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Texte intégral

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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Godin, P. (1978). Sur les singularités des solutions des équations pseudo-différentielles (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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(2)

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

FACULTE DES SCIENCES

SUR LES SINGULARITES DES SOLUTIONS DES EQUATIONS PSEUDO-DIFFERENTIELLES

Thèse présentée pour l’obtention du grade légal de Docteur en Sciences

Mathématiques

Année académique 1977-1978 PAUL GODIN

(3)

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

FACULTE DES SCIENCES

BIBLIOTHÈQUE DE MATHÉAAATIQUES ET DE PHYSIQUE

bMP-

Gr

e i

SUR LES SINGULARITES DES SOLUTIONS DES EQUATIONS PSEUDO DIFFERENTIELLES

Thèse présentée pour l’obtention du grade légal de Docteur en Sciences

Mathématiques

Année académique 1977-1978 PAUL GODiN

(4)

Soient Q une variété différentiable paracompacte de classe C et P un opérateur pseudo-différentiel proprement supporté sur Désignons par p^ le symbole principal de P et soit le champ hamiltonien sur T* D\D défini par o(v, ]

“ <dp , v> où O » E d Ç . A dx. est la 2-forme canonique de T Q\D et v un champ

•3 ^ J

de vecteurs tangents à T Jî\0 arbitraire.

Notons par2)'Cî3] l'espace des distributions sur SI.

Le problème de la propagation des singularités pour P est le suivant :

(Pr.l) Si U e2)'(Sl) est singulière en G SI et si Pu est régulière dans un voisinage V(x^) de x^, que peut-on dire è priori des singularités de u dans V(x ) ?

O

Pour donner à cette question un sens précis, il faut d’abord spécifier ce qu’on entend par "singularité". Dans la catégorie C , où nous nous placerons, la notion oo de singularité est celle de support singulier : le support singulier d’une distri­

bution U, noté sing supp u, est le complémientaire du plus grand ouvert sur

00

lequel u est une fonction C .

La question (Pr.l) ne se pose pas pour les opérateurs hypoelliptiques, c'est- à-dire ceux pour lesquels sing supp Pu = sing supp u si u ë 0’(îî] .

Lax (Duke Nathematical Journal 24 (19573) et Ludwig (Communications on Pure and Applied riathernatics 13 (I960)) ont montré que si P est un opérateur différentiel strictement hyperbolique dans la direction x^ ( Q étant égal à IR ) et si Pu ë C alors les singularités de u sont situées sur les courbes bicaractéristiques de P issues des singularités des données de Cauchy de u sur x^ = D. (Les courbes bicaractéristiques sont les projections sur H des bandes bicaractéristiques nulles de P , c'est-à-dire des courbes intégrales de situées dans p = D).

’^m f>T',

(1) Ce travail est divisé en 3 sections, [a,b] désignera la b^ référence de la section a.

465488

(5)

II.

Pour des opérateurs différentiels plus généraux, les prernièren réponses à CPr.l) se sont développées avec l'étude du problème d'unique continuation des singularités fanalogue, pour les singularités, à la notion d'unicité du problème de Cauchy).

(U.C.So) Soit 'P 6 C°° Cfi ) telle que d ^ 0* Existe-t-il un voisinage de X tel que toute u fiS)'(Q) satisfaisant les conditions

Q

(1) U E C“(î)'^), où ü* = {x E 12 : vf(x) > f(x^)}

(2) Pu E C“(12) soit dans C°°(VCx )) ?

O

HBrmander [1,1] a montré qu'il y a unique continuation des singularités si le commutateur de P et de P (l'adjoint formel de P par rapport à une densité C

X '

strictement positive) peut s'écrire AP + BP + Q, où A, B et G) sont des ope­

rateurs différentiels d'ordre m-1, m-1, 2(m-l) respectivement, et si (^vérifie certaines conditions de stricte convexité par rapport à Hp^.

Certains résultats sur les singularités des solutions des équations différen­

tielles à coefficients constants dans des ouverts de /R^ avaient été obtenus auparavant par John et flalgrange (voir les références dans HBrmander [1,1], chapitre III).

Plus tard, Brusln (Soviet Path. 4 (1963)) a montré que si 12 est un ouvert de IR*^, si P est un opérateur différentiel à coefficients constants dont le symbole

00

principal est réel et n'a pas de points critiques non nuis, et si P u E C (12) on a le résultat suivant ; si x E 12 et si sur toute courbe bicaractéristique passant par x, on peut trouver un point y E sing supp u tel que le segment [ x,y] C n, alors x g sing supp u.

La notion de support singulier peut être raffinée de façon fructueuse en intro­

duisant la notion de "wave front set" (noté WF) due à HBrmander. Par définition si (x , Ç°) E T* 12\0, alors (x , E°) g WF(u) si et seulement s'il existe une

° ° Z

carte contenant x^ dans laquelle il existe v E -b' égale a u dans un voisinage de x^ telle que, pour tout N, lv(Ç)|= 0(|ç| ^^^) dans un voisinage conique de indépendant de N. Ici v représente la transformée de Fourier de v. On montre que WF(u) est un cBne (c'est-à-dire que si (x,Ç) E WF(u) et X > □, on a ;

(x, XÇ) E WF(u) fermé dont la projection sur 12 est égale à sing supp u.

L’introduction de WF a permis de grands progrès dans l'étude des opérateurs (pseudo-) différentiels, en remplaçant les problèmes locaux dans 12 par des problèmes microlocaux, c’est-à-dire locaux dans (T* 12\0)/(/R\ {G}). (L'action

(6)

Le but de ce travail est d’étudier la question (Pr.2) pour quelques classes d’opérateurs pseudo-différentiels. Ce travail est divisé en trois sections qui peuvent 8tre lues dans un ordre quelconque. Chaque section est précédée d’une introduction qui en indique le contenu de façon plus précise.

Les résultats de la première section peuvent être vus comme un prolongement naturel des résultats du cas C) cité plus haut. Qn y étudie une classe d’opérateurs pseudo-différentiels de type principal a symbole principal p^

complexe, tels que la restriction de Im p^ aux bandes blcaractéristiques nulles de Re change de signe (de - à +) au travers d'une hypersurface conique transverse à ces bandes. On déduit en particulier un résultat de

00

surjectivité locale dans C pour les transposés des opérateurs considérés, ce qui permet de raffiner un résultat obtenu par Egorov 1 1,1].

Dans la section 2, on suppose fi analytique et de dimension deux. On prouve alors la propagation des singularités pour les opérateurs différentiels à coefficients analytiques sur fi, vérifiant la condition â) de Nirenberg et Treves. Ce résultat répond, dans le cas des coefficients analytiques et de la dimension deux, à une question de Treves (Séminaire Goulaouic-Schwartz, 1972-1973, exposé n°22). Les résultats de cette section peuvent être vus comme une généralisation de ceux du cas B} cité plus haut.

Les résultats obtenus dans les sections 1 et 2 ne dépendent que de la partie principale des opérateurs considérés. Mais comme le montrent par exemple les opérateurs de la chaleur et de SchrBdinger, les termes d’ordre inférieur peu- vent jouer un rflle important s’il existe des points de T fi\0 en lesquels p^ ° phénomène est encore illustré par la section 3 de ce travail qui peut être vue comme un prolongement de l’étude du cas A) cité plus haut.

On y étudie une classe d’opérateurs pseudo-différentiels à caractéristiques de multiplicité variable inférieure ou égale à deux, généralisant l’opérateur de Tricomi d + x 9 .On obtient également des résultats de (non)-résolubi-2 2

Xi I x^

lité pour les adjoints des opérateurs considérés.

Dans tout ce travail, on utilisera la théorie des opérateurs pseudo-différen­

tiels et intégraux de Fourier. Pour la commodité du lecteur, des définitions et résultats fondamentaux sont rappelés dans un appendice après la section 3.

Pour plus de détails, ainsi que pour des preuves des résultats énoncés, nous renvoyons à HBrmander [2,1].

(7)

Je vemercie te F.N.R.S. pour son aide matérielle.

