Imagerie microonde d'objets enterrés : modélisations numériques bidimensionnelles et étude de l'extension tridimensionnelle

HAL Id: tel-00165785

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00165785v2

Submitted on 18 Mar 2008

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

Imagerie microonde d’objets enterrés : modélisations

numériques bidimensionnelles et étude de l’extension

tridimensionnelle

Ioannis Aliferis

To cite this version:

Ioannis Aliferis. Imagerie microonde d’objets enterrés : modélisations numériques bidimensionnelles

et étude de l’extension tridimensionnelle. Autre. Université Nice Sophia Antipolis; National Technical

University of Athens, 2002. Français. �tel-00165785v2�

Sqol  Hlektrolìgwn Mhqanik¸n kai Mhqanik¸n Upologist¸n

Tomèa SusthmˆtwnMetˆdosh Plhrofora kai Teqnologa Ulik¸n

Mikrokumatik  apeikìnish antikeimènwn sto eswterikì dom¸n: disdiˆstath arijmhtik  montelopohsh kai

melèth epèktash sti trei diastˆsei

DidaktorikhDiatribh Iwˆnnh Aliferh

antikeimènwn sto eswterikì dom¸n: disdiˆstath arijmhtik  montelopohsh kai

melèth epèktash sti trei diastˆsei

To parìn stoiqeiojet jhke me tosÔsthma paraskeu  eggrˆfwn

L

A

TEX

. H sqedash t  selda ègine apì to suggrafèa: o prosektikì anagn¸sth ja anakalÔyei th qrus  tom 

φ

sti diˆfore analoge (odhge ektÔpwsh brskontaisthn teleutaa selda).

H hlektronik èkdosh enaidiajèsimhsth selda:

‚päfìnofriqtänkaÈt¸raxèrei

poiä ‚l jeiaåkìsmo poÌ Íperèqei poiätä{n

˜

un}kaÈpoiätä {aÊàn}to

˜

u kìsmou:

HmèaSusthmˆtwnMetˆdosh Plhrofora kaiTeqnologa Ulik¸n, Sqo-l  Hlektrolìgwn Mhqanik¸n kaiMhqanik¸n Upologist¸n, Ejnikì Metsì-bio Poluteqneo (emp), sthn Ellˆda, kai sto

Laboratoire d’´

Electronique,

Antennes et T´el´ecommunications (leat)

, to opoo an kei apì koinoÔ sto

Universit´e de Nice – Sophia Antipolis (unsa)

kaisto

Centre National de la

Recherche Scientifique (cnrs)

,sthGalla.

Hparapˆnwfainomenikˆapl frˆsh,krÔbeiènanexairetikˆmegˆlobajmì poluplokìthta ,aggzonta taìria toÔ(kbantikoÔ)Qˆou .

1

KiantoÔthth stigm  grˆfw autì to shmewma, to qrwst¸ kai sth suneisforˆ kˆpoiwn pros¸pwn pou me st rixan me ton ènan   ˆllo trìpo sthn porea aut  t  ergasa .

Ekfrˆzw th bajiˆ mou eugnwmosÔnhstou epiblèponte kajhghtè mou, k. Panagi¸th Fragko,Kajhght  emp,kai k.

Christian Pichot

, Dieujunt  'Ereuna

cnrs

kai Dieujunt  toÔ

leat

. MoÔ èdeixan, o kajèna apì thn pleurˆ tou, amèristh sumparˆstash kaiempistosÔnh katˆ thn ekpìnhsh t  diatrib  ,kajodhg¸nta thn ergasamou meupodeigmatikì trìpo. 'Htan dia-jèsimoi opoted pote z thsath bo jeiˆ tou , prosfèronta apotelesmatikè lÔsei . Oi polÔwre suzht sei maz tou moÔ prìsferan pˆnta miˆ frèskia matiˆsto antikemenìmou kaiènaknhtrogianasuneqsw.

Euqarist¸tonk.NikìlaoOuzounoglou,Kajhght emp,giath summeto-q tousthntrimel epitrop ,thnupost rix tousthnidèat  sunepbleyh , ti exairetikˆqr sime gia thn ergasa idèe tou, kaithn apodoq  touna o-ristew krit  t  diatrib  apìto

unsa

.

Ekfrˆzwti bajiè euqariste moustonk.

Albert Papiernik

,Kajhght 

unsa

,oopoo me upodèqthkew Dieujunt  toÔ

leat

,arqikˆw metaptu-qiakì spoudast  kai sth sunèqeia w upoy fio didˆktora. Ton euqarist¸ jermˆ giath summetoq  tousthn eptamel epitrop .

1

Hèreunaapèdeixeìtiopl rh orismì t  ènnoia {didaktorik diatrib upìkajest¸ sunepbleyh }enaiexairetikˆdÔskolo nadoje. SÔmfwna memiaempeirik prosèggish, prìkeitaigia ènakbantikìfainìmeno megˆlh klmaka ,sto opoo ènafusikì prìswpo brsketaitautìqronasedÔo mèrhgia ènamegˆlo qronikìdiˆsthma. Seaut  thn katˆ-stash,ènaˆtomosusswreÔeiempeiradekˆdwnwr¸npt sh (metaantstoiqaqamìgela aerosunod¸n;ìqiìmw kaiarketˆmliagiaènataxdista

Bora Bora

), enisqÔei apofasi-stikˆ thnpagkìsmia agorˆthlepikoinwni¸n,parenoqletou upeÔjunou diktÔwnme ta pioapjanateqnikˆprobl mata(sumbˆllonta ,upojètw,sthnpro¸jhsht  antstoiqh èreuna ),entrufesto SugkritikìDkaio,prospaj¸nta naenarmonistetautìqroname nìmou diaforetik¸nqwr¸n, kaiupobˆlleiprwtìgnwra ait mata sedhmìsie uphrese , apokt¸nta anagkastikˆmiastˆshzenw pro tonèxwkìsmo(ankaidenmpor¸napwto diokaigiathntèqnhsunt rhsh t  motosuklèta ). Okatˆlogo jamporoÔsena sune-qistegiapolÔ,allˆjamenwseènashmeo: ìsokianfanetaiparˆdoxo,hpijanìthta ìlataparapˆnwnaèqounasiotèlo ,enaimhmhdenik .

jhght  Panepisthmou

Ontario

, dèqthke na summetèqei sthn eptamel  epi-trop  kai na enai krit  t  diatrib  gia to

Universit´e de Nice – Sophia

Antipolis

. Ton euqarist¸ jermˆ gia ìla, kaiidiatera gia tosuntonismì t  diadikasa exètash toÔdidaktorikoÔ apìth jèsh toÔ proèdrout  epitro-p  .

Katˆ th diˆrkeia ìlwn aut¸n twn et¸n, eqa thn tÔqh na sunergast¸ polÔ stenˆ me tonk.

Jean-Yves Dauvignac

,Lèktora

unsa

. Ekfrˆzwthn eugnwmosÔnhmou giathn aperiìristhbo jeia pou moÔpareqese jewrhtikˆ kaiteqnikˆzht mata, ta arijmhtikˆapotelèsmata toÔlogismikoÔ

SR3D

,ti atèleiwte ¸re pou afièrwsesthn ergasamou,kaiti exairetikˆ epoikodo-mhtikè suzht sei poueqame maz.

Euqarist¸ thnkaKwnstantnaNikhta, Anaplhr¸tria Kajhg triaemp, gia th summetoq  th sthn eptamel  epitrop  exètash toÔ didaktorikoÔkai ti polÔ qr sime parathr sei th .

O k.

Dominique Lesselier

,Dieujunt  'Ereuna

cnrs

,dèqthkena ori-stekrit  t  diatrib  . Toneuqarist¸giautì kaj¸ kaigiataexairetikˆ endiafèrontasqìliˆ tou.

Ekfrˆzw ti euqariste mou ston k. Iwˆnnh Kanellopoulo, Kajhght  emp,gia thnparaq¸rhsh enì q¸rouergasa stoemp.

Euqarist¸ ton k. Gi¸rgo Kossiaba, Kajhght 

unsa

, thn ka

Claire

Migliaccio

, Lèktora

unsa

, kaj¸ kai ìla ta mèlh toÔ

leat

, gia th bo- jeiˆ tou .

O k.

John Gilbert

, ereunht  sto

Xerox Palo Alto Research Center

, moÔèdwseulopohshtoÔalgorjmou

“Incomplete Lower Upper factorization

with Threshold” (ilut)

sek¸dika

Matlab

,katˆth diˆrkeiatoÔseminarou

“Sparse Days”

sto

cerfacs

(IoÔnio 2002,

Toulouse

,Galla);toneuqarist¸ gi autì.

H ekpìnhsh t  diatrib  qrhmatodot jhke me upìtrofatoÔ IdrÔmato Kratik¸nUpotrofi¸n(iku). Euqarist¸tonk.Epamein¸ndaKriezh,Omìtimo Kajhght AristoteleouPanepisthmouJessalonkh ,giatasqìliˆtouapì thjèshtoÔepìpthkajhght . Epsh euqarist¸toproswpikìtoÔIdrÔmato , kaiidiaterati kure Aret Kalogeropoulou,KrustallaKoukoulomath, Iwˆnna Adamantiadou kaiQrusˆnnaMetaxa. H ˆyogh sunergasa mou me toikukatˆtodiˆsthmaaut¸ntwnet¸n, moÔepitrèpei natojewr¸ upìdeig-ma dhmìsiou organismoÔ se ì,ti aforˆ thn euelixa, thn katanìhsh kai thn poiìthtatoÔproswpikoÔ tou.

Euqarist¸thnka

G´eraldine Mansueti

,tonk.

Christian Raffaele

,thn ka

Martine Borro

kai thn kaBèra Eujumiou gia th grammateiak  upost -rixh.

Ekfrˆzw ti euqariste mou pro ìlou tou sunadèrfou , se Ellˆda kai Galla, kai idiatera stou Prìdromo Atlamazoglou, Alèxandro Dh-mou,

Tareq Al Gizawi

,JeofˆnhManiath,JanˆshPanagopoulo,Qr sto Papaqrhsto,JanˆshPotsh,kai

C´edric Dourthe

,

Ralph Ferray´

e

,

Erw-an GuillErw-anton

,

Emmanuel Le Brusq

,

Philippe Le Thuc

,

Herv´e Tosi

,

Christelle Nannini

,

Chu Son

.

H

Joanna Sosabowska

up rxeosÔndesmì moumetonexwterikìkìsmo katˆthdiˆrkeiatwntri¸nteleutawnmhn¸nkaigiautìt  emaieugn¸mwn. Euqarist¸ to

Massimiliano Ma¨ıni

kaith

Victorit¸a Dolean

gia th bo -jeia kaith filoxenatou ...

