M OTEURS SYNCHRONES À AIMANTS PERMANENTS

Mécatronique I

__________

Chapitre 4

M OTEURS SYNCHRONES À AIMANTS PERMANENTS

AC sans collecteur

E ^XERCICES

1. TENSION INDUITE 1.1 DONNÉE

Une spire se déplace au dessus d’une voie d’aimants. La spire se trouve à une hauteur telle que la distribution spatiale du champ d’induction magnétique produit par les aimants est sinusoïdale.

) sin(

)

(x B_max x

B

τp

= π _1.1

La Figure 1-1 illustre le problème

Δ

N S

2τp

0

Voie 1 N

S

S N S

N

N S

Δ

N S N S N

u

_i

N S

Voie 1 N

S

S N S

N

N S

B(x)Δ

τ_p x

0

0

h

Figure 1-1 : Spires sur une voie d’aimants

On demande de déterminer de deux manières la tension induite aux bornes de la spire.

1. Par la force de Lorentz (équilibre) : U_i =v×B⋅L 2. Par la loi d’induction de Faraday

t u_i N

∂

= ∂( φ)

2. MOTEUR ROTATIF

Soit un moteur rotatif biphasé comportant 4 aimants à magnétisation parallèle au rotor et un stator sans dent. Selon la figure ci-dessous

N

N S

S

Axemagnétique rotorique

ϑ_m

stator

Axemagnétique rotorique

Phase 2

a2 a1

b11

b13

b12

b14 b21

b23 S

b21

N

N

b24

Phase 1

S

a3 a4

Figure 2-1 : Moteur rotatif sans dents Donnée

p : Nombre de paires de pôles (couples d’aimants) φ_r : Flux produit par le rotor traversant chaque aimant N : Nombre de spires de chaque enroulement

On demande de répondre aux points suivants :

1. Dessiner les connexions entre les enroulements de chaque phase.

2. Dessiner le flux mutuel φb1a crée par les aimants au rotor couplé aux enroulements de la phase 1.

3. Déterminer les tensions induites de mouvement des phases 1 et 2 lorsque le rotor se déplace à une vitesse angulaire Ω.

4. Déterminer la force électromagnétique produite par la phase 1 lorsque les enroulements de cette dernière sont parcourus par un courant I.

5. Dessiner la représentation électrique du moteur en utilisant l’axe horizontal α^S comme axe magnétique de la phase 1 et l’axe vertical β^S comme axe magnétique de la phase 2

6. Donner l’équivalence entre les deux représentations du moteur pour le nombre de spires Neq, le flux rotorique φreq.

7. Démontrer la pertinence des équivalences trouvées au point 6 en recalculant à l’aide de la représentation électrique les tensions induites de mouvement et les forces électromagnétiques.

3. MOTEUR BIPHASÉ 3.1 DONNÉE

Soit un moteur AC synchrone à aimants permanents biphasé dont les caractéristiques principales sont les suivantes

R = 1 [Ω] : résistance de phase

L = 1⋅10^-3 [mH] : inductance propre de phase M = 0 [mH] : inductance mutuelle p = 4 [1] : nombre de paires de pôles

K_E = 0.1 [Vs/rad] : amplitude de la distribution de la cte de tension induites KT = 0.1 [N/A] : amplitude de la distribution de la cte de couple

CV = 1⋅10^-2 [Nms/rad] : cte de couple visqueux

ω = 100π [rad/s] : pulsation des courants de phases I = 15 [A] : amplitude des courants de phases

L’axe réel du référentiel tournant est confondu avec l’axe magnétique rotorique.

Pour ϑm=0, le référentiel fixe {α^S,β^S} est confondu avec le référentiel tournant {α^r,β^r}.

Le moteur est alimenté en courant en boucle ouverte.

Pour la phase 1, le courant vaut i1=Icos(ωt) et pour la phase 2, i2=Isin(ωt).

1. Déterminer la forme analytique de l’onde de couple en fonction de KT, ϑm, ω et t.

2. Calculer la vitesse de rotation Ω du moteur en supposant que le rotor suit l’onde progressive de couple crée au rotor.

Pour la position angulaire mécanique ϑm=13π/24, calculer s’il y a lieu puis dessiner les éléments suivants :

3. les axes des référentiels fixe {α^S,β^S} et tournant {α^r,β^r}

4. le phaseur, phase et amplitude, de la tension induite U_i de mouvement dans les deux référentiels,

5. le phaseur des courants de phases I_S, phase et amplitude, dans les deux référentiels, pour assurer au moteur sa vitesse angulaire Ω en tenant compte du frottement visqueux.

6. le phaseur des tensions de phases U^r à appliquer au moteur pour assurer les courants dans chaque phase du moteur.

