Optimisation robuste d’un système d’énergie hybride autonome

(1)

Optimisation robuste d’un système d’énergie hybride

autonome

Alain Billionnet

(ENSIIE-CEDRIC)

Marie-Christine Costa

(ENSTA-CEDRIC)

Pierre-Louis Poirion

(CNAM-ENSTA-CEDRIC)

(2)

1. Systèmes à énergie hybride 2. Le problème sans incertitude

2.1 Le problème

2.2 Résolution du problème 3. Incertitude sur la demande

3.1 Formulation du problème 3.2 Une approche optimiste

3.3 Etude du problème dit de recours 3.4 Résolution du problème

4. Résultats et perspectives

(3)

1. Système d’énergie hybride

Bus de

communication communication

(4)

Cas 1 : Excès d’énergie produite

bus de

charge

(5)

Cas 2 : Energie produite insuffisante

bus de

décharge

demande

(6)

Cas 3 : Energie produite insuffisante

bus de

décharge

(7)

2. Le problème sans incertitude

incertitude

(8)

2.1 Le problème

•Combiens d’éoliennes,

de panneaux solaires,

d’éléments dans la batterie?

• Dans le but de répondre à une demande

• A moindre coût

= coût d’investissement+coût de fonctionnement

(9)

T nombre de périodes t: [t-1,t], t=1,…,T demande pour la période t

coût d’une éolienne

nombre maximum d’éoliennes

énergie produite par une éolienne lors de la période t (kW.h)

Les données du modèle

énergie produite par une éolienne lors de la période t (kW.h)

coût d’un panneau solaire

nombre maximum de panneaux solaires

énergie produite par un panneau lors de la période t (kW.h)

coût d’1 kW.h fourni par le générateur auxiliaire

(10)

énergie minimale = charge initiale 0

capacité: CAP

décharge maximale par périodes E

^b.out

charge maximale par périodes E

^b.in

rendement g

(11)

Variables

Variables de décision:

x

b

x

s

x

w

nombre d’éléments dans la batterie nombre de panneaux solaires

Nombre d’éoliennes

x

Nombre d’éoliennes Variables d’exploitation:

in

et out

et

aux

et bat

et

énergie chargée dans la batterie au cours de la période t énergie déchargée dans la batterie au cours de la période t énergie présente dans la batterie à la fin de la période t quantité d’énergie produite par le générateur au cours de t

(12)

(LP)

1

min

1,..., :

( )

T

w w s s b b aux aux

t t

w w s s out in aux

t t t t t t

bat bat out in

Cost x Cost x Cost x Cost e

t T

E x E x e e e D

e e e e





  

 

    

  



N ,

,

max max max





b s

w

b b

s s

w w

x x

x

N x

N

1

x

0 0 0

t t t t

in b in

t

out b out

t

bat b

t

e e e e

e x E

e x CAP





 

 

(13)

Pour des valeurs fixées de x

^w

, x

^s

et x

^b

1

min

1,..., :

T

aux aux t t

Cost e

t T



 



facile

à résoudre:

2.2 Résolution du problème

1

0 0 0

out in aux w w s s

t t t t t t

t t t t

in b in

t

out b out

t

bat b

t

e e e D E x E x

e e e e

e x E

e x CAP





    

  

 

à résoudre:

O(T)

(14)

Complexité de (LP)

(LP)

possède un nombre fixé de variables entières (x^w, x^s ,x^b )

(LP)

est polynomial (c.f. Lenstra 1983)

On propose un algorithme résolvant

(LP)

^en

3

2 max 2 max 2 max

(log (

^b

) log (

^w

) log (

^s

) )

O N N N T

(15)

3. Incertitudes sur la demande

Programmation linéaire avec recours

* Pas de description probabiliste de l’incertitude

* ≠ différent de l’approche stochastique

(16)

Incertitudes sur la demande

D = ensemble des scénarios de demande

Problème:

Déterminer la taille du parc telle que le coût total impliqué par le pire scénario possible

pour ce parc soit minimal.

(17)

(LP)

1

min

1,..., :

( )

T

w w s s b b aux aux

t t

t t t t t t

Cost x Cost x Cost x Cost e

t T

E x E x  e e e D



  

 

    



N ,

,

max max max





b s

w

b b

s s

w w

x x

x

N x

1

0 0 0

t t t t

in b in

t

out b out

t

bat b

t

e e e e

e x E e x E

e x CAP





 

 

(P^e)

(P^x)

(18)

(PROB)

T

b b s

s w

w

x Cost x Cost x

x Cost P

x





min

optimisation en 2 étapes

3.1 Formulation du problème

(PROB)

e

t aux

t in

t out

t s

s t w

w t

T t

aux t aux

P e

t D

e e

e x

E x

E

e Cost

e D















 