...kaitoNkoQrusanjakopoulo,genik¸ .

Grˆfonta autì tokemeno,suneidhtopoi¸gia ˆllh miaforˆìti se ma-jhmatik diˆlekto hgl¸ssaapotelemhpl rhbˆshgiathnperigraf twn sunaisjhmˆtwn. Gi autì, epilègw na mhn th qrhsimopoi sw ˆllo. Kˆpoioi, twnopownta onìmatalepoun,jatokatalˆboun.

2

Anˆmesˆ tou , oigone mou,Dhm trh kai'Anna,h aderf mou,Polutmh,oGi¸rgo Kourh , kaita anyiamou,DanˆhkaiPlˆtwna .

Nkaia,Galla Dekèmbrio 2002

2

Apìmìnoitou ? Apìmìnoitou . Qwr nakˆnei tpota? ApolÔtw tpota.

1 Eisagwg  1

1.1 Mikrokumatik apeikìnish . . . 1

1.1.1 Genik perigraf  . . . 1

1.1.2 Perijlastik tomografa. . . 3

1.1.3 Pèra apìthn perijlastik  tomografa . . . 5

1.1.4 Mh grammikè mèjodoi . . . 6

1.1.5 Kanonikopohsh . . . 8

1.2 Dom didaktorik  diatrib  . . . 8

I

Disdiˆstath arijmhtik  montelopohsh 11 2 Mikrokumatik  tomografa 13 2.1 EujÔ prìblhmaskèdash . . . 13

2.1.1 Orismì . . . 13

2.1.2 Oloklhrwtikè anaparastˆsei . . . 14

2.1.3 Mèjodo Rop¸n . . . 16

2.1.4 Exis¸sei pinˆkwn . . . 18

2.2 Antstrofoprìblhmaskèdash . . . 20

2.2.1 Orismì . . . 20

2.2.2 Mèjodo suzug¸nklsewn. . . 21

2.2.3 Mèjodo disuzug¸nklsewn . . . 23

2.2.4 Kanonikopohsh . . . 24

3 Arijmhtikˆ apotelèsmata 29 3.1 Eisagwg  . . . 29

3.2 Montelopohsh prospptonto pedou . . . 32

3.3 Montelopohsh metrhtikoÔjorÔbou . . . 33

3.4 Melèthanoq  jorÔbou . . . 34

3.6 MelètharijmoÔ suqnot twn . . . 38

3.7 Melèthperioq  suqnot twn . . . 38

3.8 Teqnikè metallag  suqnìthta . . . 52

3.9 Sumperˆsmata . . . 55

II

Melèth epèktash sti trei diastˆsei 61 4 EujÔ prìblhma 63 4.1 Exis¸sei

Maxwell

. . . 63

4.2 Oriakè sunj ke . . . 65

4.3 Sunj khaktinobola . . . 66

4.4 Exis¸sei skedazìmenoupedou . . . 66

5 Mèjodo peperasmènwn diafor¸n 71 5.1 Apìtosuneqè stodiakritì . . . 71

5.2 Arjmhsh tim¸ndiakritopoihmènwnmegej¸n. . . 75

5.2.1 Trisdiˆstata probl mata . . . 75

5.2.2 Disdiˆstata probl mata . . . 76

5.3 KatˆstrwshgrammikoÔsust mato . . . 77

5.3.1 Probl matakleist  gewmetra kaiaktinobola . . . 79

5.3.2 Probl mataskèdash . . . 79

5.4 Efarmog  oriak¸nsunjhk¸n . . . 80

5.5 Aporrofhtikè oriakè sunj ke . . . 82

5.5.1 Hlektromagnhtikè idiìthte . . . 84

5.5.2 Qarakthristikˆ diˆdosh . . . 84

5.5.3 Jewrhtikì suntelest  anˆklash . . . 86

5.5.4 Proflagwgimìthta . . . 86

5.6 Metasqhmatismì kontinoÔ semakrinì pedo . . . 88

5.6.1 Olokl rwma

Kirchhoff

. . . 89 5.6.2 Arijmhtik pistopohsh . . . 90 6 Arijmhtikˆ apotelèsmata 97 6.1 Kleistˆprobl mata . . . 97 6.1.1 Mèjodoieplush . . . 97 6.1.2 Kumatodhgì . . . 98 6.1.3 Suntonizìmenh koilìthta . . . 100 6.2 Anoiqtˆ probl mata . . . 103 6.2.1 Mèjodoieplush . . . 103 6.2.2 Stoiqei¸de dpolo . . . 105 6.3 Sumperˆsmata . . . 105

7 Sumperˆsmata 107

III

Parart mata 115

AþTelest  anˆdelta se pnake 117

Aþ.1 Klsh pnaka . . . 117

Aþ.2 Laplasian pnaka . . . 117

Bþ Diakritopohsh diaforik¸n telest¸n 119 Gþ Diakritopohsh exis¸sewn

Maxwell

121 Gþ.1 Exswsh

Faraday

. . . 121

Gþ.2 Exswsh

Maxwell-Amp`ere

. . . 123

Gþ.3 Kumatik exswshgia tohlektrikìpedo . . . 125

Gþ.4 Exswsh

Gauss

gia to hlektrikìpedo . . . 128

Gþ.5 Klsh t  exswsh

Gauss

. . . 130

DþKatˆstrwsh grammikoÔ sust mato 135 Dþ.1 Orismì pinˆkwnmèsh tim  . . . 135

Dþ.2 Exswsh

Faraday

. . . 138

Dþ.3 Exswsh

Maxwell-Amp`ere

. . . 140

Dþ.4 Kumatik exswshgia tohlektrikìpedo . . . 141

Dþ.5 Klsh t  exswsh

Gauss

. . . 141

Eþ Pnake periorismènh tautìthta 145 Eþ.1 Orismì kaiidiìthte . . . 145

Eþ.2 Pnaka exwterikoÔagwgoÔ . . . 147

Eþ.3 Pnaka eswterik¸nagwg¸n . . . 148

Eþ.4 Pnaka efarmosmènwndunamik¸n . . . 148

þ Arijmhtik  olokl rwsh 149 þ.1 Apl olokl rwsh. . . 149 þ.2 Dipl olokl rwsh . . . 150 Zþ Olokl rwma

Kirchhoff

151 Bibliografa

155

Euret rio bibliografa

167

ιαʹ

2.1 Gewmetrapollapl¸n strwmˆtwndisdiˆstatou probl mato . . 15 3.1 Profl dihlektrik  stajerˆ kai agwgimìthta pragmatikoÔ

antikeimènou. Oiarijmo stou ˆxone

x, y

anafèrontaise ku-yèle . . . 30 3.2 Apotelèsmataanakataskeu  mekanonikopohsh(m.k.) kai

qw-r (q.k.),sunart seitoÔphlkous mato pro jìrubo. Pro-fl gia anakataskeu  me kanonikopohsh,