β

^S

α

^S

10 20 30

10

20

30

4. MESURE DES CONSTANTES DE TENSIONS INDUITES ET DE FORCES 4.1 DONNÉE

Soit un moteur linéaire triphasé constitué d’une voie d’aimants et d’un chariot mobile supportant un circuit électromagnétique comprenant un circuit magnétique et des enroulements.

2

τ

p S

N

S N N

S

l_a

h_a

Figure 4-1 : Moteur linéaire biphasé la=τp = 14 mm Largeur des aimants h_a = 38 mm Hauteur des aimants Quelques transformations trigonométriques

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(

_e^e

) ( )

_e ^e

e e

e e

e e

e e

ϑ π

ϑ

ϑ π

ϑ

ϑ π

ϑ π

π ϑ π

ϑ

ϑ π

ϑ π

π ϑ π

ϑ

cos 2 sin

sin 2

cos

2cos 3 3

4 sin 3 4 sin 3 2 sin 3 2 sin sin

) 0 sin(

2sin 3 3 4 sin 3 4 cos 3 2 sin 3 2 cos sin

) 0 cos(

= +

−

= +

−

=

− +

− +

=

− +

− +

4.1

Le chariot mobile se déplace à vitesse positive constante (vers la droite). A l’aide d’un

oscilloscope, on mesure les tensions induites aux bornes de chaque phase. L’amplitude de ces tensions induites est de Ui=10V et la période de T=112ms

Les conditions initiales sont : x(0)=0, v(0)=v.

Les formes analytiques des tensions de phases valent : )

3 2 sin(

) sin(

2 1

π ϑ ϑ

−

−

=

−

=

e i i

e i i

U u

U u

1. Quelle est la vitesse linéaire v du moteur ?

2. Quelle est la constante de tension induite KE du moteur ?

3. Quelle est la constante de force K_F si le moteur travaille dans la zone linéaire de la caractéristique BH et que les pertes sont négligeables ?

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

-10 -5 0 5 10

Tensions induites de mouvement

Temps [s]

ui1,ui2,ui2 [V]

0.56 0.168

Phase 1 Phase 2 Phase 3

u_i1 u_i1 u_i1

Figure 4-2 : Tensions induites de phases

4. Calculer analytiquement, dans le référentiel fixe {α^Sβ^S}, les composantes du phaseur de tension induite ui_αS et S.

ui_β

5. Calculer analytiquement, dans le référentiel tournant {α^rβ^r}, les composantes du phaseur de tension induite ui_αr et ui_βr.

6. Pour ϑe=225°, dessiner dans le plan complexe les phaseurs représentant les tensions induites

de phases , le phaseur des tensions induites dans le

référentiel fixe{α

r r S

S i i i

i i i

i u u u u u u

u₁, ₂, ₃, _α , _β , _β , _β

Sβ^S }, S S S

i i

i u ju

u = _α + _β et le phaseur de tension dans le référentiel {α^rβ^r} . Vérifier graphiquement que la somme vectorielle des tensions de phases multipliées par 2/3 donnent le phaseur de tension induite.

r r

r i i

i u ju

u = _β + _β

β

^S

α

^S

6 10

6 10

axe magnétique phase 2

axe magnétique phase 3

axe magnétique phase 1

Figure 4-3 : Phaseurs des tensions induites

5. COMMANDE EN COURANT EN BOUCLE OUVERTE 5.1 DONNÉE

Soit un moteur linéaire triphasé donc les caractéristiques principales sont les suivantes :

K_F1(x) = −^KFsin

(

π τp ^x

)

: Distribution spatiale de la constante de force de la phase 1 KF2(x) = ^−K_F^sin

(

^{π τ}_p ^{x−2π 3}

)

: Distribution spatiale de la constante de force de la phase 2 K_F1(x) = ^−K_F^sin

(

^{π τ}_p ^{x−4π 3}

)

: Distribution spatiale de la constante de force de la phase 3 K_F = 0.5 N/A Amplitude des distributions des constantes de force

τ_p = 14mm : Pas polaire

Cv = 0.5 Ns/m : Coefficient de frottement visqueux

Ffrot = 0N : Force de frottement sec

m = 0.1Kg : Masse en mouvement

Alimentation en courant des phases du moteur

i₁ = Icos

( )

ωt : Courant dans la phase 1 i2 = I^cos

(

ωt−²π ³

)

: Courant dans la phase 2 i3 ^Icos

(

^{ωt−4π 3}

)

Courant dans la phase 3

I = 1A : Amplitude des courants de phases

1. Ouvrir le fichier Matlab (exercice_M5.m) contenant les paramètres du moteur.

2. Modéliser sous Simulink (exercice_S5.mld) le contrôle en courant du moteur linéaire, ceci en boucle ouverte. Utiliser votre fichier de simulation pour vérifier vos calculs.

