Cours Partie4

On souhaite donner un prix:

Meilleur classe

Critère de classement: Moyenne

Pour faire simple, on suppose que deux classes sont candidates pour ce prix et que chacune des deux classes est

composée de 10 élèves

12 13 08 07 11 09 10,5 9,5 10 10

CLASSE –A-

17 13 03 07 19 18 01 02 16 04

131

17 13 03 07 19 18 01 02 16 04

CLASSE –B- MOYENNE=10

Qui mérite de recevoir le prix? ???

Question

Est-ce que les caractéristiques de tendance centrale sont suffisantes pour identifier une valeur de F à utiliser

Tableau n ° 1

Tableau n ° 2

Les deux tableaux présentent la même moyenne arithmétique=16.97 N

Tableau n ° 2

Question: Est-ce que les deux tableaux sont identiques

Trouver une valeur qui reflète

au mieux

La dispersion des valeurs de notre échantillon

Valeur de dispersion

133

Choisir

•Série statistique

•Tableau statistique

Caractéristique de dispersion

3.2.2 Caractéristique de dispersion

•Tableau statistique

1. Etendue

2. L’intervalle inter-quartiles 3. Ecart moyen

4. Ecart type

Tableau n ° 1

20 25 30 35

Tableau n ° 2

5 10 15 20

Tableau 1 Moyenne

Tableau 2

135

Mesurer la différence qui existe entre la valeur max et min

ETENDUE

Caractéristiques de dispersion

Tableau n ° 1

Tableau n ° 2

ETENDUE=20.35-11.2=9.15 N

ETENDUE=26-10=16.0 N

Caractéristiques de dispersion

ETENDUE (Tableau 1)= 9.15 N ETENDUE (Tableau 2)= 16.0 N

ETENDUE (Tableau 2)>ETENDUE (Tableau 1)

C’est logique mais attention cette valeur peut vous fausser l’interprétation car elle se base

sur les valeurs extrêmes

137

Tableau n ° 1

Moyenne= 16.97 N et ETENDUE=20.35-11.2=9.15 N

Tableau n ° 2

Moyenne= 16.97 N et ETENDUE=26-10=16.0 N Moyenne= 16.97 N et ETENDUE=26-10=16.0 N

Tableau n ° 3

20 25 30 35

Moyenne= 16.97 N et ETENDUE=20.35-11.2=9.15 N

Tableau n ° 1

5 10 15 20

139

20 25 30 35

Moyenne= 16.97 N et ETENDUE=26-10=16.0 N

Tableau n ° 2

5

10

15

20

20 25 30 35

Moyenne= 16.97 N et ETENDUE=26-10=16.0 N

Tableau n ° 3

5 10 15 20

141

25 30 35

Tableau 1 Tableau 2 Tableau 3

5

10

15

20

L’intervalle inter-quartiles

Caractéristiques de dispersion

H = P ₇₅ − P ₂₅

0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

e

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150

143

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60

F ré q u e n c e P

= 3 7 .5 P

= 8 0

Mesurer la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne

Caractéristiques de dispersion

Estimer la différence entre

les valeurs observées Et

la moyenne

20 25 30 35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 10 15 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F

=10

F

=14,50

F

F ₁ − F ₅ − F

97 ,

= 16 F

145

Valeur de dispersion

( ^{F F} ) ( ^{F F} ) ( ^{F F} )

V = ₁ − + ₂ − + ... + ₁₀ −

Cette valeur DOIT être très petite

( ^{F F} ) ( ^{F F} ) ( ^{F F} )

V = ₁ − + ₂ − + ... + ₁₀ −

( ^{F F F F} )