) (

1

min max



D

(19)

(PROB)

T

b b s

s w

w

x Cost x Cost x

x Cost P

x







min max

min

optimisation en 2 étapes

variables de

e

t aux

t in

t out

t s

s t w

w t

T t

aux t aux

P e

t D

e e

e x

E x

E

e Cost

e D















 



) (

1

min max

 D

variables de décision

variables de recours

(20)

 

 ^D ^D

t

^D

t

^D

t t

^t ^T 

m

:  ,   ,  1 ,...,







^

D

D = ensemble des scénarios

t t t t

D  D   z 0   z

_t

1 pire scénario:

→ se ramène à un cas déterministe

→ trop prudent

t D

D

t



t

 

_t



(21)

Dimitris Bertsimas and Melvyn Sim

Operations Research 2004

Optimisation en 2-étapes

avec variabilité du second membre

3.2 Une approche optimiste

Approche proposée par

Aurélie Thiele, Tara Terry and Marina Epelman

Optimization on-line 2009-2010 et par

Michel Minoux

Global Optimization 2011

(22)

 

 



 

 





















 





z z

T t

z z

D D

D

T t t t

t t t

m

: 0 1 1 ,...,

D

D= ensemble des scénarios de demande

 

  

 t 1

,

t

et 0 ,

D

t

 z donnés  z  T z entier

(23)

(PROB)

min

max min

w w s s b b

T

aux aux

t

Cost x Cost x Cost x x P x

Cost e

  



 

optimisation en 2 étapes

1

0 1

( )

max min

_t

T t

t t

t

t t t t t t t t

e

Cost e z z e

z

E x E x e e e D z t

e P









 

       





(24)

Résolution du problème de recours

1

1,..., :

max min

T t t

T

aux t st z z t

t T

e z e

e e e D z E x E x





 

 



      



( ) R x

, ,

w s b

x x x fixés



0≤z_t≤1

1

0 0 0

t t t t t t t t

t t t t

in b in

t

out b out

t

bat b

e e e D z E x E x

e e e e

e x E e x E

e x CAP





      

  

 

( )

R x

(25)

Résolution du problème de recours

1

1,..., :

max min

T t t

T

aux t st z z t

t T

e z e

e e e D z E x E x





 

 



      





0≤z_t≤1

variables duales

1

, , 0

t t t t t t t t

t t t t

in b in

t

out b out

t

bat b in out bat

t t t t

e e e D z E x E x

e e e e

e x E e x E

e x CAP e e e





      

  



 

t t t t t











(26)

Dual

1

( )

1

1, ..., :

max max

, , , ,

T t t

T Dt E xtw w E xts s t tz t

b in b out b

x E t x E t x CAP t

st z z t

t T

z



  

    



  

  

 

 

 

 

 

 

( ) DR x

0≤z_t≤1

0 0 1 0

, , , 0 R

Costaux t

t t t

t t t t



  

  

   

    



   

  

    

 

(27)

Dual

1

for all 1,..., :

max ( )

0

T

w w s s b in b out b

t t t t t t t t t

t

aux t

t T

D E x E x z x E x E x CAP

Cost

   



  



        

 



   



( ) DR x

1

0 0

0

1

, , , 0 R 0 1

t t t

t t t t

t

t t t t t t

T

z z t

z

  

  

   

    



   

  

   

 



   

(28)

1

for all 1,..., :

max ( )

0

T

w w s s b in b out b

t t t t t t t t t

t

aux t

t t t

t T

D E x E x z x E x E x CAP

Cost

   



  



        

 



   



linearization

Dual ^{DR x} ^{( )}

_n

 

1

0 0

0

1

, , , 0 0,1

t t t

t t t t

t

T

z z t

R z

  

  

   

    



   

  

   

 



  

(29)

On peut montrer que R(x) est dans P

On construit un algorithme polynomial basé sur la Programmation dynamique

On définit le programme de recours tronqué sous ensemble de périodes consécutives

( , , ) R   b



₁_{ }_ _T

Résolution en ( 2)

O T

sous ensemble de périodes consécutives coût de l’incertitude pour ce sous ensemble charge initiale dans la batterie





b

1 0

0 ^b

T z

b x CAP





 

( ) (1, , 0)

R x  R z

(30)

(PROB)

min

max min

w w s s b b

T

aux aux

t

Cost x Cost x Cost x x P x

Cost e

  



 

optimisation en 2 étapes

1

0 1

( )

max min

_t

T t

t t

t

t t t t t t t t

e

Cost e z z e

z

E x E x e e e D z t

e P









 

       





(31)

(PROB)



^w

w

N

x

min Cost x

^w ^w

Cost x

^s ^s

Cost x

^b ^b

val DR x ( ( )) x

  