3. Trouver la position d’équilibre de la partie mobile pour un courant I dans la phase 1 et I/2 dans les phases 2 et 3.

4. En utilisant le bloc « Step » faire passer, après 50ms le courant dans la phase 1 de I à -I/2, le courant dans la phase 2 de –I/2 à I et laisser le courant dans la phase 3 à

-I/2A. Trouver l’équation différentielle du mouvement et démontrer analytiquement que le moteur va se déplacer de 2τp/3 vers la droite pour atteindre une nouvelle position d’équilibre.

6. Que faut-il faire pour inverser le sens du mouvement de la partie mobile du moteur ? 7. En supposant une augmentation de la pulsation ω des sources sinusoïdales de courants

(bloc « Ramp », slope dwdt=10, déterminer la vitesse vdec pour laquelle le moteur va décrocher (attention la vitesse de décrochage correspond à l’instant ou la partie mobile subit une force électromagnétique correspondant au maximum de l’onde progressive).

8. Transformer le moteur en un moteur biphasé et transformer le système des courants triphasés en un système biphasé (transformation système triphasé → référentiel fixe {α^S, β^S}).

6. COMMANDE EN COURANT EN BOUCLE FERMÉE 6.1 DONNÉE

Soit un moteur rotatif triphasé donc les caractéristiques principales sont les suivantes :

K_T1(x) = −K_Tsin

(

pϑ_m

)

: Distribution spatiale de la constante de couple de la phase 1 KT2(x) = −K_Tsin

(

pϑ_m−2π 3

)

: Distribution spatiale de la constante de couple de la phase 2 KT1(x) = −K_Tsin

(

pϑ_m−4π 3

)

: Distribution spatiale de la constante de couple de la phase 3 KT = 1 Nm/A Amplitude des distributions des constantes de couple

p = 6 : Nombre de paire de pôles (paires d’aimants au rotor)

Cv = 0.01 Ns/rad : Coefficient de frottement visqueux Ffrot = 0Nm : Couple de frottement sec

J = 0.001kgm² : Inertie rapportée au rotor

Le capteur utilisé pour la commutation est un capteur optique contenant 20’000 incréments par tour.

1. Modifier le fichier de simulation du l’exercice 5 en ajoutant le capteur et la gestion des courants de phases (modèle triphasé du moteur de manière à contrôler les courants de phases avec deux grandeurs, soit l’amplitude des courants de phase et l’angle ϕ selon la Figure 6-1.

i(t)

X

cos() X -sin()

=

-sin(ϑ_e)

i_βr(t) i_αr(t) i₃(t)

i₂(t) i₁(t)

= x moteurlinéaire rotatif moteur p

p m

e :

:

τπ ϑ ϑ

i_αr(t)

i_βr(t)

i₁(t) i₂(t) i₃(t) ϕ

cos(ϑ_e) cos(ϑ_e-2π/3) cos(ϑ_e-4π/3)

-sin(ϑ_e-2π/3) -sin(ϑ_e-4π/3)

Figure 6-1 : Définition des courants de phase en fonction de l’amplitude et de la position relative stator

2. Calculer la résolution angulaire électrique du capteur en rad. On entend par la plus petite information mesurable par le capteur rapportée à l’angle électrique

3. Déterminer la vitesse de rotation du moteur pour un courant de 1A et un déphasage ϕ=0.

4. En maintenant le courant à 1A On aimerait avoir une vitesse deux fois plus petite que celle calculée au point précédent, déterminer la valeur du déphasage ϕ.

7. COMMANDE D’UN MOTEUR BIPHASÉ 7.1 DONNÉE

Un moteur rotatif biphasé, couplé à un capteur optique de position est monté sur un banc de test afin de mesurer ses caractéristiques.

Le moteur comporte 8 aimants soit 4 paires de pôles (p=4). Le capteur optique est constitué de 1024 traits par tour (4096 informations par tour).

Tout d’abord la phase 1 du moteur est alimentée. Le moteur après un léger mouvement de

rotation suivi d’une oscillation amortie s’arrête à une position dont la valeur donnée par la mesure de position est de 175.

1. Trouver toutes les positions d’équilibre possibles lorsque le moteur est tourné à la main en maintenant le courant dans la phase 1

2. Indiquer la plus petite position correspondant à une position instable de la phase 2 sachant que la phase 2 est en retard d’un angle de π/2 électrique sur la phase 1.

