HAL Id: tel-00011859
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Oscillation de cavités par mélange à deux et quatre
ondes en régime continu
Didier Grandclement
To cite this version:
Didier Grandclement. Oscillation de cavités par mélange à deux et quatre ondes en régime continu.
Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1987. Français.
�tel-00011859�
DÉPARTEMENT
DE
PHYSIQUE
DE
L’ÉCOLE
NORMALE
SUPÉRIEURE
THESE de DOCTORAT de
l’UNIVERSITE
PARIS6
Spécialité :
OPTIQUE
ETPHOTONIQUE
présentée
par Didier
GRAND-CLÉMENT
pour obtenir le
grade
deDOCTEUR
del’UNIVERSITE
PARIS6
Sujet
de lathèse
:OSCILLATION DE CAVITES PAR MELANGE A
DEUX
ETQUATRE
ONDES EN REGIME CONTINUsoutenue le 29
Septembre
1987
devant lejury composé
de :Monsieur B. CAGNAC Monsieur A. ASPECT Monsieur C.J.
BORDÉ
Monsieur G. GRYNBERG Monsieur C. IMBERT Monsieur M. PINARDTHESE
de
DOCTORAT del’UNIVERSITE
PARIS6
Spécialité :
OPTIQUE
ETPHOTONIQUE
présentée
par
Didier
GRAND-CLÉMENT
pour obtenir le
grade
de DOCTEUR DE L’UNIVERSITE PARIS 6Sujet
de lathèse :
OSCILLATION DE CAVITES PAR MELANGE A DEUX
ET
QUATRE
ONDES EN REGIME CONTINUsoutenue le 29
Septembre
1987devant le
jury
composé
de :Monsieur
B.CAGNAC,
Président
Monsieur A. ASPECTMonsieur
C.J.BORDÉ
Monsieur
G. GRYNBERGMonsieur
C. IMBERTMonsieur
M. PINARDMonsieur
leDirecteur
Jacques Dupont-Roc
dem’y
avoir accueilli.
Je tiens
à remercier vivement
Monsieur leProfesseur
BernardCagnac
qui
m’apermis
de travailler dans sonéquipe
de
la Halle aux Vins.Malgré
ses nombreuses
obligations,
il m’a deplus fait
l’honneur deprésider
cejury ;
merci encore.Je voudrais ici
exprimer
toute ma reconnaissanceà
GilbertGrynberg.
Avec
gentillesse
etcompétence,
il a su meguider
à
chaque étape
de cetravail ;
qu’il
en soitremercié.
J’ai
eu leplaisir
de travailler avec Michel Pinard. Sonexpérience,
ses conseils et sa bonne humeur
quotidienne
m’ontbeaucoup
aidés ;
je
le remercie.Je voudrais aussi remercier Messieurs A.
Aspect,
C.J. Bordé et C. Imbert pour l’intérêt et letemps
qu’ils
m’ontaccordés
enacceptant
departiciper
à
cejury.
Je remercie
également
tous les autres chercheurs du laboratoire pour l’aidequ’ils
ont sum’apporter
à
un moment ouà
un autre. Je remercieplus
particulièrement Philippe
Verkerk,
aveclequel
j’ai
eu leplaisir
decolla-borer,
pour toutes les discussionsfructueuses
que nous avons eues ; maisaussi
Dominique
Delande,
François
Biraben pour l’aidematérielle
qu’ils
m’ontapportée.
Je n’oublie pas le
personnel technique
dulaboratoire,
Francis
Tréhin,
Dominique Regazzi,
BernardClergeaud,
AliMaizia,
JeanQuilbeuf,
MarcThommé,
Guy
Flory,
queje
remercie pour leurdisponibilité
et leurcélérité.
Madame Claude Renou s’est
occupée
de lafrappe
de cemémoire.
Sarapidité,
sacompétence
et sonefficacité
ontpermis
à
cemanuscrit
de voir lejour
dans lesdélais
prévus.
Je luiexprime
ici toute ma gra-titude.Introduction
Générale
Ce mémoire
présente
lesrésultats
théoriques
etexpérimentaux
que nous avons obtenus lors de l’étude d’oscillations de cavités
utilisant un milieu
conjugant
laphase
(vapeur
desodium)
commemilieu
amplificateur.
Pour situer l’intérêt suscité actuellement par la
conjugaison
de
phase,
notonsqu’Optics
Index recenseplus
de 250 articles parus sur cesujet
en quatre ans, soitplus
d’un par semaine ! Cet intérêtest stimulé tant par les
possibilités
que laconjugaison
dephase
et lemélange
à quatre ondes ouvrent en recherche fondamentale(spec-troscopie
non linéaire :Ducloy,
Bloch|1| ;
Verkerk|2|...)
que par l’éventail de sesapplications techniques.
Ainsi lapossibilité
de créer une onde
d’amplitude conjuguée
de l’onde incidente a suscité de nombreusespropositions
d’applications :
dansl’imagerie(Pepper
|3| ;
White|4|);
dans les télécommunicationsoptiques
(Yariv
|5|);
dans la fusion thermonucléaire contrôlée
(Dolyopolov
|6|,
Basov|7|);
dans laphotolithographie
(Levenson
|8|) ;
ou encore eninter-férométrie
(Hoph
|9|)
et engyromètrie
optique
(Diels
|10|,
Bordé|11|)
...Parmi ces
applications,
l’oscillation de cavités fermées parun miroir
à
conjugaison
dephase
(Hellwarth
etFeinberg
|12|)
avait retenu l’attention dans notre laboratoireoù
desexpériences
ontété réalisées avec la vapeur de sodium
(Kleinmann
|13|,
Le Bihan|14|).Ces
expériences,
réalisées enrégime
impulsionnel,
avaientØ2
ou 4 ondes
(Le
Bihan|14|).