Mes remerciements vont aussi à Monsieur le Professeur L.WAELBROECK qui m'a toujours laissé la plus complète liberté dans mon travail. Enfin je tiens à remercier Messieurs J.P.GOSSEZ et E.LAMI DOZO pour les encoura­

gements qu'ils m'ont prodigués tout au long de ce travail.

(8)
(9)

1.

SUBJECTIVITE LOCALE DANS c“ POUR UNE CLASSE D’OPERATEURS PSEUDO-DIFFERENTIELS

00 ^

Soit n une variété C paracompacte de dimension n et P un operateur pseudo­

différentiel proprement supporté sur fi, ayant un symbole principal p positi­

vement homogène de degré m. Dans ce travail, tous les opérateurs pseudo-dif­

férentiels considérés seront classiques c'est-à-dire que leur symbole dans chaque carte, sera une somme asymptotique de fonctionspositivement homogènes de degré W“j , j = 0,1,2,... P E R. On dit que P est localement résoluble en E fi

00

s'il existe un voisinage V de x^ tel que pour tout f E C (fi], il existe U E ^'(fi] satisfaisant Pu = f dans V. On dit que P est de type principal si, pour tout (x,r) E T* fi\0, on a 0. Pour des opérateurs de type principal, Béais et Fefferman [ 1] ont prouvé que la condition appelée (a] est suffisante /D pour la résolubilité locale. D’autre part, Egorov [ 1] a démontré la résolubilité

locale pour une classe d'opérateurs pseudo-différentiels de type principal qui ne satisfont pas nécessairement la condition (5*3. Le résultat d’Egorov est le

suivant : Soit U un ouvert de fi et supposons que tout point de p ^(03 au-dessus de U possède un voisinage ouvert conique r dans T fi\D dans lequel une des con­

ditions suivantes est remplie ;

(a3 II existe dans P une fonction y E C , positivement homogène de degré (m-13, telle que {P» P) $ 2 Re y p dans r (ici {p,p} est le crochet de Poisson de p et p et son expression en coordonnées locales est ^ ^ ^

L OC. oX. oX, oL,

1 J J J J

(b3 II existe z E Œ\{0} tel que ~ ^ / 0 dans T et Im zp i 0 dans P 3 Ç

(c] Il existe Z B IC\{0} tel que — Re zp 0 dans T et il existe une 3 c

sous-variété conique Z de p, de codimension 1, telle que toute bande bicarac- téristique nulle de Re zp, issue d'un point de P, coupe Z exactement en un point et transversalement. De plus on suppose que pour toute bande bicaractéristique nulle Y de Re zp dans P, on a : Im zp ^ D sur y et Im zp < D sur y . Ici y et Y* sont définies comme suit :

(10)

Soit P le point d’intersection de y T et de I; si s est le paranètre de P « Y r> r ^ apparaissant dans les équations de Hamilton-Jacobi Re zp,

Re zp, on définit y (resp. y ) comme la, partie de cCp,^, Y H T) décrite pour s < □ (resp. s > 0) si p^ correspond à s = ü. Par c(p^, y O P) on a désigné la composante connexe de y H P passant par p^.

Sous ces conditions, Egorov a montré que pour tout point x 6 U et pour tout

^ loc

s 6 R, il existe un voisinage W (x ) de x tel que pour tout f 6 H ((î), il

, 1 QQ s O O s

existe u E H ,(fl) satisfaisant Pu = f dans W (x ). Malheureusement, W

s+m-1 s O s

pouvait dépendre de s et, en conséquence, le résultat d'Egorov ne répond pas à

CD

la question de la surjectivité locale de P dans C , c'est-à-dire a la question de savoir si pour tout x 6 U, on peut trouver un voisinage V(x ] de x dans U,

O O O

00 00

tel que pour tout f 6 C (Îi3, il existe u 6 C (il) satisfaisant Pu = f dans V. On va prouver que la réponse à cette question est positive, si on fait quelques hypothèses sur les bandes bicaractéristiques nulles. Plus précisément, on va prouver :

Théorème 1.

Supposons que P est un opérateur pseudo-différentiel proprement supporté (ayant

00

un symbole principal p, positivement homogène de degré m] sur une variété C , fi.

Soit U un ouvert relativement compact de fi, et supposons que pour tout point m^ de T* fi\ü au-dessus de 0, tel que P^rn^) = □. une des conditions suivantes est satisfaite ;

(a) Il existe un voisinage conique F de m dans t’*' fi\0 et une fonction

“ ° 1 f- 1

C , y, dans F, positivement homogène de degré (m-1], telle que -r- (p.pj ^ 2 Re yp dans F

(b') Il existe z 6 C\{G} tel que le champ hamiltonien (donné

3 Re Z 3 3 Re Z 3 Re zp

en coordonnées locales par Z(—--- "3^ n’est pas parallèle

J J J

à l'axe du cîîne en m , la bande bicaractéristique nulle y de Re(zp) passant

O m

O

par m^ ne reste pas au-dessus de U et si m^+ sont les bords de la composante connexe de y n T*Ü contenant m , on a Im zp $ 0 dans un voisinage de [ m , m ] .

’m ' O ^ O O

(On suppose ici que la direction positive va de m^ à m^ sur la courbe orientée°

(c’) m^ a un voisinage conique F dans fi\0 dans lequel il existe une sous-variété conique Z de codimension 1, passant par m^, ayant la propriété

(11)

3.

% -1

suivante : il existe z B H\{0} tel que pour tout m 6 I H p (□), ne reste

O m

f\j O

pas au-dessus de U, coupe T. seulement en et transversalement, et tel que pour tout m 6 Z <3 p ^(G), Im zp g ü dans un voisinage de ]m , m ] et Im zp i □ dans un voisinage de f m , m [ . Ici v'v est la bande Licaractéristique de Re zp

0 0 m

<v O.* _* - 'V

par m , et m les bords de la composante connexe de y'v- ^ T U contenant m

O O ni O

O

(tels que la direction positive va de m ^ m sur la courbe orientée y'v ) .

O O m

O Alors si U est suffisamment petit et f 6 C°°(fi), il existe u E C (G) tel que Pu = f dans un voisinage de U. (En fait le même résultat est vrai si on remplace le nombre complexe z apparaissant dans (b'] ou (c'3 par un symbole elliptique, positivement homogène de degré 0).

Remarque.

Pour des opérateurs satisfaisant (a3 partout dans T U, le résultat du théorème 1 a été prouvé par HSrmandes [2], Dans ([3], théorème 3.5.1), il a aussi prouvé un résultat de propagation des singularités pour des opérateurs pseudo-diffé­

rentiels P satisfaisant Im p i Q dans un voisinage conique d’un arc de bande bicaractéristique de Re P.

La partie principale de la preuve du théorème 1 sera le résultat suivant de propagation des singularités.

Théorème 2.

Soit P un opérateur pseudo-différentiel proprement supporté ayant un symbole principal p positivement homogène de degré m. Supposons que m ET n\0 ,

p(m^) ■ 0 et que m^ a un voisinage conique P dans T G\0 dans

lequel il existe une sous-variété conique Z de codimension 1, passant par m^

et transverse à en m . Supposons que T est suffisamment petit pour que Re P O

^ _l f-v ^

pour tout point m de E, la bande bicaractéristique de Re p par m^ coupe Z exactement une fois et transversalement. Si s est le paramètre de yjv ^ r

... .-1^ , , dx _ 3 Re p dç 3 Re p

apparaissent dans les équations de Hamilton-Jacobi ,

définissons y'v- (resp. ) comme la partie de c(m , y*v nr ) décrite pour

'm m O m '

O O O

f\, 'V»

s < G (resp. s > 0) si m correspond à s = ü. Supposons que, pour tout m G Z,

^ » +

Im p < 0 dans un voisinage de y-v et Im p ^ ü dans un voisinage de y-v . m Soient m, G y~ , m_ E y* . Alors si u G 2)’(G), Pu G H sur [m mj et

1 'm 2 'm s 1 2

(12)

U 6 H , en m, at m_,

s+m-1 1 2 on a U 6 H . sur [ m,, mj

s+m-1 1 2

La preuve du théorème 2 sera une modification de la preuve du théorème 3.5.1 de Hôrmander [3] qui nous dit déjà que u ë H . sur [m,, m ]\{m }.

s+m-1 12 O

En multipliant p par un symbole réel elliptique et en utilisant des opérateurs intégraux de Fourier associés à une transformation canonique convenable comme dans DuistBrmaat-HBrmander [ 1] , nous pouvons supposer que P est d’ordre 1 et que son symbole principal est

pCx, t, Ç, t) = T + i q(x, t, Ç, t) (*)

dans un voisinage conique de m ■ (x , t , Ç , t ). Ici nous travaillons dans O 0 0 ji^o O

des coordonnées locales (x,t] de Q, x 6 (R^ , t 6 IR, (Ç,t) sont les variables duales de (x,t) et q est réelle.

