Autour du septième problème de Hilbert: Une excursion en transcendance

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Autour du septième problème de Hilbert: Une excursion en transcendance

Julien Haristoy, Edouard Oudet

To cite this version:

Julien Haristoy, Edouard Oudet. Autour du septième problème de Hilbert: Une excursion en tran-

scendance. l’Ouvert (revue de l’IREM de Strasbourg et de l’APMEP d’Alsace)., 2003, pp.1–15. �hal-

00385102�

Autour du septi`eme probl`eme de Hilbert : Une excursion en transcendance

Julien Haristoy et ´ Edouard Oudet

R´esum´e

On souhaite donner un aper¸cu de quelques probl` emes en th´ eorie des nombres transcendants, autour du pivot que constitue le septi` eme probl` eme de Hilbert. On esquisse un historique du d´ eveloppement de la discipline ant´ erieurement ` a l’´ enonc´ e des probl` emes de Hilbert, puis on propose une preuve aussi ´ el´ ementaire que possible et (presque) compl` ete du th´ eor` eme de Gel’fond-Schneider, qui r´ epond ` a la question de Hilbert. Enfin on d´ ecrit l’importante post´ erit´ e du septi` eme probl` eme dans les travaux math´ ematiques au vingti` eme si` ecle.

Lorsque David Hilbert est invit´ e ` a donner une des conf´ erences majeures du deuxi` eme congr` es international des math´ ematiciens, qui doit se tenir ` a Paris ` a l’´ et´ e 1900, il lui ap- paraˆıt rapidement que le moment est symboliquement id´ eal pour donner ` a la communaut´ e math´ ematique sa vision du d´ eveloppement futur de la discipline. Il souligne l’importance de d´ egager des probl` emes

:

¡¡ Et de mˆ eme que dans toute entreprise humaine il faut poursuivre un but, de mˆ eme dans la recherche math´ ematique il faut des probl` emes. La puissance du chercheur se retrempe dans leur r´ esolution, il y trouve de nouvelles m´ ethodes et de nouveaux points de vue, d’o` u il d´ ecouvre un horizon plus vaste et plus libre. ¿¿

C’est donc ` a cette occasion que Hilbert rend publique sa liste de vingt-trois probl` emes destin´ es ` a occuper les math´ ematiciens du si` ecle ` a venir (en fait, suivant les conseils de Minkowski et Hurwitz, qui craignaient un expos´ e trop long, il n’´ enon¸ca oralement que dix de ces probl` emes, l’int´ egralit´ e de son texte paraissant aux G¨ ottinger Nachrichten).

Parmi les qualit´ es que doit poss´ eder un bon probl` eme math´ ematique selon Hilbert, figurent en premier lieu clart´ e et limpidit´ e :

¡¡ Cette clart´ e, cette limpidit´ e si ´ energiquement exig´ ee [...] d’une th´ eorie math´ ematique, je l’exigerais encore davantage d’un probl` eme math´ ematique parfait ; ce qui est clair et limpide nous attire en effet, ce qui est embrouill´ e nous rebute. ¿¿

1

Nous citons ici la traduction de L. Laugel dans le Compte-rendu du deuxi` eme congr` es international

des math´ ematiciens tenu ` a Paris du 6 au 12 aoˆ ut 1900, Gauthier-Villars, Paris, 1902.

A cet ´ ` egard le septi` eme probl` eme, sous le titre g´ en´ eral Irrationalit´ e et transcendance de cer- tains nombres, est certainement exemplaire. Rappelons d’abord qu’un nombre complexe est dit alg´ ebrique s’il est racine d’un polynˆ ome ` a coefficients entiers (ou rationnels, cela revient au mˆ eme), par exemple i, √

2, les racines de l’unit´ e ; sinon on dit qu’il est transcendant. Il est utile de rappeler pour la suite que l’ensemble des nombres alg´ ebriques forme un corps.

Le septi` eme probl` eme ´ evoque d’abord la question de la transcendance de certaines valeurs de la fonction exponentielle, dans la lign´ ee des travaux de Hermite et Lindemann :

¡¡ [...] nous regardons comme extrˆ emement probable que la fonction exponen- tielle e

, par exemple, qui, pour toutes les valeurs rationnelles de l’argument z prend ´ evidemment toujours des valeurs alg´ ebriques, prenne d’autre part, pour toutes les valeurs irrationnelles alg´ ebriques de l’argument z, des valeurs tou- jours transcendantes. Nous pouvons donner ` a cet ´ enonc´ e la forme g´ eom´ etrique suivante : Lorsque, dans un triangle isosc` ele

, le rapport entre l’angle ` a la base et l’angle au sommet est alg´ ebrique, mais non rationnel, le rapport entre la base et l’autre cˆ ot´ e sera toujours transcendant. ¿¿

En effet, si α mesure l’angle ` a la base, l’angle au sommet vaut π − 2α et leur rapport π/α − 2 ; ce dernier est irrationnel alg´ ebrique si et seulement si z = α/π l’est. Or le quotient de la base par le cˆ ot´ e de l’angle au sommet est 2 cos α = e

+ e

qui est transcendant si et seulement si e

l’est.

Remarquons que comme e

= − 1, il revient au mˆ eme de se demander si ( − 1)

est trans- cendant pour toute valeur de z, alg´ ebrique irrationnelle

. On peut alors voir cette ques- tion comme un cas particulier de la conjecture suivante, ` a laquelle nous ferons dor´ enavant r´ ef´ erence, lorsque nous ´ evoquerons le septi` eme probl` eme de Hilbert :

¡¡La puissance α

, pour une base alg´ ebrique α et un exposant alg´ ebrique irra- tionnel β, comme par exemple le nombre 2

ou e

= i

, repr´ esente toujours un nombre transcendant ou pour le moins irrationnel. ¿¿

Hilbert pr´ ecise :

¡¡ J’en regarde la d´ emonstration comme extrˆ emement difficile ¿¿ ; il ajoute encore :

¡¡ Il est certain que la r´ esolution de ces probl` emes et d’autres analogues doit conduire ` a des m´ ethodes nouvelles, ainsi qu’` a de nouveaux points de vue relativement ` a la nature de nombres irrationnels et transcendants particuliers.

¿¿

Siegel rapporte que Hilbert disait souvent que la preuve de l’irrationalit´ e de 2

lui semblait appartenir ` a un futur plus lointain que celle du dernier « Th´ eor` eme » de Fermat

2

Graphie d’usage ` a l’´ epoque, la seule correcte selon Littr´ e.