SNR = 20 dB

(pˆ-nw),

SNR = 90 dB

(kˆtw). . . 36 3.3 Omˆda apotelesmˆtwn 1. Metabol  toÔ arijmoÔ twn

shme-wn ekpomp  /mètrhsh (

N

M

∈ {3, 5, 7, 11, 13, 21, 31, 61}

) gia stajerìm ko gramm  mètrhsh

L

M

= 1.5 m

. Apotelèsmata qwr kanonikopohsh. Profl gia

SNR = 30 dB

,

N

M

= 13

(pˆnw),

N

M

= 21

(kˆtw). . . 39 3.4 Omˆdaapotelesmˆtwn 1. Metabol  toÔ arijmoÔ twnshmewn

ekpomp  /mètrhsh (

N

M

∈ {3, 5, 7, 11, 13, 21, 31, 61}

) gia sta-jerìm ko gramm  mètrhsh

L

M

= 1.5 m

. Apotelèsmata me kanonikopohsh. Profl gia

SNR = 30 dB

,

N

M

= 13

(pˆnw),

N

M

= 21

(kˆtw). . . 40 3.5 Omˆda apotelesmˆtwn 2. Metabol  toÔ arijmoÔ twn

shme-wnekpomp  /mètrhsh (

N

M

∈ {3, 5, 9, 11, 21, 41}

) gia staje-rì m ko gramm  mètrhsh

L

M

= 1 m

. Apotelèsmata qwr kanonikopohsh. Profl gia

SNR = 30 dB

,

N

M

= 21

(pˆnw),

N

M

= 41

(kˆtw). . . 41 3.6 Omˆda apotelesmˆtwn 2. Metabol  toÔ arijmoÔ twn

shme-wnekpomp  /mètrhsh (

N

M

∈ {3, 5, 9, 11, 21, 41}

) gia staje-rì m ko gramm  mètrhsh

L

M

= 1 m

. Apotelèsmata me ka-nonikopohsh. Profl gia

SNR = 30 dB

,

N

M

= 21

(pˆnw),

N

M

= 41

(kˆtw). . . 42

3.7 Omˆda apotelesmˆtwn 3. Metabol  toÔ arijmoÔ suqnot twn (

N

F

∈ {2, 3, 5, 6, 11, 21}

)giastajer perioq suqnot twn

0.3

−

1.3 GHz

. Apotelèsmata qwr kanonikopohsh. Profl gia

SNR = 30 dB

,

N

F

= 5

(pˆnw),

N

F

= 11

(kˆtw). . . 43 3.8 Omˆda apotelesmˆtwn 3. Metabol  toÔ arijmoÔ suqnot twn

(

N

F

∈ {2, 3, 5, 6, 11, 21}

)giastajer perioq suqnot twn

0.3

−

1.3 GHz

. Apotelèsmatamekanonikopohsh. Proflgia

SNR =

30 dB

,

N

F

= 5

(pˆnw),

N

F

= 11

(kˆtw). . . 44 3.9 Omˆda apotelesmˆtwn 4. Metabol  t  an¸terh

suqnìth-ta

f

max

giastajer kat¸tathsuqnìthta

f

min

= 0.3 GHz

kai arijmì suqnot twn

N

F

= 3

. Apotelèsmata qwr kanoniko-pohsh. Profl gia

SNR = 30 dB

,

f

max

= 0.5 GHz

(pˆnw),

f

max

= 1.3 GHz

(kˆtw). . . 45 3.10 Omˆda apotelesmˆtwn 4. Metabol  t  an¸terh

suqnìth-ta

f

max

gia stajer  kat¸tath suqnìthta

f

min

= 0.3 GHz

kai arijmì suqnot twn

N

F

= 3

. Apotelèsmata me kanoniko-pohsh. Profl gia

SNR = 30 dB

,

f

max

= 0.5 GHz

(pˆnw),

f

max

= 1.3 GHz

(kˆtw). . . 46 3.11 Omˆda apotelesmˆtwn 5. Metabol  t  an¸terh

suqnìth-ta

f

max

giastajer kat¸tathsuqnìthta

f

min

= 0.3 GHz

kai arijmì suqnot twn

N

F

= 5

. Apotelèsmata qwr kanoniko-pohsh. Profl gia

SNR = 30 dB

,

f

max

= 0.5 GHz

(pˆnw),

f

max

= 1.3 GHz

(kˆtw). . . 48 3.12 Omˆda apotelesmˆtwn 5. Metabol  t  an¸terh

suqnìth-ta

f

max

gia stajer  kat¸tath suqnìthta

f

min

= 0.3 GHz

kai arijmì suqnot twn

N

F

= 5

. Apotelèsmata me kanoniko-pohsh. Profl gia

SNR = 30 dB

,

f

max

= 0.5 GHz

(pˆnw),

f

max

= 1.3 GHz

(kˆtw). . . 49 3.13 Omˆdaapotelesmˆtwn6. Metabol  t  kentrik  suqnìthta

f

0

giastajerìeÔro z¸nh

f

max

− f

min

= 0.2 GHz

kaiarijmì suqnot twn

N

F

= 3

. Apotelèsmata qwr kanonikopohsh. Proflgia

SNR = 30 dB

,

f

0

= 0.4 GHz

(pˆnw),

f

0

= 1.2 GHz

(kˆtw). . . 50 3.14 Omˆdaapotelesmˆtwn6. Metabol  t  kentrik  suqnìthta

f

0

giastajerìeÔro z¸nh

f

max

− f

min

= 0.2 GHz

kaiarijmì suqnot twn

N

F

= 3

. Apotelèsmata me kanonikopohsh. Pro-fl gia

SNR = 30 dB

,

f

0

= 0.4 GHz

(pˆnw),

f

0

= 1.2 GHz

(kˆtw). . . 51

3.15 Omˆda apotelesmˆtwn 7. Metabol  t  an¸terh suqnìth-ta

f

max

gia stajer  kat¸tath suqnìthta

f

min

= 0.3 GHz

, arijmì suqnot twn

N

F

= 3

kai metallag  suqnìthta . Apo-telèsmata qwr kanonikopohsh. Profl gia

SNR = 30 dB

,

f

max

= 0.5 GHz

(pˆnw),

f

max

= 1.3 GHz

(kˆtw). . . 53 3.16 Omˆdaapotelesmˆtwn7. Metabol t  an¸terh suqnìthta

f

max

giastajer kat¸tathsuqnìthta

f

min

= 0.3 GHz

,arijmì suqnot twn

N

F

= 3

kaimetallag suqnìthta . Apotelèsmata mekanonikopohsh. Proflgia

SNR = 30 dB

,

f

max

= 0.5 GHz

(pˆnw),

f

max

= 1.3 GHz

(kˆtw). . . 54 3.17 Omˆda apotelesmˆtwn 8. Metabol  t  kentrik 

suqnìth-ta

f

0

gia stajerì eÔro z¸nh

f

max

− f

min

= 0.2 GHz

, a-rijmì suqnot twn

N

F

= 3

kai metallag  suqnìthta . Apo-telèsmata qwr kanonikopohsh. Profl gia

SNR = 30 dB

,

f

0

= 0.4 GHz

(pˆnw),

f

0

= 1.2 GHz

(kˆtw). . . 56 3.18 Omˆdaapotelesmˆtwn8. Metabol  t  kentrik  suqnìthta

f

0

gia stajerì eÔro z¸nh

f

max

− f

min

= 0.2 GHz

, arijmì suqnot twn

N

F

= 3

kaimetallag suqnìthta . Apotelèsmata me kanonikopohsh. Profl gia

SNR = 30 dB

,

f

0

= 0.4 GHz

(pˆnw),

f

0

= 1.2 GHz

(kˆtw). . . 57 5.1 Stoiqei¸dh kuyèlh

(i, j, k)

toÔ plègmato . . . 72 5.2 GwniakˆTèleia ProsarmosmènaStr¸mata. . . 85 5.3 Diaqwristik  epifˆneiaTèleiouProsarmosmènouStr¸mato . 85 5.4 PollaplˆTèleiaProsarmosmèna Str¸mata. . . 87 5.5 Aktinobola stoiqei¸dou dipìlou stomakrinì pedo:

sÔgkri-sh analutikoÔ upologismoÔ kai metasqhmatismoÔ kontinoÔ se makrinì pedo. Upologistikì q¸ro :

(23, 23, 23)

kìmboi. Epi-fˆneia

Kirchhoff

: apì

(2, 2, 2)

w

(22, 22, 22)

, m ko pleurˆ

1λ

,kentrarismènh. . . 91 5.6 AkrbeiametasqhmatismoÔ kontinoÔse makrinìpedo

sunart -sei toÔm kou

d

t  pleurˆ toÔ kÔbou

Kirchhoff

(epifˆneia kentrarismènh). . . 92 5.7 AkrbeiametasqhmatismoÔ kontinoÔse makrinìpedo

sunart -sei t  jèsh toÔ kÔbou

Kirchhoff

. Mhdenikì

offset

antistoi-qesekentrarismènokÔbo. Upologistikì q¸ro :

(43, 43, 43)

kìmboi. Epifˆneia

Kirchhoff

: m ko pleurˆ 20 kuyèle (

1λ

). 94 5.8 AkrbeiametasqhmatismoÔ kontinoÔse makrinìpedo

sunart -sei twndiastˆsewn t  kuyèlh . Epifˆneia

Kirchhoff

: m ko pleurˆ

1λ

,kentrarismènh. . . 95

5.9 Aktinobola stoiqei¸dou dipìlou stomakrinì pedo: sÔgkri-sh analutikoÔ upologismoÔ kai metasqhmatismoÔ kontinoÔ se makrinì pedo. Diastˆsei kuyèlh :

λ/120

. . . 96 6.1 Sunist¸sa

E

y

toÔhlektrikoÔpedoutwnrujm¸nTE

z

10

(pˆnw) kaiTE

z

20

(kˆtw) enì kumatodhgoÔ orjogwnik  diatom  , me

a/b = 3

. Oiarijmostou ˆxone

x, y

anafèrontaise kuyèle . 101 6.2 Sunist¸sa

E

y

toÔ hlektrikoÔ pedoutwn rujm¸n TE

z

101

(pˆ-nw)kaiTE

z

201

(kèntro), kaisunist¸sa

E

z

toÔrujmoÔTM

z

110

(kˆtw)gia mia orjogwnik  koilìthta,me

a/b = 3

kai

a/c = 2

. 104 6.3 Aktinobolastoiqei¸dou dipìloustomakrinìpedo: sÔgkrish

analutikoÔupologismoÔ kaiarijmhtikoÔ pedoupeperasmènwn diafor¸n. . . 106

3.1 Parˆmetroidiakritopohsh q¸rou

D

d

. . . 31 3.2 Parˆmetroikanonikopohsh .. . . 31 5.1 Suntetagmène pediak¸n sunistws¸nsthn kuyèlh

(i, j, k)

. . . 72 6.1 Lìgo suqnot twn

R

mn

= f

mn

/f

10

gia kumatodhgì

orjogw-nik  diatom  ,me

a/b = 3

. . . 99 6.2 Lìgo suqnot twn

R

mnp

= f

mnp

/f

101

gia orjogwnik 

Eisagwg 

Nuntä‚grmit

˜

h murti

˜

a N

˜

un™kraug˜to

˜

uMˆh Aien™ŠkrasunedhshAÊàn™plhsifˆh

1.1 Mikrokumatik  apeikìnish

1.1.1 Genik  perigraf 

O ìro {mikrokumatik apeikìnish} perigrˆfei èna sÔnolomejìdwn ana-kataskeu  twn idiot twn enì ˆgnwstou antikeimènou, qrhsimopoi¸nta w phg  plhrofora thn allhlepdrash toÔ antikeimènou me hlektromagnhtik  aktinobola mikrokumatik¸n suqnot twn. Oi zhtoÔmene idiìthte mpore na perilambˆnounth jèsh, tosq ma, ta hlektromagnhtikˆqarakthristikˆ (apì ta opoampore naprokÔyei hsÔstash),   ènasunduasmì twnparapˆnw. H paroÔsaergasaexetˆzeithmikrokumatik apeikìnishmikr  embèleia ,ìpou h diˆtaxh ekpomp  kai mètrhsh brsketai se mikr  apìstash apì to upì melèthantikemeno.

Ta teleutaa ekosi qrìnia èqei ekdhlwje megˆlo endiafèron gia mejì-dou apeikìnish me qr sh mikrokumˆtwn. H mikrokumatik  apeikìnish èqei efarmostew teqnik mh katastrofikoÔelègqouse kt ria, sthn anqneush metallik¸n   dihlektrik¸n antikeimènwn, ìpw oi nˆrke katˆ proswpikoÔ, kaj¸ epsh kaisthnperioq t  bioðatrik  , giathnapeikìnish biologik¸n ist¸n.

MporoÔme na orsoume diˆfore kathgore mejìdwn, me bˆsh mia sei-rˆ krithrwn, ìpw enai h gewmetra t  metrhtik  diˆtaxh , to jewrhtikì montèlo pou qrhsimopoietai kai to edo t  plhrofora pou dnei h kˆje mèjodo .

H disdiˆstath apeikìnish gia thn opoaqrhsimopoietai kaioìro {to-mografa} dneiplhroforagiamia egkˆrsiatom  toÔantikeimènou,en¸an h plhroforaperigrˆfei olìklhrotoantikemeno,prìkeitai giatrisdiˆstath

To antikemenomporenabrsketaistoneleÔjeroq¸ro,  stoeswterikì enì mèsoumegnwstè idiìthte ,sthn perptwsht  mikrokumatik  apeikì-nish stoeswterikì dom¸n.

Hhlektromagnhtik aktinobola,methnopoaallhlepidrˆtoupìexètash antikemeno,parˆgetaiapìma  perissìtere kerae ekpomp  . To apotèle-smaaut  t  allhlepdrash metriètaiapìma perissìtere kerae l yh . Topl jo kaihgewmetrik diˆtaxhtwnekpomp¸nkaitwndekt¸n,apoteloÔn epiplèon qarakthristikˆ twn diafìrwn mejìdwn. Mia diˆtaxh {pollapl  prìsptwsh } (

multiview

) qrhsimopoie perissìterou toÔ enì ekpompoÔ ,   isodÔnama ènan ekpompì pou metakinetai. O ìro {pollapl  mètrhsh } (

multistatic

) perigrˆfei th mètrhshtoÔanakl¸menou hlektromagnhtikoÔ kÔ-mato apì polloÔ dèkte ,  apì èna dèkth pou metakinetai. Se ì,ti aforˆ th morf  toÔ prospptonto kÔmato , mporoÔme nadiakrnoumeti mejìdou sto pedo toÔ qrìnou kai sto pedo t  suqnìthta ; sthn paroÔsa ergasa anaferìmastesti teleutae .

