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Lower Bounds and Algorithms for Dominating Sets in Web Graphs

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Academic year: 2021

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(1)Lower Bounds and Algorithms for Dominating Sets in Web Graphs Colin Cooper, Ralf Klasing, Michele Zito. To cite this version: Colin Cooper, Ralf Klasing, Michele Zito. Lower Bounds and Algorithms for Dominating Sets in Web Graphs. [Research Report] RR-5529, INRIA. 2006, pp.26. �inria-00070478�. HAL Id: inria-00070478 https://hal.inria.fr/inria-00070478 Submitted on 19 May 2006. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Lower Bounds and Algorithms for Dominating Sets in Web Graphs Colin Cooper — Ralf Klasing — Michele Zito. N° 5529 Mars 2005. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--5529--FR+ENG. Thème COM. apport de recherche.

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(143) wx£žDrxzu­mZ\'] A¤¡ moZ\_zwxtŒƒlrx] \zrjq*_^kkƒl_µšt\_^ƒ ¦ji²kn_*mnmou t\ Z = E (f (G )) ¡QwxtŒƒ Z ?®Ÿ®rxz Amr(¦N_moZŒ_K_*«jN_^qmw‚mou rxt-r‚Ÿ qrxtšƒlu­mužrDt\_^ƒœrDt-moZŒ_  _«lšrTknsŒzo_ crxŸ¢moZ\_ µšzknm ii ∈_^ƒl{1, D_^k. .u t. , momt} Z\_Dzwx\Z\zrlq_pkokuvkcw7]œwxznmužtŒDfw‚(G £ _x!§ ¨r‚mo)uvq_emZŒw%mcmZ\_

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(146) ›cu £ž£¬z_*N_^w‚mo_pƒl£žisŒko_)moZ\_

(147) Ÿ®rx£ £žr%›cu t\·qrDtŒq_^tTmozw%mou rxtz_^kos\£­m ?®Ÿ®rxz¨w Œzorjr‚Ÿkn_^_x¡jŸ®rDzcužtŒknmwxtŒq_D¡ :^C;A§ h. lo. t. t. up. lo. M lo. M lo. M up. h. t. up. M up. M lo. h. M,m t. M up. M,m t. M,m t. 0. i. M,m t. .

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(152) TsŒw‚£ užm}iVŸ®rD£ž£ r%›k(Ÿ®zorD] moZ\_ ko]œrjr‚moZŒt\_^kker‚Ÿ ?®u=§ _D§ užŸ w‚tŒƒ ƒ\u 9_*z›§ z^§ m^§(moZ\_œ\z_^ko_*tšq_7r‚Ÿ.w"koužtŒx£ _ _pƒlx<_ A’w‚tŒƒ(moZ\_wxf¦\u £žužm}imor|fƒl(G) _^]œrx−tŒknfmoz(H)| w%m_{mZ\≤_c1_«luvk}mG_*tŒq*_.rxŸNHwe]œ_^wDkns\z_.\zo_pkn_^zo©ju t\¨¦Œu |}_pq¤mou rxtœ¦N_m}›._*_^t M,m t. i+1. i. ÿ ’Õ¬ÿÉü .

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(161) š¡’u=§ _x§~w‚t rDzƒ\_*z_^ƒqrD£ž£ _^qmou rxt r‚Ÿ mt £vw‚¦N_*£ £ _^ƒ7Œw‚u zkr‚Ÿ9šrDužtTm$k ?Çko_*_ : X;A§!¬_m wxtŒƒ ¦š_m}›.rknsšqZœq*rxtlµšxs\zw%mužrDtŒk moZŒw‚m{w‚z_.uvƒl_^tDmu q^w‚£ sŒ‰mrmZ\_ imZVšw‚u z^§agls\\NrDko_amZ\_ i +C1¥Øk}m)Œw‚Cu z)u k {a, b} u t C w‚tŒƒ {a, c} užt C § ˜ Ÿ C t\_^©x_*z sškn_pk)šrDužtTm b w‚Tw‚u t‰mZ\_*tmZ\_-už]-wxx_œr‚Ÿ C s\tŒƒl_^zmoZŒ_-]7_pwxkos\z_7Œzo_pkn_^zo©ju t\¦Œu |}_pq¤mou rxt ›cu £ £Q¦š_·w q*rxtlµšxs\zw%mužrDt u ƒ\_*tTmouvq*wx£lmor _«\q_^lmQmoZšw%m{Œwxužz b} uvkQz_*\£vwxq*_^ƒ7¦ji(Œwxužz {a, c} § ˜ Ÿ b u k{sŒkn_pƒ u t w"Ÿ®rD£ž£ r%›cu t\LCŒw‚u 9z ?;kowXi {d, b}CAr‚Ÿ C mZ\_*t C ›c{a, u £ £{ZŒwX©D_ u tŒknmo_^wDƒr‚Ÿ {a, b} w‚tŒƒ {d, c} u tŒknmo_pwxƒr‚Ÿ {d, b} ¡lw‚tšƒkor7rxt¬§{gju ]œuž£vw‚zq*rxtŒknmozsŒqmou rxtu k\z_^ko_*tT{a,m_^ƒc}užt : ˆ ;´§ _’u tŒw‚£ £ i·›B_)›cu £ž£?t\_*_pƒmZ\_)Ÿ®rx£ £ r%›cužt\ B¹   •  ! Z    O%