Cependant
lesinconvénients
intrinsèques
aucaractère
transitoire des ondes pompes(fluctuations
d’intensité,
automodulation dephase...)
rendaienttrès délicate
l’interprétation
des résultats
expérimentaux.
C’estpourquoi
le passageà
unrégime
d’ondes pompes continu étaitindispensable
pour étudierquantitative-ment les
propriétés
des oscillateurs utilisant un milieuconjugant
la
phase
comme milieuamplificateur.
Lapetitesse
des coefficients de réflexion parconjugaison
dephase
R
c
que l’on savait obteniren
régime
continu dans le sodium semblait être un obstacleà
unetelle étude. Nous montrerons en fait
qu’il
n’en est rien.Après
avoir dans lapartie
Arappelé
certains résultats nécessairesà la
compréhension
de cemémoire,
nousdéveloppons
dans lapartie
BI un
modèle
théorique
de l’oscillateur constitué par un milieuconjugant
laphase
enfermé dans une cavité linéaire ou en anneau. On y montre enparticulier
que l’oscillation d’une onde stationnaire dephase
adéquate
peut être obtenue pour une très faible valeurdu coefficient
R
c
.
Cemodèle
prédit
aussi d’autrespropriétés
intéres-santes de l’oscillation
(bistabilité,
blocage
dephase,
saturation dugain
pardéplétion
despompes...).
Cespoints
sont effectivementobservés dans
l’étude
expérimentale
qui
estdétaillée
dans lapartie
BII.Un des
points
marquants de cette étude est que les résultatsobtenus différaient notablement de ceux obtenus lors
d’expériences
semblables dans les milieux
photoréfractifs
tels que le BSO. Uneoscillation par
mélange
à 4 ondes avec les cristaux de BSO est enplus,
contrairement à ce que nous avions observé dans lesodium,
l’oscillation subsistelorsque
le cristaln’interagit qu’avec
uneseule onde pompe
progressive.
Quelle
pouvait
être la raison de cesdifférences ? Loin de
résonance,
lemélange
à 4 ondes dans les vapeursest un processus où l’excitation du niveau excité n’est que virtuelle.
Dans les
photoréfractifs
par contre on crée réellement des porteursqui
sedéplacent.
Le moyen de mimer ce comportement est derajouter
un gaz tamponqui,
par les collisionsqu’il
induit sur les atomes desodium,
permet de porter réellement des atomes dans le niveauexcité. Le réseau lumineux créé par 2 ondes laser induira donc ainsi
un réseau réel d’atomes excités et un processus de
gain
semblableà celui des
photoréfractifs
est alorspossible.
Les résultatsexpérimen-taux obtenus selon ce schéma sont
présentés
dans lapartie
C.Enfin,
dans lapartie
D, nous étudions lespropriétés
d’unoscilla-teur pour
lequel
le milieuamplificateur
est constitué d’une cellulecontenant du sodium et un gaz tampon et où les deux ondes pompes
ont même
fréquence
mais des intensités différentes. On montre alorsque la combinaison des effets étudiés dans les
parties
B et C conduità un nouveau
régime
d’oscillationoù
les ondes se contrepropageantont des
fréquences
différentes. Nous montrons l’intérêt d’un telsystème
pour lagyromètrie.
Nous avons dans ce manuscrit utilisé des articles parus ou à
paraître.
Ils sont alorsprécédés
d’une introduction permettantla connection avec les autres
paragraphes. Enfin,
les référencesTable des
Matières
Ø Introduction
Générale01
A Introduction au
mélange
à
4 ondesIntroduction Al
I -
Propriétés
de laconjugaison
dephase
A21 - Miroir
à
conjugaison
dephase
A22 - Correction des aberrations par
conjugaison
dephase
A3 3 - Commentgénérer
une ondeconjuguée
A54 -
Rappel
d’optique
non linéaire A6II - Oscillateurs à
conjugaison
dephase
A12 1 - Cavité fermée par un MCP A13 2 - Cavité contenant un miroirconjugant
laphase
A14III - Les
expériences
antérieures dans les vapeurs A14IV - Les
expériences
dans les milieux condensés A15B Oscillation induite par
mélange
à
4 ondes enrégime
continu I - Etudethéorique
durégime
stationnaire B11 -
Description
du modèle B2 2 - Le mécanisme de saturation B3 3 - Etude durégime
de saturation dû à ladéplétion
des pompes B5
APPENDICE A - La condition de seuil dans le cas
non
dégénéré
B20I Cas de la cavité linéaire B20 II Cas de la cavité en anneau B25
APPENDICE B - Cas de la saturation
atomique
B28Comparaison
avec l’oscillateurparamétrique
B30 II - Etudeexpérimentale
dans la vapeur de sodium B32Introduction B32
1 -
Conjugaison
dephase
dans le sodiumà basse
température
B352 - observation de l’oscillation par
mélange
à 4 ondes B37 3 - Phénomène dedéplétion
des pompes B39 4 - La bistabilitéoptique
B405 - Le
blocage
dephase
B416 - Le bruit
dépendant
de laphase
B427 - Oscillation non
dégénérée
avec des pompesde même
fréquence
B46 8 - Oscillation parmélange
à 4 ondes dansune cavité en anneau B47
APPENDICE - Détection - Etude du bruit B50
APPENDICE - Structure
I - Introduction à la
partie
C1 - Introduction C1
2 -
Application
C13 -
Expériences
dans les solidesphotoréfractifs
C2 4 -Principe
desexpériences
dans les vapeurs C3II - Etudes
expérimentales
C5D
Mélange
à 4 ondes nondégénéré
I - Introduction D1
II -
Gyrolasers
etgyrolasers
àconjugaison
dephase
D11 - Effet
Sagnac
D12 -
Gyroscope
à fibreoptique
D23 -
Gyroscope
laser D34 -
Gyrolaser
àconjugaison
dephase
D4III -
Expérience
sur lemélange
à 4 ondes nondégénéré
D51 -
Montage
expérimental
D5 2 - Résultatsexpérimentaux
D6 3 - ConclusionE Conclusion
générale
E1A - INTRODUCTION
La
partie
A de ce mémoire constitue une introductiongénérale
à
laconjugaison
dephase
|1|.