To prìblhma pou kaletai na lÔsei mia mèjodo mikrokumatik  apeikìni-sh , enai o prosdiorismì toÔ ˆgnwstou antikeimènou, me bˆsh th mètrhsh toÔ skedazìmenoupedou, ìtan to prosppton pedoenai gnwstì. Prìkeitai dhlad giaènaprìblhmaantstrofh skèdash . To antstoiqoeujÔ prìblh-ma enai h eÔresh toÔ skedazìmenou pedou apì èna gnwstì antikemeno, me dedomènotoprospptonpedo. Oipoiotikè (

qualitative

) mèjodoiapeikìnish dnounplhroforagiathnÔparxh,thjèshkaitosq matoÔantikeimènou,en¸ oiposotikè (

quantitative

) mèjodoi anakataskeuˆzounepsh ti hlektroma-gnhtikè tou idiìthte .

To prìblhma antstrofh skèdash enai mh kal¸ orismèno (

ill-posed

) (

Hadamard

, 1923,

Colton and Kress

, 1992), dhlad  toulˆqisto maapì ti parakˆtwsunj ke denikanopoietai:

1. 'Uparxh t  lÔsh . 2. Monadikìthtat  lÔsh .

3. Omal  exˆrthsht  lÔsh apìta dedomèna.

Se mia pr¸thmatiˆ, h ikanopohsh t  pr¸th sunj kh mporena fane-tai dedomènh, afoÔ to antikemeno pou èdwse to skedazìmeno pedo upˆrqei. 'Omw , h mètrhsh toÔ skedazìmenoupedouperièqei anapìfeukta jìrubo;an htrth sunj khdenikanopoietai,tìte mporetadedomènamaz metojìrubo na mhn antistoiqoÔn se kamma lÔsh. Sqetikˆ me th deÔterh sunj kh, èqei apodeiqte ìti h mh monadikìthta t  lÔsh ofeletai se mh aktinoboloÔse phgè reumˆtwn

(Devaney and Wolf, 1973, Devaney and Sherman, 1982)

. Prìkeitaigia epag¸mene reumatikè katanomè oiopoe dedhmiourgoÔn pe-do sta shmea ìpou gnetai h mètrhsh

(Habashy and Oristaglio, 1994)

, me

apotèlesmatometroÔmenoskedazìmenopedonamhn perièqeiplhroforagia thn anasÔnjes  tou . H trth sunj kh anadeiknÔei th shmasa pou èqei h elaqistopohshtoÔmetrhtikoÔjorÔbougiathnpoiìthtat  anakataskeu  . Epiplèon, oi mèjodoi mikrokumatik  apeikìnish prèpei na enai anjektikè sto metrhtikì jìrubo, kaj¸ h parousa tou denmpore na exaleifje ente-l¸ . Shmei¸noume ìti apì th skopiˆ t  jewra poluplokìthta , èna mh kal¸ topojethmènoprìblhmamporenaenaiakìmakaimh epilÔsimo

(Traub,

1999)

.

HsunˆrthshtoÔq¸roupoudneiti idiìthte toÔantikeimènou(h {sunˆr-thshantikeimènou}) èqeipolÔplokh, mh grammik  exˆrthshapì ti timè toÔ skedazìmenou pedou, oi opoe apoteloÔn ta dedomèna toÔ probl mato . H mh grammikìthta toÔantstrofouprobl mato ofeletaista fainìmena pol-lapl¸n anaklˆsewn toÔ prospptonto hlektromagnhtikoÔ kÔmato

(Chew,

1995)

,ta opoaekdhl¸nontaipioèntonasti uyhlè suqnìthte

(Chew and

Lin, 1995)

.

1.1.2 Perijlastik  tomografa

Oi pr¸te mejìdoi mikrokumatik  apeikìnish parousiˆsthkan sti ar-qè t  dekaeta toÔ1980,tìsogiaantikemenastoneleÔjeroq¸ro

(Adams

and Anderson, 1982)

ìsokaistoeswterikìdom¸n,meefarmog sth bioðatri-k 

(Bolomey et al., 1982, Baribaud et al., 1982)

. Autè oimèjodoi qrhsimo-poioÔnthnperijlastik tomografa(

diffraction tomography, dt

),miateqnik  pou efarmìsthkegia pr¸th forˆ sthn apeikìnish uper qwn

(Mueller et al.,

1979)

en¸jewrhtikˆ tangnwst arketˆpalaiìtera

(Wolf, 1969, Iwata and

Nagata, 1975)

.

H perijlastik  tomografa mpore na jewrhje epèktash t  upologi-stik  tomografa (

computerized tomography, ct

). Lambˆnei upìyh th mh eujÔgrammhdiˆdoshtwnhlektromagnhtik¸nkumˆtwn,en¸hupologistik  to-mografa pouqrhsimopoietaisthnapeikìnishmeaktne q jewrediˆdosh seeujeagramm . ToolikìpedostoeswterikìtoԈgnwstouskedast  pro-seggzetaisÔmfwnameti upojèsei

Born

 

Rytov

. Sthsunèqeia,toje¸rhma probolik  perjlash

Fourier (Wolf, 1969, Iwata and Nagata, 1975, Slaney

et al., 1984)

dnei mia grammik  sqèsh anˆmesa sth sunˆrthsh antikeimènou kaitometroÔmenoskedazìmenopedo.

SÔmfwna metoje¸rhmaautì toopooenaihepèktash toÔ metasqhma-tismoÔ

Radon

sthn perptwsh t  mh eujÔgrammh diˆdosh gia ènas¸ma sto opoo prospptei èna eppedo kÔma, o qwrikì metasqhmatismì

Fourier

toÔskedazìmenoupedou,metrhmèno pˆnwse mia eujeakˆjethsth dieÔjun-sh diˆdosh toÔ prospptonto kÔmato , sumpptei me èna tìxo kÔklou toÔ disdiˆstatouqwrikoÔmetasqhmatismoÔ

Fourier

t  sunˆrthsh antikeimènou.

H qr sh pollapl¸n gwni¸n prìsptwsh kaj¸ kai diaforetik¸n suqnot -twnèqei w apotèlesma thn anˆkthsh olìklhroutoÔqwrikoÔ fˆsmato t  sunˆrthsh antikeimènou, toopoo, mèswenì antstrofoumetasqhmatismoÔ

Fourier

,dneiti idiìthte toÔantikeimènou.

Hperijlastik tomografadneiapotelèsmatasqedìnsepragmatikì qrì-no, afoÔ oi basiko upologismo apoteloÔntai apì gr gorou metasqhmati-smoÔ

Fourier

se makaidÔodiastˆsei . Hdiakritik ikanìthta t  mejìdou isoÔtai jewrhtikˆ me

λ/2

,ìpou

λ

tom ko kÔmato sto eswterikì toÔ ske-dast ,allˆ sthn prˆxhautìtoìriodÔskolaepitugqˆnetai

(Paoloni, 1987)

. OimèjodoipouqrhsimopoioÔnperijlastik tomografasunantoÔndÔo pe-riorismoÔ . O èna enaiìti oidèkte prèpei naisapèqoun,kaihmetaxÔtou apìstash na enai mikrìterh   sh apì misì m ko kÔmato . O periorismì autì proèrqetaiapìtoje¸rhmadeigmatolhya toÔ

Shannon

kaisqetzetai me to gegonì ìti oi dèkte prèpei na deigmatolhptoÔn me ikanopoihtikì qw-rikìrujmì to skedazìmenopedo. OdeÔtero periorismì proèrqetaiapìth qr shtwnproseggsewn

Born

 

Rytov

giatoolikì pedostoeswterikìtoÔ skedast 

(Habashy et al., 1993)

. GianaisqÔeihprosèggish

Born

,to ginìme-not  diamètroutoÔskedast  eptosqetikìdekthdiˆjlas  touprèpeina enaimikrìteroapì

0.25λ

. Giathnprosèggish

Rytov

denupˆrqeiperiorismì stomègejo toÔskedast ,allˆodekth diˆjlash toÔantikeimènouprèpei nadiafèreiligìteroapì

2%

apìekenontoÔexwterikoÔmèsou

(Slaney et al.,

1984)

. Oisunj ke autè deqnounìti topedoefarmog  t  perijlastik  tomografa enaisqetikˆ periorismèno.

Ma lÔsh giana arjeodeÔtero periorismì , enainamh qrhsimopoihje kˆpoiaprosèggish gia topedostoeswterikì toÔskedast . Aut  h tropo-pohsh t  perijlastik  tomografa dneimia grammik  sqèsh anˆmesasta epag¸mena reÔmata sto eswterikì toÔ skedast  kai sto metroÔmeno skeda-zìmenopedo

(Pichot et al., 1985)

. Prìkeitai plèon giamia mèjodopoiotik  apeikìnish h opoa èqei efarmoste sth bioðatrik  kai to mh katastrofikì èlegqo

(Tabbara et al., 1988)

. Hmèjodo aut dejèteiperiorismoÔ w pro to mègejo kai to edo twn skedast¸n, allˆ mpore,se orismène peript¸-sei ,naodhg seise

artifacts (Bolomey and Pichot, 1991)

.

Togegonì ìtihperijlastik tomografaepilÔeiènagrammikìprìblhma, upodhl¸neiìtitafainìmenapollapl  anˆklash delambˆnontaiupìyh. To gegonì autì, se sunduasmì me tou parapˆnw perioristikoÔ parˆgonte , ¸jhsethnèreunasepiosÔnjete mejìdou mikrokumatik  apeikìnish . Pˆ-ntw ,h perijlastik  tomografa brskei efarmog  akìma kais mera se su-st mata anqneush antikeimènwn mèsasth gh

(Hansen and Johansen, 2000,

Cui and Chew, 2000)

,ìtan htaqÔthta epexergasa enaipioshmantik  apì thn akrbeiatoÔ apotelèsmato .

1.1.3 Pèra apì thn perijlastik  tomografa

Sthn prospˆjeia na dieurunje to pedo efarmog¸n t  mikrokumatik  apeikìnish kai se skedastè gia tou opoou den isqÔoun oi propojèsei t  perijlastik  tomografa , anaptÔqjhkan pollè teqnikè . Koinì qara-kthristikìsqedìnìlwnaut¸ntwnmejìdwnenaihepanalhptik eplushenì grammikopoihmènouprobl mato . Oiperissìtere teqnikè qrhsimopoioÔn th mèjodotwn rop¸n gia na perigrˆyoun kaina diakritopoi soun toeujÔ prì-blhmaskèdash

(Richmond, 1965)

.

