D OCTEUR de l’U NIVERSITE DE T ECHNOLOGIE DE T ROYES

(1)

(2)

THESE

pour l’obtention du grade de

D OCTEUR de l’U NIVERSITE DE T ECHNOLOGIE DE T ROYES

Spécialité : OPTIMISATION ET SURETE DES SYSTEMES

présentée et soutenue par

Amadeu ALMEIDA COCO

le 6 octobre 2017

Robust Covering Problems:

Formulations, Algorithms and an Application

JURY

M. S. ALBERTO URRUTIA PROFESSOR ADJUNTO Président M. C. DA CRUZ CARNEIRO RIBEIRO PROFESSOR - HDR Rapporteur

M. C. DUHAMEL MAITRE DE CONFERENCES Examinateur

M. T. FERREIRA DE NORONHA PROFESSOR ADJUNTO Directeur de thèse M. P. MICHELON PROFESSEUR DES UNIVERSITES Rapporteur M. C. PRINS PROFESSEUR DES UNIVERSITES Examinateur Mme A. C. SANTOS MAITRE DE CONFERENCES - HDR Directrice de thèse

(3)

(4)

��

(5)

��

� ��

��

(6)

� ��

��

(7)

(8)

��

� ��

��

� ��

��

� ��

��

(9)

(10)

��

(11)

(12)

��

(13)

(14)

��

(15)

(16)

��

�� T = 0.1× |M|� � � � � � � � � � ��

��

(17)

(18)

��

�� M = 4 �� N = 9� ��

��X^∗ ={1,3} ��

�� M = 4� N = 9 �� T = 2� ��

�� X^∗ ={2,4} ��

�� M = 4 ��

N = 9� �� X = {1,3} �� s ��

�� s� �� X^∗ ={2,4}� ��

��

�� M = 4 ��

N = 9� �� X ={1,3} �� s(X) ��

�� X = {1,3}� �� s(X)� �� X^∗ ={2,4}�

��

�� M = 4�N = 9

�� T = 2� �� X ={1,3} �� s ��

�� s� �� X^∗ ={2,4}� ��

��

�� M = 4�

N = 9 �� T = 2� �� X = {1,3} ��

s(X) �� X = {1,3}� �� s(X)� ��

X^∗ ={2,4}� ��

��

(19)

��

�� T = 0.1× |M|� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��

�� T = 0.2× |M|� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��

�� T = 0.3× |M|� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� T = 0.1× |M|� ��

�� T = 0.2× |M|� ��

�� T = 0.3× |M|� ��

�� T = 0.1× |M|� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� T = 0.2× |M|� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� T = 0.3× |M|� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� T = 0.1×|M|� ��

�� T = 0.2×|M|� ��

�� T = 0.3×|M|� ��

��

(20)

��

� ��

��

� ��

��

� ��

��

(21)

��

� ��

��

� ��

��

(22)

��

�

(23)

��

� ��

��

� ��

��

�� j ��

�� [l_j, u_j]� �� 0 ≤ l_j ≤ u_j� ��

��

� ��

�� j �� [lj, uj]�

��

�� T� ��

��

�� T ��

��

(24)

�

��

• ��

��

• ��

��

• ��

��

• ��

��

• ��

��

• ��

��

(25)

(26)

��

�� {aij} �� N ��

M� �� j ∈ M �� cj ≥ 0� ��

�� X ⊆ M ��

�� N �� X� ��

��

�� {aij}� ��

{1,3}� �� 9�

��

�� {a_ij} ��

�� N �� M� �� j ∈M ��

�� bj ≥0� �� T <|M|� �� X ⊆M�

�� |X|≤ T ��

��N �� X� ��

��

�

(27)

� � � �

� � �

cj � � � �

�� M = 4 �� N = 9� ��

��X^∗ ={1,3} ��

�� {aij}� �� T = 2�� {2,4}��

��

� � � �

� � �

bj � � � �

�� M = 4� N = 9 �� T = 2� ��

�� X^∗ ={2,4} ��

��

(28)

��

�� N� M �� {aij}��

[lj, uj] ��

j ∈ M� �� s ∈ S �� c^s_j ∈ [lj, uj] ��

�� j ∈ M� �� S ��

�� S� ��

�� X ⊆M� ��

N �� X� ��

��

�� Γ ��

�� ω^s(X) = �

j∈Xc^s_j �� X ∈Γ��

�� s ∈ S� �� c^s_j �� j ∈ M �� s� �� ρ^s(X) ��

� �� X ∈ Γ �� s ∈S �� ω^s(X) ��

ω^s(Y^s)� �� Y^s �� s� ��

X �� Y^s �� s ��

�� X^∗� ��

X^∗ =��min

X∈Γmax

s∈S

�ω^s(X)−ω^s(Y^s)�

��

�� X ={1,3} �� s ∈S ��

�� Y^s={2,4} �� X ��s ��ω^s(X)−ω^s(Y^s) = 1�

�� ω^s(X) = 7 + 4 = 11 �� ω^s(Y^s) = 7 + 3 = 10� ��

��

�� S� �� X ∈ Γ� �� s(X)� �� X ��

��

�� s(X) ��

�� c^s(X)_j =uj� �� j ∈X� �� c^s(X_j ⁾=lj� �� j ∈M\X� �� s(X)

�� X ��

��

(29)

� � � �

� � �

[lj, uj] ��

��

� � � �

� � �

c^s_j � � � �

��

�� M = 4 ��

N = 9� �� X ={1,3}�� s ��

�� s� �� X^∗ ={2,4}� ��

�� X = {1,3} �� s(X) ��

�� Y^s(X) = {2,4} �� X �� s �� ω^s(X⁾(X)− ω^s(X)(Y^s(X)) = 3� �� ω^s(X)(X) = 8 + 4 = 12�� ω^s(X⁾(Y^s(X)) = 3 + 6 = 9� ��

��

� � � �

� � �

[lj, uj] ��

��

� � � �

� � �

c^s_j � � � �

��

�� M = 4 ��

N = 9� �� X = {1,3} �� s(X) ��

X={1,3}� �� s(X)� �� X^∗ ={2,4}� ��

D OCTEUR de l’U NIVERSITE DE T ECHNOLOGIE DE T ROYES

THESE

D OCTEUR de l’U NIVERSITE DE T ECHNOLOGIE DE T ROYES

Amadeu ALMEIDA COCO

Robust Covering Problems:

Formulations, Algorithms and an Application

JURY

������ ������� ����

������ �������� ���������

������������� ���������� ���

�����������

��������� ������ ������� ������� ������ �������� ��

��������

���� ���������

������� ����

���������������

������

��������

���� �� �������

���� �� ������

��������

������� �

������������

������� �

������ �������� ��������

��� ������������� ������������

��� ��� ������� ������ ����

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��