Cephénomène
a étébeaucoup
étudiéces
dernières
années,
enparticulier
à
cause del’importance
desapplications potentielles.
Aussiprésenterons-nous
laconjugaison
dephase
à
travers l’une de cesapplications.
Celle-ci nous permettrade
comprendre
laparticularité
d’un miroirà
conjugaison
dephase,
et deprésenter
lesparamètres caractéristiques
de ce type demilieu,
ses coefficients de réflexionR
c
et de transmissionT
c
|2|.
Nousprésenterons
ensuite lesmodèles
physiques qui
permettentd’expliquer
la
génération
d’une ondeconjuguée.
Ces modèles seplacent
dansle cadre de
l’optique
non-linéaire
|3|.
Nousrappellerons
leséquations
qui
sontà
la base de cettethéorie
|3|,
puis
nousdégagerons
lestermes
qui
sontresponsables
de l’émission d’une ondeconjuguée.
La résolution de ces
équations
dans un cassimple
donnera un ordrede
grandeur
desparamètres
R
c
etT
c
.
Onexpliquera
pourquoi
ilparait
aisé d’obtenir une oscillation avec un milieu
conjugant
laphase
(MCP).
Latroisième
partie
de cette introduction est consacrée àun
rappel
sur les divers types de cavité que l’on peut construireavec ou autour de ce milieu
non-linéaire.
Parmi les
multiples configurations
géométriques
possibles,
cellel’utilisant comme
simple
milieuamplificateur
dans unecavité
réelleavait été
très
peuétudiée ;
c’est ce type d’oscillateurqui
faitl’objet
de ce travail.A2
Ce travail est la suite de nombreux autres travaux effectués
dans ce laboratoire et ailleurs. La
dernière
partie
de cette introductionest un
rappel
sur lesrésultats
expérimentaux
antécédents.
Nous nous sommes d’abord attachésà
ceux utilisant le même matériaunon-linéaire que nos
expériences :
la vapeur de sodium. Nous décrivonsles
expériences
qui
ont été effectuées enrégime
d’excitationpulsé
dans notre laboratoire
| 4|,
et celle effectuée enrégime
continu mais dans une autreconfiguration
géométrique
au Laboratoire dePhysique
des Lasers à Villetaneuse| 5|.
Il estintéressant,
ensuite,
derappeler
les résultats obtenus dans lessolides,
notamment auL.C.R.
| 6|.
Certainesexpériences
similaires au nôtres y ont étéeffectuées. Les résultats que nous avons obtenus ont été fort différents
des leurs. Cette différence entre vapeur et solides sera
expliquée
dans unepartie
ultérieure de cettethèse,
et permettra de mieuxdistinguer
le rôle des processus d’excitation réelle et virtuelledans le
mélange
à 4 ondes.A.I -
Propriétés
de laconjugaison
dephase
Dans ce
chapitre,
onrappelle,
à traversquelques
exemples,
lesprincipales
propriétés
de laconjugaison
dephase.
A.I.1 - Miroir à
conjugaison
dephase
Si l’on illumine un miroir à
conjugaison
dephase
(Fig.
1)
par une ondeélectromagnétique
A3
On constate dans le
plan
rM du miroir lagénération
d’une onde :L’amplitude
de cette onde estproportionnelle
aucomplexe
conjugué
de celle de l’onde incidente. rc est un nombre
complexe
dont lemodule n’est pas
nécessairement
inférieur à 1.Un tel
système
peut être utilisé pour la correction desaberrations,
les
télécommunications
par fibreoptique...
Cesapplications
ayantété
développées,
notamment dans la thèse de B.Kleinmann
| 4|,
nousn’étudierons que l’une d’entre
elles,
la rectification des frontsd’ondes.
A.I.2 - Correction des aberrations par
conjugaison
dephase
En se propageant, la surface d’onde d’une onde
électromagnétique
se déforme à cause des
inhomogénéités
spatiales
d’indice dans lemilieu. Ce
phénomène
estimportant
lors de lapropagation
dansl’atmosphère
ou dans un élément
optique
imparfait.
Prenonsl’exemple
de l’élémentamplificateur
d’un oscillateur laser. Un miroir àconjugaison
dephase
permet d’en compenser les défauts d’indice.Ainsi un montage comme celui de la
Fig.
2 apermis
de réduire les aberrations du faisceau de sortie, même enprésence
d’élémentsaberrants dans la cavité
| 7 |.