Dans la preuve du théorème 2, il sera commode d’utiliser le lemme suivant :

Lerme 1.

Supposons que P satisfasse les hypothèses du théorème 2 et que sa partie prin­

cipale soit de la forme Cx). Alors il existe une fonction réelle p, positive­

ment homogène de degré ü, et un voisinage conique V de m^, tels que dans V on ait :

m -1

p II

O

C2] ^Re p >0 p

n-1 (3) E

j-1 3 p 3Xj [4) q ■ pr pour

3^P = 0 sur E

de degré □ partout.

Preuve du lerme 1,

L’existence d'une fonction satisfaisant (1), [2), (4) découle de la formule de

f\j

Taylor. Soit p qui satisfait (1), (2), (4). Alors si f est positivement homogène de degré 0, et > 0 en m^, fp va satisfaire (1), (2], (4], et pour que C3) soit % vrai il suffit que f satisfasse

3f

’j n-1 -"v

r J-i

3f 35,

n—1 'V/ n*l

7 fr v

3x, 3t 3t 3t3t .

j=l j J J=1

-2'v 9 P 35j 3Xj

.2'v3 P

3t 3t) - □ [5)

(13)

5.

% '\j 'X/ 'Xt %

Puisque p satisfait (23, le champ de vecteurs [p^, p^, p^, p^3 n'est pas paral­

lèle à l'axe du cfine en et on peut trouver une solution de [53 qui est posi­

tivement homogène de degré 0, et >0 en m^. Le lemme 1 est démontré.

Soit P une fonction comme dans le lemme 1 et définissons = {m E r,|p(rn3| 5 e}.

où F est l’ensemble apparaissant dans l'énoncé du théorème 2, et que nous sup­

posons être si petit que p satisfait les conditions (13, (23, (33, (43 du lemme 1 dans un voisinage de F. Soit M C S^ ^ ( x R^3 un ensemble de symboles réels

C

a support dans F^, borné dans la topologie S“. La partie principale de la preuve du théorème 2 sera le résultat suivant, dans lequel nous supposons que

F C T* R^O .

Lemme 2,

Soit U 6§'( r"^3 telle que u E _1 dans F et Pu E dans F.

Si c E fl, soient C = c(x,t,D , □ 3 et X (c3 = N(x,t, D , ü 3 ,

X t T] X t

OÙ N(x,t,Ç,T) = - - ...- 2 p — " 2 % •

Alors pour tout q > 0, il existe e > (3, indépendant de s, tel que

Re(jC (c3 u,u3 < k, (q) Il C Pu || 2 + K„(q3 . Ici K,(q3 et K„(q3 sont des constantes

q 1 Q Z 1 Z

uniformes quand c parcourt M.

Preuve du lerme 2.

Par K on va désigner diverses constantes positives, qui peuvent dépendre de u, mais qui sont valables uniformément quand c parcourt M. Ecrivons P = A + i B,

X X

P P P - P X

avec A = —^--- et B = —^— , où P est l’adjoint de P par rapport au produit scalaire (f,g3 = J f g üx dt. On va noter par b le symbole principal de B, et par S un opérateur pseudo-différentiel ayant un symbole égal à p (sauf peut-être si |ç| * |t| est très petit3.

Prenant la partie imaginaire des 2 membres de l'identité :

(S C Pu, Cu3 ■(AS Cu, Cu3 + i (E S Cu, Cu3 + ([SC, A]u, Cu3 + i ([ S C, B]u,Cu3 on obtient ;

Im (S C Pu, Cu3 - ® + © ♦

(D

+

0

, où

(14)

© = (A(S-S ) Cu, Cü) 2i

(Cu, Is.au)

—---

@ = Re(B S Cu, Cu)

@ = im {[S C,A]u, Cu) 0 = Re (I SC, B] U, Cu)

Par "voisinace", on entendra "volainage conique".

Pour le terme 0 !

—oo Désignons par l'égalité des symboles module S

Si r est suffisamment petit, alors, par le lerrme 1, S - S

2i a un symbole P A + £, dans un voisinage de f. (Les indices indiquent les ordres des

“X

symboles) . De plus, dans un voisinage de T, [ S,A] a un symbole ~ Donc 0 5 Re(ASA_j^ Cu, Cu) - Re(Cu, X gy) K , OÙ A_ et S sont des

opérateurs pseudo-différentiels de symboles principaux A_^ et respectivement.

Mais on peut trouver des opérateurs pseudo-différentiels proprement supportés Sj ayant des symboles principaux positivement homogènes de degré 0, j = 1,2 , tels que S = S ♦ S , |pJ ^ i et WF(S„) OP = 0. De plus, si H(x,t, □ , D ) est un opérateur pseudo-différentiel proprement supporté ayant un symbole prin­

cipal h positivement homogène de degré □, tel que h = C sauf si (x,t) appartient à un compact, on a :

pour tout compact T C |R , il existe une constante C^ telle que cc

IIHvpll^ S max I h(x,t,Ç,T) 1^ llf II ^ + C^ ||vfll^ 1 si Ê L^°'^‘^(T)2 Combinant ces 2 faits, on trouve que ;

Il SD A , Cull^ ^ 2 Ils, D. A . Cull ^ + 2

t -1 O 1 t -1 O '=2

^ 8 e <2 Il Cuir ♦ K

O Cull 1 * <

2

A_^ Cu 1^

O

$ 2 (4 IID^ A , Cull^ + kII D. A , Cu|| ^ 1 + k)

t 1 O t ^ 1

Donc pour tout u > 0, on a :

2

1(S D^ A_^ Cu, Cu)| $ X Ils D^ A_^ Cull^ + u llCull^ $ IICull^ + ^ + dlCuH^ . Donc si on prend u = e ^ (8k + 1) ^n, on obtient :

2

Re (S D A Cu, Cu) i - t\ IICuII - x(n) , ce qui implique que :

0 5 - n 11 Cull ^ - Re (Cu, 1 S^Cu) - K(n)

(15)

7.

Pour le terme @ ;

Si r est assez petit B^a un symbole p r + dans un voisinage de F, où est d'ordre □. Désignant par R un opérateur pseudo-différentiel proprement supporté de symbole principal r, on voit qu'il existe un opérateur pseudo­

différentiel L d'ordre 1, proprement supporté, dont le symbole principal s'annule dans un voisinage de F, tel que ;

(B S Cu, Cu) « (S R S Cu, Cu) + (L S Cu, Cu]

- CCS - S*)R S Cu, Cu) + CRS Cu,SCu) + CL S Cu, Cu) Mais on a :

|CCCS-S*)R + L) S Cu, Cu)| » |CS Cu, CCS-s’*)R + L)* Cu) | S |CS^ Cu, CCS-S*)R + D* Cu)[ + K,

où Sj^ a été défini dans l'étude de (l) .

Alors le m8me argument que dans l'étude de

(T)

donne :

X 2

ReCCS-S )R S Cu, Cu) + ReCL S Cu, Cu) 5 - n II Cu|| - xCn) , si e est assez petit.

O De plus l'inégalité de Gârding fine donne que ; ReCR S Cu, S Cu) i - K Ils Cull ^ i - 4 kIICuII^ - k

O o

Donc (2) i - nllcull^ - KCn) si e est assez petit.

Pour le terme @ .