Oi

Wang and Chew (1989)

prìteinan thn Epanalhptik  Mèjodo

Born

(

Born Iterative Method, bim

) thn opoa sth sunèqeia epèkteinan sthn Pa-ramorfwmènhEpanalhptik Mèjodo

Born

(

Distorted Born Iterative Method,

dbim

)

(Chew and Wang, 1990)

, deqnonta ìti h pr¸th enai pio anjektik  stojìrubo,en¸h deÔterhparousiˆzeigrhgorìterhsÔgklish.

Mia epanalhptik  teqnik pou qrhsimopoie th mèjodo

Newton-Kantoro-vich (nk)

giadisdiˆstathposotik apeikìnishstoneleÔjeroq¸ro, protˆjh-keapìtou

Joachimowicz et al. (1991)

. Togegonì ìtitoprìblhmaenaimh kal¸ orismèno, antimetwpzetai me th qr sh kanonikopohsh tÔpou

Tikho-nov

,en¸sthdiadikasaanasÔnjesh mporenaeisaqjeopoiad pote

a priori

plhroforasqetikˆmetopergrammatoÔantikeimènoukaiti akrìtate timè twnhlektromagnhtik¸ntouparamètrwn.

H mèjodo

Newton-Kantorovich

(prìkeitai gia epèktash sthn perptw-sh twn sunarthsioeid¸n t  mejìdou eÔresh elaqstou toÔ

Newton

) èqei epsh qrhsimopoihje gia thn eÔresh toÔ sq mato disdiˆstatwn metalli-k¸n skedast¸n ston eleÔjero q¸ro

(Roger, 1981)

. H

nk

enai isodÔnamh me thn Epanalhptik  Paramorfwmènh Mèjodo

Born

, ìpw kai me th mèjodo

Levenberg-Marquardt (Franchois and Pichot, 1997)

.

'Eqounparousiasteepsh mhepanalhptikè mèjodoi,pouqrhsimopoioÔn yeudo-antistrof upìthnènnoiaelˆqistwntetrag¸nwn,giathn eplushtoÔ antstrofouprobl mato

(Caorsi et al., 1993, 1994)

.

Shmei¸noumeepsh thnprìsfathepèktasht  perioq  isqÔo t  pro-sèggish

Rytov

kaithqrhsimopohshaut  t  tropopoihmènh mejìdousthn eplush toÔ antstrofou probl mato me epanalhptikì trìpo

(Kechribaris,

2001, Kechribaris et al., 2003)

.

'Ole autè oi teqnikè dnoun apotelèsmata posotik  apeikìnish se peript¸sei skedast¸n oiopooi brskontaiektì orwnisqÔo t  perijla-stik  tomografa .

1.1.4 Mh grammikè mèjodoi

Oimhgrammikè mèjodoibaszontaigenikˆsemiaepanalhptik diadikasa. Prìkeitaigia mejìdou antstrofh skèdash ,ìpou ènasunarthsioeidè ,to opoo apotele mètro gia thn katallhlìthta t  lÔsh se kˆje epanˆlhyh, diathre ton pl rh mh grammikì qarakt ra toÔ probl mato , qwr kamma prosèggish.

Hmèjodo t  Tropopoihmènh Bajmda (

Modified Gradient, mg

)(

Klein-man and van den Berg

, 1992) jewre w agn¸stou tìso th sunˆrthsh a-ntikeimènou ìsokaitoolikì pedostoeswterikìautoÔ. Tosunarthsioeidè pou kataskeuˆzetai me bˆsh aut  th mèjodo apoteletai apì dÔo ìrou . O pr¸to deqnei thn apìstash anˆmesa sto skedazìmeno pedo anaforˆ kai to skedazìmenopedo apì toanakataskeuasmèno antikemenot  trèqousa epanˆlhyh . OdeÔtero ìro deqneikatˆ pìsotoolikì pedosto eswteri-kì toÔ antikeimènou, sthn trèqousa epanˆlhyh, ikanopoie ti exis¸sei t  hlektromagnhtik  jewra . Me autìn ton trìpo, h

mg

epilÔei tautìqrona tìsotoeujÔ prìblhmaskèdash ,me qr sht  mejìdoutwnrop¸n,ìsokai toantstrofo.

Beltiwmène exis¸sei enhmèrwsh twnagn¸stwnèqounw apotèlesmath dieÔrunshtoÔpedouefarmog¸nth ,ìswnaforˆti diastˆsei kaitodekth diˆjlash touskedast 

(Kleinman and van den Berg, 1993)

. Hmèjodo èqei efarmostesthn eÔresht  jèsh kaitoÔsq mato metallik¸nantikeimènwn ston eleÔjero q¸ro

(Kleinman and van den Berg, 1994)

, èqei sunduaste me mèjodo kanonikopohsh tÔpou {olik  metabol  }

(van den Berg and

Kleinman, 1995)

kaièqei qrhsimopoihje gia poiotik 

(Souriau et al., 1996)

kaiposotik 

(Lambert et al., 1998)

tomografastoeswterikì dom¸n.

H mèjodo tropopoihmènh bajmda dnei sugkrsimaapotelèsmata me e-kena t 

Newton-Kantorovich

, allˆ enai perissìtero anjektik  se uyhlè stˆjme jorÔbou

(Belkebir et al., 1997)

. Apotelèsmata apeikìnish metalli-k¸nantikeimènwnstoneleÔjeroq¸romebˆsh pragmatikˆdedomèna metr se-wnèqounepsh dhmosieute

(van den Berg et al., 1995)

.

Beltwsht  mejìdouapotelehqr shphg¸nantjesh stoformalismì toÔprobl mato

(Habashy and Oristaglio, 1994, Bloemenkamp and van den

Berg, 2000)

. H perigraf  toÔ pedoustoeswterikì toÔ skedast  me olikè sunart sei bˆsh (epallhlaeppedwnkumˆtwn)mei¸neikatˆpolÔton arij-mì twn agn¸stwn kai ellatt¸nei to upologistikì kìsto

(Maniatis, 1998,

Maniatis et al., 2000)

.

To gegonì ìti to eujÔ prìblhma den epilÔetai se kˆje epanˆlhyh toÔ antstrofou, dnei sth mèjodotropopoihmènh bajmda to pleonèkthma t  taqÔthta . Tautìqrona, ìmw , autì jèteikˆpoiou periorismoÔ w pro to mègejo kaitodekthdiˆjlash twnpro anakataskeu antikeimènwn(

Klein-man and van den Berg

,1993).

Miaˆllh prosèggishepilÔei epanalhptikˆtoantstrofoprìblhma,allˆ se kˆje epanˆlhyh to antstoiqo eujÔ prìblhma lÔnetai pl rw

(Harada

et al., 1995)

. To sunarthsioeidè aut  t  oikogèneia mejìdwn apoteletai mìno apì tonpr¸to ìrotoÔsunarthsioeidoÔ t  tropopoihmènh bajmda , autìndhlad  pou anafèretai sto skedazìmenopedo. H elaqistopohs  tou gnetai qrhsimopoi¸nta th mèjodo twn suzug¸n bajmdwn sth mh grammik  th morf 

(Nazareth, 1996)

.

Hparapˆnwteqnik ,sesunduasmìmethmèjodotwnrop¸ngiathn eplu-sh toÔ eujèo probl mato , èqei efarmoste sth mikrokumatik  tomografa metallik¸n antikeimènwn ston eleÔjero q¸ro me bˆsh sunjetikˆ

(Lobel

et al., 1997a)

kai peiramatikˆ

(Lobel et al., 1997b)

dedomèna kaj¸ kai se dihlektrikˆ antikemena sto eswterikì dom¸n

(Dourthe et al., 2000c,b,

Aliferis et al., 2000c)

.

H qr sh twnPeperasmènwn Stoiqewn, gia thn eplush toÔ eujèo pro-bl mato ,èqeiprotajegiathnapeikìnishdisdiˆstatwnmetallik¸n(

Bonnard

et al.,

1998) kai dihlektrik¸n

(Rekanos et al., 1999, Bonnard et al., 2000)

antikeimènwn stoneleÔjeroq¸ro.

Oi ergase pou èqoume anafèrei w t¸ra, exetˆzoun apokleistikˆ thn egkˆrsiamagnhtik pìlwsh. Giathnperptwsht  egkˆrsia hlektrik  pì-lwsh ,mporoÔmenaanafèroumeti ergase twn

Ma et al. (2000)

kai

Rekanos

and Tsiboukis (2000)

. Anafèroumeakìmati mejìdou anakataskeu  basi-smène sta

level sets (Dorn et al., 2000, Ito et al., 2001, Ramananjaona et al.,

2001, Ferray´e et al., 2003)

kaj¸ kaiepsh ekene pouqrhsimopoioÔn gene-tikoÔ algìrijmou

(Caorsi et al., 2000, Pastorino et al., 2000)

kaineurwnikˆ dktua

(Wang and Gong, 2000, Rekanos, 2001)

gia thn elaqistopohsh toÔ sunarthsioeidoÔ .

Anˆmesasti enallaktikè proseggsei toÔprobl mato t  mikrokuma-tik  apeikìnish ,shmei¸noumeed¸thmontelopohshtoÔantikeimènoume bˆ-shmia parametrik morf ,gegonì pouodhgesemeiwmènoarijmì agn¸stwn allˆ sthn anasÔnjesh enì isodÔnamou antikeimènou

(Budko and van den

Berg, 1999, Miller et al., 2000, Sato et al., 2000)

,kaiepsh th qr sh teqni-k¸nepexergasa s mato

(Morris et al., 1995, Sahin and Miller, 2001)

.

Oi epanalhptikè mh grammikè teqnikè qreiˆzontai ti parag¸gou toÔ sunarthsioeidoÔ w pro th sunˆrthsh toԈgnwstou antikeimènou. Oi su-narthsiakè parˆgwgoi katˆ

Fr´echet (C´ea, 1971)

mporoÔn na upologistoÔn se kleist  morf , me bˆsh ton orismì tou , ìpw sumbanei sthn ergasa twn

Dourthe et al. (2000c)

. MporoÔn epsh na upologistoÔn èmmesa

(Nor-ton, 1999)

  akìmakaiarijmhtikˆ,me autìmathparag¸gish

(Coleman et al.,

2000)

. Searketè teqnikè apeikìnish qrhsimopoietaitoprosarthmèno prì-blhma gia ton èmmeso upologismì twn sunarthsiak¸n parag¸gwn

(Roger,

1982, Roger et al., 1986)

.