Pour lecomprendre,
prenons la surfaced’onde
plane
parfaite :
E = Re(A
e
i(kz-03C9t)
) qu’on
souhaiteraitA4
à travers le
système. Après
traversée du milieuaberrant,
la surfaced’onde s’est déformée. On peut décrire cette
déformation
par unephase
~(x,y)
enchaque
point
d’unplan
z = Cste.~(x,y)
rend compted’un retard ou d’une avance par rapport à la surface de référence.
Le
champ
s’écrit alorsLa réflexion sur le miroir
à
conjugaison
dephase
génère
une ondePar retraversée du
milieu,
un nouveaudéphasage
~(x,y)
apparaîtra
qui
compensera leprécédent.
Si le miroirM
1
ne déforme pas lasurface,
après
unaller-retour,
l’onde s’est transformée :Au facteur
global
d’échelleprès
correspondant
augain
et aux pertes, on a donc de nouveau une ondeplane.
Celle-ci est une solution stable d’un tel oscillateur endépit
de laprésence
d’un milieu aberrant.Quand
au lieu du miroirconjuguant
laphase
on a un miroirnormal,
on double les aberrations à
chaque
aller-retour. L’onde sortantd’un tel résonateur comporte donc un terme de
phase
~’(x,y)
s’écartant
de l’onde
plane
de référence et liéintrinséquement
à laprésence
A5
A.I.3 - Comment
générer
une ondeconjuguée ?
Une des
propriétés
de l’ondeconjuguée
est que sesfréquences
spatiales
dépendent
de celle duchamp
incident. Il estpossible
.de réaliser cela en
créant
un réseauqui
dépende
del’onde
incidente,
la lecture de ce réseau donnant l’onde
conjuguée.
C’est l’idée du
mélange
à 4 ondes. Pourréaliser
ceréseau,
on va utiliser une onde auxiliaire dite onde pompe
1,
et pourmatérialiser
le
réseau
on va utiliser lesnon-linéarités
d’un milieu solide ou d’une transitionatomique.
La lecture du réseau est faiteà
l’aide d’une onde dite pompe 2. Des conditions d’efficacité et de créationdu bon ordre de diffraction dictent la
géométrie
duproblème.
Ona
donc,
pour laconfiguration
laplus
classique
d’uneexpérience
de
conjugaison
dephase,
deux ondesE
I
etE
P1
qui
créent une modulationspatiale
duchamp
dans lemilieu,
induisant la formation d’un réseau d’atomesexcités
(Fig.
3a),
le pas de modulationétant
2 |k
P1
- k
I
|.
Le faisceauE
P2
se diffracte efficacementlorsque
la condition deBragg
est vérifiée. Ilgénère
E
CP
dans la direction-k
I
.
Dans lemême temps on crée un autre réseau par
E
I
etE
P2
(Fig.
3b)
surlequel
E
P1
sediffracte,
etqui
contribue ainsi à lagénération
deE
CP.
Dans les
solides,
cela peut conduire à une modulation de l’indicedu
milieu,
via les porteurs. Dans une vapeur, on va utiliser les termes non-linéairesqui apparaissent
dans lapolarisation
du milieuquand
on sature une transition envoisinage
d’unerésonance.
Uneétude
plus
approfondie
se fait dans le cadre del’optique
non-linéaire.
C’estl’objet
deschapitres
suivants.L’équation
dedépart
estl’équation
de Maxwell. On en examinera successivement les différents termes,dans le cadre de
l’approximation
del’enveloppe
lentement variable.Ceci nous permettra de calculer les coefficients de
réflexion
etde transmission du milieu dans des situations
simples.
A.I.4 -
Rappels
d’optique
non linéaire
a-
Equation
d’onde etpolarisation
nonlinéaire
Les
champs macroscopiques
satisfont auxéquations
de Maxwell.Par
conséquent,
pour un milieu sanscharges
libres ni courants, ceux-ci vérifientl’équation
depropagation
Cette
équation
du second ordre estgénéralement
insoluble,
onpeut heureusement la
simplifier
dans certainesconditions,
qui correspondent
à celles obtenues dans nos
expériences.
Le
champ
E va être décrit comme lasuperposition
d’ondesquasi-planes
de mêmepolarisation
03B5, de
fréquence
optique
03C9i, de vecteurd’onde
ki
qui
sont tousquasiment
colinéaires,
etd’amplitude
complexe
A
i
(z,t). A
i
(z,t)
estsupposé
varier lentement sur des échelles detemps de l’ordre de
quelques
1/03C9
i
et des échelles delongueurs
del’ordre de
quelques
1/k
i
.
On a donc :A7
par
hypothèse
(variation
lente),
on a :de
plus
k
i
= 03C9
i
c
et parconséquent
l’équation
(AI1)
seramène
à :b-
Expression
de lapolarisation quand
tous leschamps
ont mêmefréquence
La
polarisation macroscopique
est le second terme del’équation
(AI3).
Onopère
de la mêmemanière
unedécomposition
en ondequasi-plane.
En unpoint
zdonné,
dans un volume de l’ordre dequelques
03BB on a :avec
On a donc maintenant une
équation
plus
simple
à résoudre.
Pour celail nous faut
déterminer
le second membre de cetteéquation.