3

Pour fixer les id´ ees, on peut d´ efinir la fonction α

par exp(z(ln |α| + iθ)), o` u θ est la d´ etermination de

l’argument de α appartenant ` a ] − π, π], commun´ ement appel´ ee d´ etermination principale de l’argument ;

la seule vertu de ce choix est de prolonger les fonctions puissances usuellement d´ efinies sur R. Quoique le

choix d’une autre d´ etermination de l’argument d´ efinisse une fonction puissance distincte, il n’affecterait

pas nos ´ enonc´ es de transcendance.

ou de l’hypoth` ese de Riemann

. Or le septi` eme probl` eme fut r´ esolu ind´ ependamment et presque simultan´ ement par Gel’fond et Schneider en 1934, qui plus pr´ ecis´ ement montr` erent que

si α est un nombre alg´ ebrique diff´ erent de 0 et de 1 et β un nombre alg´ ebrique irration- nel, alors α

est un nombre transcendant.

Si Hilbert s’est tromp´ e sur l’´ evaluation de la difficult´ e respective des questions men- tionn´ ees ci-dessus, nous essaierons de montrer, apr` es avoir rappel´ e quelques ´ episodes mar- quants de la th´ eorie transcendante des nombres avant 1900, que le pronostic quant ` a la n´ ecessit´ e de trouver de nouvelles m´ ethodes s’est, lui, parfaitement av´ er´ e, comme s’est concr´ etis´ e l’espoir que celles-ci se r´ ev` eleraient f´ econdes.

1 Quelques rep` eres historiques

Le premier usage math´ ematique du mot transcendant, qui relevait jusqu’alors du vo- cabulaire scholastique, semble remonter ` a Leibniz (1704) — ce qui n’est gu` ere ´ etonnant si l’on songe que, davantage encore que vers les math´ ematiques, ses pr´ eoccupations le por- taient vers les questions th´ eologico-philosophiques — et probablement en un sens proche de celui o` u nous l’entendons. Les premi` eres conjectures explicites de transcendance sont certainement ` a mettre au compte d’Euler (mais son nom n’est-il pas attach´ e peu ou prou

`

a la naissance de quelque branche des math´ ematiques modernes que ce soit ?) et nous reviendrons au paragraphe suivant sur l’une de ses contributions.

Cependant, et sans rechercher le paradoxe, on peut dire que les premi` eres d´ emonstra- tions ressortissant, au moins dans l’esprit, ` a la th´ eorie transcendante des nombres sont des d´ emonstrations d’irrationalit´ e. Nous n’avons pas l’ambition de tenter ici une r´ eflexion sur la notion de nombre

, depuis l’´ emergence de la pens´ ee rationnelle grecque jusqu’au dix- neuvi` eme si` ecle allemand ; rappelons seulement que la premi` ere preuve d’irrationalit´ e, plus pr´ ecis´ ement d’incommensurabilit´ e, qui nous soit parvenue (et qui constitue aussi une des toutes premi` eres d´ emonstrations toujours recevables aujourd’hui) remonte selon Aristote

`

a l’´ ecole Pythagoricienne ; elle concerne, comme on sait, le rapport du cˆ ot´ e du carr´ e ` a sa diagonale.

Pour revenir ` a l’´ epoque moderne, Euler montre d` es 1744 l’irrationalit´ e de e ; la d´ emons- tration bien connue qui repose sur l’´ egalit´ e e =

n≥0

1/n! est due ` a Fourier en 1815. Citons aussi Lambert qui, en 1766, d´ emontre (presque

) l’irrationalit´ e de π, dont on avait depuis longtemps reli´ e les propri´ et´ es arithm´ etiques ` a la possibilit´ e de la quadrature du cercle.

Plus pr´ ecis´ ement, prolongeant des id´ ees d’Euler, il consid` ere le d´ eveloppement en fraction

4

C’est plus pr´ ecis´ ement lors d’une conf´ erence donn´ ee en 1919 que Hilbert manifesta l’espoir de voir l’hypoth` ese de Riemann d´ emontr´ ee de son vivant (il est mort en 1943), alors qu’` a son avis seuls les plus jeunes de ses auditeurs verraient la r´ esolution du probl` eme de Fermat. Quant ` a l’irrationalit´ e de 2

, il n’imaginait pas que ceux-ci pussent vivre assez longtemps pour en connaˆıtre une d´ emonstration. Cf.

Jeremy J. Gray, The Hilbert Challenge, Oxford University Press, 2000.

5

Ni d’ailleurs les comp´ etences pour la mener ` a bien.

6

La premi` ere preuve compl` ete est de Legendre qui montra aussi l’irrationalit´ e de π

.

continue

de tan x et montre que cette fonction prend des valeurs irrationnelles pour des arguments rationnels non nuls. Comme tan(π/4) est rationnel, l’irrationalit´ e de π s’en d´ eduit.

Ce sont les ´ echecs r´ ep´ et´ es de d´ emonstration de l’alg´ ebricit´ e de e ou de π qui am` enent l’opinion math´ ematique dominante, ` a la suite d’Euler, Lambert et Legendre, ` a conjecturer leur transcendance.

Cependant il est remarquable que jusqu’en 1844, la th´ eorie transcendante des nombres n’ait pas v´ eritablement d’objet, en ce sens que personne n’est alors en mesure d’exhiber le moindre nombre transcendant. C’est ` a cette date en effet que Joseph Liouville publie (au Journal de ... Liouville) Sur les classes tr` es ´ etendues de quantit´ es dont la valeur n’est ni alg´ ebrique, ni mˆ eme r´ eductible ` a des irrationnelles alg´ ebriques, et tout particuli` erement le r´ esultat que nous ´ ecririons ainsi :

Soit ξ un r´ eel, racine d’un polynˆ ome irr´ eductible ` a coefficients entiers P , de degr´ e d au moins ´ egal ` a 2 ; posons c

= max

| P

(x) | et c = min(1, 1/c

), alors pour tout rationnel non nul p/q, avec q > 0, on a :

ξ − p q

≥ c q

. La d´ emonstration en est fort simple.

D’abord, il est clair qu’on peut supposer | ξ − p/q | < 1, ou encore p/q ∈ ]ξ − 1, ξ + 1[, sinon il n’y a rien ` a d´ emontrer.