1.1.5 Kanonikopohsh

Oi teqnikè kanonikopohsh qrhsimopoioÔntai gia na antimetwpiste to gegonì ìti toprìblhma antstrofh skèdash enaimh kal¸ orismèno. Oi teqnikè autè prosjètoun ènanìro stosunarthsioeidè kai odhgoÔnthn e-panalhptik diadikasa eplush pro mia lÔsh me epijumhtˆ qarakthristikˆ. Meautìntontrìpo,hmonadikìthtat  lÔsh toÔprobl mato apokajsta-tai. Hkanonikopohsheisˆgeistonalgìrijmo

a priori

plhroforasqetikˆme thmorf t  lÔsh . Giaparˆdeigma,miatètoiaplhroforamporenaenaiìti h sunˆrthsh antikeimènouenai omal , qwr asunèqeie . Autì otÔpo ka-nonikopohsh

(Tikhonov and Arsenin, 1977)

odhgeseantikemenomeomalì profl dihlektrik  stajerˆ kai agwgimìthta . H kanonikopohsh me diat -rhsh asuneqei¸n

(Lobel et al., 1997a)

kateujÔnei th lÔsh pro antikemena twn opown to profl apoteletai apì omoiogene z¸ne , qwrismène meta-xÔ tou apì asunèqeie . H diat rhsh asuneqei¸n perigrˆfei ta pragmatikˆ antikemenakalÔtera apìì,ti h teqnik 

Tikhonov (Lobel et al., 1997b)

.

1.2 Dom  didaktorik  diatrib 

H diatrib  apoteletai apì dÔo mèrh. To pr¸to mèro , afierwmèno sto disdiˆstato prìblhma, xekinˆei me to deÔtero kefˆlaio. Parousiˆzoume mia mèjodomikrokumatik  tomografa hopoaanaptÔqjhkesta plasiatwn er-gasi¸ntoÔ

Dourthe (1997)

. Prìkeitaigiamiamèjodomh grammik  tomogra-fa , h opoa qrhsimopoie th mèjodotwn rop¸n gia thn eplushtoÔ eujèo probl mato sekˆjeepanˆlhyh. Hmèjodo enaipollapl  suqnìthta , pol-lapl  prìsptwsh kaipollapl  mètrhsh ,me pìlwshegkˆrsiamagnhtik . Perigrˆfoume th majhmatik  morf  toÔeujèo kaitoÔantstrofou probl -mato , kaj¸ kai thn teqnik  kanonikopohsh me diat rhsh asuneqei¸n, h opoa akoloujetai apì mia suz thsh sqetikˆ me ton trìpo leitourga th . Totrtokefˆlaioarqzeimeti belti¸sei poukˆnamesthmèjodoapeikìnish toÔdeÔteroukefalaou: th montelopohsh toÔprospptonto pedoukaitoÔ jorÔbou mètrhsh . Sth sunèqeia, parousiˆzoume mia seirˆ apotelesmˆtwn, ta opoaapoteloÔntai apìènapl jo parametrik¸nmelet¸n.

StodeÔteromèro ,meletoÔmethnepèktasht  mejìdouapeikìnish sthn trisdiˆstath perptwsh. Sta plasia t  diatrib  , h melèth estiˆzetai sto eujÔtrisdiˆstatoprìblhma. Hmajhmatik perigraf toÔprobl mato dnetai sto tètarto kefˆlaio. H arq  gnetai me ti exis¸sei toÔ

Maxwell

gia to olikìpedostoq¸rosuqnot twn,gianad¸soumestotèlo toÔkefalaouti hlektromagnhtikè exis¸sei toÔskedazìmenoupedou. Ekmetalleuìmenoithn omoiìthtatwnexis¸sewnsti dÔoautè peript¸sei ,mporoÔmenaqeiristoÔme

me trìpoomoiìmorfohlektromagnhtikˆprobl mata diafìrwneid¸n.

Sto pèmpto kefˆlaio, parousiˆzoume mia mèjodo peperasmènwn diafo-r¸nstopedotwnsuqnot twn(

Finite-Difference Frequency-Domain, fdfd

) (

Beilenhoff and Heinrich

, 1992). Kaj¸ aut  h mèjodo ja qrhsimopoihje seènank¸dikaapeikìnish giathneplushtoÔeujèo probl mato , jewroÔ-me ìti oi plhrofore sqetikˆ me to skedast  enai periorismène . Gi autì to lìgo, epilègoume to klasikì kubikì plègma toÔ

Yee (1966)

gia na dia-kritopoi soume ti hlektromagnhtikè exis¸sei . Mia mèjodo apeikìnish dejamporoÔsenaekmetalleujeti idiìthte enì beltiwmènouplègmato giaparˆdeigma,kampullìgrammwnsuntetagmènwn  prosarmostikì kaj¸ , ex orismoÔ, to antikemeno sto opoo ja èprepe na prosarmoste to plèg-ma, enaiˆgnwsto. Exˆllou, oikubikè kuyèle enai hfusik  epèktash twn tetrˆgwnwn kuyel¸n (

pixels

) t  disdiˆstath perptwsh . Me th bo jeia twn pararthmˆtwn Bþ w Eþ, parousiˆzoume th diakritopohsh twn hlektro-magnhtik¸nexis¸sewnkaitogrammikìsÔsthma pouprokÔptei. Frontzoume naemfansoumerhtˆti hlektromagnhtikè idiìthte toÔq¸rouupologismoÔ sth majhmatik  morf  toÔ grammikoÔ sust mato . Autì enai aprathto ¸-ste na mporèsoume na qrhsimopoi soume aut  th mèjodo se sunduasmì me ti teqnikè toÔdeÔteroukefalaou. Sth sunèqeia,upenjumzoumeta basikˆ stoiqea t  jewra twnaporrofhtik¸nstrwmˆtwn,ta opoa qrhsimopoioÔ-ntai gia ton termatismì toÔplègmato t  mejìdoupeperasmènwn diafor¸n. To kefˆlaio oloklhr¸netai me thn anˆptuxhmia mejìdoumetasqhmatismoÔ toÔ kontinoÔ se makrinì pedo, basismènh sto olokl rwma

Kirchhoff

. Oi a-rijmhtikè pistopoi sei deqnoun ìti autì o metasqhmatismì dnei akrib  apotelèsmata,qwr praktikˆnaepibˆlleiperiorismoÔ sti paramètrou t  mejìdoupeperasmènwndiafor¸n.

To èkto kefˆlaio apoteletai apì arijmhtikˆ apotelèsmata t  mejìdou peperasmènwndiafor¸n. Giatakleistˆprobl mata,upologzoumeta idiodia-nÔsmata toÔ pnaka toÔ grammikoÔsust mato . Gia ta anoiqtˆ probl mata, todeÔteromèlo toÔgrammikoÔsust mato denenaimhdenikì,kai prèpeina antistrèyoumeènanpnakaarai  morf  . Giatoskopìautì,qrhsimopoioÔme epanalhptikè mejìdou

(Saad, 1996)

kai katˆllhle teqnikè

precondition-ing (Bruaset, 1995)

.

To èbdomo kefˆlaio perièqei ta sumperˆsmata t  diatrib  . Anakefa-lai¸noumetabasikˆshmeakaiexetˆzoumeti prooptikè aut  t  ergasa . H diatrib  perilambˆnei eptˆparart mata: topr¸toanafèretaisto deÔ-terokefˆlaio,kaita upìloipa stopèmpto.

Mèro

I

Disdiˆstath arijmhtik 

Mikrokumatik  tomografa

N

˜

unn

˜

un™parasjhshkaÈto

˜

uÕpnou™mimik  AÊànaÊànålìgo kașTrìpi ™‚strik 

Stokefˆlaioautìparousiˆzoumesesuntomamiamèjodomikrokumatik  tomografa hopoaanaptÔqjhkestaplasia twnergasi¸n

(Dourthe, 1997)

kai

(Dourthe et al., 2000a)

. Hmèjodo aut apoteletoenarkt rioshmeot  paroÔsa didaktorik  diatrib  . MebˆshthjewraautoÔtoÔkefalaou,ja parousiˆsoume mia seirˆ arijmhtik¸n apotelesmˆtwn stoepìmeno kefˆlaio, exereun¸nta ti dunatìthte kaitoÔ periorismoÔ t  mejìdou.

2.1 EujÔ prìblhma skèdash

2.1.1 Orismì

JewroÔme ènahlektromagnhtikìprìblhma ametˆblhtow pro metatop-sei katˆtonˆxona

z

. Sthnperptwshaut ,ìlata megèjhtoÔprobl mato enai anexˆrthta apì th metablht 

z

. Anupojèsoume epiplèon ìti to magnh-tikìpedoenaiegkˆrsiostonˆxonasummetra ,tìtetohlektrikìpedoèqei mìno ma mh mhdenik sunist¸sa,

E(ρ, ω) = E

z

(ρ, ω)ˆ

z

1

ìpou

ρ = xˆ

x + y ˆ

y

. Ta parapˆnw perigrˆfoun èna disdiˆstato prìblhma egkˆrsia magnhtik  pìlwsh ,

2D

-TM.

2

Giaanomoiogen probl matamhmagnhtik¸nmèswn,seperioqè toÔq¸rou qwr phgè reÔmato kaifortwn,tohlektrikìpedoikanopoieth

disdiˆsta-1

Ekfrˆzoumeìle ti qronikˆmetaballìmene posìthte sto pedo twn suqnot twn, jewr¸nta qronik exˆrthsht  morf 

e

+jωt

. 2

Praktikˆ,ènaprìblhmamporenajewrhjedisdiˆstatoanìle oiidiìthte twnmèswn poutoapoteloÔnparamènounstajerè katˆtonˆxona

z

giaarketˆm khkÔmato .

th omogen exswsh toÔ

Helmholtz

:

∇

2

xy

E

z

(ρ, ω) + k

2

(ρ, ω)E

z

(ρ, ω) = 0

(2.1)

ìpou

k(ρ, ω) = ω

p

˙ε(ρ, ω)µ

0

h migadik  stajerˆdiˆdosh

˙ε(ρ, ω) = ε(ρ, ω)

_{− j}

σ(ρ, ω)

ω

h migadik  hlektrik epidektikìthta

∇

2

xy

=

∂

2

∂x

2

+

∂

2

∂y

2

h disdiˆstathlaplasian 

.