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(165) H) c , c > 0  HMhT4 µ = E (Z ) ∈. i+1. 1. 2. 1. 2. 1. 1. 0. 1. 0. 1. >4

(166) Tn!"3NM3ai3

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(168) 4L

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(171) 

(172) 

(173) ’’!. YZŒ_~w‚£ xrxzužmoZ\] Œzo_pkn_^tDm_^ƒ užt mZ\uvk·kn_pq¤mužrDt uvk·w©D_*zi knu ]œ\£ _  µŒzknmw%mnm_*]œlm Lkorx£ slmou rxt Ÿ®rDz-moZ\_ ŒzorD¦\£ž_^]³w‚mZŒw‚tŒƒ¬§ =¨£­mZ\rxs\DZLužtL]-wxtTiq*wDkn_pku­mKƒ\rT_pkt\rxm£ž_pwxƒmorwœ©x_*ziko]-w‚£ £?ƒlrD]7u tŒw‚mou t\·kn_*m^¡ užmz_*\z_^ko_*tTmkw7tŒw‚mos\zw‚£¢¦N_*tŒqZŒ]œwxzo¶œŸ®rDz¨w‚tji-]œrxz_)zo_*µŒt\_pƒZ\_^s\zu knmouvq‚§ Ž (  ½

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(176) qs\zzo_^tTm.Dzwx\ZwxtŒƒ£ _m § _\rDzxzw‚\ZŒkKx_^t\_*zw%m_^ƒVwxq*q*rxzƒlu t\·mrmZ\_ [ ]œrjƒ\_*£=¡¢moZ\_œ\zrx¦šw‚¦\u £žužm}i"moZšw%m v µ = E (X ) ]œuvkoko_^k.mZ\_

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(181)  

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(186) . . Xt m t ) ]. §. x = (1 − x)m. u t. §¨Y’w‚¦\£ _7‡œDuž©D_^k. (0, 1). . . M3

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(190) H3L

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(194) ‡ Q!sŒ]7_^zouvq*wx£¢©%w‚£ s\_^kƒ\_µŒt\_pƒu t¬_^]7]-w·‡\§ m. C. ‡. 5 X. ‹. † . ŠŒ§ † ŠŒ§ 5RbD‡ ŠŒ§ 5HC  ŠŒ§ ‡ ‚†D† ŠŒ§ K‡ XT4† C ŠŒ§ ‡D ‡ Cpˆ ŠŒ§ ‡xNŠ 5T†. x. ÿ ’Õ¬ÿÉü .

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(209) H]?;kn_*m P ABwxtŒƒ 1S2(^NM33N-^?Çko_m RA¤§QYZjsŒk S = P ∪ R § ?_m P w‚tšƒ ƒ\_*t\rxmo_emoZ\_

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(214) H3L

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(216) 4L

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(218) ( ρ   ^ . t > 0 |πt − pt| ≤ C1 t. |ρt − rt| ≤ C2 t. wxzo” D½¬s\½ ]œ _* tTmYužZ\tL_Lkorx\]œzrj_r‚ŸKƒl_uvmk^w‚¡.u _p£ k.kokoŸ®_*rDtTz mu wx£ž§]£ ix=.¡mcw²moZŒx__*tŒuž_*tŒzƒ\w‚sŒ£ u q¤kmw%užm©Duž_)rDt knmo_^r‚JŸeQ moZšw%mrxŸ ?_*]œ]-w . πt. Õ Õ Úk ¤á. *

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(220) . C1. 

(221) . C2. ‡l§ª°²_L\z_^ko_*tTm-moZ\_.

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