Ensuite, comme P est irr´ eductible et d ≥ 2, P (p/q) est non nul. Comme P ∈ Z [X],

| q

(P (ξ) − P (p/q)) | = | q

P (p/q) | est entier, au moins ´ egal ` a 1, ce qui s’´ ecrit encore : P (ξ) − P

p q

≥ 1 q

. Or le th´ eor` eme des accroissements finis donne :

P p

q =

P (ξ) − P p

q

≤ max

x∈[ξ−1,ξ+1]

| P

(x) | . ξ − p

q , ce qui suffit ` a conclure.

Qualitativement, le th´ eor` eme de Liouville dit qu’un nombre alg´ ebrique r´ eel n’est pas

« bien » approchable par des rationnels, d’o` u l’id´ ee de produire des nombres qui par construc- tion ont de meilleures approximations rationnelles que celles qu’on attend d’un nombre alg´ ebrique.

On appelle nombre de Liouville un irrationnel r´ eel ξ tel que pour tout entier n, il existe un rationnel p/q , avec q ≥ 2 tel que

ξ − p q

< 1 q

.

7

Ou faut-il dire plutˆ ot continu´ ee ?

Au vu du r´ esultat pr´ ec´ edent, un nombre de Liouville ne saurait ˆ etre alg´ ebrique (sinon c < q

pour tout n). Un exemple classique de tel nombre est donn´ e par

ζ =

1 10

dont l’´ ecriture d´ ecimale contient beaucoup de 0 (on peut bien sˆ ur remplacer 10 par n’im- porte quel entier).

Son d´ eveloppement d´ ecimal n’´ etant ` a l’´ evidence pas p´ eriodique, ζ est irrationnel, et si l’on note p

/q

=

k=1

1/10

, de sorte que, pour n strictement positif, q

= 10

, on a : ζ − p

q

=

1

10

< 10

10

≤ 1 q

ce qui en fait bien un nombre de Liouville.

La rencontre de Dedekind et Cantor en 1872 eut d’importantes cons´ equences pour le d´ eveloppement des math´ ematiques en g´ en´ eral. Pour ce qui nous concerne, notons simple- ment que le premier avait montr´ e que l’ensemble des nombres alg´ ebriques est d´ enombrable, disons comme r´ eunion d´ enombrable d’ensembles d´ enombrables, puis que le second, tra- vaillant ` a une construction rigoureuse des r´ eels, remarqua que les nombres transcendants sont denses dans R . On verrait bientˆ ot que presque tout r´ eel, au sens de la mesure de Lebesgue, est transcendant.

Le probl` eme de montrer la transcendance d’un nombre donn´ e restait cependant entier.

Le premier r´ esultat en ce sens est la d´ emonstration de la transcendance de e par Hermite en 1873 ; corollaire imm´ ediat : si r est rationnel, e

est transcendant (la racine r-i` eme d’un nombre alg´ ebrique est alg´ ebrique !).

En d´ epit de l’optimisme et de l’enthousiasme, ` a commencer par ceux d’Hermite, qui suivirent cette avanc´ ee importante, il fallut attendre 1882 pour que Lindemann annon¸cˆ at enfin la preuve de la transcendance de π (et par cons´ equent l’impossibilit´ e de la quadrature du cercle). Lindemann d´ emontra en fait bien plus, ` a savoir le r´ esultat aujourd’hui connu sous le nom de th´ eor` eme d’Hermite-Lindemann :

Si α est un nombre alg´ ebrique non nul, e

est transcendant.

Pour α = 1, il s’agit du th´ eor` eme d’Hermite. D’autre part, e

= − 1 n’est pas trans- cendant, par suite iπ n’est pas alg´ ebrique, donc π non plus. La m´ ethode de Lindemann est une g´ en´ eralisation de celle d’Hermite, d´ ecouvreur ´ eponyme de l’identit´ e suivante, facile ` a v´ erifier par int´ egrations par parties successives :

Pour tout polynˆ ome f ∈ C [X] de degr´ e n, si l’on pose F (x) =

k=0

f

(x), on a :

0

e

f(t)dt = F (0) − F (x)e

A la suite de Hurwitz (1883), on peut voir cette relation comme une cons´ ` equence de ce

que la fonction exponentielle est solution de l’´ equation diff´ erentielle y

= y, puis montrer

qu’on obtient une identit´ e analogue pour les fonctions solutions de azy

= by

+ y, o` u a et b sont des nombres complexes ; il en d´ eduit enfin de nouveaux r´ esultats de transcendance.

Dans tous les cas, l’efficacit´ e de la m´ ethode r´ eside dans l’alg´ ebricit´ e des coefficients du d´ eveloppement en s´ erie enti` ere des fonctions consid´ er´ ees, ne laissant pas d’espoir quant au probl` eme pos´ e par Hilbert, o` u il s’agirait de consid´ erer la fonction α

, solution de y

= (log α) y (ici et dans la suite, log d´ esigne une d´ etermination du logarithme complexe, disons la d´ etermination principale ; ln d´ esigne le logarithme naturel des nombres r´ eels positifs).

2 Le probl` eme d’Euler-Hilbert

Le septi` eme probl` eme de Hilbert est couramment appel´ e probl` eme d’Euler-Hilbert, tant il paraˆıt naturel d’en faire remonter l’origine au passage suivant de l’Introduction ` a l’Analyse Infinit´ esimale

(a et b sont des nombres rationnels positifs) :

¡¡ D’apr` es ce que nous venons d’exposer, il est clair qu’il n’y a de logarithmes rationnels que ceux des puissances de la base a ; car si un autre nombre b n’est pas une puissance de la base a, son logarithme ne peut ˆ etre exprim´ e par un nombre rationnel, le logarithme de b ne sera pas non plus un nombre irrationnel

9

; [...] Puisqu’aucun nombre, soit rationnel, soit irrationnel, ne peut repr´ esenter les logarithmes des nombres, qui ne sont pas des puissances de la base, on a donc raison de les rapporter aux quantit´ es transcendantes ; & c’est la cause pour laquelle on a coutume de ranger les logarithmes parmi ces derni` eres. ¿¿

La derni` ere assertion d’Euler signifie que si a et b sont des rationnels positifs, a = 1, log

b = ln b/ ln a est rationnel (si b est une puissance rationnelle de la base) ou transcen- dant. Posons β = ln b/ ln a, l’´ enonc´ e de Hilbert dit pr´ ecis´ ement que si β n’est pas rationnel, β est n´ ecessairement transcendant, sinon a

= b est transcendant.