Sto upì exètash prìblhma, jewroÔme dÔo hmiˆpeira mèsa ta opoa qwr-zontaiapìènapl jo strwmˆtwnpeperasmènoupˆqou . StoSq ma2.1 blè-poumemiadisdiˆstathtom t  gewmetra . 'OlatamèsajewroÔntaiomogen , meexareshtoteleutao,stoeswterikì toÔopooubrsketaioanomoiogen  q¸ro

D

d

. MporoÔmenagrˆyoume:

k(ρ, ω) =

(

k

i

(ω)

ρ

∈ D

i

i = 1, . . . , N

L

k

d

(ρ, ω) ρ

∈ D

d

(2.2)

kaiomow gia ta

˙ε(ρ, ω), ε(ρ, ω)

kai

σ(ρ, ω)

.

Me bˆsh thn parapˆnw gewmetra, jewroÔme probl mata hlektromagnh-tik  skèdash ìpou to prosppton pedo proèrqetai apì to mèso

D

1

kai o q¸ro

D

d

apoteletoskedast .

2.1.2 Oloklhrwtikè anaparastˆsei

Giagrammikˆmèsa,toolikìhlektrikìpedomporenagrafew ˆjroisma toÔprospptonto kaitoÔ skedazìmenoupedou,

E

z

= E

z

(i)

+ E

z

(s)

(2.3)

ìpoutìsotoprospptonpedo

E

(i)

ìsokaitoskedazìmeno

E

(s)

ikanopoioÔn thn exswsh (2.1).

3

Qrhsimopoi¸nta to je¸rhma toÔ

Green

, mporoÔme na dexoume ìti to olikì kai to skedazìmeno pedo se kˆje shmeo toÔ q¸rou dnontai apì ti

3

Oioriakè sunj ke ti opoe ikanopoietohlektrikìpedo parousiˆzontaisto ke-fˆlaio4.

x

y

D

1

D

2

D

N

L

₋₁

D

N

L

D

d

h

2

h

N

L

₋₁

Sq ma 2.1: Gewmetrapollapl¸n strwmˆtwndisdiˆstatou probl mato .

oloklhrwtikè anaparastˆsei :

E

z

(ρ, ω) = E

z

(i)

(ρ, ω)+

Z Z

D

d

k

2

₀

(ω)C(ρ, ω)E

z

(ρ

′

, ω)G(ρ, ρ

′

, ω) dρ

′

, ρ

∈ R

2

(2.4)

E

_z

(s)

(ρ, ω) =

Z Z

D

d

k

₀

2

(ω)C(ρ

′

, ω)E

z

(ρ

′

, ω)G(ρ, ρ

′

, ω) dρ

′

, ρ

∈ R

2

(2.5) ìpousumbolzoumeme

C(ρ, ω) =

˙ε

d

(ρ, ω)

− ˙ε

N

L

(ω)

ε

0

=

ε

d

(ρ, ω)

− ε

N

L

(ω)

ε

0

− j

σ

d

(ρ, ω)

− σ

N

L

(ω)

ωε

0

(2.6) thn antjesh t  migadik  dihlektrik  stajerˆ metaxÔ toÔ skedast  kai toÔ mèsou pou ton perikleei, me

k

0

(ω) = ω√ε

0

µ

0

th stajerˆ diˆdosh sto kenì, kai me

ε

0

, µ

0

thn hlektrik  epidektikìthta kai magnhtik  diape-ratìthta toÔ kenoÔ, antstoiqa. Gia lìgou sÔgkrish twn (2.4) kai (2.5) me enallaktikè morfè oloklhrwtik¸n anaparastˆsewn, shmei¸noume ìti

k

2

0

(ω)C(ρ, ω) = k

2

(ρ, ω)

− k

N

2

L

(ω)

.

Sti sqèsei (2.4),(2.5)sumbolzoumeme

G(ρ, ρ

′

, ω)

thsunˆrthsh

Green

toÔ probl mato apousatoÔ q¸rou

D

d

. H sunˆrthshaut  epalhjeÔei thn exswsh

Helmholtz

meshmeiak  phg  stoshmeo

ρ

′

:

∇

2

xy

G(ρ, ρ

′

, ω) + k

2

_h

(ρ, ω)G(ρ, ρ

′

, ω) =

_{−δ(ρ − ρ}

′

)

(2.7) ìpou

k

h

(ρ, ω) =

(

k

i

(ω)

ρ

∈ D

i

i = 1, . . . , N

L

k

N

L

(ω) ρ

∈ D

d

enai h migadik  stajerˆ diˆdosh toÔ antstoiqou probl mato me omogen  q¸ro

D

N

L

.

An sth sqèsh (2.4) periorsoume to shmeo parat rhsh sto eswterikì toÔskedast 

D

d

,prokÔpteih parakˆtw exswsh:

E

z

(ρ, ω) = E

z

(i)

(ρ, ω) +

Z Z

D

d

k

2

₀

(ω)C(ρ

′

, ω)E

z

(ρ

′

, ω)G(ρ, ρ

′

, ω) dρ

′

ρ

_{∈ D}

d

.

(2.8) Prìkeitaigiamiaoloklhrwtik exswsh

Fredholm

deÔterouedou ,kaj¸ oˆgnwsto

E

z

emfanzetaitìso mèsaìsokai èxwapì toolokl rwma. 2.1.3 Mèjodo Rop¸n

H oloklhrwtik  exswsh (2.8) epilÔetai arijmhtikˆ me th Mèjodo twn Rop¸n

(Harrington, 1968)

. Grˆfoumeth (2.8) se morf telest¸nw :

L(f) = g

(2.9) ìpou:

f = E

z

(ρ, ω)

g = E

_z

(i)

(ρ, ω)

L = I − L

′

I

omonadiao telest 

L

′

=

Z Z

D

d

k

2

₀

(ω)C(ρ

′

, ω)G(ρ, ρ

′

, ω) dρ

′

, ρ

_{∈ D}

d

.

Apì ed¸kai sto ex  jewroÔmeìti o q¸ro

D

d

èqei sq ma orjog¸niou parallhlìgrammoukaitondiakritopoioÔmese

N

C

= N

x

N

y

orjog¸nie kuyè-le , diastˆsewn

∆

x

× ∆

y

h kajema. Sumbolzoume me

S

n

thn epifˆneiat  kuyèlh

n

,kaime

ρ

Epilègoume gia sunart sei bˆsh t  mejìdou twn rop¸n ti sunart -seis-dekth:

f

n

(ρ) =

(

1 ρ

∈ S

n

0 ρ /

_{∈ S}

n

(2.10) proseggzonta me autìntontrìpoti idiìthte toÔskedast  kaj¸ kaito hlektrikìpedosto eswterikìautoÔmekatˆ tm mata stajerè sunart sei .

Oisunart sei probol  pouqrhsimopoioÔme enaikatanomè dèlta:

g

m

(ρ) = δ(ρ

− ρ

m

).

(2.11)

AnaptÔssoume th sunˆrthsh

f

sthbˆsh

f

m

,grˆfonta :

f = E

z

(ρ, ω) =

N

C

X

n=1

a

n

f

n

(ρ)

(2.12)

apìpouprokÔptei eÔkolaìti

a

n

= E

z

(ρ

n

, ω)

.

Eisˆgoume thn parapˆnw sqèsh sth (2.9) kai probˆlloume ta dÔo mèlh th sti sunart sei

g

m

. ProkÔpteitìtetoparakˆtwgrammikìsÔsthma

N

C

exis¸sewn me isˆrijmou agn¸stou , ti timè toÔ olikoÔ pedousto kèntro kˆjekuyèlh toÔskedast :

N

C

X

n=1



δ

m,n

− k

2

0

(ω)C(ρ

n

, ω)G

O

m,n



E

z

(ρ

n

, ω) = E

z

(i)

(ρ

m

, ω) , m = 1, . . . , N

(2.13) ìpou

δ

m,n

=

(

1 m = n

0 m

_{6= n}

kai

G

O

m,n

enai toolokl rwma skedast -skedast  t  sunˆrthsh

Green

,toopoodnetaiapìth sqèsh:

G

O

_m,n

=

Z Z

S

n

G(ρ

m

, ρ

′

, ω) dρ

′

, ρ

m

∈ D

d

.

(2.14)

Gnwrzonta toolikìpedostoeswterikìtoÔskedast 

D

d

mporoÔmena upologsoumetoskedazìmenopedoèxwapìautìn. AntikajistoÔmeth(2.12) sth (2.5) jewr¸nta ìti

C(ρ, ω) = C(ρ

n

, ω)

sto eswterikì t  kuyèlh

n

kaiparnoumethn parakˆtwsqèsh:

E

_z

(s)

(ρ

m

, ω) =

N

C

X

n=1

k

2

₀

(ω)C(ρ

n

, ω)G

R

m,n

E

z

(ρ

n

, ω) , ρ

m

∈ D

/

d

(2.15)

17

ìpou

G

R

m,n

enai to olokl rwma skedast -dèkth t  sunˆrthsh

Green

, to opoodnetaiapìth sqèsh:

G

R

_m,n

=

Z Z

S

n

G(ρ

m

, ρ

′

, ω) dρ

′

, ρ

m

∈ D

/

d

.

(2.16)

Oi

Chommeloux (1987)

kai

Dourthe (1997)

dnounthn analutik  èkfra-sh t  sunˆrthsh

G(ρ, ρ

′

, ω)

kai twn oloklhrwmˆtwn

G

O

m,n

kai

G

R

m,n

ìtan upˆrqei mìno èna str¸ma metaxÔ twn hmiˆpeirwn mèswn toÔ Sq mato 2.1 (perptwsh

N

L

= 3

).

2.1.4 Exis¸sei pinˆkwn

JewroÔmeìtistoq¸ro

D

1

upˆrqoun

N

M

shmeamètrhsh kai

N

S

shmea ekpomp 

4

. Se kˆje shmeo metrˆme to skedazìmeno pedo gia èna pl jo

N

F

suqnot twn kai gia kajèna apì ta

N

S

prospptonta kÔmata. Gia mia sugkekrimènh suqnìthta kaiekpomp , orzoume ta parakˆtw dianÔsmata pou perièqountimè megej¸nstoeswterikìtoÔskedast 

D

d

:

e

=

_{E

z

(ρ

n

, ω)

}

e

(i)

=

n

E

_z

(i)

(ρ

n

, ω)

o

ρ

n

∈ D

d

n = 1, . . . , N

C

kaiepsh todiˆnusma

e

(s)

pouperièqeitimè apìtoq¸ro

D

1

:

e

(s)

=

n

E

(s)

_z

(ρ

m

, ω)

o

ρ

m

∈ D

1

m = 1, . . . , N

M

.