On vamaintenant donner des
expressions
explicites
pour cettepolarisation.
c-
Expression
de lapolarisation
1.Cas des solides
Dans le cas des solides
homogènes
etisotropes,
lapolarisation
est
parallèle
auchamp
E. Pour un milieu dit deKerr,
deréponse
instantanée,
on a :où l’on reconnait un terme de
susceptibilité
linéaire
bien connuet un terme de
susceptibilité
non linéaire. Dans le cas de milieuxde
réponse
noninstantanée,
le terme nonlinéaire
devient :2. Cas des vapeurs atomiques
Pour les vapeurs, ce sont des modèles de
physique
atomique
qui
permettent de trouver uneexpression
pour lapolarisation
microscopi-que . La transition
3S
1/2
-
3P
3/2
du sodium que nous avons utiliséepour nos
expériences
peut êtremodélisée
par unsystème
à
deux niveaux{|a>, |b>},
|b>
étant le niveau fondamental. Par souci desimplicité,
on
prend
deschamps
de mêmefréquence
optique 03C9.
L’importance
dudésaccord 0394 = 03C9o -03C9 entre la
pulsation
des ondes utilisées et lapulsation
atomique
03C9o permet de seplacer
dans le cadre d’une théorieà
atomes immobiles|8 |.
A9
Les
champs
ayant
mêmepolarisation,
onprend
cet axe comme axeOx. Pour un atome en r le hamiltonien d’interaction
dipolaire
électrique
s’écrit
:où
D est la composante selon Ox dudipôle
atomique.
Cetopérateur
est purement nondiagonal
et on peut leprendre
symétrique.
Ce
système
est unsystème
fermé,
les composantes de la matrice densitésatisfont donc au
système
La solution stationnaire de ce
système
au troisième ordreen |03A9| 0394,
dans le cadre del’approximation
de l’onde tournante, est :On reconnait un terme de
susceptibilité
linéaire,
et un termenon
linéaire
semblableà
celui des milieux de Kerr. On peut dès lors donner uneexpression
de lapolarisation macroscopique
P(r,t) :
3.
Conclusion
Dans le cadre de
l’approximation
deKerr,
lapolarisation
a la même
expression
dans les vapeurs et les solides. Le terme non-linéaire en|E|
2
E
vamélanger
leschamps.
C’est luiqui
assure lecouplage
entre les ondes etpermet
des transfertsd’énergie.
Nousallons maintenant utiliser ces
expressions
dans leproblème
dumélange
à
quatre ondes.d- Cas du
mélange
à 4 ondesdégénérées
1.
Phase-matching
Cherchons dans le
mélange
de 4ondes,
notéesA
1
,
A
2
,
A
3
,
A
4
,
le terme àl’origine
de laconjugaison
dephase.
Il ne peutprovenir
que du terme nonlinéaire
et vaut parexemple
pour l’onde 4 :Par
hypothèse,
A
1
,
A
2
,
A
3
varient peu sur le volume03B4V ;
on peutA11
Celle-ci ne peut donc
prendre
de valeursignificative
que si lacondition de
phase-matching
est satisfaite :Les sources de
rayonnement
que constituent les atomes interfèrentalors constructivement.
2.
Calcul du coefficient de réflexion
Afin de voir l’efficacité de ce processus, calculons
le coefficient de réflexion d’un miroir
à
conjugaison
dephase.
D’après
leparagraphe
précédent,
si 0394 » 03B3ab,Le
problème
reste encore trèscompliqué
car les quatreamplitudes
Ai(zi)
dépendent
de z. Il aété étudié
dans la thèse de B. Kleinmann àlaquelle
nous renvoyons pour deplus
amples
détails.Quand
onnéglige
ladépletion
des ondes pompesA
1
etA
2
,
et si on suppose|A
1
(o)|
2
=|A
2
(L)|
2
,
on définit alorsavec
On voit que des coefficients de
réflexion
plus
grands
que 1 sontsusceptibles
d’exister. Une cavitéformée
par un miroirà
conjugaison
de
phase
pourra donc oscillerspontanément.
De même la transmissiond’un tel miroir est
toujours
plus
grande
que 1(si
onnéglige
lespertes).
Parconséquent,
un tel milieuprésente également
dugain
à
chaque
passage et peut être utilisé comme milieuamplificateur
dans une cavité. Ces deuxpropriétés
motivent les étudesqui
ontété faites sur les résonateurs à
conjugaison
dephase.
Ceux-ci sontl’objet
deschapitres
suivants.A.II - Oscillateur à
conjugaison
dephase
On a
plusieurs
types d’oscillateurs àconjugaison
dephase
possibles.
Danschaque
cas se pose leproblème
de la condition d’oscillation.Pour l’étudier on raisonnera en ondes
planes,
toutes de mêmepolarisation.
Si l’on se donne un sens
positif
depropagation,
alors on notera03B5
+ les
champs
se propageant dans le sens +(rec.
03B5- ceux se propageantdans le sens
opposé).
Le milieuconjugant
laphase
occupera unelongueur
1. L sera lalongueur
de la cavité. Les formules detransforma-tions, pour un
mélange
dégénéré,
sont :t
c
et rc sont des nombrescomplexes.
Nous allons maintenant utiliserces relations pour étudier les deux
grandes
classes de cavités utilisantA.II.1 - Cavités fermées par un MCP
al- Condition d’oscillation
Elles peuvent être soit
linéaires,
soit en anneau(Fig.
4).
La condition d’oscillation de ce type de
cavité
estRR
c
>1 ;
on n’a donc pas de condition d’accord sur lalongueur
de lacavité,
lorsque
l’oscillation estdégénérée.
Leurprincipal
intérêt est de permettre la correction des distortions dephases quand
on sort par le miroir normal.a2- Structure des modes
longitudinaux
de la cavité linéaireDans le
phénomène
deconjugaison
de laphase,
lafréquence
des pompes
joue
évidemment un rôleprivilégié.
