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Sabine Evrard/Lucie Jacquet-Malo/Virginie Le Men
Les 4 et 5 avril 2019
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3
Fractions et décimaux
1. Pour vous, qu’est-ce qu’un nombre décimal ?
2. Donnez deux exemples de nombres décimaux.
3. y a-t-il des nombres qui ne sont pas décimaux ? Si oui, exemple.
4. Dans l’ensemble des décimaux positifs et non nuls, y a-t-il un plus petit élément ?
5. Parmi les nombres suivants, lesquels sont égaux
6
4; 16
9 ; 4
3 ; 22
7 ; 1,5 ; 0,6666 ; 9
4 ; 3
2. ; 2
3. ; 27
12. ; 3,14. ; 𝜋
6. Ecrire les nombres suivants sous forme de fraction : 0,64 ; 0,0027 ; 4,12 2.
Définitions
Un nombre rationnel est le quotient de deux nombres entiers: 𝑞 = 𝑎
𝑏, avec a et b deux entiers, et b non nul.
On note ℚ l’ensemble des rationnels
Une fraction décimale est une fraction dont le numérateur est un entier et le dénominateur est une puissance de 10.
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale
Retour au système de numération: les décimaux
Les nombres décimaux sont des fractions
particulières: leur numérateur est une puissance de 10:
2
10 se lit 2 dixièmes; 3
100 se lit 3 centièmes
Mais comme on n’écrit pas 2 × 10 pour 2 dizaines, on va à nouveau considérer la numération de
position
Pour lire ce nombre, on repère l’unité: 246,57
centaine dizaine unité dixième Centième
2 4 6 5 7
Ecriture avec les décimaux
On considère deux décimaux, dont les parties entières sont
𝐴 = 𝐴0, 𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛 ; 𝐵 = 𝐵0, 𝑏1𝑏2 … 𝑏𝑚
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 … , 𝑎𝑛 ∈{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}
𝐴 = 𝐴0 + 𝑎1 × 10−1 +𝑎2× 10−2 + ⋯ + 𝑎𝑛 × 10−𝑛 + ⋯
Cette écriture est l’écriture décimale de 𝑨.
On dit que 𝑁 est la partie entière du réel 𝑥, et que 0, 𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛 … est la partie décimale de x.
Opérations sur les fractions
Soient 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 des entiers relatifs, avec 𝑏, 𝑐 et 𝑑 non nuls.
1) 𝑎
𝑏 + 𝑐
𝑏 = 𝑎+𝑐
𝑏 ; 2) 𝑎
𝑏 = 𝑎×𝑑
𝑏×𝑑 3) 𝑎
𝑏 + 𝑐
𝑑 = 𝑎𝑑+𝑐𝑏
𝑏𝑑
4) 𝑎
𝑏 × 𝑐
𝑑 = 𝑎×𝑐
𝑏×𝑑 ; 5) 1𝑐 𝑑
= 𝑑
𝑐 6) 𝑎
𝑏 ÷ 𝑐
𝑑 = 𝑎×𝑑
𝑏×𝑐
En particulier:
𝑎
10 + 𝑏
10 = 𝑎+𝑏
10 ; 𝑎
10 × 𝑏
10 = 𝑎×𝑏
100
Un exemple pour se distraire…
Ali se trouve devant la grotte magique mais il a
oublié le code d’ouverture. Il se souvient que c’est un nombre décimal ayant trois chiffres après la
virgule et que la somme des chiffres qui composent la partie entière est 15. Il doit utiliser les chiffres
suivants : 3 6 8 9 5 Il prend un crayon et cherche
toutes les combinaisons afin de les essayer en ordre croissant. Aide Ali à trouver toutes les combinaisons possibles puis range-les par ordre croissant.
Rupture et continuité
Si deux décimaux ont même partie entière, et
même nombre de chiffres après la virgule, on peut les comparer comme on le faisait avec les entiers.
Mais … 0,2 > 0,196
Je ne peux pas trouver d’entiers entre deux entiers consécutifs 2<3
Mais je peux trouver une infinité de nombres décimaux
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Algorithme de l’addition
11
C D U
3 7, 6
+
8 2, 9
=
Mais pourquoi ça marche???