Im ClS C, A] U, Cu) = Im CC*[ S C,A]u, u) = CWu, u) si on définit W c*l S c,a] - [s c.a]’^ c

2i

Le symbole principal de W est ImCc — {pc,a}) = - c{pc,a}

CIci on a désigné par a la fonction Cx,t,Ç,T) -> x) . g

Quand c parcourt M, le symbole complet de W est c Cpc)

2s 1 ” ^

dans S si |ç| + |x| est assez grand.

Donc 1» C[SC,A]u, Cu) 5 ReCZu, u) - k

1 9 où Z a le symbole principal ^ Cp

* 2

c .2

+ une erreur bornée

Pour le terme (?) t

Re C[SC,B]u, Cu) = Re CC* ISC,B]u,u).

c Isc,B] a le symbole principal purement imaginaire -j- c{pc,b) et son symbole

(16)

complet diffère de c{pc,t} per une erreur qui est bornée dans ^ (si lç| + est assez grand),quand c parcourt n.

Donc Re([SC,8] u, Cu) 5 - k j .'l

Additionnant^ (^) * © . ^ ^ • on obtient :

Im(S C Pu, Cw) i - 2m IICuII^ - Re(Cu, ^ S^(u) + ReCZu, u) - k(m) Mais d’autre part, on a :

I ,Im(S C Pu, Cu,) S |(S C Pu, Cu) [ ^ - IIS C Pull ^ + tü IICull^

’jT U) O O

M O

s — Ile Pull + luIlCull pour tout u > 0 . Donc si on pinBnd u) = n, on obtient ;

Re(X (c)Ui|U) i K, (ni Ile Pull^ + K_(n) J

n Ij 1 O 2

et ceci termiVie la preuve du lemme 2.

©

Preuoe du théorème 2,

On peut supposer que u E et Pu E dans r et que u 6 .

En utilisant le lemme 2, on va construire un opérateur pseudo-différentiel (h) d'ordre s, elliptique en m^, tel que © u G L^. Posons ” "2 ” 6n) . Si n est assez petit, K est > 0 en m . Soit un symbole 6 positivement homogène de

n °

degré s si

II + I^01

|e| ■’ |t| 5 a = ---ÿ--- . supporté dans un petit voisinape nnm’nno Ho m ,

° 2 2

tel que '(-^ p ô^) (m^) > D et (-^ p 6^) 5 0 sur E si |ç| + |t | > a (On désigne Ç(rn^) et ^(m^) par et respectivement, où (x,t,Ç,x)

sont des coordonnées locales près de m ). Tout cela est possible vu la trans-

I 3 °

versalité en m^ de E par rapport à — .

Soient alors des symboles 0,g ayant un petit support dans f, positivement homo- gènesde degré s si |e| + |i] 5a, telsque 0 soit elliptique dans un voisinage

^ ^2 1 36^ ° -2 2

conique de et 0 $ ^

Si on définit alors, pour 0 < a $ 1 :

o^(x,t,Ç,x) * (1 + a (|Ç| ♦ T )) ,

et si et désignent des opérateurs pseudo-différentiels proprement supportés de symboles égaux à 0, o g respectivement, une application à

£ (6 O ) -(R)^ - de l'inégalité fine de Gârding, combinée avec le lemme 2, n a ^a a

donne :

(17)

9.

Il Ull^ ^ K , OÙ K est indépendant de a.

Donc si a on © u 6 L^, où © a le symbole 0. Cela terrr.ine la preuve du théorème 2.

Preuve du théorème 1.

X ^

Désignons par P l'adjoint de P par rapport à une densité C positive.

Si U 6 et p’*' U 6 on a u 6 H , dans la région correspondant à la condition Tb’], par le théorème 3.5.1 de HSrmander [3]. et aussi dans la région correspondant à la condition (c'), par le théorème 2, Ainsi (u) est contenu dans la région correspondant à la condition (a]. Mais maintenant la démonstration de la Proposition 2.2. de Duistermaat [ 1] montre que u 6 lo C

parce que si U est assez petit, on peut comme dans le chapitre VIII de HSrmander [ 1] , trouver une fonction vJ) qui satisfait les hypothèses de cette proposition 2.2.

La conclusion du théorème suit alors par des résultats standardssur les surjec- tions dans des espaces Fréchet (cf. par ex. Duistermaat-HSrmander [ 1] , théorème 6.3.1).

Remarque,

Dans certains cas, il est possible de prouver le théorème 2 en construisant 2

une paramétrixe, par exemple si P a le symbole t + it |x"| »

2 ^2

|x"| = Z X , k 5 n-2 , et Ç ^ > 0, on peut construire près de chaque point j-1 ^ ""

où t “ D, une paramétrixe gauche microlocale dont le VJF est contenu dans la réunion de la diagonale de T tAD et de la relation bicaractéristique de t au- dessus de x" = 0, et prouver la propagation pour P de la mÊme façon que c'est fait pour D dans le théorème 6.1.1. de Duistermaat-HCrmander [ l] .

REFERENCES

BEALS, R. et FEFFERMAN, Ch : [ il Dn local solvability of linear partial diffe- rential équations. Annals of Math. 97, (1973), pp.482-496.

DUISTERMAAT, J.J. : [ l] On Carleman estimâtes for pseudo-differential operators.

Inventiones Math. 17, (1972), pp, 31-43.

DUISTERMAAT, J.J. et HORMANDER, L. : [ l] Fourier intégral operators II. Acta Math. 126 (1972), pp. 183-269.

EGOROV, Yu.V. : I l] On sufficient conditions for local solvability of pseudo- differential équations of principal type. Trudy Moskov. Mat. 0bs.31 (1974) pp.59-83 (en russe).

(18)

HORMANDER, L. : [l] Linear partial differential operators, Springer (1963]

[ 2]PsBudo-differential operators and non-elliptic boundary problerns. Annals of Math. 83 (1966), pp.l29-2ü9.

l3] On the existence and the regularity of solutions of linear pseudo-differential équations. L’Ens. Hath. 17 (1971), pp.99-163.

(19)

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i I

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1

4

SECTI0N2. i

1 ' •.’

4 H

(20)

PROPAGATION DES SINGULARITES POUR LES OPERATEURS DIFFERENTIELS DE TYPE PRINCIPAL, LOCALEMENT RESOLUESLES, A COEFFICIENTS ANALYTIOUES.

EN DIMENSION 2

Paul GODIN

INTRODUCTION

Soit O une variété analytique paracompacte de dimension 2. Soit P un opérateur différentiel de type principal, d'ordre m, à coefficients analytiques, sur S'.

Soit p^ son symbole principal. Treves [ 1] et Nirenberp-Treves [ 1] ont donné une condition nécessaire et suffisante pour que P soit localement résoluble.

Cette condition s’exprime ainsi ;

(<9 J Pour tout (x , G T* R\0, il existe un voisinage conique F de [x , tel que pour tout z £ Œ satisfaisant d^ Re z p^ D dans F, la fonction Im Z p^ ne change pas de signe le long des bandes bicaractéristiques nulles de Re Z P dans F.

m

Le but de cet article est d’étudier la propagation des singularités des solu­

tions de l’équation Pv = f, f G 5)’(R).

En dimension quelconque, Duistermaat et HHrmander ( l] ont donné, sans hypothèse d’analyticité, des résultats de propagation qui supposent que p^^(0] est une variété ayant de "bonnes" propriétés symplectiques. On pourra se passer ici de telles hypothèses gr§ce au fait que p^ est analytique et que dim R = 2 .

Si q est une fonction C*” complexe définie sur T R\0, on désignera par H le Q champ hamiltonien associé à q. Si x^, x^ sont des coordonnées locales de ü et

2 si Ç,, sont les coordonnées duales, alors H = E

1 ^ q j=l

9__

J “■‘J 9q 3x

3 J

En vertu du théorème 1 de Nagano fl], T* R\0 est partitionné en feuilles inté­

grales maximales pour le système différentiel engendré par pg p

(21)

2.