Si03C9
p
est lafréquence
des pompes, une ondeest réfléchie par le miroir à
conjugaison
dephase
en une ondePar
conséquent,
après
unaller-retour,
l’onde n’est pasidentique
à
elle-même,
il faut deux allers-retours avant de retrouver la mêmefréquence.
lalongueur
effective de la cavité est donc le doublede celle d’une cavité
classique ;
la cavité va donc osciller d’unepart à la
fréquence
des pompes 03A9 =0,
et d’autre part sur des modessymétriques
par rapport à03C9
p
et distants deqc/4L
de 03C9
p
(q
étantDans la cavité en anneau, un faisceau arrivant sur le MCP
est
renvoyé
sur lui-même(Fig.
5).
On a doncl’équivalent
d’unecavité
linéaire de mêmelongueur
fermée par deux miroirs àconjugaison
de
phase.
La distance entre modes est doncc 2L
au lieu dec L
commepour une
cavité
classique.
A.II.2 - Cavité contenant un miroir à
conjugaison
dephase
a- Il est
également
possible
d’utiliser le milieuconjugant
laphase
commesimple amplificateur
dans une cavité traditionnelle. L’étude de ce type d’oscillateur faitl’objet
de ceprésent
mémoireet est détaillée dans le
chapitre
B I pourl’aspect théorique,
et dans lechapitre
B II pourl’aspect
expérimental.
b- Conclusion
Les
géométries
des résonateursà
conjugaison
dephase
sont doncmultiples,
et ont donc faitl’objet
de nombreusesexpériences
tant dans les gaz que dans les solides. Le
premier
type d’oscillateurqui
nécessite un coefficient de réflexionR
c
supérieur
à 1 est évidemmentplus
facile à réaliser avec des pompespuissantes
issues d’un laseren
impulsion.
Le second seprête
plus
facilement à desexpériences
en continu.A.III - Les
expériences
antérieures dans les vapeursLes
expériences
avec des lasers enimpulsion
ont, dans notrelaboratoire,
faitl’objet
de la thèse de E. Le Bihan. On pourradonc se reporter à son travail pour des
explications
plus
détaillées.
B. Kleinmann et al. avaient montré
précédemment
| 4 |
que,
loin deA15
des coefficients de réflexion atteignant la valeur de 4 000 % en
régime
pulsé.
Ceci est lié notammentà la
puissance
délivrée par de telslasers,
qui permettent de traverser sansatténuation
unecellule de sodium chauffée
à
260°C
(N
= 2.10
13
atomes/cm
3
)
(les
deux ondes pompes issues d’un laser
à
colorantpulsé
avaient lescaractéristiques
suivantes :puissance
crête 1kW,
de durée 1 03BCs ;le désaccord du laser avec la raie
D
2
du sodium était de l’ordrede 5
GHz).
Dans cesconditions,
E. Le Bihan a pu étudier l’oscillationde toutes les cavités
précédemment
décrites.L’oscillation en continu des cavités fermées par un PCM restait néanmoins
problématique.
Ondispose,
encontinu,
de puissance laserbien moindre, et les conditions
expérimentales
pour obtenir uneoscillation continue sont
très
délicates. A notre connaissance,la seule
expérience
concluante est celle réalisée par J. Leite etal. au Laboratoire de
Physique
des lasers de Villetaneuse. Pourcela ils se sont
placés
à 3 GHz de la raieD
2
dusodium,
avec unepuissance pour les pompes de l’ordre de 300 mW, la densité
atomique
était telle que 95 % des pompes était absorbée. Ils ont alors obtenu
une oscillation
laser,
le mécanisme de saturation du gain étantla
dépletion
des pompes. Cette cavitéprésentait
lesqualités
attenduesd’un oscillateur à conjugaison de
phase.
Notamment aucune conditiond’accord sur la
longueur
n’était àsatisfaire
pour obtenir l’effetlaser.
A.IV -
Expériences
dans les milieux condensésNous nous limitons au cas des matériaux
photoréfractifs
dansA16
on illumine un cristal
photoréfractif
avec deux ondes de mêmefréquence
optique,
formant unangle
e entreelles,
il se forme un réseaud’intensité
avec
k
=k
1
- k
2
commeindiqué
sur lafigure.
Sous l’effet de lalumière,
des porteurs montent dans la bande deconduction,
etmigrent
des
régions
fortement illuminées vers lesrégions
faiblement illuminées. Unchamp
électrostatique
moduléspatialement
se créedonc,
et modulel’indice du matériau. Ce réseau d’indice a un
déphasage
avec leréseau lumineux variable selon le
cristal ;
il est enquadrature
pourBaTiO
3
,
quand
onn’applique
pas de tension sur le cristal.La
première
expérience
a été effectuée en 1980 parFeinberg
etal. qui a pu faire osciller une cavité fermée par un cristal de
Titanate de
Baryum
(BaTiO
3
).
