I.Etuded’unepairedejumelles SIGNAUX

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Stanislas - PCSI Concours Blanc de PHYSIQUE N^◦1 - 19/12/12- durée 4H Corrigé

SIGNAUX

I. Etude d’une paire de jumelles

1. Les éléments du modèle

1. Une lentille mince est une lentille dont l’épaisseur est très faible devant les rayons de courbure des dioptres qui la constituent.

Lentilles convergentes (bords minces) : 1,4,5,6 Lentilles divergentes (bords épais) : 2,3,7

L’objectif est la lentille (ou ensemble de lentilles) situé du côté de l’objet. L’oculaire est la lentille (ou ensemble de lentilles) situé du côté de l’œil.

2. On peut observer un objet proche (distance faible devant la distance focale) et voir s’il apparaît plus grand (lentille convergente) ou plus petit (lentille divergente).

Il est également possible d’observer un objet lointain et d’observer le retournement ou non de l’image.

3. L’approximation de Gauss consiste à ne considérer que des rayons paraxiaux : peu inclinés par rapport à l’axe optique et frappant le système optique proche de l’axe optique. Les angles d’incidence et d’émergence pourront alors être assimilés à leurs sinus ou à leurs tangentes. Dans ces conditions, il y a aplanétisme et stigmatisme approchés.

2. Encombrement de la lunette équivalente

4. Dans un système afocal, les foyers sont à l’infini. L’avantage pour l’œil «normal» est qu’un objet à l’infini aura une image par la lunette qui sera à l’infini. Elle peut donc est observée sans effort par l’œil normal dont le punctum remotum est à l’infini.

5. La lunette étant afocale, les plans focal image deL1et plan focal objet deL2 doivent coïncider. Donc d1=f₁⁰+f₂⁰= 8u.

L’encombrementd1de la lunette correspond à la longueur donnée par le constructeur. Alors 8u1= 185 mm, donc : u1= 23,1 mm .

6. a) cf. annexe b) cf. annexe

7. Dans l’approximation de Gauss, on approximeα'tanαetα⁰'tanα⁰. En s’aidant de l’image intermédiaire A1B1, on lit :







tanα=^A¹_f^B0¹ 1

tanα⁰=−^A¹_f^B0¹ 2

⇒ G=−f₁⁰ f₂⁰ =−7

1 C. Lacpatia - A. Martin - N. Piteira

La valeur numérique obtenue montre bien que la lunette grossit les objets, mais commeGest négatif, l’image est retournée.

Remarque : la valeur est cohérente avec le grossissement donné par le constructeur, le constructeur donnant sa valeur absolue.

3. Étude du dispositif redresseur à prismes 3.1. Rôle du dispositif redresseur

8. Le rayon lumineux (1) totalement réfracté émerge vers le bas car il émerge vers un milieu moins réfringent.

Le rayon (2) est réfléchi sur les deux faces.

9. Avec les notations posées ci-dessous, on doit montrer queHK=IH⁰+H⁰K⁰+K⁰J. CommeIH⁰=K⁰J, il suffit de montrer que, par symétrie,HI=IH⁰. Le triangleHIH⁰étant rectangle enIet l’angle au sommet Hvalant 45^◦(puisque le prisme est isocèle rectangle), le triangleHIH⁰est également isocèle rectangle. Il vient doncHI=IH⁰et il en découle :IH⁰+H⁰K⁰+K⁰J=HK=h.

10. L’angle d’incidence enH⁰ est de 45^◦. Il y a alors réflexion totale enH⁰ sinsin(45^◦) > 1, c’est-à-dire n >√

2 = 1,41 .

Remarque :l’indice du verre étant de 1,5-1,7, il y aura réflexion totale sur des prismes en verre.

11. On accole deux prismes hypoténuse contre hypoténuse, légèrement décalés l’un par rapport à l’autre.

3.2. Calcul du nouvel encombrement

12. Le premier rayon lumineux ne change pas d’inclinaison, il est juste décalé par la lame de verre.

Pour le second rayon lumineux, le plus simple est de tracer le rayon non dévié, arrivant perpendiculairement à la lame de verre. Le stigmatisme approché permet de conclure sur la position deA⁰, image deA, se trouvant à l’intersection des rayons émergents. L’image est virtuelle.

