Lycée O.CH.M’SAKEN Mr. karmous. A. 3° année MATH Série d’exercices (Divisibilité dan IN )
EXERCICE 1
Déterminer les entiers naturels n tels que n + 2 divise 5n + 19 EXERCICE 2
Montrer qu’il existe un seul entier naturel n pour lequel la fraction 17
4 n
n
est entière . EXERCICE 3
Déterminer les entiers naturels a et b tels que a² - 4b² = 20 EXERCICE 4
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : i) 3 n + 3 - 44n+2 est divisible par 11 .
ii) n3 - n est divisible par 3 iii) 4n + 5 est divisible par 3 iv) 32n+1 + 2n+2 est divisible par 7 EXERCICE 5
1) Dans chaque cas trouver l’entier naturel n pour que : 2 + 11
IN - 1
n
n
;
² 3 3 n
n
IN 2) Soit n IN , n 5
a) Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 2n+7 par n + 1 b) En déduire l’ensemble des entiers n 5 tels que : ( 2n+ 7) ∧ (n +1) =5 3) Déterminer les couples ( a , b ) d’entiers naturels tels que : a + b = 168 a ∧ b = 12 EXERCICE 6
Déterminer les couples ( a , b ) d’entiers naturels tels que : a > b
a² - b² = 2004 a ∧ b = 2
EXERCICE 7
Pour tout entier naturel n , on pose a = n3 + 3n² +2n – 4 et b = n² + 2n - 1 1) Déterminer deux entiers naturels et tels que a = b( n + ) + n - 3
2) En déduire suivant les valeurs de n , le reste de la division euclidienne de a par b . 3) On suppose que n > 3 , démontrer que : a ∧ b = ( n – 3 ) ∧ 14 .
4) Déterminer les valeurs de n pour lesquelles a ∧ b = 7 . EXERCICE 8
Montrer que , pour tout entier naturel n , ( n3 - n) est divisible par 6 . EXERCICE 9
Soit a et n deux entiers naturels
1) Montrer que si a divise 5n + 31 et a divise 3n + 12 alors a divise 33.
2) Soient les entiers : x = 9a + 4 et y = 2a + 1. Montrer que x et y sont premiers entre eux . 3) Soient les entiers : α = 2n + 3 et β = 5n – 2.
Montrer que si α et β ne sont pas premiers entre eux alors α ∧ β = 19 EXERCICE 10
Soient a et b deux entiers naturels . Montrer que ( a + 2b )4 - a4 est divisible par 8 . EXERCICE 11
Soient a , b et d trois entiers naturels non nuls . i) Vérifier que a² - ( a + b )a + ab = 0
ii) En déduire que si d divise ab et ( a+ b) , alors d divise a² . EXERCICE 12
Soient a et b deux entiers naturels premiers entre eux . i) Montrer que : ( 11a + 5b) ∧ ( 13a + 6b) = 1
ii) On suppose que a > b , montrer que ( a3 – b3 ) ∧ ( a² - b² ) = a – b EXERCICE 13
1) Déterminer les entiers naturels a , b et c tels que pour tout entier naturel n on a : ( n + 2) ( an² + bn + c ) – 38 = ( 5 n3 - n )
2) En déduire que pour tout entier naturel n , ( 5 n3 - n ) ∧ ( n + 2) = ( n + 2) ∧ 38 3) Quelles sont les valeurs de d = ( 5 n3 - n ) ∧ ( n + 2)
4) Résoudre dans IN : ( 5 n3 - n ) ∧ ( n + 2) = 19 .
EXERCICE 14
Déterminer les entiers naturels a et b tels que a ∧ b = 8 et a + b = 144 EXERCICE 15
Trouver n IN* pour que ( n + 8 ) soit divisible par n et ( 3n + 24 ) soit divisible par ( n – 4 ).
EXERCICE 16
Soit a = 4n +3 et b = 5n + 2 ; n IN
1) Montrer que si l’entier d divise a et b alors d = 1 ou d = 7
2) Vérifier que ( 9, 13) est un couple solution de l’équation : 8x - 5y = 7 3) Déterminer les couples ( x , y ) vérifiant l’équation : 8x - 5y = 7 EXERCICE 17
Soit a = 11n + 3 et b = 13 n - 1 où n IN*
1) Montrer que si l’entier d divise a et b alors d divise 50.
2) Vérifier que ( 6, 27 ) est un couple solution de l’équation : 50x - 11y = 3 3) Déterminer les couples ( x , y ) vérifiant l’équation : 50x - 11y = 3 EXERCICE 18
Soit n IN
1) Déterminer : ( n + 3 ) ∧ ( n + 2)
2) Déterminer : ( n² + 3n + 2) ∧ ( n + 1 ) et ( n² + 4n + 3 ) ∧ ( n + 1) 3) Determiner : ( n² + 3n + 2) ∧ ( n² + 4n + 3)
EXERCICE 19
I] Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse
1) Si le PPCM de deux entiers naturels est un multiple de 21 alors au moins l’un deux est multiple de 21
2) Pour tout n de IN on a : ( 2n + 1) et ( 2n + 3) sont premiers entre eux . 3) Il existe deux entiers naturels a et b tel que : 5a + 20b = 49
II] Montrer par récurrence que pour tout n IN* , on a : 4n + 15n - 1 est divisible par 9 . III] Soit n IN*/ { 1 , 2 } , on considère A = n² - n + 4 et B = n + 1
1) a – Montrer que A ∧ B = B ∧ 6
b – En déduire que : A ∧ B = 3 SSI B est impaire et B est divisible par 3 c- Donner les valeurs de n pour que A ∧ B = 3
2) Pour quelles valeurs de n à – t – on A est divisible par B .
IV] Déterminer les couples ( a , b ) d’entiers naturels vérifiant : (a v b) – 3(a ∧b¿=108 10 < a ∧b < 15
EXERCICE 20
1) a - Montrer par récurrence que pour tout entier naturel p on a : ( 23p - 1 ) est divisible par 7 b – En déduire que : ( 23p+1 – 2) et ( 23p+2 – 4) sont des multiples de 7 pour tout entier naturel p 2) a – Déterminer alors , suivant les valeurs de l’entier naturel n ; les restes de la division
euclidienne de 2n par 7
b – Quel est le reste de la division euclidienne de 22012 par 7 c- les entiers (22012 – 3) et 7 sont – ils premiers entre eux ? d – l’entier (22012 – 4) est – il premier ?
3) On pose : xn = 2n + 3
yn = 2n+1 - 1 ; nIN
1i
a – Vérifier que 2xn - yn = 7
b – En déduire les valeurs de dn = xn ∧ yn et déterminer d2012
c – déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que dn = 7 .
EXERCICE 21
Soit n un entier naturel. On pose A = n4 + n² + 1
1. En remarquant que A = n4 +2 n² + 1 – n² , montrer que A peut s’écrire comme produit de deux facteurs du second degré.
2. On pose a = n² + n + 1 et b = n² - n + 1 a) Démontrer que a et b sont impairs
b) Soit d un diviseur commun à a et à b. Démontrer que d divise 2n et 2( n² + 1 ) c) Montrer que n et n² + 1 sont premiers entre eux.
d) En déduire que a et b sont premiers entre eux.
1
i