Euler ne produit aucun ´ el´ ement de preuve ` a l’appui de ce qu’il avance, et le probl` eme n’a pas connu de progr` es au moment o` u Hilbert l’´ enonce dans sa g´ en´ eralit´ e et appelle pour sa r´ esolution ` a l’´ emergence d’id´ ees nouvelles.

Une contribution majeure en ce sens est fournie par Alexandre Gel’fond en 1929 : il introduit certaines fonctions d’interpolation pour une fonction holomorphe et, reprenant des id´ ees d´ evelopp´ ees par P´ olya, en d´ eduit une borne pour la croissance de la fonction ; par des consid´ erations arithm´ etiques, il arrive alors ` a une contradiction lorsque cette fonction prend beaucoup de valeurs alg´ ebriques. Ce proc´ ed´ e lui permet de donner une solution partielle au septi` eme probl` eme de Hilbert, pr´ ecis´ ement dans le cas o` u β est un nombre quadratique (i.e. racine d’un polynˆ ome irr´ eductible de degr´ e 2) imaginaire, ce qui donne en particulier la transcendance de e

= ( − 1)

. Kuzmin remarque en 1930 que la m´ ethode de Gelfond peut ˆ etre ´ etendue au cas des nombres quadratiques r´ eels ; la question de la transcendance de 2

, par exemple, est alors r´ esolue.

8

Nous citons : L´ eonard Euler, Introduction ` a l’Analyse Infinit´ esimale, traduit du latin par J. B. Labey, Barrois aˆın´ e, l’an quatri` eme de la R´ epublique Fran¸caise (1796), r´ e´ edition ACL-´ editions, Paris 1997.

9

Il faut comprendre ici : irrationnel alg´ ebrique.

Pour la solution compl` ete du septi` eme probl` eme, il fallut encore ajouter une autre id´ ee, introduite par Siegel dans l’´ etude des fonctions de Bessel : la construction d’une fonction auxiliaire poss´ edant des propri´ et´ es d’annulation remarquables. Une preuve g´ en´ erale fut enfin donn´ ee par Gel’fond en mars 1934, puis, ind´ ependamment, quoiqu’utilisant les mˆ emes arguments d´ ecisifs, par Th´ eodore Schneider, un ´ el` eve de Siegel, deux mois plus tard.

Nous donnons un aper¸cu de la preuve de Schneider, telle qu’elle est d´ ecrite par Michel Waldschmidt dans Transcendence Methods.

On part du fait que les fonctions z et α

sont alg´ ebriquement ind´ ependantes sur C , c’est-` a-dire qu’il n’existe pas de polynˆ ome P ∈ C [X, Y ] non nul tel que la fonction P (z, α

) soit identiquement nulle (c’est une g´ en´ eralisation de la notion de transcendance), et on raisonne par l’absurde.

Si α

est alg´ ebrique, les fonctions z et α

prennent toutes deux des valeurs alg´ ebriques aux points m + nβ, (m, n) ∈ Z

, toutes contenues dans le corps de nombres Q (α, β, α

) (le plus petit corps contenant Q , α, β et α

). On se donne alors un r´ eel positif H : un lemme de Siegel, reposant sur le principe des tiroirs de Dirichlet

, assure alors l’existence d’un polynˆ ome P ∈ Z [X, Y ] s’annulant en tout point (m + nβ, α

), pour 0 ≤ m, n ≤ H, et dont on contrˆ ole « bien » le degr´ e et la valeur absolue des coefficients en fonction de H (sinon c’est trivial).

Posons F (z) = P (z, α

) ; un argument analytique (une variante du lemme de Schwarz, voir le paragraphe suivant) permet de borner la croissance de F dans un disque centr´ e en 0, ce qui impose (argument arithm´ etique) de nouveaux z´ eros pour F , toujours de la forme m + nβ, ce qui donne une nouvelle borne pour F , sur un disque plus grand ... etc, jusqu’` a prouver que F est identiquement nulle, la contradiction cherch´ ee.

La preuve de Gel’fond est essentiellement analogue et diff` ere surtout par ce qu’il consid` ere un z´ ero de multiplicit´ e ´ elev´ ee, plutˆ ot qu’un grand nombre de z´ eros distincts.

L’une et l’autre d´ emonstrations mettent en œuvre une combinaison ing´ enieuse d’arguments de nature alg´ ebrique, arithm´ etique et analytique.

Au d´ ebut des ann´ ees quatre-vingt-dix, une nouvelle m´ ethode, introduite par Michel Laurent, a permis de substituer dans la preuve de nombreux r´ esultats de transcendance l’´ etude de certains d´ eterminants ` a la construction de fonctions auxiliaires, telles que la fonction F ci-dessus.

C’est sur ce type d’arguments que repose la d´ emonstration d´ evelopp´ ee au paragraphe suivant. Elle est adapt´ ee du deuxi` eme chapitre du livre Diophantine Approximation on Linear Algebraic Groups de Waldschmidt, par ailleurs riche de commentaires et de consi- d´ erations heuristiques. Elle a la vertu d’ˆ etre ´ el´ ementaire au sens o` u elle ne demande aucune connaissance en th´ eorie alg´ ebrique des nombres et gu` ere plus que le principe du maximum en analyse complexe.

Soulignons cependant que, si notre d´ emonstration ne traite que le cas o` u α est un r´ eel positif diff´ erent de 1 et β un r´ eel irrationnel, elle manque l’exhaustivit´ e d’assez peu : la

10

Ou « principe des trous de pigeons » en anglais ; c’est simplement la remarque qu’une application entre

deux ensembles finis tels que l’ensemble d’arriv´ ee est de cardinal strictement plus petit que l’ensemble de

d´ epart, n’est pas injective.

raison en est expliqu´ ee au paragraphe suivant.

Voici d’abord quelques pr´ eliminaires au corps de la preuve proprement dite.