Ce cristal a un temps deréponse
trèslong
(1
s),
mais il procure aisément de forts coefficients de réflexion.Plus
récemment,
Rajbenbach
et al. ont réussi à faire oscillerune cavité
linéaire,
fermée par un cristal de BSO. Cecristal,
illuminépar des pompes de 150 mW, a un temps de
réponse
plus
faible que le Titanate deBaryum
(de l’ordre de 50 ms). Laconfiguration
laplus
efficace pour cesexpériences
est celle dumélange
presquedégénéré
à 4 ondes. Dans cesexpériences,
l’une des pompes a safréquence
décalée dequelques
Hz par rapport à l’autre. Un teldécalage
est nécessaire pour que la cavité
oscille,
et dans ces conditions, si lesfréquences
des pompes sont03C9
p
et
03C9
p
+203B403C9,
lafréquence
deA17
Ces
décalages
defréquences
s’expliquent
par le rôleimportant
du
mélange
à
deux ondes dans les cristaux. On reviendra sur lesCette
partie
seprésente
sous la forme depreprints
de 2 articlesqui
seront soumis à JOSA et J. of
Quantum
ElectronicsPlan du
Chapitre
B :B I Etude
théorique
durégime
stationnaire d’oscillateurs utilisantun milieu
conjugant
laphase
comme milieuamplificateur
"Self oscillation of a
cavity
using
aphaseconjugate amplifier
-Study
of thestationary
regime".
B II Etude
expérimentale
dans la vapeur de sodiumBI ETUDE
THEORIQUE
DU REGIME STATIONNAIRE D’OSCILLATEURSThe oscillation of a
cavity
boundcdby
aphase-conjugate
mirror has been asubject
of considerable interestduring
the recent years|1|.
Theoretical papers121131
first show that themode-spacing
of such acavity
is half themode-spacing
of anordinary
cavity.This effect has been
experimentally
verifiedby
Lind and Steel |4|.Other experiments show that the
phase-conjugite
mirror can also be used as anamplifier
so that the oscillation occurs in an criptycavity which consists of one mirror and one
phase-conjugate
mirror|5H12|. There has been less interest in the
study
of the oscillation of a cavitywhere
thephase-conjugate
medium is used as anamplifier
andplaced
inside a real cavity. In thisdomain,
most results have been obtained in the case ofphotorefractive
media|13|-|17|. However,
we have shownrecently
that the results obtained inphotorefractive
media cannotalways
be extended to atomic vapors. Forexample,
inthe case of
photorefractive
média, thefrequency
of oscillationslightly
differs from thefrequency
of the pump beam|13|-|17|
while the twofrequencies exactly
coïncide in the case of a pure sodium vapor |18||19|. Infact,
theanalysis
ot theexperimental
results of |19| shows that the oscillation in the sodium case has someanalogy
with the case of a
degenerate
parametric oscillator|20|.
Forexample,
the threshold condition is the same in these two cases. Howeverall the features of the oscillation are not identical. For
example,
we have observed that the oscillation is almost
always
bistablein the sodium case
|19|
while such a characteristic is not observedin the case of a parametric oscillator. It is the aim of this paper
to present a
simple
model for the self-oscillation of a cavity usingan atomic vapor
phase-conjugating
médium as anamplifier.
In particu-lar, we show that the bistable behaviour is an intrinsic characteristic of such oscillators. This is due to the fact that theamplification
mechanism and the saturation of the refractive index appear at the
same order of
non-linearity
in the atomicsusceptibility.
To determine the
stationary
solutiont of theseoscillators,
we have to
precise
which is the saturation mechanism. We show thattwo types of saturation can be considered : the atomic saturation and the pump beam
depletion,
and westudy
in which domain each process is dominant. Afterthat,
westudy
theintensity
emittedby
theseoscillators in the
stationary
regime
and we show how theintensity
varies as a function of thelength
of thecavity.
Two cases areconsidered : the linear
cavity
and thering
cavity.
1.
Description
of the ModelWe consider an atomic medium
placed
between two mirrorsM
1
andM
2
of reflection coefficientsR
1
andR
2
andinteracting
with two pump beamsE
1
andE
2
propagating
inopposite
directions(Fig.
1).
We assume that the atomic vapor can be described
by
a set of motionlesstwo-level atoms
(*)
.
The atomic resonantfrequency
is 03C9o and N isthe number of atoms per unit of volume. The matrix element of the
electric
dipole
moment between the two levels is d. The two pumpbeams
E
1
andE
2
have the sameintensity,
the samefrequency
03C9
p
andthe same linear
polarization
é
x
. We
assume that the excitation is not resonant. Thedetuning
03B4 = 03C9o -03C9
p
between the atomicfrequency
(*)
It has been shown in|21|
that, et the Kerr limit. end in absence of collisional dumping, it is not necessary to take into account the stomic motion when the excitationB3
03C9
o
and
the pump beamfrequency
03C9
p
is muchlarger
than the naturalwidth 03B3 and the
Doppler
width(sec
footnote(*)).
The resonant Rabifrequencies 03A9
i
=
dE
i
/0127
(i =
1, 2)
are assumed to be smallcompared
to the
frequency detuning |03B4|.
We are thus in the Kerr limit wherea
perturbative
treatment of the incident fields can bedevelopped.
An
important
parameter for thefollowing
discussion is C =k~
o
1
(k
is the wavevector of the incidentfields,
thé linearsusceptibility
X
o
isequal
toNd
2
/03B5
o
012703B4
and 1 is thelength
of the atomicmedium).
In
particular,
the mechanism of saturation which limits theintensity
of the
oscillating
beamdepends
on C. We will showthat,
whenC»1,
the
major
cause of saturation is the pump beamdepletion,
whilein the case C«1 the main effect is the atomic saturation.
The C parameter appears also in the
expression
of theamplitude
reflection coefficient of the
phase conjugate
médium. For a setof motionless atoms
|22||23|,
we have rc~ k~
o
1(03A9
1
2
/03B4
2
)
=C(03A9
1
2
/03B4
2
).