Le moteur, à vide, est entraîné à 1000t/min. A l’aide d’un oscilloscope, on mesure la tension induite de mouvement de chaque phase. Ces tensions induites sont sinusoïdales et leur valeur de crête vaut 10V

3. Donner la fréquence du signal de mesure des tensions induites 4. Donner la valeur de la constante de couple KT.

Le moteur est alimenté en courant en boucle ouverte (capteur de position non utilisé pour la création des consignes de courant). Les courants de phases, déphasés de 90° électrique l’un par rapport à l’autre, ont des formes sinusoïdales dont la valeur de crête est fixée à 3A. La fréquence de ces ondes sinusoïdales est constante, le moteur tourne à vitesse angulaire constante

5. Déterminer la valeur de la pulsation ω des ondes sinusoïdales de courant pour une vitesse de rotation constante de 6000t/min.

6. Donner la valeur du coefficient de frottement visqueux C_v provoquant le décrochage du moteur à la vitesse de 6000t/min.

Le moteur est commandé en boucle fermée (utilisation du capteur de courant pour la création des consignes de courant). La consigne de courant globale est fixée de manière à avoir un courant de crête de 2A pour chaque phase. Le moteur met 230ms pour atteindre la vitesse de 3000t/min

7. Déterminer l’inertie rapportée au rotor (inertie du rotor et du capteur optique)

8. MOTEUR LINÉAIRE EN MODE FREIN 8.1 DONNÉE

Ce problème nécessite l’utilisation de Matlab.

Un moteur linéaire biphasé est placé verticalement. Les caractéristiques de ce dernier sont les suivantes :

L = 1mH Inductance de phase

M = 0 Inductance mutuelle entre phase R = 0.5Ω Résistance de phase

KE = 5 Cte de tension induite (valeur de crête)

) cos(

) (

) sin(

) (

2 1

p E

E

p E

E

x K x

x K

x K x

x K

π π

=

−

=

xp = 14mm

Dans le but de freiner le moteur à la descente, les phases sont court-circuitées

1. Déterminer la masse maximum admissible de la partie mobile pour assurer une descente de la partie mobile à vitesse constante.

9. MODÉLISATION D’UN MOTEUR BIPHASÉ 9.1 DONNÉE

Soit un moteur rotatif biphasé disposant d’un codeur optique permettant la mesure relative de la position rotor – stator. Après traitement, la résolution de position angulaire sur un tour est de 10 bits (1024 valeurs).

Les paramètres du moteur sont les suivants.

L = 1 [mH] : Inductance de phase

R = 2 [Ω] : Résistance de phase

J = 35⋅10^-3 [kgm²] : Inertie de la partie tournante KE = 0.4 [Vs/rad] : Coefficient de tension induite KT = 0.4 [Nm/A] : Coefficient de couple

p = 4 [1] : Nombre de paires de pôles

C_V = 1⋅10^-3 [Nms/rad] : Coefficient de frottement visqueux (1^er ordre) T_frot = 0 [Nm] : Couple de frottement

En alimentation successivement la phase 1 seule puis la phase 2 seule avec des tensions positives, le moteur avance de 1/16^ème de tour (distance entre deux positions stables successives).

Les distributions des tensions induites de phase sont sinusoïdales et exemptes d’harmonique.

A l’enclenchement, la position absolue n’est pas connue car le codeur optique fournit deux signaux incrémentaux (signaux rectangulaires) déphasés d’un angle électrique de π/2.

L’initialisation de la position nécessaire aux commutations des courants dans les phases du moteur se fait en alignant les axes magnétiques du rotor et du stator par injection d’un courant dans la phase 1. Une fois les axes alignés, le compteur donnant la position relative rotor – stator est mis à zéro. Le moteur peut ensuite fonctionner en boucle fermée.

1. Créer un fichier Matlab contenant les paramètres du moteur, du capteur et de l’alimentation

2. Créer sous Simulink le modèle de l’ensemble moteur, codeur et alimentation.

3. Alimenter le moteur en tension (amplitude U=5V) en boucle fermée (utilisation du capteur pour fixer la tension de chaque phase), fixer la vitesse du moteur à 2π [rad/s] et observer le couple électromagnétique produit par les deux phases. Vérifier la valeur du couple obtenu par un calcul simplifié (inductance L négligée).

4. La tension d’alimentation est fixée à U=15V, Déterminer et simuler la vitesse que le moteur va atteindre sans charge (marche à vide) en admettant que le frottement visqueux est nul.

5. Le moteur est alimenté en courant en boucle fermée. Dans ce cas, il y a une

proportionnalité entre l’amplitude de courant et le couple électromagnétique. Le courant est fixé à 1A, fixer la vitesse du moteur à 2π [rad/s] et observer le couple

électromagnétique produit par les deux phases. Vérifier la valeur du couple obtenu par calcul.