Pour un polynˆ ome f ` a coefficients entiers, on d´ efinit sa hauteur comme la plus grande des valeurs absolues de ses coefficients, et on la note H(f ). Pour un polynˆ ome de plusieurs variables on note deg son degr´ e total. Nous utiliserons de fa¸con essentielle la

Proposition 1 Soit γ

, . . . , γ

des nombres alg´ ebriques, il existe une constante c (ne d´ e- pendant que des γ

) telle que pour tout polynˆ ome f de Z [X

, . . . , X

] et tout r´ eel T tel que max(ln H(f ), deg(f)) ≤ T ,

f(γ

, . . . , γ

) = 0 implique | f (γ

, . . . , γ

) | ≥ e

Nous nous contentons de donner les grandes lignes de la d´ emonstration. Pour i = 1, ..., n, soit P

∈ Z [X] tel que P

(γ

) = 0, on note d

le degr´ e de P

, a

le coefficient de son terme de plus haut degr´ e et γ

= γ

, γ

, ..., γ

les racines de P

(compt´ ees avec leur multiplicit´ e).

On remarque d’abord que si α ∈ C\{ 0 } est racine d’un polynˆ ome P ∈ Z [X], tel que P (0) = 0 et de hauteur major´ ee par M, alors | α | ≥ (1+M )

. (En consid´ erant le polynˆ ome X

P (1/X), on voit qu’il revient au mˆ eme de montrer | α | ≤ (1+M). On peut alors supposer

| α | > 1, et si α annule

i=0

b

X

, on a | α | ≤ | b

α | = | b

+ b

α

+ · · · + b

α

| <

M/(1 − | α |

).)

L’id´ ee est d’associer ` a tout polynˆ ome f de degr´ e N tel que f(γ

, ..., γ

) = 0 un polynˆ ome F ∈ Z [X] de hauteur major´ ee par e

o` u C ne d´ epend que de γ

, ..., γ

(et du choix de P

, ..., P

) tel que F (f(γ

, ..., γ

)) = 0 puis d’appliquer la remarque pr´ ec´ edente ` a P = F et α = f(γ

, ..., γ

).

Explicitement, F est donn´ e par :

F (X) = (a

...a

)

d1

j1=1

...

dn

jn=1

(X − f(γ

, ...γ

)).

La majoration de la hauteur de F est, ici, facile ` a ´ etablir (remarquer en premier lieu qu’il existe une constante c

ne d´ ependant que de γ

, ..., γ

telle que | f(γ

, ..., γ

) | ≤ e

). C’est un point plus d´ elicat que de montrer que F est ` a coefficients entiers.

Supposons d’abord que n = 1; on a

F (X) = a

d1

j1=1

(X − f(γ

)).

Remarquons alors que F = a

G o` u G est un polynˆ ome sym´ etrique en les γ

, j = 1, ..., d

, de degr´ e au plus N d

et ` a coefficients dans l’anneau Z [X].

Le th´ eor` eme fondamental de structure de l’alg` ebre des polynˆ omes sym´ etriques assure l’existence d’un polynˆ ome Γ ` a coefficients dans Z [X] de degr´ e au plus N d

tel que

G = G(γ

, ..., γ

) = Γ(s

, ..., s

)

o` u s

, ..., s

sont les d

polynˆ omes sym´ etriques ´ el´ ementaires en les γ

. On peut donc ´ ecrire G(γ

, ..., γ

) =

α=(α1,...,αd1)∈N^d1,d1

i=1αi≤N d1

P

s

...s

1

o` u P

∈ Z [X]. Comme les s

a

sont entiers pour i = 1, . . . , d

(ce sont, au signe pr` es, les coefficients de P

), F est ` a coefficients entiers.

On g´ en´ eralise cette ´ etude au cas n quelconque par r´ ecurrence en remarquant que F s’´ ecrit

F (X) = (a

)

dn

jn=1



(a

. . . a

)

d1

j1=1

. . .

d

jn−1=1

(X − f (γ

, ...γ

))



 ;

l’hypoth` ese de r´ ecurrence indique que le facteur parenth´ es´ e est un polynˆ ome de Z [X, Y ], de degr´ e au plus N d

...d

, ´ evalu´ e en Y = γ

. Un argument similaire ` a celui utilis´ e pour le cas n = 1 permet de conclure.

Mˆ eme si c’est un peu artificiel, on peut r´ e´ ecrire le th´ eor` eme de Liouville ainsi :

pour tout nombre ξ racine d’un polynˆ ome irr´ eductible de degr´ e d ≥ 2, il existe une constante positive c telle que pour tout polynˆ ome P = qX + p, avec p, q ∈ Z , q > 1,

| P (ξ) | ≥ e

,

et voir dans la proposition pr´ ec´ edente une g´ en´ eralisation de celui-ci pour des polynˆ omes de degr´ e plus grand que 1 d’une part, en plusieurs variables d’autre part. Il paraˆıt naturel alors d’un d´ eduire un crit` ere de transcendance.

Nous raisonnons par l’absurde et supposons que α, β et α

sont simultan´ ement alg´ ebri- ques (pour α positif, diff´ erent de 1 et β irrationnel), donc α

et (α

)

aussi.

Au paragraphe suivant, nous construisons alors pour tout entier impair N un polynˆ ome f

de Z [X

, . . . , X

] tel que, pour N grand tout au moins, max(ln H(f

), deg(f

)) ≤ N

et

0 < | f

(α, α

, β, α

, (α

)

) | < e

Or, d’apr` es la proposition, il existe une constante c telle que :

e

> e

; c’est la contradiction attendue.

3 Une preuve du th´ eor` eme de Gel’fond-Schneider (cas r´ eel)

Posons α

= α, α

= α

et l = log α. Pour (τ, t) ∈ N × Z , on introduit la fonction Φ

(z) = z

e

; puis pour (s

, s

) ∈ Z

, on consid` ere les nombres ξ

= s

+ s

β, de sorte que

Φ

(ξ

) = (s

+ s

β)

(α

α

)

.

On veut ´ ecrire une matrice carr´ ee dont les Φ

(ξ

) sont les coefficients. Soit N un entier impair, la taille de la matrice est L = N

; les lignes seront indic´ ees par (τ, t) pour 0 ≤ τ ≤ N

− 1 et | t | ≤ (N

− 1)/2, les colonnes par (s

, s

), pour | s

| , | s

| ≤ (N

− 1)/2.

Moyennant le choix d’un ordre sur Z

, on peut alors d´ efinir pour tout entier positif N la matrice

M

= (ϕ

(ζ

))

,

o` u l’on a pos´ e

ϕ

(z) = Φ

(z) ζ

= ξ

.

