Table des matières
13 Équations de Maxwell 2
13.1Exercices d’application 2
13.1.1 Calculs de charges. . . 2
13.1.2 Densité volumique de courant et de charge, vitesse d’ensemble . . . 2
13.1.3 Calculs de courants. . . 3
13.1.4 Loi des nœuds . . . 3
13.1.5 Résistance d’un fil conducteur. . . 3
13.1.6 Induction électromagnétique. . . 4
13.1.7 Bilan d’énergie électromagnétique . . . 4
13.2Problèmes 4 13.2.1 Manipulation d’un champ électrostatique. . . 4
13.2.2 Manipulation d’un champ magnétique. . . 5
13.2.3 Champ électromagnétique instationnaire . . . 5
13 Équations de Maxwell
13.1 Exercices d’application
13.1.1 Calculs de charges
1. Soit la distribution de chargeD1 de forme sphérique, de rayonRet de centreO. Calculez la charge totaleQcomprise dans D1 si :
(a) D1 est une distribution de charge de densité volumique constanteρ0, (b) D1 est une distribution de charge de densité surfacique constante σ0,
(c) D1 est une distribution de charge de densité volumique constanteρ(r) =ρ0R−rR
2. Soit la distribution de charge D2 de forme cylindrique, d’axe Oz, de rayon R et de hauteur H comprise entre les altitudesz= 0 etz=H. Calculez la charge totale Qcomprise dans D2 si :
(a) D2 est une distribution de charge de densité volumique constanteρ0, (b) D2 est une distribution de charge de densité surfacique constante σ0,
(c) D2 est une distribution de charge de densité volumique constanteρ(z) =ρ0H−zH .
En présence d’un champ électrostatique, un agrégat de charge nanométrique peut voir le centre des charges positives des noyaux et de leur nuage électronique se séparer légèrement et former un dipôle électrostatique. On modélise l’agrégat par une sphère de rayon R et de densité surfacique de charge σ(R, θ, ϕ) =σ0cosϕoù ϕ∈[0,2π].
3. Montrez que, malgré cette distribution surfacique de charge, l’agrégat reste neutre.
Dans le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène, on approxime la densité volumique de charge associée à l’électron par
ρ(M) =Kre−r/a oùa est le rayon deBohr du noyau de l’hydrogène H.
4. Quelle est la base de projection la plus adaptée pour traiter ce problème ?
5. Quelle est l’extension spatiale du nuage électronique ? Exprimer alors la chargeq associée à la dis- tribution volumiqueρ(M), puis en déduire une expression de K en fonction de aet de e.
13.1.2 Densité volumique de courant et de charge, vitesse d’ensemble
On considère un fil de cuivre de sections= 2,5 mm2 qui support un courant continu I = 1 A.
1. Exprimer et calculer le modulej du vecteur densité volumique de courant.
2. On estime que chaque atome d’un cristal de cuivre libère 1,3 électron libre. En utilisant les données ci-dessous, établir et calculer la densité volumique de charges libresρm.
3. En déduire la vitesse moyenne des porteurs de charge.
Données :
µCu= 8960 kg·m−3 MCu = 69,5 g·mol−1
13. Équations de Maxwell 13.1. Exercices d’application
13.1.3 Calculs de courants
Soit un conducteur cylindriqueC, d’axeOz, de rayonRet parcouru par le vecteur densité de courant volumique suivant :
#”j =j0exp
−r δ
e#”z
1. Définir et exprimer l’intensitéI0 qui traverse tout section droite de ce cylindre.
2. Que devient ce résultat siδR?
Soit un conducteur C de type feuille d’aluminium, de largeur L, de longueur` et d’épaisseur e avec e `, L. On oriente cette feuille de sorte que la longueur soit sur l’axe Ox la largeur sur l’axe Oy et l’épaisseur soit sur l’axeOz. Compte-tenu de l’épaisseur négligeable deC, on modélise le vecteur densité de courant par un vecteur densité de courant surfacique
j#”s=j0e#”x
3. Définir et exprimer l’intensitéI0 qui traverse la feuille d’aluminium.
13.1.4 Loi des nœuds
On considère le schéma ci-dessous représentant une portion d’un système macroscopique conducteur dans lequel une densité volumique de courant entre par une surfaceSe, avec une valeur #”
jeet ressort selon les indications du schéma.
Se #”
je
Ss1 j#”1 j#”2
Ss2 Slat
1. Établir une relation entre les courantsie entrant enSe et i1 eti2 sortant en S1 etS2. 2. Que doit-on conclure quant à la loi des nœuds en régime transitoire ?
13.1.5 Résistance d’un fil conducteur
On modélise un fil conducteur par un cylindre d’axeOx, de longueurL, de sectionSet de conductivité γ. En régime permanent, un champ #”
E = VA−VL Bu# ”x règne dans le fil où VA (resp.VB) est le potentiel qui règne enA (resp. B).
VA
VB
O
x L
E#”
1. Exprimer le vecteur densité volumique de courant présent dans ce fil.
2. En déduire une expression du courant I en fonction de γ, S, L et U = VA−VB la différence de potentiel aux bornes du fil.
