ESSEC Ann´ee universitaire : 2006/2007
STATISTIQUE TD N0 3
S´erie statistique `a deux caract`eres
Exercice 1
Soient deux variables X et Y observ´ees sur une population statistiques donn´ees, a et b deux constantes non nulles, etN le nombre total d’individus. Montrer que:
• Cov(X, Y) = N1 PN
i=1xiyi−X Y
• Cov(X, X) =V(X)
• Cov(X, Y) =Cov(Y, X)
• V(X) = N1 PN
i=1x2i −X 2
• V(X+Y) = V(X) +V(Y) + 2Cov(X, Y)
• V(X−Y) =V(X) +V(Y)−2Cov(X, Y)
• V(aX+b) =a2V(X)
Exercice2
Le tableau suivant fournit, d’une mani`ere individualis´ee, 8 observations sur deux variables X etY :
xi 3 4 5 6 7 8 9 10
yi 21 22 15 14 10 8 4 2
1. Repr´esenter le nuage de points. Quel type de relation peut-on retenir entre les deux variables?
2. On suppose que la relation entre les deux variables est lin´eaire du type : Y =aX+b, le probl`eme est alors de d´eterminer a etb par la m´ethode des moindres carr´es.
2.1 Donner le principe de cette m´ethode.
2.2 Pr´eciser la quantit´e `a minimiser selon le principe mentionn´e plus haut.
1
2.3 Montrer que les solutions du probl`eme de minimisation par rapport `a a et b sont :
ˆ
a= Cov(X, Y)
V(X) et ˆb = ¯Y −ˆaX¯
3. D´eterminer l’´equation de la droite d’ajustement lin´eaire puis tracer cette droite sur le mˆeme graphique.
4. Calculer le coefficient de d´etermination R2 puis interpr´eter.
Exercice3
Dans un grand march´e de livres, on veut ´etudier la liaison entre le nombre de visiteurs (variable X), et le chiffre d’affaires total r´ealis´e (variable Y exprim´ee en 104 dinars). Les donn´ees sont pr´esent´ees dans le tableau ci-dessous dans lequel les effectifs partiels nij repr´esentent le nombre de jours o`u le march´e a r´ealis´e le chiffre d’affaire yj.
X\Y [0,2] [2,4] [4,8]
100 2 3 1
200 3 4 5
300 2 3 4
400 1 2 0
1. Quel est la nature des variables ´etudi´ees?
2. Donner les distributions marginales puis calculer leurs moyennes et leurs ´ecart types.
3. Donner la distribution du chiffre d’affaires dans les jours o`u il a eu moins de 200 visiteurs, puis calculer sa moyenne et sa variance.
4. Donner la distribution du nombre de visiteurs dans les jours o`u le chiffre d’affaires est entre 0 et 2 x 104 dinars.
5. Calculer la covariance et le coefficient de corr´elation lin´eaire de la distribution jointe du couple (X, Y) puis interpr´eter.
2