On note

son d´ eterminant. C’est clairement un polynˆ ome ` a coefficients entiers en β, α

, α

, α

, α

. Il ne reste qu’` a appliquer le programme annonc´ e au paragraphe pr´ ec´ edent en prenant pour polynˆ ome f

le d´ eterminant

.

Plus explicitement, il faut d’abord montrer que

est non nul pour L assez grand.

Curieusement, c’est sans doute la partie la plus d´ elicate de la preuve g´ en´ erale et c’est ici que nous aurons besoin de l’hypoth` ese que α et β sont r´ eels. Dans le cas complexe, il n’y a aucune assurance que

est non nul. On consid` ere alors une matrice du mˆ eme type mais avec (beaucoup) plus de colonnes que de lignes et on montre qu’elle est de rang maximal, i.e. ´ egal au nombre de lignes, ce pour quoi on a besoin soit de r´ esultats analytiques plus fins que ceux utilis´ es ci-dessous, soit de manipulations techniques qui, quoiqu’´ el´ ementaires, ne prennent tout leur sens qu’avec un minimum d’habitude de l’alg` ebre commutative (ou de la g´ eom´ etrie alg´ ebrique). Une fois extraite la matrice ad´ equate on retrouve les rails de la d´ emonstration qui suit. Il s’agit ensuite de majorer |

| , sa hauteur et son degr´ e comme annonc´ e. (On voit bien ici que l’ordre choisi sur Z

pour ´ ecrire notre matrice n’a pas d’importance : un choix diff´ erent n’a d’autre effet que de permuter les lignes et les colonnes de la matrice, c’est ` a dire de multiplier

par ± 1.)

Premi` ere ´ etape :

est non nul

Il s’agit de montrer que M

est de rang maximal.

Supposons donc qu’il existe des r´ eels a

tels que la combinaison lin´ eaire

τ t

a

L

, o` u L

d´ esigne la ligne (τ, t) de M

, soit nulle. Cela se traduit par

τ t

a

Φ

(ξ

) = 0 pour tout (s

, s

) tel que | s

| , | s

| ≤ (N

− 1)/2.

Si l’on pose

F (x) =

τ t

a

Φ

(x) ,

cela revient ` a dire que F s’annule aux points ξ

. Ainsi F poss` ede N z´ eros distincts (sinon il existerait (s

, s

) = (s

, s

) tels que s

+s

β = s

+s

β et β appartiendrait ` a Q ). Ecrivons ´

F (x) =

t

a

(x)e

,

o` u a

(x) =

τ

a

x

et remarquons que deg(a

) ≤ N

− 1, donc que

t

deg(a

) ≤ N

(N

− 1).

D’autre part, comme l = 0, tl est diff´ erent de t

l si t est diff´ erent de t

et on conclut grˆ ace au

Lemme 1 Soient P

, ..., P

des polynˆ omes non nuls de R [X] de degr´ es respectifs d

, ..., d

et soient ω

, ...ω

des nombres r´ eels distincts ; alors la fonction f(x) =

i=1

P

(x)e

a au plus d

+ ... + d

+ n − 1 z´ eros distincts.

D´ emonstration.

Le point cl´ e est que si une fonction r´ eelle diff´ erentiable f a au moins m z´ eros distincts, sa d´ eriv´ ee en a au moins m − 1 ; c’est en effet une cons´ equence imm´ ediate du th´ eor` eme de Rolle : soient x

, ..., x

les z´ eros distincts de f, comme f(x

) = f (x

) pour i = 1, ..., m − 1, il existe x

∈ ]x

, x

[ tel que f

(x

) = 0 pour i = 1, ..., m − 1.

On d´ emontre alors le lemme par r´ ecurrence sur k = d

+ ... + d

+ n − 1. Si k = 0, alors n = 1, d

= 0 et il est clair que P

e

ne s’annule pas.

A pr´ ` esent soit k ≥ 1 ; sans perte de g´ en´ eralit´ e, c’est ` a dire moyennant la multiplication de f par e

, on peut supposer ω

= 0, et donc ω

= 0 pour i = 1, ..., n. On a vu que si f a M z´ eros distincts, sa d´ eriv´ ee

f

(x) =

n−1

i=1

(ω

P

+ P

)(x)e

+ P

(x)

en a au moins M − 1. Mais observons que le degr´ e de ω

P

+ P

est encore d

, pour i = 1, ..., n − 1, tandis que celui de P

est d

− 1, donc, par hypoth` ese de r´ ecurrence, M − 1 ≤ d

+ · · · + d

+ n − 1, qui est la majoration annonc´ ee de M.

Dans le cas qui nous int´ eresse, on en d´ eduit que F ne peut avoir plus de N

(N

− 1) + N

− 1 = L − 1 z´ eros distincts, sauf si tous les a

sont nuls. Autrement dit, on a montr´ e

τ t

a

L

= 0 implique a

= 0 pour tout (τ, t).

Ainsi

est non nul.

Deuxi` eme ´ etape : Un majorant pour |

|

On se place dans le plan complexe ; dans ce qui suit nous noterons D

le disque ferm´ e

de centre 0 et de rayon r et nous posons | ϕ |

= sup

| ϕ(z) | . Un r´ esultat de base en

th´ eorie des fonctions analytiques (ou holomorphes) est le principe du maximum, qui assure

que le module d’une fonction analytique sur un disque ferm´ e atteint son maximum sur le

bord du disque. Une cons´ equence facile en est le

Lemme 2 (une variante du lemme de Schwarz) Soit n ∈ N , r

et r

deux r´ eels tels que 0 < r

≤ r

et soit Ψ une fonction analytique sur le disque D

. Si Ψ a un z´ ero d’ordre au moins n en 0, alors

| Ψ |

≤ r

r

| Ψ |

. D´ emonstration.

Posons Φ(z) = z

Ψ(z); c’est une fonction analytique sur D

et le principe du maxi- mum donne d’une part sur D

: | Φ |

= r

| Ψ |

, d’autre part sur D

: | Φ |

= r

| Ψ |

. Mais comme r

≤ r

: | Φ |

≤ | Φ |

d’o` u le r´ esultat annonc´ e.

Introduisons

Ψ(z) = det(ϕ

(ζ

z))

(remarquer que

= Ψ(1)).

Bien sˆ ur la fonction Ψ est enti` ere (i.e analytique sur C ) puisque ϕ

est enti` ere pour tout λ.