Since we have assumed that no oscillation is
possible
between onemirror and the
phase conjugate medium,
thefollowing
developments
are valid when
C(03A9
1
2
/03B4
2
)
< 1.2. The Mechanism of Saturation
We now
qualitatively
describewhy
the condition C « 1 or C » 1permits
todistinguish
the saturation mechanism. Let us first consider the case of atomic saturation. In this case, we haveThis relation comes from the fact that the
gain
is associated with the third order non linearsusceptibility
and the saturation ofthe
gain
is associated with the fifth order non linearsusceptibility
which appears at the
following
order in(03A9
1
2
/03B4
2
).
In the case of saturation due to pump beam
depletion,
rc isgiven
by
where 039403A9
1
is the variation of the Rabifrequency
of the pump beamdue to
depletion.
This effect can beinterpreted
in thefollowing
way : when an oscillation occurs in the
cavity,
thecounterpropagating
beams
E
3
andE
4
(see
Fig.
1)
also creates aphase
conjugate
mirrorfor the pump beams
E
1
andE
2
.
Theexpected
variation 0394E
1
ofE
1
iswhere
03A9
3
and03A9
4
are the Rabifrequencies
for the beamsE
3
andE
4
.
If we assume
that,
instationary regime,
~
3
03A9
03A9
4
~
03A9
1
,
we obtainso that formula
(2)
becomes :B5
C «
1,
it is the atomic saturation which is the dominant effectwhile the pump
depletion
dominates when C »1. It should be noticedthat,
in the presentstudy,
we have assumed/03B4
2
03A9
2
1
< 1. Itimplies
that,
in the case where atomic saturationdominates,
the value ofr
c is
extremely
small. Thisexplains why,
inpractical applications,
the pump beam
depletion
isgenerally
the dominant saturation mechanism.3. Saturation due to pump beam
depletion
We consider the linear
cavity
ofFig. 1.
When thegain
due tothe
phase
conjugation
process islarge
enough,
self-oscillation can occur. Theoscillating
beam is assumed to bepolarized
along
e
x
and itsamplitude
inside the cell isequal
to :where
E
3
(z)
andE
4
(z)
arcequal
to :We have assumed here that we have a
purely
degenerate
oscillation.A careful
analysis
of thestationary
regime
shows that theoscillation
frequencies
should beequal
to03C9
p
±
q c 4L
where q is aninteger (see
Appendix
A). However,
thedegenerate
oscillation(q =
0)
has a muchlarger
amplitude
than thenon-degenerate
oscillation(q
~ 0) |24|
which can be
neglected
in a firstapproach.
In formula
(6),
we have introduced=
k(1 +~
o
2)
to take into account the effect of the linear refractive index on the propagation of theoscillating
beam. Thephase
factorexpik~
o
1/4
is necessaryto ensure the continuity of
E
3
(z)
in z = -1/2
and ofE
4
(z)
inz = 1/2 (1 is the
length
of the cell. The origin of the Oz axisis taken at the middle of the cell).
Similarly
the pump beanamplitude
inside the cell is
equal
to :In the
following,
we assume that theangle
between the directionof propagation of the pump beam and the direction of oscillation
is
large
enough
to separate the beams butsufficiently
small toneglect
its influence in the calculation.The total electric field E =
E
p
+
E
c
creates in the vapor anatomic
polarization
P which isequal
to :When we
replace
Eby
Ep
+E
c
informula(8)
whereEp
andE
c
aregiven
in
(7)
and(6),
we find several different types of terms in thenon-linear part of the
polarization.
We firstneglect
all the terms whosephase dependence
does not coincide with thephase
of one ofthe
applied
fields. Forexample,
weneglect
the terms which oscillate like(2k
1
-
k).r
and which generate a beam in the(2k
1
-
k)
direction.Among
theremaining
terms, wedistinguish
two types of terms :*
(i)
the terms which behave likeE
1
E
2
E
4
and which create a sourceterm for the evolution of
E
3
are associated with thephase-conjugation
process(ii)
the terms which behave like|E
i
|
2
E
j
and whichcorrespond
toa non-linear modification of the refractive index of the beam
Ej.
These two types of terms have the same order of
magnitude
|25|. However,
for the sake of
simplicity,
first weonly
discuss the effect ofthe
phase conjugation
terms. The influence of the non-linear refractiveindex terms on the
signal
will be considered in S 4.d.We
call 03B5
-
3
and 03B5
+
4
theamplitudes
of theoscillating
fieldsas
they
enter the cell and we calculate theamplitudes 03B5
+
3
and 03B5
-
4
of the
oscillating
beams at the exit of the cell in termsof 03B5
-
3
and 03B5
+
4
(Fig.
2).
To get theseamplitudes,
we have to solve theMaxwell
equations
for the total field E.Using
theslowly
varying
approximation
(S.V.E.A.),
we obtain a non-linear system of fourequations :
B8
We
call 03B5
-
1
and 03B5
+
2
theamplitudes
of the pump fields whenthey
enter the cell. Thephase conjugate
reflection for a very weakprobe
beam is
equal
tor
(o)
c
=
(3)
ik~
103B5
-
1
03B5
+
2
.
This quantity
has beenassumed to have a modulus smaller than 1 to prevent any oscillation between the
phase-conjugate
medium and asingle
mirror. We now solvesystem
(10)
using
an iteration method which isjustified
since|r
(o)
c
|
« 1.
Taking
theorigin
of the z axis at the center of thecell,
the solution of
(10)
to first order is :If we report these solutions in the system