Si P 6 P ^[Q], soit F„ la feuille passant par p . Définissons le propagateur

o^m Po O

de P par p^, ^Pq* t:omme le cflne engendré par la composante connexe de F 0 p^ (ü) contenant p^. Si Q est un opérateur pseudo-différentiel classique elliptique, alors P, PO. OP ont les mêmes propagateurs. Soient F un voisinage conique de

et E'pg la composante connexe de Ep^ O F passant par p^. On va prouver le

Théorème 1,

Si P satisfait (?), si v e^’(fi), si 6 WF(v) et si WF(Pv) O T - 0, alors p G p"^C0) et E’d O F C WF(v).

O m 0

Ici WF représente le wave-front set de HBrmander I 1] .

En d'autres mots, le théorème 1 affirme que si z est un symbole elliptique dans g

F , positivement homogène de degré D, si Re z p ^ 0 dans F, et si y est

“S fTl /,

la bande bicaractéristique de Re z p^ passant par p^, on a y C WF(v), ou y est la composante connexe de y H F n p^^(O) passant par p^ .

Remarques.

1) Si (?) n'est pas satisfaite, il existe un point où le théorème 1 n'est pas vrai (HSrmander [2], proposition 3.3.5.)

2) On peut construire des solutions singulières par application du théorème 3.4.3, de Hflrmander [2].

Le plan de cet article est le suivant : au Jl, on ramène le problème à l’étude des facteurs du premier ordre de P. Au S2, on introduit une variable supplémen­

taire suivant la méthode de Helffer [ l] . Au Î3, on montre que le théorème 1 est conséquence d’une inégalité (inégalité (3.1) ) .Au Î4, on démontre une inégalité de type Carleman. Au J5, on utilise la méthode de SjBstrand ( l] pour prouver l’inégalité (3.1). Au J6, on indique quelques extensions possibles du théorème 1.

Enfin, au Î7, on montre pourquoi, en général, la preuve donnée au 55 ne peut pas être étendue au cas où la dimension dépasse 2.

§1. RéducÜon aux. ^acteuu du pAznUe.x oacIac.

On peut supposer que fi est un voisinage de l’origine dans R . Comme P est de 2 type principal, on peut aussi supposer que les droites^t * constante ne sont pas caractéristiques et que p (x,t,Ç,t) = q(x,t,Ç,x) Ï1 (x - X,(x,t)Ç), où

(22)

(x,t) 6 n C R ,CÇ,t) sont les variables duales de Cx,t), q est elliptique et homogène en Ç et T, les X sont analytiques et X (x.t) / X. (x,t) si j k et

^ (7) J ^

(x,t] Ê n. Corrme P satisfait w), on a V j = l,,..,r : Im X ne change pas de

9 J ^

signe le long des courbes bicaractéristlques de — - Re X.(x,t) t— .

O t J O X

Si P (x , t , £ , T ] = 0 et [Ç , T ) 6 Ir\{0}, alors il existe un et un seul j

^moo oo 0 0

tel que t - X. (x , t J Ç .

O J O O O

Lerme 1,

Il existe un voisinage conique F de (x , t , Ç , x ) et un opérateur pseudo- -

ml O 0 O O

différentiel Q G L elliptique dans F, ainsi qu'un opérateur pseudo-diffé­

rentiel R dont le symbole principal est une fonction s^ (x,t) tels que ; P E CD - X (x,t) D + R) Q dans F ,

t J X

00

le signe = désignant l'égalité modulo un noyau C .

Preuve du lerme 1.

oo

On commence par déterminer S% E s (x.t.Ç) , où s est positivement homogcnt de

°» -*egré

C-k), et 0' 'V (x,t,Ç,x) + E ‘^m-2-k '^m-2-k polynôme o

en T de degré m-2 et est positivement homogène de degré m-2-k par rapport à Ç et T, tels que

m .

J Pm-J ■ ^ ^ ’ÇT 5 • Vk> •

OÙ F est un voisinage conique de (x^, t^, x^) dans lequel |x| g c |ç|.

Dn détermine s^, q^_2* q^_3» •••. s_|^, q^_2_|^* ••• par les équations (x - Xj Ç) "^m-l ° quantité connue.

Ces équations permettent de trouver (x,t,Ç) en posant x = Xj Ç, et d’en déduire q , , . On trouve en particulier :

m-k-1

s (x,t,Ç) O

*^t ^m-1 *^x ‘^m-1 ^m-1

Vi

Cx.t.Ç, XjCx,t)Ç) .

Ensuite, sivf(Ç,x) est une fonction C à support dans |x| ^ c|ç|, positivement homogène de degré Q si |ç

I

+ |x| ^ 1, et vaut Isi

|x|

é-^|c| et |ç| + |x| il, il suffit de poser

(23)

4.

R'v-s + Es if O ^ “K Q-'-q +Eq

m-1 m-k-2 ' C.Q.F.D.

On est donc ramené au problème de propagation pour l’opérateur L = - XjCx,t)D + s (x,t) + ?! , avec ?! E L ^

t j X O

On va redresser les bicaractéristiques de D - Re X D : il existe des coor-

L J ^

données locales (analytiques) qu'on va encore désigner par (x,t), dans les­

quelles L = 0^ - ib(x,t) + c(x,t) + T, T Ê L~^, où b est analytique, à valeurs réelles et satisfait la condition suivante ;

(i?) Pour tout X assez proche de 0, la fonction t -»• b(x , t) ne change pas de signe si |t| < T.

Définition ; Si g E C°° pour |x| < H et |t| < T introduisons la condition sui­

vante (cf, Treves [2]) ;

(0) Pour tout X E (-ri, +M), la fonction t -*■ g(x ,t) ne s’annule identi-

o O

quement sur aucun intervalle ouvert situé dans la bande { t , lt| < T}.

On a alors le

Théorème 2.

Si b est analytique et satisfait dans un voisinage de (0,0), alors il existe une fonction analytique g(x,t) telle que l’on ait ;

b(x,t) = x*^ g(x,t)

+ O

dans un voisinage de (0,0), où K E Z et g satisfait (J) et (Q) dans .

Démonstration du théorème 2.

2

On suppose que M^ - (-M, +M) et que b | 0 .

a) Soit N = {x E (-M, +M) : V t E (-N, +n), b(x,t) = 0} .

Alors N est un ensemble de points isolés car si x était un point d’accumula-

Q 6 et

tion de points de N, on aurait V t 6 (-n, +M), V ot,3 : 9^ 9. b(x , t] = G , b) Donc ou bien il existe e > 0 tel que (-e, +e ) H N = 0, dans ce cas le théorème 2 est démontré avec k = 0

ou bien 0 E N et il existe e > 0 tel que (-e, +e ) 0 N = {0}

(24)

dans ce cas, il existe K > ü :

3-^ b(0,t) X

.

E 0 si j < K I ü si J = K

< T .

Dès lors b(x,t) = x*' gCx.t) avec gCx,t) = b(Q,t] ♦ G(|x|)

Si X O est petit, b satisfait et CO], donc g aussi, g satisfait CQ]

g satisfait (ÎP) en x = 0 car sinon b ne vérifierait pas C^P] .

en "o‘

C.O.F.D.

□n est donc ramené à prouver le théorème 1 pour l’opérateur L = - i X*'' g(x,t] + cCx,t) + T , T 6 L ^ ,

où k B et g est une fonction analytique à valeurs réelles vérifiant les conditions et CQ] pour |x| < M, |t| < M.

Si g = 0, le théorème de propagation est connu CDuistermaat-HSrmander I l], théorème 6.1.1.). On peut donc supposer que g ^ ü. Si K = 0, L est sous- elliptique (Treves [ 2] ] et le phénomène de propagation est trivial. On peut donc supposer que k > 0. L est alors sous-elliptique si x / □, et le propaga­

teur ECO, t , £ , □] est la variété t = x = 0, sgn Ç = sgn Ç .

O O O

, §2. InÜLodacZion d'um va/Uable. .iuppZémentcuAe.