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13. La relation de conjugaison doit être appliquée à chacun des deux dioptres de la lame de verre.

A^dioptre1→ A1 dioptre2

→ A⁰

Ainsi : _









HA=^HA_n¹ H⁰A1

n =H⁰A⁰

On combine les deux relations pour éliminerA1. La première relation donne : nHA=HH⁰+H⁰A1=HH⁰+nH⁰A⁰= (1−n)HH⁰+nHA⁰ D’où :

(1−n)HH⁰=nA⁰A⇔ HH⁰= n n−1AA⁰ Par identification, k0= n

n−1. 14. On a`=ⁿ⁻¹_n ×2h. Alors :

u2=1 8

L+ 1

n−1

2h

= 26,9 mm

4. Pertinence des modèles

15. Nous avons considéré ici que nous traitions de lentilles minces. On voit que l’oculaire est constitué d’un grand nombre de lentilles et leur association doit être modélisée correctement par une lentille épaisse, régie par des lois différentes de celles des lentilles minces.

II. Utilisation télémétrique de la paire de jumelles

1. Télémétrie visuelle

16. Le réticule doit être placé au niveau de l’image intermédiaire de la lunette, ce qui, pour une lunette afocale, correspond au plan focal objet de l’oculaire qui est aussi le plan focal image de l’objectif.

17. La largeur angulaire du champ de vision est β= 127

1000= 127.10⁻³rad = 7,28^◦. Cela correspond à l’angle de visée indiqué par le constructeur.

18. Le rapport angulaire doit être conservé. En notantxla distance à laquelle se situe le phare, on a : β= 127

1000=60∗(3/2)

x ⇒ x= 709 m 2. Télémétrie automatique

19. La distance parcourue par l’onde étant de 2D, on a t_v=2D c .

20. La différence de marche entre les deux signaux émis et reçu estδ= 2D. Au bout dencoïncidences, c’est que 2D=nλdonc D=nλ

2 .

Remarque :un raisonnement en phase donnerait de manière identiqueωt_v= 2πndonc^2π_T^2D_c = 2πnet l’on retrouve, avecλ=cT, la relation2D=nλ.

21. Au bout d’exactement n=50 coïncidences, les signaux sont en phase. On voit clairement que les signaux sont en opposition de phase, ce qui correspond à une demi-longueur d’onde de différence de marche sup- plémentaire. Ainsi, la différence de marche s’exprime :

δ=nλ+λ

2= 2D⇒ D=

n+1 2

λ 2 = 21 cm

Remarque :un raisonnement en phase est là encore possible. Le déphasage entre le signal émis et celui reçu est :∆φ= 2πn+π=^2π_T ^2D_c =^4πD_λ ⇒D=n+¹₂^λ₂

22. Le signal (1), plus ample et peu bruité, est le signal de l’émetteur. Le signal (2) d’amplitude beaucoup plus faible est celui du récepteur. En effet, le signal sonore va perdre de l’amplitude au cours de sa propagation (amplitude qui décroît en 1/r² avecrla distance parcourue). Le réflexion peut aussi être le siège d’une perte d’amplitude ainsi que l’interaction avec le milieu de propagation.

23. En mode DC l’oscilloscope affiche directement le signal (Direct Current), sans aucune modification. En mode AC par contre (Alternative Current), l’oscilloscope filtre les basses fréquences afin d’éliminer la valeur moyenne du signal et ne conserver que sa partie alternative.

Étant donné que le signal (2) n’oscille pas autour de la référence de terre, le mode d’observation est nécessairement le mode DC. L’énoncé précise que le même mode est utilisé pour les deux voies.