6. Décaler le capteur d’un 1/32^ème de tour et répéter le point 3.

7. Décaler le capteur d’un 1/16^ème de tour et répéter le point 3.

8. Que ce passe-t-il si le décalage est supérieur au 1/16^ème de tour ?

9. Fixer l’amplitude du courant à 1A et en admettant qu’il n’y a pas de frottement visqueux (CV=0). Déterminer et simuler la vitesse théorique que le moteur va atteindre sans charge.

Expliquer ce qui va limiter la vitesse en pratique.

10. Faire les mêmes calculs et simulation avec un frottement visqueux tel que définit dans la donnée.

11. Donner le nombre minimum de positions que doit donner le codeur après traitement pour que le moteur puisse tourner.

1. TENSION INDUITE 1.1 CORRIGÉ

1.1.1 Par la force de Lorentz (équilibre)

La spire est constituée de deux branches actives. On peut écrire

)) (

sin(

) (

) sin(

) (

max 2

max 1

p p

p

B B

B B

τ τ π τ

π

+ Δ

= Δ

Δ

= Δ

1.1

et

v h

B h vB v u

p p

p p

p i

2)) ( cos(

2

))) (

sin(

) (sin(

) , (

max max

2

τ τ

π

τ τ π τ

π

+ Δ

−

=

+ Δ

− Δ

=

⋅ Δ

× +

⋅ Δ

×

=

Δ v B₁( ) L₁ v B ( ) L₁

1.2

Attention, B2 est compté positif vers le bas, il faut donc ajouter un signe négatif devant le produit vectoriel v×B₂(Δ)⋅L₁

B₂ V L2

L₁ B₁ V

Figure 1-1 : Force de Lorentz à l’équilibre 1.1.2 Par la loi de la tension d’induction de Faraday

La distribution spatiale du champ d’induction magnétique est donné par )

sin(

)

(x B_max x

B

τp

= π _1.3

Le flux traversant la spire prend la forme suivante :

( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛Δ+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ Δ

⎟−

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ Δ+

−

=

=

=

Δ

∫ ∫

+ Δ

Δ +

Δ

Δ

sin 2 2

cos cos

) sin(

) ( )

(

max max

max

p p

p

p p

p p

p

h B

h B

hdx x B

hdx x B

p p

τ τ

π π

τ

τ τ π

τ π π

τ

τ φ π

τ τ

1.4

Puis pour la tension induite

v h

B h t B

h t t B

v u

p p

p p

p p

p i

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛Δ+

=

∂ Δ

⎟ ∂

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛Δ+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛Δ+

∂

= ∂

∂ Δ

=∂ Δ

cos 2 2

cos 2 2

sin 2 ) 2

) ( , (

max max

max

τ τ

π

τ τ

π

τ τ

π π

φ τ

1.5

Cette relation est identique à celle trouvée au point 1.1

2. MOTEUR ROTATIF 2.1 CORRIGÉ

2.1.1 Connexion entre les enroulements de chaque phase

N

N S

S

ϑ_m

Phase2

b11

b13

b12

b14 S

b21 b21

N

N

b24 b23

S

Phase 1 (-)

Phase 1 (+)

Phase 2 (-) axe magnétique

rotorique

axe magnétique rotorique

Figure 2-1 : Moteur rotatif sans dents (connexion des enroulements)

2.1.2 Flux φb1a crée par les aimants au rotor couplé aux enroulements de la phase 1

N

N S

S

Axemagnétique rotorique

ϑ_m

Axemagnétique rotorique

b11

b13

b12

b14 S

N

N

S

Phase 1 (-)

Phase 1 (+)

Figure 2-2 : Moteur rotatif sans dents (flux crée par les aimants)

2.1.3 Tensions induites de mouvement des phases 1 et 2 lorsque le rotor se déplace à une vitesse angulaire Ω.

Le flux circulant dans chaque enroulement vaut φr. Sachant que le nombre d’enroulements est identique au nombre de pôles (nombre d’aimants, on peut écrire pour le flux totalisé crée par les aimants des phases 1 et 2

( )

(

m

)

r a

b

m r

a b

p pN

p pN

ϑ φ

ψ

ϑ φ

ψ

sin 2

cos 2

2 1

=

= 2.1

Les tensions induites de phases valent, pour une vitesse angulaire Ω du rotor

( ) ( )

( )

^Ω=

( )

^Ω

∂ =

∂

∂

=∂

∂

=∂

Ω

= Ω

−

∂ =

∂

∂

= ∂

∂

=∂

m E m

r m

m a b a

b i

m E m

r m

m a b a

b i

K p

N t p

u t

K p

N t p

u t

ϑ ϑ

ϑ φ ϑ ψ ψ

ϑ ϑ

ϑ φ ϑ ψ ψ

2 2 2

2 2

1 1 2

1 1

cos 2

sin 2

2.2

2.1.4 Force électromagnétique produit par un courant I circulant dans la phase 1

( )

( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

1 1

1 2

1 1 1

1 1 1

cos 2 2

1 2

1

sin 2 2

1 2

1

I K

I p N

p I I

F

I K

I p N

p I

I F

T

m r

m a b a m ab m

a b em

T

m r

m a b a m ab m

a b em

=

∂ =

=∂

∂ + ∂

∂

= ∂

=

−

∂ =

=∂

∂ + ∂

∂

= ∂

ϑ ϑ φ

ϑ ψ ϑ ψ ϑ

ψ

ϑ ϑ φ

ϑ ψ ϑ ψ ϑ

ψ

2.3

2.1.5 Représentation électrique du moteur

Phase 1

Phase 2

ϑ_e=pϑ_m

N S

N S

β^S

α^S Axe magnétique rotorique

Nombre de spires équivalentes pN

N_eq =2 _2.4

Angle électrique

m

e pϑ

ϑ = _2.5

Flux rotorique

r req φ

φ = _2.6

( ) ( )

(

m

)

r

(

m

req eq a b

m r

m req

eq a b

p pN

p N

p pN

p N

ϑ φ

ϑ φ

ψ

)

ϑ φ

ϑ φ

ψ

sin 2

sin

cos 2

cos

2 1

=

=

=

=

2.7

( )

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

2

1 2

1 1

1 1

1

cos 2

2 cos 1 2

1

sin 2

2 sin 1 2

1

I p N

p

I p pN

I F

I p N

p

I p pN

I F

m r

m req

eq m

a b m

ab m

a b em

m r

m req

eq m

a b m

ab m

a b em

ϑ φ

ϑ ϑ φ

ψ ϑ

ψ ϑ

ψ

ϑ φ

ϑ ϑ φ

ψ ϑ

ψ ϑ

ψ

=

∂ =

=∂

∂ + ∂

∂

= ∂

−

=

−

∂ =

=∂

∂ + ∂

∂

= ∂

2.8

3. MOTEUR BIPHASÉ 3.1 CORRIGÉ

Si pour ϑm=0, le référentiel fixe {α^S,β^S} est confondu avec le référentiel tournant {α^r,β^r}, on peut écrire pour les flux mutuels rotor – phase1 et rotor – phase 2

) sin(

) cos(

2 1

m r

Sr r

m r

Sr r

p p

S S

ϑ φ

φ φ

ϑ φ

φ φ

β α

=

=

=

=

3.1 3.1.1 Onde progressive de couple produit par le moteur

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

p t

)

I K

t p I

t N p I

i N i N

N

N i N i

T

m T

p pN K

m m r

p pN K

m m r

m r m

r

stator rotor Mutuels

ar m r ar

m r

rotor stator Mutuels

m r m

r em

m m

T m

r m T

ω ϑ

ϑ ω ϑ ω φ

ϑ ϑ φ

ϑ φ ϑ

φ

ϑ θ θ φ

ϑ φ ϑ

φ ϑ

φ

ϑ φ ϑ ϑ

φ ϑ

−

−

=

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ +∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

=

−

=

−

−

sin

sin sin cos cos

2 1 2

1 2

1 2

1

cos sin

2 2 1

1

2 1

2 2 1

1

2 1

4 4 3 4

4 2 1 4

4 3 4

4 2 1

4 4 4 3 4

4 4 2 1

4 4 4 4 3 4

4 4 4 2 1

3.2

3.1.2 Vitesse de rotation Ω du moteur

Si le rotor suit l’onde progressive de couple, le rotor est soumis à un couple constant, On peut donc écrire

( )

( )

0 sin

=

∂ −

−∂ Ω

∂ =

−∂

∂

=∂

∂

−

⇒ ∂

=

−

ω ω ω

ϑ ω

ϑ ω ϑ

t t t p

t t

p t

t p

cte t p

m m

m

3.3

et par conséquent

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂

= ∂

Ω ω ω

t t p

1 3.4

(

0 100

)

25 [ ] 4

1 + π = π rad s

=

Ω _3.5

3.1.3 Référentiels fixe {α^S,β^S} et tournant {α^r,β^r} Voir page suivante

3.1.4 Phaseur de tension induite dans le référentiel tournant {α^r,β^r}

( ) ( )

( ²)

) sin(

) cos(

) cos(

) sin(

) sin(

) cos(

π ϑ ϑ

α β α β

ϑ ϑ

ϑ ϑ

φ

ϑ ϑ φ

ϑ ϑ φ

ϑ ϑ

φ ϑ

φ φ φ

Ω +

= Ω

=

+ Ω

= +

− Ω

=

⎟⎟Ω

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

⎟∂

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

m m

E

S S S S

S

p j E jp

E

m m

E m

m K

r

m m r

m m r

m m

Sr m

Sr Sr Sr

i

e K e

jK

p j p

jK p

j p

pN

p j N

p N

t N

N j t

N t j

N

3 2 1 U

3.6

( ) ( )

[V]

6.798 925

. 3 85

. 7 25

1 .

