes consécutifs de la suite est négatif, on en déduit que la suite(

u_n)

est décroissante.

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