Retour au problème robuste

N ,

,

max max max





b s

w

b b

s s

w w

x x

x

N x

N

x

(32)

(PROB)



^w

w

N

x

min Cost x

^w ^w

Cost x

^s ^s

Cost x

^b ^b

val DR x ( ( )) x

  

Le problème robuste

y

N ,

,

max max max





b s

w

b b

s s

w w

x x

x

N x

N

x

(33)

( ) 1

T Dt E xtw w E xts s tk x Eb in kt

b out k b k k

x E x CAP

t t t t

t

y

^ ^

  

   

 



 

     

y x

Cost x

Cost y

x

b b s

s w

w

  

, min

Pour des valeurs données (      

^k

,

^k

,

^k

,

^k

,

^k

,

^k

, z

^k

)

1

max max

max

, , N

x E x CAP

t t t t

t

w w

s s

b b

w s b

x N

x x x

    



   





(34)

( ) 1

,

b out k b k k

x E t x CAP t t t t

y

^ ^

k

  

   

 



 

 

 

 



y x

Cost x

Cost y

x

b b s

s w

w

  

, min

Pour des valeurs données de ⁽      

^k

^,

^k

^,

^k

^,

^k

^,

^k

^,

^k

^, ^z

^k

⁾

_k_

k

F

t

(PROB

^K

)

¹

max max max

, , N

t t t t

t

w w

s s

b b

w s b

x N

x x x



   





(35)

Résolution de (PROB): algorithme de type Kelley

initialisation

( a

¹

, b

¹

, d

¹

, l

¹

, m

¹

, n

¹

)

étape k

:

résoudre (PROB

^K

)→ x

^k

, y

^k

, L (borne inférieure)

Résoudre (R(x

^k

)) → 

^k^¹

, 

^k^¹

, 

^k^¹

, 

^k^¹

,  

^k^¹

,

^k^¹

, z

^k^¹

Résoudre (R(x

^k

)) →

→ U (solution réalisable)

(PROB

^K+1

)= (PROB

^K

) + constrainte:

fin

quand L=U







^T  t

k

F

t

y

1

1 1 1 1 1 1 1

, , , , , ,

k k k k k k k



^



^



^



^

 

^ ^

z

^

(36)

4. Résultats

(37)

Résultats pour des données réelles

Coût du

parc

x

^b

x

^p

x

^w

0 11977.9 114 15 12

100 12387.3 117 15 12

200 12638.7 112 16 11

300 12836.0 114^z^t 16 11

z

300 12836.0 114 16 11

400 12997.5 117 16 11

500 13091.6 120 16 12

600 13168.2 122 17 12

800 13168.4 122 17 12

801….8760 13168.4 122 17 12

zt

(38)

Résultats pour des données réelles

Coût du

parc

x

^b

x

^p

x

^w

0 49874.5 467 64 45

100 51564 473 65 45

200 52566.9 481 65 46

300 53367.3 487 65 47

z

300 53367.3 487 65 47

400 54060.2 492 66 47

500 54537 499 67 48

600 54889.6 500 70 49

800 54901.8 500 72 49

801….8760 54901.8 500 72 49

(39)

4. Perspectives

Différents types d’éoliennes, panneaux solaires, Incertitudes sur la production d’énergie

solaire et éolienne

Différents types d’éoliennes, panneaux solaires,

générateurs etc…

(40)

Questions ?

(41)

Reformulation du problème robuste

Soit l’enveloppe convexe des solutions admissibles de R(x)

On note l’ensemble des points

extrêmes de

Pour tout x il existe tel que

( P

_{Q I}

)

(      

^k

,

^k

,

^k

,

^k

,

^k

,

^k

, z

^k

)

_k_

( P

_{Q I}

)

k 

Pour tout x il existe

k 

tel que

( )

1

( ( ))

b out k b k k

x E t x CAP t t t t

val DR x

^ ^

  

   

 



 

     

(42)

http://homerenergy.com/

(43)

L’algorithme de programmation dynamique

( , , ) ( ( , , ))

v   b  val R   b

(44)

L’algorithme de programmation dynamique

Résolution en moins de

T² opérations

( ) (1, , 0)

R x  R z

(45)

Annexe

E x e

e e

x E x

E D

e e

e

T t

e

out b

out

in b in

t

in t out

t bat

t

s s t w

w t t

aux t in

t out

t T

t

aux t

0 ~ 0 ~

~

~ :

,..., 1 all

for min

1 1



























For fixed values of x

^w

, x

^s

and x

^b

0 0

~ )

~ ,

~ , ( ~

min

~ si ~

1













 aux

t out

t

bat t b

in t b

s s t w

w t in

t

s t s t w

w t

e e

e CAP

x E

x D x

E x

E e

D x

E x

E

CAP x

e

E x e

b bat

t

out b

out t

0 ~ 0 ~