0 e^{j /6 2} e^{j2 /3} j

i^S = ⋅ π⋅ ^{π +π} = ^π =− +

U 3.7

( ϑ π 2) ϑ π2

ϑ j

i jp p

j E jp

i

i^r =U^Se^{− m} =K Ωe ^m+ e^{− m} =Ue

U _3.8

] [ 85 . 7 0 25

1 .

0 e^{j 2} j V

i^r = ⋅ ⋅π⋅ ^π = +

U _3.9

3.1.5 Phaseur des courants de phases I _S

A vitesse de rotation constante, le couple de frottement visqueux est identique au couple

électromagnétique produit par le moteur. On peut donc calculer la phase ωt du phaseur de courant par rapport au référentiel tournant {α^r,β^r}

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛ Ω

⎭ =

⎬⎫

−

−

= Ω

=

I K p C

t t p

I K T

C T

T v m

m T

em v

r arcsin

)

sin( ω ϑ

ω

ϑ ^3.10

[rad]

3 15

1 . 0

25 10 arcsin 1 6

2 π π

ω π ⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅ + ⋅

= ⁻

t _3.11

] [ 13 5 . 7

15e ³ j A

Ie

I_S = ^jωt = ^jπ = + _3.12

Pour le référentiel tournant

( ) ( )

] [ 5 . 7 13

15e ^{6 3} j A

Ie e

Ie e

I

I_r = _S ^−jpϑm = ^{jωt −jpϑm} = ^j−pϑm+ωt = ^{j−π +π} = + _3.13 3.1.6 Phaseur des tensions de phases

( )

S

i

S U R j L I

U = ^S + + ω _3.14

( ) ( )

(

^{S S S}

)

S S

S

S S S

S S S

RI LI U

j LI RI

U

jI I L j R jU

U jU U

U

i i

i S i

β α β

β α

α

β α β

α β α

ω ω

ω + +

+

− +

=

+ +

+ +

= +

=

3.15

(

^{6.8 0.1 7.5 1 13}

)

^{-0.53 j22.15[V]}

13 1 . 0 5 . 7 1 95 .

3 + ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ = +

−

= π j π

U_{S 3.16}

β^S

α^S

10 20 30

20 30

α^S β^S

-3.925

-6.789

13

7.5 7.5 13

jωL I U R I

I

4. MESURE DES CONSTANTES DE TENSIONS INDUITES ET DE FORCES 4.1 CORRIGÉ

4.1.1 Vitesse du moteur

L’angle électrique peut être exprimé à l’aide du temps t et de la période électrique T des tensions induites de phases

x T t _p

e τ

π ϑ = 2π =

4.1

En dérivant par rapport au temps la relation ci-dessus, on obtient :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

= ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

∂

∂ x

t t T t

t _p

e

τ π π

ϑ 2

4.2

et par conséquent :

] [ 25 . 10 0 112

10 14 2 2

2

3 3

s T m

t v x t

x T

p p

⋅ =

⋅

= ⋅

∂ =

=∂

∂ ⇒

= ∂ τ ₋⁻

τ π

π 4.3

4.1.2 Constante de tension induite K_E

La tension induite est liée à la vitesse par la relation suivante

K T v K

U_{i E E} 2τ^p

=

= 4.4

par conséquent

] / [ 10 10 25

1 10 112

10 14 2

2 1 ₃

3 3

rad U Vs

K T

i p E

−

−

− = ⋅

⋅

⋅

= ⋅

= τ

4.5

4.1.3 Constante de tension induite KF

Comme on l’a vu au cours, pour un système linéaire sans perte, on a

E

F K

K = _4.6

4.1.4 Composantes du phaseur de tension induites dans le référentiel fixe {α^Sβ^S} A partir de la relation matricielle

( ) ( )

( ) ( )