On va utiliser la méthode de Helffer [ 1] et ajouter une variable z. Soit f 6 L° un opérateur proprement supporté dont le symbole complet est

fCç,T,ç) =■ j 1 si |ç| g cC|ç| ♦ |t|] et |ç| + |t| + |ç| à 1 [ 0 si |ç| i 2cC|çl ♦ |t|) et |ç| + |t| + lç|i 1 c étant un nombre strictement positif.

'V k

Soit L » D - 1 g(x,t)(x D + D ) + c(x,t) + f T. C*est un opérateur pseudo-

t X _ Z

différentiel dans {Cx,t,z) 6 |R , \x\ < M, |t| < M} . On va prouver le

Théorème 1 '.

Si V 6 3’. et si P =Cx,t,z,Ç,T,0)6 WF Cw)\WF CL w], où w = v @ 1 ,

Xt OOOOOO Z

3 ^

alors la parallèle à par p reste dans WFCw] jusqu’à ce qu’elle atteigne O t O

WFCÎ'W).

(25)

6.

Le théorème 1' implique le théorème 1 car si p = (x , t , Ç , Q) E WF(v) et WF(Lv) ne rencontre pas un voisinage conique T de (donc obligatoirement X ■ Q), alors pour tout z : (x , t , z, Ç , 0,0) g WF(v@ 1 ) et

O O O o Z

WFÎLv) ® 1^) n { Cx.t.z.Ç.T.ç), (x,t,Ç.T) 6 r} = tî. Donc WF (TL ( v ® 1 ^ 0 {(x,t,z,Ç,T,ç], (x.t.ç.x) Ë r} = 0 et donc WF(t(v@l2)ÎD {(x»t,z,Ç,T, 0), (x,t,Ç,T) 6 r} = 0 . Alors WF(v@l Jest invariant sous 3 et on en déduit le théorème 1.

La suite de cet article. Jusqu'à la fin du iS, est consacrée à la preuve du théorème 1*.

On termine ce paragraphe en faisant un changement de variables qui va mettre L sous une forme bien adaptée à l’étude qui va suivre.

On va travailler dans l’ouvert V = {(x,t,z) E IR^, [ x| < M, |t| < M, |z - z^| < n}, et on peut supposer que z^ = 0. On peut trouver, dans un voisinage de l’origine, des coordonnées locales analytiques x = F(x,z), z = G(x,z) avec F(0,0) = G(D,0)=0,

K d d d •

telles que x ~ + — = — . On prend par exemple G(x,z] = z et F(x,z) 3x 3z g-

*xe^ sik“l

= x(l + (K-l)z x*'’ ^ si k i 2 .

Quitte à diminuer M, on peut supposer que le difféomorphisme

f : (x,t,z) -► (x, t, z) = (F(x,z),t, G(x,z)) est défini sur tout V. Soit 0

l’image de V par f. Soit jC = 0^ - i h(x,t,z)D- + r(x,t,z) + A l’image de Î! par f.

On a h(x,t,z] » g(F(x,z),t), r(x,t,z) = c(F(x,z),t), où (F,G) désigne l’applica­

tion inverse de (F,G], et A G L ^ . Soit U l'image de w par f.

§3. P/ieuue du thé-onmo. V.

On peut SB restreindre au cas où g(0,0) => 0. Car si g(0,0) / 0, alors et l’axe du c6ne sont linéairement indépendants sur Re o^(L] Im o^(U

Oj^^(î^](0) si X = t = 0 et {Rb o^(l!], Im o^(L!!)} = 0 sur a^^(Î!H0) si x = t = 0.

(On a désigné par Oj^(i^) le symbole principal de L et par {,} les crochets de Poisson), Or dans ce cas la propagation est connue (Dulstermaat-HÎSrmander [ l) corollaire 7.2.2).

On désignera par Z le plus petit entier > 0 tel que les zéros de h vue comme fonction de t soient d’ordre g 2Z dans U.

(26)

f\,

On va prouver que si p = (□, t , z , Ç , x , ç ) B WF(u) et {(G,t, z,£,T.C^*|t“t|<a}0 WF(£u) = 0, alors {(0,t, Z , ç , X . C ). 1t - t I < a} n WF(u] = 0 où a > ü.

O 0 0' o'

On peut supposer que / 0, car si ■ 0, la propagation s’obtient Cmicro- localement) par simple application du corollaire (7.2.2) de Duistermaat- Hflrmander [ 1] .

Comme £ est elliptique dans la région x / 0 et strictement hypoelliptique dans la région ç ü, on peut supposer que Tq ° , (et r‘ 0). Donc

P * (□, t , Z , ç , 0, ü ).

On peut aussi supposer que UF(u) Cz = {ç=t =0}, car si A est un petit voi­

sinage conique ouvert de "S = {(□» t, z^, 0, 0), 11 - t^| < a}, alors WF(£u) n A * 0 et donc WF lu) 0 A C E O A. Si alors x ^ S° est positivement homogène loin de la section nulle, vaut 1 dans un voisinage conique de ^ et a son support dans A, et si x 6st un opérateur pseudo-différentiel proprement supporté de symbole x» on a ; WF(x u) C I et WF(£ x o) ne rencontre pas un voi­

sinage conique de é.

Comme h satisfait ih et (Q), h est localement de signe constant.

Commençons par supposer que h ^ 0. On peut supposer que |t| g N, et que g(0,t) a, dans |t| $ N (t réel), le seul zéro t = 0, et que N < M. (Ma été introduit au §2), Supposons que, dans les coordonnées x, t, z, on ait

(0, t , 0, i , 0, 0) 0 WF(u), avec 0 < t < N. Le cas où t < 0 se traite de

O O 0 O

façon analogue. Supposons également que {(0, t, z, 0, 0), sup (|t|, |z|) $ N}

OWF(£u) = 0. Le corollaire 7.2.2 de Duistermaat-HSrmander [ l] implique que (0, t, z, 0, 0) 0 WF(u) si ü < t < N et lz| < N .

Il faut donc montrer que la régularité se propage à travers t = 0.

Définissons 3 fonctions u>, vp et qui joueront un rflle important par la suite.

- - -2 ' ft^ - - s

Soit vjXx, t, z) * - z + /^ h(x, s, z) e d s. Elle a la propriété suivante ; V r e (0,N), 3 e > 0» 3 ^ 3 h > 0. tels que ;

llzl - r[ J n. l4*(0. t, z) I É e. |t| $ N => t e’ .

Choisissons r < N, n < M-r, puis e donné par la propriété précédente. On prend r assez petit, puis e et n suffisamment petits pour que |z| ÿ r ♦ n et

l'p(0,t,z)| i e ■=> |t| < N.

Posons ^ .

Soit i(i(t,z) 6 c” ayant son support dans {(t,z) ; [z] < r + n, - e < (p(0, t, z) < 2^7-j-} et valant 1 dans {(t,z) ; |z| è r, f(0, t, z) 5 l et t $ 0} .

(27)

8.

Afin de simplifier l’écriture, il est commode d'introduire les notations y ■= (x, t, z), y’ = X , y" = Ct, z)

y = (y*, y"]

n - (ç , T, ü . n' = ç . n” * Ct, l) n = Cn’, n")

et S^(y,n] ■ sup {s 6 R ; u 6 microlocalement près de (y, n)} . Avec CBS notations, Ç = n' •

O O

Supposons que n' > 0 et que S^Cy, n’. 0) > - y si (y, n'] 6 (H, où

= {Cy, n') i |y'l < e» n' > 0, |z| < N, |ip| $ e}. Pour démontrer le théorème 1', il suffit de montrer (et ce sera l'objet du 55] que si et sont assez

petits, alors, pour tout entier positif X, on a ;

S^Cy, n'» 0) > XC(^(y) + -^ ] - y (3.1) dès que (y, n') 6 (K et |y'| ^ •

Nous terminons ce paragraphe en montrant comment l'inégalité (3.1) implique le théorème 1’.

Preuve de l*implication (3.2) => théorème 1'.

Comme (!^(x,t,z) = (-|z|^ g(F(x,z) ,s)e® ds ) si t ^ □

■i (-|z|^ - g(F(x,z) ,s)e® ds J si t g ü

l'inégalité (3.1) implique que ((ü,t,0), (1,0,0)) g WF(u) si t 5 -e' (avec e’ > 0). Appliquant le corollaire 7.2.2. de 0uistermaat-H8rmander [ l] au point

C(0, -e',0), (1,0,0)), on en déduit que pour tout t 6 (-N, t^), on a ; ( (0,t,0),(1,0,0)) g WF(u).