24. Les signaux sont en opposition de phase. L’observation en XY donne alors une droite de pente négative :

3. Quelques étages d’un phasemètre électronique de principe 3.1. L’étage principal

25. kest en V⁻¹. Après linéarisation, v_s(t) =¹₂kv0v1[cosϕ+ cos(2ω0t+ϕ)] . Pour un signal périodique de périodeT0=^2π_ω

0quelconque, le dévelop- pement en série de Fourier seraitv_s(t) =S0+

+∞

P n=1

S_ncos(nω0t+ϕ_n).

Par identification, on a iciS0=¹₂kv0v1cosϕ,S2=¹₂kv0v1etϕ2=ϕ, S_n= 0 pour toutn6= 0,2 etϕ_n= 0 pour toutn6= 2. Ceci conduit au graphe ci-contre.

S_n

ω 2ω 0

1 2kv0v1 1

2kv0v1cosϕ

La valeur moyenne est la composante continue du signal : < v_s(t)>=S0cosϕ=¹₂kv0v1cosϕ.

26. On analyse des comportements asymptotiques du filtre à basse fréquence (BF) et haute fréquence (HF) en remplaçant le condensateur respectivement par un interrupteur ouvert ou par un fil :

R

v_s C v_f

⇔

BF ou HF

R

v_s v_f=v_s

R

v_s v_f= 0

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Il s’agit donc d’un filtre passe-bas. La loi du pont diviseur de tension conduit à H(jω) = 1 1 +jRCω. Ainsi, le filtre est d’ordre 1.

27.

On en déduit G_dB(ω) =−10 log1 + (RCω)².

Dont les comportements asymptotiques sont G_dB(ω) −→

0 0 et G_dB(ω) ∼

∞ −20 log(RCω), soit une pente en−20 dB.dec⁻¹à haute fréquence. D’où le diagramme de Bode ci-contre.

log(RCω) GdB

−20 0 1

28. Il s’agit d’un passe-bas et il n’y a que deux composantes spectrales. On veut donc conserver la première, qui est constante, et supprimer la seconde de pulsation 2ω0. La pulsation de coupureω_ccorrespond à RCω_c= 1⇔ω_c=_RC¹ . Il faut donc 2ω0 1

RC .

En sortie, on a alors v_f(t)≈¹₂kv0v1cosϕ=< v_s(t)>. Ainsi, ce filtreRC permet de calculer la valeur moyenne du signal.

3.2. Extraction du signal

29. On obtient deux composantes spectrales supplémentaires :

v_s(t) =¹₂kv0[v1cosϕ+v1cos(2ω0t+ϕ) +v2cos((Ω−ω0)t) +v2cos((Ω +ω0)t)].

30. On en déduit que Ω +ω0>Ω−ω02ω0_RC¹ donc toutes les fréquences non nulles sont coupées, et on préserve la valeur moyenne, comme précédemment : v_f(t)≈¹₂kv0v1cosϕ=< v_s(t)>.

3.3. Amplification du signal

31. Comme il n’y a pas de courant entrant dans les entrées−des AO, les résistancesR0etR_gsont parcourues par le même courant, notéi0dirigé du bas vers le haut (AO2 vers AO1).

Ceci impliquev⁰_m= (R_g+ 2R0)i0.

D’autre part pour chaque AO on av+=v₋, donc la tensionv_i⁰=v_E₂−v_E₁=R_gi0. En combinant les deux dernières relations on obtientv⁰_m=1 +^2R_R⁰

g

v⁰_i. Donc en Régime Sinusoïdal Forcé (RSF),

H₁₂=v⁰_m

v⁰_i = 1 +2R0

R_g .

32. Les courants d’entrée de l’AO étant nuls, on peut appliquer la loi des noeuds en terme de potentiel à l’entrée + et à l’entrée−pour l’AO 3 :

v− ₁

R1+_R¹

2

=^v_R^s¹

1 +_R^v⁰^r

2 et v+ ₁

R1+_R¹

2

=^v_R^s²

1+_R⁰

2

Etant donné quev+=v₋, ceci conduit à^v^s¹

R1+^v⁰^r

R2=^v^s²

R1 ⇔^v_R⁰^m

1= ^v⁰^r

R2, d’où en RSF : H₃=R2

R1

. Par conséquent,v⁰_r=H₃.H₁₂.v⁰_i, donc v⁰_r=Av⁰_i avec A=R2

R1

1 +2R0

R_g

! .