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

⎥⋅

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

) 3 4 sin(

) 3 2 sin(

) sin(

3 4 sin 3 2 sin 0

3 4 cos 3 2 cos 1

3 2 ) (

) ) (

(

π ϑ

π ϑ ϑ π

π

π π

β α

e i

e i

e i

i i i

U U U t

u t t u

u

S S

S 4.7

On peut écrire

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

^⎥_⎦^⎤

⎢⎣

⎡

+

= +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− −

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− +

−

− +

−

− +

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

2 sin

2 cos

cos sin

3 4 sin 3 4 sin 3 2 sin 3 2 sin

3 4 sin 3 4 cos 3 2 sin 3 2 cos sin

3 2 ) (

) (

π ϑ

π ϑ ϑ

ϑ

π ϑ π

π ϑ π

π ϑ π

π ϑ π

ϑ

β α

e e i e e i

e e

e e

e i i

i

U U

t U u

t u

S S

4.8

4.1.5 Composantes du phaseur de tension induites dans le référentiel tournant {α^rβ^r} Pour passer du référentiel fixe {α^Sβ^S} au référentiel tournant {α^rβ^r}, on utilise la relation

e S r

j i

i u e

u = ^{− ϑ} 4.9

ou sous forme matricielle

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

^⎥_⎦^{⎤= ⎢}_⎣^{⎡ ⎥}_⎦^⎤

⎢⎣

⎡

−

−

− −

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⎥ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− −

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

1 0 cos

cos sin

sin

cos sin

sin cos

cos sin cos

sin

sin cos

) (

) ( cos

sin

sin cos

) (

) (

i e e

e e

e e

e e i

e e e

e

e e

i e

e

e e

U U

t U t t

t

S S

r r

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ

ϑ ϑ

φ φ ϑ ϑ

ϑ ϑ

φ φ

β α β

α

4.10

Le résultat est logique puisque le phaseur de tension induite dans le référentiel tournant {α^rβ^r} est en avance de π/2 sur l’axe magnétique rotorique (perpendiculaire au vecteur flux)

4.1.6 Phaseur des tensions induites dans le plan complexe pour ϑe=225°

Valeurs des tensions induites de phases pour ϑe=225° ou en radian ϑe=π+π/4=5π/4

] [ 59 . 2 ) 3 4 4 / 5 sin(

10 ) 3 4 sin(

] [ 65 . 9 ) 3 2 4 / 5 sin(

10 ) 3 2 sin(

] [ 07 . 7 ) 4 / 5 sin(

10 ) sin(

3 2 1

V U

u

V U

u

V U

u

e i i

e i i

e i i

=

−

−

=

−

−

=

−

=

−

−

=

−

−

=

=

−

=

−

=

π π

π ϑ

π π

π ϑ

π ϑ

Pour les composantes du phaseur de tension induite dans le référentiel fixe {α^Sβ^S}

( ) ( )

( )

10cos

(

5 /4

)

7.07[ ] cos

] [ 07 . 7 4 / 5 sin 10 sin

V U

u

V U

u

e i i

e i i

S S

−

=

=

=

=

−

=

−

=

π ϑ

π ϑ

β

α 4.11

Pour les composantes du phaseur de tension induite dans le référentiel fixe {α^rβ^r}

] [ 10 0

V U

u u

i i i

r r

=

=

=

β

α 4.12

rβ

α^S

6 10

6 10

β^S

rα

ϑe=5π/4

Axe magnétique Phase 2

Axe magnétique Phase 3

Axe magnétique Phase 1

-7.07

ui1 7.07

ui2 ui3 uiα

uiβ ui

Figure 4-1 : Phaseurs des tensions induites

5. COMMANDE EN COURANT EN BOUCLE OUVERTE 5.1 CORRIGÉ

5.1.1 Fichier Matlab

Le fichier Matlab est le suivant :

close all, clear all, clc;

%---

% Les moteurs AC synchrones à aimants permanents

% Chapitre 4, exercice 5

% Moteur triphasé en boucle ouverte

% Auteur : Marc Correvon

% Date : 20 mai 2005

% Modification : néant

%---

% Paramètres du moteur

KF=0.5; % amplitude de la distribution de la cte de couple

m=0.1; % masse

Taup=0.014; % dimension d'un pôle (largeur d'un aimant CV=0.5; % coefficent de frottement visqueux

Ffs=0; % frottement sec

I=1; % amplitude des courants de phases

dwdt=10; % variation linéaire de la pulsation électrique des courants de phases

%Ouverture du fichier de simulation et configuration de Simulink

%---

exercice_S5 % ouverture du fichier exercice_S3.mld Tinitial=0; % temps initial pour la simulation

Tfinal=20; % temps final pour la simulation

Solver='ode45'; % algorithme numérique ode45 (Dormand-Prince)

MaxStep=1e-4; % pas de calcul maximum

options=simset('Solver',Solver,'MaxStep',MaxStep); % activation des options de simulation sim('exercice_S5',[Tinitial Tfinal],options); % activation de la simulation

Les paramètres de simulation sont définis dans le fichier Matlab. Si la simulation est lancée dans Simulink, les paramètres utilisés seront ceux définis dans Simulink. (Simulation → Configuration Parameters … → Solver).

5.1.2 Fichier Simulink

Le fichier Simulink est le suivant :