HAL Id: hal-01470954
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Submitted on 18 Feb 2017
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,pdfauthor=Antoine Falaize, Thomas Hélie, Tristan Lebrun,pdfkeywords=Systèmes hamiltoniens à
ports, Méthode numérique, Analyse de graphes, Génération de code,pdfcreator=HAL,pdfproducer=PDFLaTeX,pdfsubject=Physics [physics]/Physics [physics]/Computational Physics [physics.comp-ph], Mathematics [math]/Numerical
Analysis [math.NA], Mathematics [math]/Mathematical Physics [math-ph], Mathematics [math]/Dynamical Systems [math.DS]
PyPHS: Un module Python pour la modélisation et la simulation à passivit{é garantie de systèmes multi-physiques
Antoine Falaize, Thomas Hélie, Tristan Lebrun
To cite this version:
Antoine Falaize, Thomas Hélie, Tristan Lebrun. PyPHS: Un module Python pour la modélisation et la simulation à passivit{é garantie de systèmes multi-physiques. Journées Jeunes Chercheurs en Audition, Acoustique musicale et Signal audio, Nov 2016, Paris, France. �hal-01470954�
PyPHS:
Un module Python pour la mod´
elisation et la
simulation `
a passivit´
e garantie de syst`
emes
multi-physiques
Antoine Falaize, Thomas H´
elie, Tristan Lebrun
Project-team S3 (Sound Signals and Systems)
UMR 9912 (IRCAM-CNRS-UPMC)
Motivations
Constat:
Les syst`emes physiques v´erifient un bilan
de puissance:
dE
dt = −PD − PS
Objectif:
Mod´eliser et simuler en pr´eservant cette
propri´et´e. Approche:
Les Syst`emes Hamiltoniens `a Ports
I. Syst`
eme Hamiltonien `
a Ports [1]
nE Composants stockants : • ´Etat x ∈ RnE • E = H(x) = Pnn=1E Hn(xn) ≥ 0 • dEdt = ∇H| dxdt = Pnn=1E dHn dxn dxn dt nD Composants dissipatifs : • Variable w ∈ RnD • Fonction z : RnD → RnD • PD = w| z = Pnn=1D wn zn ≥ 0 nS Sources externes : • Entr´ee u, sortie y • PS = y| u = Pnn=1S yn un Interconnexion conservative :
• Puissance re¸cue: P = f e
• flux f et effort e (elec: f ≡ i, e ≡ υ) • N = nE + nD + nS
• PN
n=1 Pn =
PN
n=1 fn en = 0
Repr´esentation d’´etat
dx dt w y | {z } b = Jx −K Gx K| Jw Gx −Gx| −Gw| Jy | {z } J=−J| ∇H(x) z(w) u | {z } a
Encode le bilan de puissance
dE dt + PD + PS = ∇H| dx dt + z(w)| w + u| y = a| b = a| J a = 0, (J antisym.).
Syst`eme passif
• entr´ee u/´etat x/contrainte w/sortie y. • ´Energie H ≡ Fonction de Lyapunov
(stabil-it´e/contrˆole).
Exemple
Oscillateur amorti excit´e par une force
Graphe associ´e
Dictionnaire
Var. Fonction Flux Effort
m x1 = m ˙q H1 = x 2 1 2m v1 = dH1 dx1 F1 = dx1 dt k x2 = q H2 = k2 x22 v2 = dx2 dt F2 = dH2 dx2 a w3 = ˙q z3 = Aw3 v3 = w3 F3 = z3 In v4 = y4 F4 = u4 Netlist mechanics.mass M (’n1’,’n2’): M=(’M’,0.1); mechanics.stiffness K (’n2’,’n3’): K=(’K’,1e6); mechanics.damper A (’n3’,’ref’): A=(’A’,1);
mechanics.source IN (’ref’,’n1’): type=’force’;
Structure retourn´ee par PyPHS
F1 v2 v3 v4 | {z } b = 0 −1 −1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 | {z } J v1 F2 F3 F4 | {z } a
III. M´
ethode num´
erique [3]
Objectif: Garantir un bilan de puissance `a temps discret: δE δT [k] = P[k] − D[k]. Choix: δE[k] δT = E[k+1]−E[k] δT = H(x[k+1])−H(x[k]) δTUne Solution: gradient discret [?]
dx dt −→ δx[k] δT = x[k+1]−x[k] δT ∇H(x) −→ ∇dH x[k], δx[k] avec ∇dH x, δx n = Hn [x + δx]n − Hn [x]n [δx]n . ⇒ bilan de puissance discret avec
δE
δT [k] = ∇
d
H| x[k], δx[k]| δx[k]
δT
II. Analyse du graphe [2]
Objectif : G´en´erer le syst`eme d’´equations. 1. Graphe → Matrice d’incidence r´eduite Γ:
[Γ]n,b=
1 si la branche b entre le noeud n,
−1 si la branche b sort du noeud n.
2. Γ → Lois de Kirchhoff g´en´eralis´ees:
• Potentiels sur les noeuds p ∈ RnN.
• R´ef´erence N0 arbitraire.
• Γ|p = e, (Loi des mailles). • Γf = 0, (Loi des noeuds).
3. S´eparation suivant le type de contrˆole
Γ = γ0 γe γf • γ0: r´ef´erence, • γe: effort-ctrl, • γf: flux-ctrl.
4. Crit`ere de r´ealisabilit´e:
Forme b = J · a possible si γf inversible. Question: Quel contrˆole pour les composants
dissipatifs bijectifs? Algorithme:
Donn´ees:
Netlist et dictionnaire de composants. R´esultat
• Si r´ealisable:
1. partition de Γ,
2. structure b = J · a.
• Sinon: d´etection des conflits.
Dictionnaire actuel
M´ecanique (1D): masses, ressorts lin./nonlin. (cubique, saturants, etc.), amortisse-ments lin./nonlin., visco-´elasticit´e (d´ eriva-teur fractionnaire).
´electronique: piles, bobines et condensa-teurs lin./nonlin., r´esistances, transistors,
diodes, triodes.
Magn´etique: Aimants, capacit´es magn´etiques lin./nonlin, r ˜Al’sisto-inductance (int´ egra-teurs fractionnaires).
Thermique: sources de chaleur, capacit´es ther-miques.
Connections: couplages ´electromagn´etiques,
couplages ´electrom´ecaniques, transferts irr´eversibles, gyrateurs, transformateurs.
Conclusions
PyPHS: https://afalaize.github.io/pyphs/
• Licence CeCILL (CEA-CNRS-INRIA).
• Python 2.7 support´e sous Mac OSX, Windows 10 et Linux.
Perspectives R´esultats disponible `a impl´ e-menter: variables d’ondes aller/retour, m´ethodes num´eriques d’ordre sup´erieur, r´esolution des con-flits de r´ealisabilit´e, g´en´eration de lois de com-mandes (approche par platitude).
R´
ef´
erences
[1] Duindam, V., Macchelli, A., Stramigioli, S., & Bruyn-inckx, H. (Eds.). (2009). Modeling and control of complex physical systems: the port-Hamiltonian ap-proach. Springer Science & Business Media.
[2] Falaize, A., & H´elie, T. (2016). Passive Guaran-teed Simulation of Analog Audio Circuits: A Port-Hamiltonian Approach. Applied Sciences, 6(10), 273. [3] Lopes, N., H´elie, T., & Falaize, A. (2015). Explicit second-order accurate method for the passive guaran-teed simulation of port-Hamiltonian systems. IFAC-PapersOnLine, 48(13), 223-228.
