Liste 39

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 39

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths Exercices

1

Exercice 1 :

1) déterminer tous les entier n tel que n divise n+21 2) déterminer tous les entier n tel que n-2 divise n+13.

Exercice 2 :

1) Déterminer les restes modulo 5 de -3, 28, -12, -123.

2) Déterminer les restes possibles d’un entier n par 11.

Exercice 3 :

Soient deux entier x et y tel que ^x^^{2 7}

 

^{et y}^^{5 7}

 

; déterminer les restes modulo 7 de : x+y ; x-y ; xy ; x³ ; x²+y

Exercice 4 :

Soient x et y deux entiers tel que ^x^^{3 5}

 

^{et y}^{ }^{2 5}

 

; déterminer les restes modulo 5 de : 2x-y ; 3x²-13 ; -x²+5xy-7

Exercice 5 :

1) discuter suivant les valeurs de l’entier naturel k le reste modulo 7 de 2^k. 2) déterminer l’ensemble des entiers naturel n tel que ²ⁿ ^^{2 7}

 

^.

Exercice 6 :

1) discuter suivant les valeurs de l’entier naturel k le reste modulo 7 de 5^k . 2) résoudre dans IN : ⁵ⁿ^^{3 7}

 

^.

Exercice 7 :

Déterminer le reste modulo 13 de : 66¹²¹; 90¹⁵⁹ ; (-129)²¹⁰. Exercice 8 :

a) déterminer le reste modulo 7 de 93⁵²¹. b) Déterminer le reste modulo 7 de 110²²⁰. Exercice 9 :

a) déterminer le reste modulo 13 de 4³.

b) Discuter suivant les valeurs de l’entier naturel k, le reste modulo 13 de (-4)^k.

c) Déterminer le reste modulo 13 de 121³⁵⁵. Exercice 10 :

Soit n un entier.

a) déterminer les restes modulo 5 possible de 2n².

b) déterminer les restes modulo 7 possible de n³-2.

Exercice 11 :

a) trouver le reste modulo 5 de 8²⁰⁰⁷. b) Trouver le reste modulo 7 de 33³⁸. c) Trouver le reste modulo 5 de 2917⁵⁴¹. Exercice 12 :

Déterminer le reste modulo 5 de 35 . 487²⁰⁰+42 . 523¹⁰⁰-224.

a) déterminer le reste modulo 7 de 1976⁵⁷.

b) Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que ¹⁹⁷⁶ⁿ ^^{4 7}

 

^.

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Exercice 13 :

Déterminer le reste modulo 12 de 1234⁵⁶⁷+89¹⁰¹¹. Exercice 14 :

a) en remarquant que 999=27.37, montrer que pour tout entier naturel n on a : ¹⁰³ⁿ^^{1 37}

 

^.

b) En déduire le reste modulo 37 de 10¹⁰+10²⁰+10³⁰. Exercice 15 :

a) démontrer que pour tout entier naturel p, le entiers 3^p et 3^p+6ont le même reste modulo 7.

b) Montrer que quel que soit l’entier naturel n, les entiers 2103ⁿ et 3ⁿont le même reste modulo 7. déterminer n pour que ce reste soit égal à 5.

Exercice 16 :

a) déterminer le reste modulo 5 de 7⁴⁵.

b) Montrer que quel que soit l’entier naturel n, l’entier 16 . 7²ⁿ-28 . 3²ⁿ⁺³ est divisible par 5.

Exercice 17 :

Déterminer, suivant les valeurs de l’entier n, le reste modulo 11 de l’entier 10²ⁿ⁺⁴-2 . 10ⁿ⁺²+1.

Exercice 18 :

a) déterminer, pour tout entier naturel n, le reste modulo 3 de 2ⁿ. b) déterminer pour tout entier naturel n, le reste modulo 3 de 275423ⁿ. c) déterminer l’ensemble des entiers naturel n tels que 275423ⁿ+372121ⁿ

soit divisible par3.

Exercice 19 :

Déterminer l’ensemble des entier naturels n tels que ⁵²ⁿ^{ }⁵ⁿ ^{0 13}

 

Exercice 20 :

Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, l’entier 5ⁿ+5n+1 est-il divisible par 6 ?

Exercice 21 :

a) déterminer le reste modulo 13 des qyatre premières puissances de 5.

b) En déduire que pour tout entier naturel n ≥ 1, l’entier naturel 31⁴ⁿ⁺¹+18^4n-1 est divisible par 13.

Exercice 22 :

a) déterminer les entiers n tels que ⁿ³^{ }^{1 0 7}

 

b) déterminer les entiers n tels que ⁿ³^{ }^{1 0 7}

 

c) montrer que pour tout entier n, l’entier (n³+1)(n³-1)est divisible par 42.

Exercice 23 :

a) comment faut-il choisir l’entier naturel n pour que l’entier ²ⁿ^{ }^{1 0 9}

 

^?

b) déterminer l’ensemble des couples (x,y) d’entiers naturels pour lesquels :^{2 11}^x ^y ^^{1 9}

 

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Exercice 24 :

Résoudre dans :

       

2x3 7 ; 3x 2 5 7 ; x² 1 7 ; x² 2 2 7

Exercice 25 :

Déterminer tous les entiers x et y tel que ^xy^{ }^{3 5}

 

Exercice 26 :

Résoudre dans :

   

² 3 1 3 5 ; ² 2 3 1 5

x   x x  x 

Exercice 27 :

1) démontrer la proposition suivante :pour tout nIN ; ¹⁷⁴ⁿ^¹^^3.9²ⁿ^^{0 5}

 

2) a)démontrer la proposition suivante : pour tout nIN ;

 

2 1 3 1

3ⁿ^ 2.4ⁿ^ 0 11

b) déterminer l’ensemble des entier a tels que ; ³²ⁿ^¹^^a^.4³ⁿ^¹^^{0 11}

 

Exercice 28 :

déterminer l’ensemble des entiers naturels n tel que :

 

5 2 0 5 2 3 0 5

n

n n

  



 



Exercice 29 :

a) déterminer les entiers naturel n tels que ^2.3ⁿ^{ }^{3 0 11}

 

b) résoudre dans IN ; ⁵⁶ⁿ^{  }⁵ⁿ ² ^{0 7}

 

^.

c) Résoudre dans Z : ⁿ³^^{3 ² 2}ⁿ ^{ }^{0 7}

 

^.

Exercice 30:

Déterminer le reste modulo 31 de 21³⁰-5.21¹²⁰