Nous allons voir que Ψ admet en 0 un z´ ero d’ordre au moins L(L − 1)/2. Pour cela ´ ecrivons le d´ eveloppement de Taylor de ϕ

` a l’ordre L(L − 1)/2 en 0, soit

ϕ

(z) =

L(L−

a

z

+ o(z

), d’o` u

Ψ(z) = det

k=0

a

(ζ

z)

λ,µ

+ o(z

),

si bien qu’il suffit

de montrer que pour tout choix d’entiers naturels k

, . . . , k

au plus

´

egaux ` a L(L − 1)/2,

det((ζ

z)

)

admet en 0 un z´ ero d’ordre au moins L(L − 1)/2. Pour cela, on peut supposer les k

distincts, sinon le d´ eterminant est identiquement nul (2 lignes sont identiques). Alors

det((ζ

z)

)

= (

z

) det((ζ

)

)

et il est imm´ ediat que

λ=1

k

≥ 0 + 1 + 2 + ... + L − 1 = L(L − 1)/2.

A pr´ ` esent nous appliquons le lemme pr´ ec´ edent avec r

= 1, r

= e, n = L(L − 1)/2, d’o` u

|

| ≤ | Ψ |

≤ e

| Ψ |

. Or, par d´ efinition du d´ eterminant, on a

| Ψ(z) | ≤ L!

max

| ϕ

(ζ

z) | .

11

Il faut s’en convaincre : utiliser la multilin´ earit´ e du d´ eterminant comme fonction de ses lignes.

Mais si | z | ≤ e, | ζ

z | ≤ e(N

− 1)(1 + | β | )/2 et il vient

| Ψ |

≤ L!

| ϕ

|

,

o` u R = e(1 + | β | )N

. Tenant compte de

| ϕ

|

≤ R

e

≤ R

e

, on obtient

|

| ≤ e

L!R

e

. En majorant L! par L

, on a donc

|

| ≤ e

o` u C (constante positive) ne d´ epend que de l et de β. Pour N assez grand on a la majoration annonc´ ee, soit

|

| ≤ e

.

Troisi` eme ´ etape : Des majorants pour le degr´ e et la hauteur de

.

Rappelons que Φ

(ξ

) = (s

+ s

β)

(α

α

)

, si bien que, comme polynˆ ome en β, α

, α

, son degr´ e total est major´ e par | τ | + | t(s

+ s

) | ≤ 2N

. Par suite le degr´ e de

, qui est somme de produits de N

tels facteurs, est major´ e par 2N

.

Quant ` a la hauteur d’un polynˆ ome F elle est ´ evidement major´ ee par la longueur de F not´ ee (F ) et d´ efinie comme la somme des modules des coefficients de F. La longueur a cet avantage qu’en plus de v´ erifier

(F + G) ≤ (F ) + (G), elle satisfait

(F G) ≤ (F )(G).

On en d´ eduit :

(

) ≤ L!(max

λ,µ

(φ

(ζ

)))

, (sous-additivit´ e de ) o` u φ

(ζ

) et

sont vus comme polynˆ omes en β, α

, α

, α

, α

.

Mais remarquons que

(Φ

(ξ

)) ≤ (s

+ s

β)

((α

α

)

)

≤ ( | s

| + | s

| )

, d’o` u, pour N assez grand et en majorant encore L! par L

log H(f

) ≤ 8N

log N + 4N

log N ≤ 5N

log N.

4 La post´ erit´ e du septi` eme probl` eme de Hilbert

La valeur d’un probl` eme math´ ematique est difficile ` a d´ efinir dans l’absolu, mais la communaut´ e des math´ ematiciens s’accorde probablement sur ce point : un bon probl` eme doit survivre ` a sa r´ esolution, soit que les m´ ethodes mises au point pour le « tuer » aient un champ d’application vaste ou qu’elles donnent mˆ eme naissance ` a une nouvelle branche des math´ ematiques (on peut songer au dernier th´ eor` eme de Fermat), soit que l’´ enonc´ e prouv´ e sugg` ere des conjectures nouvelles et stimulantes.

Nous esp´ erons, dans la derni` ere partie de cet expos´ e, convaincre le lecteur que le septi` eme probl` eme de Hilbert r´ epond ` a ces deux crit` eres (soulignons que nous sommes fort loin de l’exhaustivit´ e dans l’´ echantillon d’applications que nous pr´ esentons).

L’id´ ee la plus naturelle est d’exploiter les m´ ethodes de Gel’fond et Schneider afin de d´ emontrer la transcendance d’autres classes de nombres que ceux de la forme α

. Nous l’illustrons maintenant par un exemple dˆ u ` a Schneider lui-mˆ eme.

A un r´ ` eseau Ω de C (c’est un sous-groupe discret de C qui engendre C comme espace vectoriel sur R ), on associe une fonction m´ eromorphe ℘(z), dont les pˆ oles sont pr´ ecis´ ement les points de Ω et qui est p´ eriodique relativement ` a ce r´ eseau. Elle est solution de l’´ equation diff´ erentielle ℘

(z)

= 4℘(z)

− g

℘(z) − g

, o` u g

et g

sont des quantit´ es associ´ ees ` a Ω, d’o` u l’on peut d´ eduire que (℘, ℘

) fournit une param´ etrisation de la courbe alg´ ebrique donn´ ee par Y

= 4X

− g

X − g

. Une telle courbe est dite elliptique et poss` ede la tr` es remarquable propri´ et´ e qu’on sait munir l’ensemble de ses points (sur un corps donn´ e) d’une loi de groupe ab´ elien. Ceci se traduit en retour par une relation alg´ ebrique entre les valeurs de ℘ et ℘

aux points u, v et u + v ; cette propri´ et´ e est ` a rapprocher de la relation e

= e

.e

, elle-mˆ eme li´ ee au fait que les nombres complexes de module 1 forment un groupe.

Ces similitudes entre la fonction exponentielle et la fonction ℘ (dite de Weierstraß) per- mirent ` a Schneider d’adapter sa m´ ethode ` a cette derni` ere, le principal obstacle ` a surmonter provenant de ce que ℘ n’est pas une fonction enti` ere. Il obtint par exemple :

si g

et g

sont alg´ ebriques et si α est un nombre alg´ ebrique n’appartenant pas ` a Ω, alors ℘(α) est transcendant.

On peut mentionner le corollaire suivant :

pour une ellipse dont les axes sont pris comme axes de coordonn´ ee et dont les longueurs d’axes sont alg´ ebriques, la longueur de tout arc compris entre des points de coordonn´ ees alg´ ebriques distincts (en particulier la longueur de l’ellipse) est un nombre transcendant.