On vient de voir que l'inégalité (3.1) Implique la propagation de la régularité dans le sens des t décroissants pour 0. - i h 0- + r + A (h îs 0). Avec le même

t Z

poids tp on obtient la même propagation pour D^ + ihO- + r + A: cela ressortira clairement de la preuve de l’inégalité (3.1) qui sera donnée au 55. Finalement le changement de variable t -> -t permet de conclure à la propagation de la ré­

gularité dans le sens des t croissants.

Au 5 suivant, nous démontrons une estimation à poids du type inégalité de Carleman qui sera utile dans la preuve de l'inégalité (3.1).

(28)

§4. b-à-ùùriciùioné à po-cdà.

Théorème 3,

Soit la partie d’ordre >; 0 de X, c’est-à-dire X'^ = - i h(x,t,z}ü- + r(x,t,z). Soient >^^(x,z) et »^^(t,z) deux fonctions c”. Posons

^>(x,t,z) - i^^(x,z) + hCx.s.z) tf^(s,z]ds .

Si [-^ + 1- (h sgn h ^ c >0 pour x 6 I CC IR et Ct,z) 6 K CC IR^.

dz dz

alors il existe 2 constantes positives et C, telles que pour tout x 6 I et tout O O , l’on ait :^ O

// e^°'<’luCx.t.i) dz dt s C // uC^.t.z)|^ dz dt (4.1) O

si U Ë c“ et si, pour tout point x de I, u(x,t,z), considérée comme fonction de Z et t, a son support dans K. .

Le théorème 3 sera une conséquence de la démonstration du théorème 3'.

Théorème 3\

Soit dans un voisinage X de (G,D) dans IR , l’opérateur 2

T = - i h(x,t) D

On suppose que h est C , à valeurs réelles, et satisfait dans X les conditions oo et (Q) définies au SI, c’est-à-dire que comme fonction de t, h ne change pas de signe et n’est pas identiquement nulle si (x,t) ë X. Supposons que t -*• h(0,t) a un zéro d’ordre 2£ en 0 et que les zéros de t ^ h(x,t) sont

d’ordre i 2£ si (x,t) E X. Soit q)(x,t) = if^Cx) h(x,s) ds. On suppose que (4*j(t) + (h sgri h i c^ > 0 dans X.

Alors pour tout ouvert relativement compact X’ CC X il existe 2 constantes positives et c, telles que l’on ait :

1

^2UTTÎ II gO Vf ^11 ^ ^ ||e°^Tu||

si U Ê C (X ’ ) et O 5 O , Il 11

O O

2 2 désignant la norme de L ( |R ).

(4.2)

(29)

Remarque : La fonction y dont il est question dans le théorème 3' a été intro­

duite par Strauss et Treves l l].

Il ressortira de la preuve du théorème 3’ que si et les coefficients de T dépendent continûment d’un paramètre x parcourant une partie compacte de R, on peut choisir C et indépendants de ce paramètre. Ceci fait du théorème 3 une conséquence du théorème 3’, puisqu'une perturbation deo£^ par r(x,t,z] ne modi­

fie pas l'inégalité (4.1) (à condition d'augmenter

Preuve du théorème 3'.

Il est équivalent de démontrer (4.2) avec remplacé par (x,t) = i{(x,t) + i (h )(x,s)ds. Utilisant la méthode de Treves ( 3] , théorème 1.4, on volt

J O ’x

que (4.2) est une conséquence de l’estimation 1

||| (1 * I D J ) V |||i C |!| S V II| (4.3) si V G C“(Y). où Y = X’ X (-S. +S) C |R^. et

O

" °t * ^ "^t l°J ■ ^ ^ ^°x * “ °t ■ ^ ^ ^°x ■ '

avec Y^x^t) = %<^x •

llj ll| désigne la norme de L^( |R^).

3

Notations :||| ||| ^désignera la norme de Hg( IR ), s la variable de (-S, +S), et (Ç,T,o) les variables duales de (x,t,s).

Preuve de (4,3).

Supposons par exemple que h(x,t) ?; ü. On traiterait de même le cas h(x,t) 5 □.

Multipliant et par une même constante strictement positive, on peut sup­

poser que |y(0»0)| $ 1. On peut également supposer que (□,□) G X’. En rétré­

cissant X', (ce qui n'est pas une restriction puisque si (4.2) est vraie sur un nombre fini d’ouverts X,’ , (4.2) est vraie sur leur réunion à condition

k

d’augmenter éventuellement o^), on peut supposer que l'oscillation de y sur X’

est inférieure à un nombre positif e arbitrairement petit.

La sphère unité de l'espace Çto est la réunion des 4 parties ouvertes : 1

(30)

{

\a\

{|o|

i\o\

< 3 et

< 3 . |Ç|

<è' 1^1

.1 2/2 , Ç| < 3- - e}

> - 2e et Ç < 0}

> - 2e et Ç > 0} .

où e > □ est petit. Soit T le cfine engendré par 0. dans

OO ^ X

Soient g , 1 i J $ des fonctions C , positivement homogènes de degré G si

2 2 2 2

Ç + T * a î; 1» ayant leur support dans r , et telles que Z g “ 1 si

2 2 2

,

^ ^

ç + T * a il.

Dans Y X est un opérateur pseudo-différentiel sous-elliptique ayant un degré de sous-ellipticité égal à 2£ ♦ 1, et par les résultats d’Egorov l l] , on a ;

IgjCD^. D^, Dgîvlll ^ S C(ll|g^(D^.D^,D^)bv ll|* ll| v ll| ) (4.4) 2(£+1)

si V 6 C (Y) . O

(cf. Treves [3] et MeniKoff [1] pour un raisonnement semblable).

Dans Y x ê est "elliptique" et on a

|g2(D^.D^,D^)vlt|^ $ C( Hlg2(D^,D^.D^)6v * Hlvll|) (4.5)

si V 6 C (Y) O Enfin, montrons que l'on a :

,

2£+11

(1 + |d |) ^^^ g,(Q,.D DJvlll ^ C( ll|g.(D ,D ,D )Sv ll| + ll|vll|)

5 JXuS JXtS (4.6)

si j = 3 ou 4 et V 6 C (Y) . o

(4.3) s'obtiendra en additionnant les carrés des inégalités (4.4), (4.5), (4.6), et en diminuant éventuellement S.

(31)

12.

Preuve de IHnégatité (4.6).

Examinons le cas j = 3. Le cas J •• 4 se traite de façon analogue.

Soit'25 l'opérateur de symbole 'V.

'S(x,t,ç.T,o) »= T + i c (x,t,Ç,o)

où c(x,t,ç,o) = hCx.t) ij;(x,t) qCx,t,Ç,ol ,

étant une fonction 5 0, appartenant a C IX’), et00 7 7^1/7

q(x,t,ç,o) - (ylol - Ç) m(Ç,o) + (Ç ♦ o V' BCÇ.o)Cl - m(Ç.o)) .

00 2 2 mCç.a) étant une fonction c“ positivement homogène de degré 0 si Ç + a il,

2 2

valant 1 si -Ç > 2 (/2 -3e)|o|etÇ +0 il, ayant son support dans {(Ç,o) : 10|o| < 9|ç|. Ç < 0}* et telle que G $ m $ 1, B(Ç,o) étant une

® 2 2 2 2 1

fonction C°° valant Isiç * a ÿletOsiÇ +0 ^'2*

On va démontrer que si ®st C , positivement homogène de degré G si 2 2

Ç ♦ i 1, et a son support dans le cfine |o| ^ c |ç| (c > 0), on a l’estimation _1__

ll|(l + l0„|)^*'*^ X(D ^ CUII^vHl + lllvll|) (4.7)

® X S

si V 6 c“(Y) . O

En appliquant cette inégalité à la fonction 0 g^ çw, où w G C^(Y'), Y’ CG Y, c e c”(Y) valent 1 sur Y’ et 0 E c”(Y) valant 1 sur un voisinage de supp ç,

O O

on déduit facilement l’inégalité (4.6) pour w.