Techniques opératoires de l’addition-soustraction
Comme pour les entiers, les techniques opératoires sont basées sur le fait d’ajouter entre eux des
chiffres de même rang dans le nombre. On
effectue, les calculs de la droite vers la gauche, à condition d’avoir aligné les unités des deux nombres à additionner, ou à soustraire.
𝐴 = 𝐴0, 𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛 ; 𝐵 = 𝐵0, 𝑏1𝑏2 … 𝑏𝑚
Le nombre de décimales du nombre 𝐴 + 𝐵 ou 𝐴 − 𝐵 est inférieur ou égal à 𝑚.
De plus, si 𝑛 < 𝑚, alors ce nombre de décimales est exactement 𝑚.
Explication de la technique
Toujours sur les principes de groupement/échange en numération:
En groupant 6 et 9 dixièmes, on obtient 19 dixièmes:
On échange alors 10 dixièmes contre 1 unité
On a alors, 9 dixièmes, et 1 unité
Erreurs liées à la technique opératoire: 34,15 + 27,862=??
14
31,277
312,77
31,277
61,1012
62,012
62,12
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La Technique, exemple
3 6, 8
X 2, 6
16
Technique
3 6, 8
X 2, 6
2 2 0 8
7 3 6 .
9 5, 6 8
17
La technique: ce qu’on « fait »
Pour multiplier deux décimaux entre eux, on pose la multiplication comme s’il s’agissait de deux entiers, puis on place la virgule en partant de la droite d’un décalage correspondant à la somme des nombres de chiffres des deux parties décimales des deux
facteurs.
Explication: le pourquoi ca marche?
En effet, écrivons 𝐴 et 𝐵 avec des puissances de 10
𝐴 = 𝐴0𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛 × 10−𝑛 = 𝐴′ × 10 −𝑛
𝐵 = 𝐵0𝑏1𝑏2 … 𝑏𝑚 × 10−𝑚 = 𝐵′ × 10 −𝑚
Et donc
𝐴 × 𝐵 = 𝐴′ × 𝐵′ × 10−(𝑛+𝑚)
Ainsi :
Le nombre de décimales du nombre 𝐴 × 𝐵 est égal au plus à 𝑛 + 𝑚.
On peut dire que le produit a exactement 𝑛 + 𝑚 chiffres après la virgule
Sur notre exemple:
36,8 × 2,6 = 368
10 × 26
10 = 9568
100 = 95,68
Importance d’avoir compris le système de numération, et les groupements par dixièmes
Erreurs dans la technique
Les mêmes que dans le cas « classique », avec une difficulté supplémentaire pour placer la virgule:
gérée comme l’addition, l’élève ne décale que de 2 rangs pour placer la virgule;
Si il y a des 0 à droite, risque de ne pas les
« compter », se heurtant à la difficulté que ces 0 ne sont pas significatifs, dès lors que la virgule est
placée!
21
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Technique
13 7
23
Effectuez la division suivante, en donnant un quotient décimal à 2 chiffres
Technique
13 7
– 7 1,85
60
– 56
40
5
24
𝐶 = 13
7
Nous savons que le rationnel 13/7 est non décimal, nous savons donc que le quotient ne sera pas
exact. Cherchons ici un quotient à deux chiffres après la virgule. On part de 13 = 7 × 1 + 6
𝐶 = 13
7
13 = 7 × 1 + 60
10 = 7 × 1 + 7×8+4
10 = 7 × 1 + 7 × 8
10 + 4
10
Ainsi : 13 = 7 × 1 + 0,8 + 0,4 = 7 × 1,8 + 0,4
13 = 7 × 1,8 + 40
100 = 7 × 1,8 + 7×5+5
100 = 7 × 1,85 + 0,05
Question bonus…
Est-ce que cette division décimale « s’arrête »?
NON… 13/7 n’est pas une fraction décimale.
Mais peut-on savoir les chiffres qui vont apparaitre au quotient, si on continue la division?
Quotient périodique
13 7
6 1,85714285714
4
5
1
3
2
6
28
Quizz
3) quel est le quotient de cette division décimale
. 3 . , . 63 1 2 2
? 9 ? 2,??
? ?
Quizz
3) quel est le quotient de cette division décimale
138,2 63
- 126
12 2 2,19
- 6 3
590
- 567
23
138,2=63x2,19+0,23