12

D’un autre point de vue, Gel’fond eut l’id´ ee d’utiliser sa m´ ethode afin d’obtenir des r´ esultats quantitatifs fins (l’aspect qualitatif ´ etant de dire d’un nombre s’il est irrationnel, alg´ ebrique ou transcendant par exemple). Pour des nombres alg´ ebriques α et β, avec les restrictions d’usage, il produit ainsi de nouvelles minorations des quantit´ es | α

− ζ | , o` u ζ est un nombre alg´ ebrique arbitraire. Soulignons aussi que ces estimations sont effectives, ce qui signifie qu’on sait, comme dans le th´ eor` eme de Liouville, « effectivement » calculer les quantit´ es intervenant dans les minorations, celles-ci d´ ependant ´ evidemment de α et β,

12

Bien sˆ ur un lien ´ etroit, mais non imm´ ediat, existe entre ellipses et courbes elliptiques.

mais aussi de la « complexit´ e » du nombre ζ, mesur´ ee au moyen du degr´ e et de la hauteur de son polynˆ ome minimal (disons que c’est le polynˆ ome ` a coefficients entiers premiers entre eux, ` a coefficient dominant positif, de plus bas degr´ e, dont ζ est racine).

Rappelons la formulation eul´ erienne du probl` eme de Hilbert : si b n’est pas une puissance rationnelle de a, alors ln b/ ln a est transcendant. On peut r´ e´ ecrire le th´ eor` eme de Gel’fond- Schneider dans cet esprit : si α

et α

sont des nombres alg´ ebriques et que α

n’est pas une puissance rationnelle de α

, alors log α

/ log α

est transcendant (pour toute d´ etermination des logarithmes en question). Ou encore :

pour tous nombres alg´ ebriques α

, α

, β

, β

, tels que log α

et log α

sont lin´ eairement ind´ ependants sur Q , le nombre β

log α

+ β

log α

est non nul.

Gel’fond donne de nouvelles minorations effectives de ces quantit´ es

, ce qui a des cons´ equences remarquables, aussi bien pour la r´ esolution des ´ equations diophantiennes que pour certaines questions de th´ eorie alg´ ebrique des nombres.

Il s’est par exemple int´ eress´ e au vieux « probl` eme du nombre de classes 1 » de Gauß, qui conjecture dans ses Disquisitiones Arithmeticae (1801) qu’il n’y a que neuf corps quadra- tiques imaginaires, c’est ` a dire de la forme Q ( √

− D), o` u D est un entier positif sans facteur carr´ e, dont le nombre de classes est ´ egal ` a 1, cette propri´ et´ e signifiant que, du point de vue de l’arithm´ etique, les ´ el´ ements de tels corps ont un comportement parfaitement similaire

`

a celui des rationnels. Il montre avec Linnik comment relier cette question ` a la majoration de la valeur absolue d’une combinaison lin´ eaire ` a coefficients entiers de trois logarithmes de nombres alg´ ebriques.

Sa m´ ethode ne lui permet pas dans ce cas pr´ ecis de conclure (elle traite essentiellement, on l’a vu, le cas o` u n’interviennent que deux logarithmes) et il souligne l’importance, pour le progr` es de la th´ eorie des nombres, de fournir des minorations effectives de quantit´ es du type | β

log α

+ · · · + β

log α

| , o` u les β

sont des entiers et les α

des nombres alg´ ebriques.

Ce programme, qui suppose une g´ en´ eralisation des m´ ethodes de Gel’fond et Schneider aux fonctions de plusieurs variables, est r´ ealis´ e, au-del` a des esp´ erances de Gel’fond, par Alan Baker en 1966, dans une s´ erie de travaux qui lui vaudront d’ailleurs la m´ edaille Fields.

Il obtient par exemple la g´ en´ eralisation suivante du th´ eor` eme de Gel’fond et Schneider : α

. . . α

est transcendant pour tous nombres alg´ ebriques α

, . . . , α

diff´ erents de 0 et 1 et tous nombres alg´ ebriques β

, . . . , β

tels que 1, β

, . . . , β

sont lin´ eairement ind´ ependants sur Q (g´ en´ eralisation de la condition β / ∈ Q ).

La version quantitative des r´ esultats de Baker a eu, et continue d’avoir, avec ses raffine- ments et ses g´ en´ eralisations, des r´ epercussions remarquables dans de nombreuses branches de la th´ eorie des nombres. Baker en d´ eduisit en particulier qu’il n’y a pas de dixi` eme corps quadratique imaginaire de nombre de classes ´ egal ` a 1.

Ironie de l’histoire, Stark remarque en 1969 que Gel’fond et Linnik ´ etaient en mesure de r´ esoudre la question d` es 1949, un argument utilisant des formes lin´ eaires en deux loga- rithmes seulement permettant de conclure.

13

On parle de formes lin´ eaires en deux logarithmes.

Pour terminer, nous donnons ci-dessous la liste des ouvrages qui ont guid´ e la r´ edaction de cet expos´ e et o` u le lecteur (motiv´ e !) pourra trouver de quoi satisfaire la curiosit´ e que nous esp´ erons avoir ´ eveill´ ee.

Alan Baker, Transcendental number theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1975.

N. I. Fel’dman et Yu. V. Nesterenko, Number theory IV, Transcendental numbers, En- cyclopaedia of mathematical sciences, 44 , Springer-Verlag, Berlin, 1998.

Theodor Schneider, Introduction aux nombres transcendants, traduit de l’allemand par P. Eymard, Gauthier-Villars, Paris, 1959.

Michel Waldschmidt, Diophantine approximation on linear algebraic groups, Transcen- dence properties of the exponential function in several variables, Springer-Verlag, Berlin, 2000.

Michel Waldschmidt, Transcendence methods, Queen’s papers in pure and applied ma- thematics, 52 , Queen’s University, Kingston, Ontario, 1979.

Julien Haristoy

U.F.R. de math´ ematique et d’informatique & IRMA Universit´ e Louis Pasteur

7, rue Ren´ e Descartes 67084 Strasbourg Cedex

e-mail : [email protected]

Edouard ´ Oudet

U.F.R. de math´ ematique et d’informatique & IRMA Universit´ e Louis Pasteur

7, rue Ren´ e Descartes 67084 Strasbourg

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