V = ₁ + ₂ + ... + ₁₀ − 10

( ^{10 − 10} ) ^{= 0}

= F F

V

Valeur de dispersion

( ^{1 −} ) ( ^{+ 2 −} ) ^{+ ... +} ( ^{10 −} ) ^{= 0}

= F F F F F F

V

Cette valeur DOIT être très petite

( ^{1 −} ) ( ^{+ 2 −} ) ^{+ ... +} ( ^{10 −} ) ^{= 0}

= F F F F F F

V

Autre méthode

Or cette valeur est en fait nulle et ne peut donc mesurer la dispersion

147

Valeur de dispersion

F F

F F

F F

V = ₁ − + ₂ − + ... + ₁₀ −

Cette valeur permet d’estimer la différence

La valeur absolue est une fonction mathématique

difficilement dérivable

Valeur de dispersion

( ^{F 1 F} ) ( ^{2 F 2 F} ) ^{2 ...} ( ^{F 10 F} ) ²

V = − + − + + −

Cette valeur est toujours positif et permet d’estimer la différence entre les valeurs observées et leur moyenne

149

Mesurer la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne

Valeur de dispersion

( ) ^{et pair}

10 1

R F

F V

i

R

∑ i −

= =

Tableau statistique Série statistique

Moyenne

= ∑

= 1 i

i

n

F F ∑ ⁼

=

= ^{j k}

j

j

j F

f F

1

Écart moyen

∑  

 

−

= = 10

1

1

i i

F F F

EM n ^{∑ =} [ ]

=

−

= ^{j k}

j

j j

F f F F

EM

1

151

Tableau statistique Série statistique

Variance

( ) ^{∑ =} [ ( ) ]

=

−

= ^{j k}

j

j j

F f F F

1 2 2

( ) _∑ ( ) σ

 





 



 −

= σ = 1

2 2

i

i

F n

F F





Ecart type

σ F

Tableau statistique Série statistique

Différence d’ordre R

1 [ ] ¹

( ) ^R

n i

i

R i

R F F

V n

1

1

1 



 





 

 

−

= ∑ ⁼

= ^{j k} [ ( ) ] ^R

j

R j

j

R f F F

V

1

1

 





 



 −

= ∑ ⁼

=

153

Exercice: Déterminer l’Ecart Moyen et l’Ecart type

Limites des classes (N)

Centre Centre

de classe (N) Effectif Fréquence (%) Limite inf Limite sup

10 14 12 3 30

14 18 16 2 20

18 22 20 2 20

22 26 24 2 20

26 30 28 1 10

155

157

( )

[ ] ⁰

1

=

∑ ⁼ −

= k j

j

j

j F F

f

159

k j =

N F

F f

V

k j

j

j

j 4 . 8

1

=

−

= ∑ ⁼

=

Ecart Moyen= 4.8 N

161

Tableau n ° 1

Tableau n ° 2

( ) ( ) ^{6 . 28 ²}

1 2 2

N F

F f

k j

j

j

j − =

= ∑ ⁼

=

σ

Tableau n ° 2

( ) ( ) ^{29 . 44 ²}

1 2 2

N F

F f

k j

j

j

j − =

= ∑ ⁼

=

σ

163

1. Coefficient de variation 2. Coefficient de symétrie 3. Coefficient d’aplatissement

Coefficient de variation (noté CV)=Ecart type / Moyenne

165

Coefficient de symétrie (Cœfficient of Skewness)

( )

∑ ⁼ ( )

=

= ^{i n} −

i F

i F

F

1 n

3

1 3

η σ

( )

∑ ⁼ ( )

=

= ^{j k} −

j F

j j

F f F

1

3 3

η σ

Coefficient de symétrie (Cœfficient of Skewness)

167

Coefficient d’aplatissement (Cœfficient of Kurtosis)

généralement comparé à la valeur de 3 qui est celui de la distribution

( )

∑ ⁼ ( )

=

= ^{i n} −

i F

i F

F

1 n

4

1 4

κ σ

( )

=

i ₁ n σ F

( )

∑ ⁼ ( )

=

= ^{j k} −

j F

j j

F f F

1

4 4

κ σ

Coefficient d’aplatissement (Cœfficient of Kurtosis)

généralement comparé à la valeur de 3 qui celle d’une distribution normale

169

Exemple:

0 5 , 0 3 = − <

κ −

Exemple: La distribution normale est symétrique

171

0 2

3 = >

κ −

Les notes des étudiants

20 25 30 35 40

0 5 10 15 20

1,25 3,75 6,25 8,75 11,25 13,75 16,25 18,75