33. Le signal 2 est indiqué d’amplitude|v⁰_i|= 24 mV. On doit avoir en sortie|v⁰_r|=A|v⁰_i| ≤Vmax= 15 V. D’où Amax=Vmax

|v⁰_i| = 15 0,024 = 625.

III. Perturbation des circuits électriques par la foudre

34. Soitδqune quantité de charge traversant une section de référence pendant une durée dt, l’intensité ins- tantanée du courant vaut I(t) =δq

dt.

La charge totale transférée par l’éclair est doncQ=^R₀^t^fI(t)dtavect_f ≈1000µs représentant la fin de l’éclair. On notet_m= 10µs letemps de montée(cf infra) correspondant à la phase de montée deI(t). En assimilant la courbe à une succession de deux segments de droites de sommetImax= 30 kA, l’intégrale se ramène au calcul de l’aire de deux triangles (ou seulement du grand si on néglige le petit...) :

Q=¹₂t_mImax+¹₂(t_f−t_m)Imax d’où Q=¹₂t_fImax = 15 C.

Le courant moyen est donc < I >=Q

t_f =¹₂Imax = 15 kA.

35. Une telle solution correspond au régime libre apériodique d’une équation différentielle d’ordre 2 à coefficients constants, de forme canonique^d²^I

dt²+^ω_Q⁰^dI_dt+ω²₀I= 0 . On cherche des solutions exponentielles sous la forme λ e^rtce qui conduit à l’équation caractéristiquer²+^ω_Q⁰r+ω²₀= 0. Le régime est apériodique si cette équation admet des solutions réelles, donc si le discriminent_Q^ω²⁰2−4ω²₀>0⇔ Q <¹₂.

36. Le temps de montée vérifie^dI_dt(t_m) = 0, d’où t_m= 1 α−β ln

α β

.

37. On a donct1=t_m, donc le système est







t1 = _α−β¹ ln^α_β

1

2 = ^e^−αt²^−e^−βt²

e^−αt1−e^−βt1

38. |e| est maximal lorsque^dI_dtl’est, donc pendant la phase de montée du courant, pourt ∈[0;tm] avec t_m=t1= 10µs.

39. Pendant un orage, la loi des mailles s’écrit Ldi

dt+Ri=E+e.

40. Sans second membre, l’équation différentielle ci-dessus est linéaire affine à coefficients constants, donc vérifie le principe de superposition : une combinaison linéaire de solutions est toujours solution. Ainsi la solution générale de l’équation sans second membre s’écritλ e⁻^τ^t, en notantτ=_R^Lle temps caractéristique de disparition du régime transitoire, etλune constante dépendant des conditions initiales.

En raison de la linéarité du membre de gauche, la solution particulière de l’équation complète avec pour second membreE+epeut elle aussi vérifier un principe de superposition : elle sera solution si elle est la somme des solutions particulières correspond à chaque second membre séparéEd’une part eted’autre part :

Ldi_d

dt +Ri_d=E et Ldi_f

dt +Ri_f=e donc Ld(i_d+i_f)

dt +R(i_d+i_f) =E+e . Finalement, la solution générale s’écrit donc i(t) =λ e⁻^τ^t+i_d(t) +i_f(t) .

41. a) On calculei_den passant en complexes, ce qui est possible puisque l’équation est linéaire à coefficients constants. On a i_d(t) =I_dcos(ωt+ψ) et (jτ ω+ 1)i_d=_R¹E(t). Ceci conduit à I_d= E_m/R

√

1 +τ²ω² et ψ=−arctan(τ ω) .

b) On applique la condition initiale :i(0) = 0 =λ+I_dcosψd’oùλ=−I_dcosψ. Ceci conduit à i(t) =I_dcos(ωt+ψ)−cosψ e⁻τ^t

avec cosψ= 1

p1 + tan²ψ= 1

√

1 +τ²ω² .