3. En déduire une expression de la résistanceR du fil en fonction de S,Letγ. 3/5
13. Équations de Maxwell 13.2. Problèmes
4. Exprimer la puissance volumique Joule cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charge.
5. En déduire la puissance Joulecédée au matériau conducteur ? 13.1.6 Induction électromagnétique
Un conducteur cylindrique, vide de charges, d’axe Oz, de rayon R et de longueur est placé dans un champ magnétique variable #”
B = B0cos (ωt)u# ”z. Pour des raisons de symétries, le champ électrique ne peut dépendre que de la variabler. On peut donc écrire
E(M) =#” Er(r)e#”r+Eθ(r)e#”θ+ +Ez(r)e#”z
1. Le champ #”
B donné vérifie-t-il la relation de Maxwell-Thomson?
2. Écrire la relation deMaxwell-Gauss. Que peut-on en déduire concernant le champ E#”? 3. Écrire la relation deMaxwell-Faraday, en déduire l’expression du champ #”
E 4. Exprimer alors le courant de conduction #”j et de déplacementj# ”D.
5. À partir de quelle valeur deω le courant jD est-il prédominant surj? Données :
En coordonnées cylindriques : – Divergence : div#”
A(r, θ, z) = 1 r
∂
∂r(rAr) +1 r
∂
∂θ(Aθ) +∂z∂ (Az).
– Rotationnel : rot# ”#”
A(r, θ, z) =1r∂ A∂θz −∂ A∂zθu#”r+∂ A∂zr −∂ A∂rzu# ”θ+ 1r∂ rA∂rθ −∂ A∂θru# ”z.
13.1.7 Bilan d’énergie électromagnétique
On considère le problème décrit dans l’exercice 13.1.6pour lequel on admettra que ( #”
E = #”
E = ωB20rsin (ωt)e#”θ B#”=B0cos (ωt)e#”z
1. Calculer la puissanceJouledissipée dans le cylindre ainsi que la puissance rayonnée par le cylindre.
2. Déduire des résultats précédents les valeurs moyennes des puissancesJoule et rayonnée.
13.2 Problèmes
13.2.1 Manipulation d’un champ électrostatique
Le champ généré par une sphère centrée en O de rayon R et contenant une charge Q uniformément répartie est le suivant :
( #”
E(r ≤R) = 4πεQ
0R3re#”r E(r#” ≥R) = 4πεQ
0r2e#”r
1. Montrez que ce champ est compatible avec les équations de Maxwell–Gauss et Maxwel–
Faraday. En déduire une expression de ρ(M).
2. Exprimer le flux de Φ de #”
E à travers la sphère de centreO et de rayon R.
3. Exprimer l’intégrale I =˝
VSdiv#”
EdV où VS est le volume de la sphère centrée enO et de rayon R, fermée par S. La comparer au résultat précédent.
13. Équations de Maxwell 13.2. Problèmes
Données :
En coordonnées sphériques : – div#”
A(r, θ, ϕ) = 1 r2
∂
∂r(r2Ar) + 1 rsinθ
∂
∂θ(sinθAθ) + 1 rsinθ
∂
∂ϕ(Aϕ) ; – rot# ”#”
A(r, θ, ϕ) = rsin1 θ∂sinθA∂θ ϕ −∂ A∂ϕθu#”r+rsin1 θ∂ A∂ϕr −1r∂ rA∂rϕu# ”θ+ 1r∂ rA∂rθ −∂ A∂θru# ”ϕ.
13.2.2 Manipulation d’un champ magnétique
Le champ magnétique généré par un cylindre infini d’axeOz, de rayonR et parcouru par un courant électriqueI uniformément réparti dans le cylindre est le suivant :
( B(r#” ≤R) = 2πRµ0I2re#”θ B(r#” ≥R) = µ2πr0Ie#”θ
1. Montrez que ce champ magnétique est compatible avec les équations de Maxwell–Ampère et Maxwel–Thomson. En déduire une expression de #”
j(M).
2. Exprimer la circulationC de #”
B le long d’un cercle d’axe Oz et de rayon R.
3. Exprimer l’intégrale Int =˜
SC
rot# ”#”
B·# ”
dS où SC est la surface de taille minimale s’appuyant surC.
Données :
En coordonnées cylindrique : – div#”
A(r, θ, z) = 1 r
∂
∂r(rAr) +1 r
∂
∂θ(Aθ) +∂z∂ (Az) ; – rot# ”#”
A(r, θ, z) =1r∂ A∂θz −∂ A∂zθu#”r+∂ A∂zr −∂ A∂rzu# ”θ+1r∂ rA∂rθ −∂ A∂θru# ”z.
13.2.3 Champ électromagnétique instationnaire
On suppose que règnent dans l’espace les champs électromagnétiques suivants : ( #”
E(M, t) =f(z)e−τtu# ”x B(M, t) =#” g(z)e−τtu# ”y
oùτ est une constante homogène à un temps etf,gdeux fonctions à déterminer. On suppose que l’espace est vide de charges et de courants.
1. Vérifier que la forme de ces deux champs est compatible avec les équations de Maxwell-Gauss etMaxwell-Thomson.
2. Montrer que l’équation de Maxwell-Faradayimpose une relation entreg(z) et f0(z).
3. Montrer que l’équation de Maxwell-Ampèreimpose une relation entref(z) et g0(z).
4. En déduire l’expression de la fonction f(z) en supposant que #”
E(z = 0, t = 0) = E0u# ”x et que le champ électrique est nul enz→+∞à tout instant.
5. En déduire la dimension deµ0ε0 ainsi que l’expression complète du champ électromagnétique.
5/5