Me bˆsh ta parapˆnw dianÔsmata,mporoÔme nakataskeuˆsoume tou p-nake : olikoÔpedou

E

(N

C

× N

S

)

prospptonto pedou

E

(i)

_(N

C

× N

S

)

skedazìmenoupedou

E

(s)

_(N

M

× N

S

)

twnopownkˆjest lh perièqeitodiˆnusma mia ekpomp  . 4

Oi

N

C

timè t  antjesh mporoÔn nagrafoÔnse morf dianÔsmato :

c

=

{C(ρ

n

, ω)

}

ρ

n

∈ D

d

n = 1, . . . , N

C

apìtoopooprokÔptei odiag¸nio pnaka :

C

= diag(c) (N

C

× N

C

).

Ta oloklhr¸mata

G

O

m,n

kai

G

R

m,n

exart¸ntai apokleistikˆ apì th gew-metra toÔ probl mato . Oi timè tou mporoÔn na grafoÔn sth morf  twn pinˆkwn: skedast -skedast 

G

O

₌



_G

O

m,n

(N

C

× N

C

)

skedast -dèkth

G

R

₌



_G

R

m,n

(N

M

× N

C

).

Oiexis¸sei (2.13)kai(2.15)mporoÔnt¸ranagrafoÔnsemorf pinˆkwn. Gia kˆjesuqnìthtakaiekpomp  xeqwristˆèqoume:

e

(i)

= (I

N

C

− G

O

_C)e

(2.17aþ)

e

(s)

= G

R

Ce

(2.17bþ)

en¸anpˆroumeupìyhìle ti ekpompè maz, giakˆjesuqnìthta isqÔei:

E

(i)

= (I

N

C

− G

O

_C)E

(2.18aþ)

E

(s)

= G

R

CE

(2.18bþ) ìpou

I

N

C

omonadiao

N

C

× N

C

pnaka . An upojèsoume ìti opnaka

(I

N

C

− G

O

_C)

enaiantistrèyimo , mporoÔme na grˆyoume to skedazìmenopedosunart sei toÔprospptonto pedoukai twnhlektromagnhtik¸nidiot twntoÔprobl mato :

e

(s)

= G

R

C(I

N

C

− G

O

_C)

−1

_e

(i)

(2.19)

E

(s)

= G

R

C(I

N

C

− G

O

_C)

−1

_E

(i)

_.

(2.20) Oi parapˆnw exis¸sei apoteloÔn th lÔsh toÔ eujèo probl mato skè-dash giamia sugkekrimènhsuqnìthta

ω

. Apìtonorismì(2.6)prokÔpteiìti opnaka

C

mpore nagrafesth morf :

C

= diag(ε

r

(ω))

− j

diag(σ(ω))

ωε

0

−

 ε

N

L

(ω)

ε

0

− j

σ

N

L

(ω)

ωε

0



I

N

C

(2.21) ìpou

ε

r

(ω) =

ε(ω)

ε

0

,kai

ε, σ

tadianÔsmata twntim¸n t  hlektrik  epidekti-kìthta kait  agwgimìthta sti

N

C

kuyèle toÔskedast .

2.2 Antstrofo prìblhma skèdash 2.2.1 Orismì

To prìblhma pou exetˆzoume ed¸enaih eÔresh twn hlektromagnhtik¸n idiot twn toÔ skedast 

D

d

me bˆsh to prosppton pedo, ti idiìthte twn mèswn poutonperibˆllounkaitoskedazìmenoapìautìnpedo.

5 Oignwstè posìthte enai:

oiidiìthte twn

N

L

mèswn toÔ Sq mato 2.1

˙ε

i

(i = 1, . . . , N

L

) , h

i

(i = 2, . . . , N

L

− 1)

oijèsei twn

N

C

kuyel¸ntoÔ q¸rou

D

d

oijèsei twn

N

M

shmewnmètrhsh stoq¸ro

D

1

;sumbolzoumeme

L

M

tosÔnoloaut¸n twnshmewn

to prosppton pedosta kèntratwn

N

C

kuyel¸n, gia kajemiˆ apì ti

N

F

suqnìthte kai

N

S

ekpompè

e

(i)

_f,s

 

E

(i)

f

(f = 1, . . . , N

F

, s = 1, . . . , N

S

)

toskedazìmenopedosta

N

M

shmeamètrhsh ,giakajemiˆ apìti

N

F

suqnìthte kai

N

S

ekpompè

e

(s)

_f,s

 

E

(s)

f

(f = 1, . . . , N

F

, s = 1, . . . , N

S

)

kaioizhtoÔmene posìthte enaioitimè t  epidektikìthta kai t  agwgi-mìthta kˆjekuyèlh .

JewroÔme ìti o skedast  enai mèso qwr diasporˆ; s aut  thn pe-rptwsh oi idiìthtè tou enai anexˆrthte t  suqnìthta . 'Etsi mporoÔme na grˆfoume gia ton pnaka t  antjesh

C

(

ε

r

,

σ

) paraleponta th mh ek-pefrasmènh exˆrthsh apì th suqnìthta. An epiplèon orsoume to diˆnusma

χ = ε

r

T

σ

T

T

pou perilambˆnei ti

2N

C

timè dihlektrik  stajerˆ kai agwgimìthta ,mporoÔme nagrˆyoume

C

(

χ

).

Gia na broÔme to diˆnusma

χ

pou epalhjeÔei thn exswsh (2.19), qrh-simopoioÔme mia epanalhptik  mèjodo. Xekin¸nta apì mia arqik  tim 

χ

0

, dhmiourgoÔmemia akolouja dianusmˆtwn hlektrik¸n paramètrwn, me stìqo na broÔme ti idiìthte tou skedast  ekenou pou dnei to dio skedazìmeno pedometon ˆgnwstoskedast .

5

To antstrofo prìblhma eÔresh twn idiot twn twn

N

L

mèswn toÔ Sq mato 2.1 qwr toskedast 

D

d

,èqeimelethjeapìtou

Aliferis et al. (2000b)

giathn perptwsh akoustik¸nkumˆtwn.

Kataskeuˆzoume èna sunarthsioeidè pou metrˆth diaforˆ anˆmesasto skedazìmeno pedo anaforˆ to opoo prokÔptei apì ton ˆgnwsto skeda-st  kaistoskedazìmenopedoapì toantikemenokˆje epanˆlhyh :

J(χ)

,

N

F

X

f =1

N

S

X

s=1

kr

f,s

(χ)

k

2

_L

_M

(2.22) ìpou

r

f,s

(χ) = e

(s)

_f,s

− G

R

C(χ)

h

I

N

C

− G

O

C(χ)

i

−1

e

(i)

_f,s

.

(2.23) Sumbolzoume me

k·k

L

M

to mètro pou prokÔptei apì to eswterikì ginì-meno

h·, ·i

L

M

toÔq¸rou

L

2

_(L

M

)

twnmigadik¸n sunart sewnoloklhr¸simou tetrag¸nousto

L

M

. Sth suneq  perptwsh,toeswterikì ginìmenodÔo su-nart sewndnetaiapì:

hu, vi

L

M

=

Z

L

M

u(ρ)v

∗

(ρ) dρ

(2.24)

en¸sthdiakrit  perptwsh hparapˆnw sqèshgnetai:

hu, vi

L

M

=

N

M

X

m=1

u(ρ

m

)v

∗

(ρ

m

)

(2.25)

ìpouqrhsimopoioÔme tosumbolismì

z

∗

giatosuzug  migadikìtoÔ

z

.

To sunarthsioeidè (2.22) èqei mh grammik  exˆrthsh apì th metablht 

χ

. H elaqistopohs  tou ja d¸sei th lÔsh toÔ antstrofou probl mato , dhlad todiˆnusma

χ

pouparˆgeitokontinìteroskedazìmenopedow pro topedoanaforˆ .

2.2.2 Mèjodo suzug¸n klsewn

Efarzìzoume th mh grammik  mèjodo twn suzug¸n klsewn me thn pa-rallag 

Polak-Ribi`ere

gia thn elaqistopohsh t  (2.22). H akolouja twn dianusmˆtwn

χ

k

_(k

_{≥ 0)}

kataskeuˆzetai sÔmfwname taparakˆtw:

χ

k+1

= χ

k

+ α

k

η

k

(2.26)

ìpou:

η

k

=

(

g

0

k = 0

g

k

_{+ β}

k

_η

k−1

_k

_{≥ 1}

(2.27)

g

k

= ∇J(χ

k

)

(2.28)

α

k

:

∂

∂α

k

J(χ

k+1

_{) = 0}

(2.29)

β

k

=

g

k

, g

k

_{− g}

k−1



D

d

g

k−1

2

D

d

.

(2.30)

Apì th morf mplok toÔdianÔsmato

χ = ε

r

T

_σ

T

T

prokÔptei ìti:

g

k

= ∇J(χ

k

) =



[∇

ε

r

J(χ

k

_)]

T

_[∇

σ

J(χ

k

)]

T



T

,



g

k

_ε

r

T

g

k

_σ

T



T

.

(2.31) Qwrzoume to diˆnusma

η

k

sthn dia dom  mplok,

η = η

ε

r

T

_η

σ

T

T

kai orzoume:

d

k

= η

_ε

k

_r

− j

1

ωε

0

η

_σ

k

(2.32)

A

k

=

h

I

N

C

− G

O

_C(χ

k

₎

i

−1

_.

(2.33) H klsh toÔ sunarthsioeidoÔ (2.22) upologzetai apì th sqèsh (2.31), ìpou

(Dourthe, 1997)

:

g

k

_ε

r

=

−2

N

F

X

f =1

N

S

X

s=1

Re



diag(A

k

e

(i)

_f,s

)

∗

A

k

∗

G

R

†

r

_f,s

(χ

k

)



g

k

_σ

=

−2

1

ωε

0

N

F

X

f =1

N

S

X

s=1

Im



diag(A

k

e

(i)

_f,s

)

∗

A

k

∗

G

R

†

r

f,s

(χ

k

)



en¸osuntelest 

α

k

dnetaiapì:

α

k

=

P

N

F

f =1

P

N

S

s=1

Re

D

r

_f,s

(χ

k

), G

R

A

kT

diag(A

k

e

(i)

_f,s

)d

k

E

L

M

G

R

A

kT

diag(A

k

e

(i)

f,s

)d

k

2

L

M

.

Upenjumzoume ìti sumbolzoume me

A

†

ton ermitianì suzug  toÔ pnaka

A

,oopoo isoÔtai me tosuzug  migadikì toÔ

A

T

. GiatonupologismìtoÔsuntelest 

β

k

,sqèsh(2.30),shmei¸noumeìtiapì thdom toÔdianÔsmato

g

prokÔptei:

g

i

, g

j



D

d

=

g

i

_ε

r

, g

j

ε

r



D

d

+

g

i

_σ

, g

j

σ



D

d

.