Il reste donc à démontrer l’inégalité (4.7).

Preuve de l’inégalité (4.7)

On va suivre point par point la démonstration des H 4 et 5 de Menikoff [ 1] . Cependant comme Menikoff suppose une factorisation de la forme c(x,t,Ç,o) =

|ol . fi (x,t,Ç,a) non réalisée ici, il faut modifier légèrement sa démonstration à 2 endroits. Oonnons brièvement les grandes lignes de la démonstration en

renvoyant à Menikoff [ l] pour plus de détails, et indiquons les modifications à apporter.

Posons M » - i c(X,t,D^,Og) et 3^ = {u 6 ;f'( iR^ts^’^^ * ® IR^)) que nous munissons de sa topologie hllbej^tienne évidente.

On va construire une paramétrlxe K pour 'lo* ayant les propriétés suivantes :

(32)

(1) K est bornée*. -► L^( IR^)

" 2^ + 1

(2) si V G c“ ( IR^ ), alors supp Kv C {(x,t,s), (x,t) G X'}

O

(3] si V G c“ [ (R^}, alors » o)(x,t] , D )v + Rv, où w G C (X'î et R

O X s O

est un opérateur de type (1).

Tout comme dans MeniKoff [ 1] . de l'existence de ^ on peut déduire (4.7).

On pose B(x,t,t’,0) = cCx,0,Ç,o)d0

Kv(x,t,s) -(2n)"^ / xCC.alw(x.t) CK^O) (x.t,Ç,o)dÇdo

où K 0(x.t,Ç.a) = -i /“ xîf) g-Bfx.t.f.Ç.o) df.

0 ■' t

Alors MK.v(x,t.s)= üj(x,t) ^ ^1 * ^2 * ^3 ^ ^4'

= (2n)"^ u(x,t). / xU,a) <? (x.t.Ç ,a)dÇdo

I2 = -C2n)"^ ^j^,j^i(xÇ + so)-B(x.t.t'.Ç,a) 5^(ç^oj|,^^(x.t.t',Ç.a)dÇdadt'

I., = -(2n)«2

/^Ul U(x.t.D^.D^)(e t'^t

i(xÇ+so)-B(x,t,t',Ç,o)

ü)(X,t) )

coCx.t) eit^Ç-^sa)-B(x,t,t'.Ç,o) c[x, t, Ç.c|] x (Ç,o)x (t ' )0 (Ç, t ’ ,0)dÇdodt'

= -C2n)"^ ^U|>1 r^,(x.t,t'.Ç,a) xU.a) 0(Ç. t ' ,o)dÇdodt ' t’^t

où K.,(x,t,t’,Ç,a) = e® Z c^“^ (x,t,Ç,a)D“ (we ^)

^ 0<|aUN“‘ ^

rj^(x,t,t',Ç,a) = 0(C|çl + lol)’*^) (N entier positif arbitraire)

0 représentant la transformée de Fourier partielle de v par rapport à x.

Ig et définissent des opérateurs bornés L^( R^) ^ ^ 1

2ÏTÎ

(33)

14.

il en est de même pour si l’on intègre uniquement sur |o| ^ 1. Voir Menikoff, loc.cit.

En vertu du théorème de préparation de Weierstrass-Malgrange, on a, si X' est assez petit, la factorisation h(x,t) = f[x,t) k(x,t), où fCx.t] =

2t. 2l

t ♦ Z A Cx) t . k(x,t) > 0 si (x,t) E X’ et A (0) = 0. Donc si f = 1

1-1 J ■' J

sur un voisinage de supp u, on a cCx,t,Ç,a) = f(x,t] c(x,t,Ç,o), avec 'V

0 < Cj^ ÿ ^ ïx.t) appartient à un voisinage de supp (d.

Pour estimer 1^, I2 et on les considère comme des opérateurs pseudo-diffé­

rentiels à valeurs vectorielles : on montre que si les sont les opérateurs de c"*( L?) dans C ( , L^) de symboles

OXSÿU XSt

S^(x.Ç.o) : h(t) tü(x.t) g-B(x,t,f.Ç.o) h(f)dt’

S^Cx.Ç.o) : h(t] ^ ü)’(x,t) fl X(t’) h(t’)df

S2(x,Ç,o] : P on a : llD^

/

go

S^Cx.Ç.0]

00 -BCx.t.t',Ç,o]

K„(x.t,t’,Ç.a) x(t’)h(t’)dt*

N

i c, „ „uHa|)‘^l * Uh ^ C4.8)

Il II » X(L^)

représente la norme sur l’espace X(l2)

et 6 1 21*1

des opérateurs bornés dans L2 t

Cela se démontre en suivant point par point la démonstration de Menikoff [ 1], J5. Cependant comme Menikoff suppose une factorisation c(x,t,Ç,o) =

lo|. Û Cx,t,Ç,o), il faut modifier légèrement sa démonstration à 2 endroits : 1) pour passer de son inégalité (5.15) à son inégalité (5.16), il faut utiliser

- -ie -c(U| + lo| )jJ f(x,X)dX

e s e et appliquer son lemme (5.2) à f(x,X) avec le poids c (|ç| + |a|) en prenant 0 = 0’ = □, d = 21.

2) pour estimer son terme (5.4) (au bas de la page 131) on estime la quantité /f^comme lui (en tenant compte de la modification 1) si |a| + jq’| + lr'| > 1 .

Si |al ■ 1 et q’ = r’ = 0, on obtient ;

(34)

p(l ^ Clt*-t|

q + r I+J+L)

o' I .

3ÏZ1

1 1 - Ë

[x,t)(jçl+lale ^ . On applique alors son lenme 5,2 à f(x,A) avec le poids c(|çl+|oj] et 0 G* =• 0, d ■ 22,, ce qui achève la démonstration de (4.6 J.

1 2

§5. Vémon6XAivU.on de. t'^nécatùté (3,?).

La démonstration de l’inégalité 3.1 est basée sur le résultat suivant (cf.

SjBstrand [ l] , lemme 2.2).

Lermie 2,

Si u e 3' ( et n = Cn’.n") 6 Ir". n" 6 IR*^, si WF(u) C {n" = □} et si 0 < Y < 1, on définit

T u(y.n’)

X / xty. y . n’) ei<y '^1■y uCy'.y' ’)dy’

m • ^^11 U . . i-i^i

où xîy.y'.h') 6 s,, OR^ X |R^~° X IR^~°) = ^ a son support dans

|y’ - y'I $ Cet appartient à S * hors de |y’ - y’| ^ CU'I T U est une fonction C°°, et l’on a les propriétés suivantes :

X

1) Si m = 0 et si U 6 H autour de (y , n’, 0), alors il existe un voisinage

S . O O

conique V C IR*^ x (IR^ \ {0})de (y^, nM tel que (1 + |n'l)® T u(y.n’] 6 L^(V)

^ ^ Y fri-d)

2) Si xCy. y', n’) = 4'CCy’ - y’) [n’1^) h* r h'I ^ ^ conve­

nablement définie pour |n'l < 1 de sorte que x S C ) et s’il existe un voi­

sinage conique V C IR*^ x (IR^ \ {ü})de (y^» tel que

riais la même preuve est valable si □ < y 1 ■

On utilisera aussi le lemme suivant qui se démontre comme le lemme 2.1 de Sjflstrand I l] .

(35)

16.

Lerrime 3,

Si X £ et si a(y] est une fonction C , alors ; T (a(y)u)Cy, n') = a(y) T u(y, n*) + T uCy, n'3»

X X X g

où X 6 X 1R^“^ X .

L'idée de la démonstration de l’inégalité C3.1) est la suivante : le lemme 2 nous montre que la régularité de u est équivalente à la finitude de certaines intégrales. Nous allons établir la finitude des intégrales en utilisant les estimations à poids du Î4 et le lemme suivant, qui sera utile dans l’estimation d’un certain commutateur.

Lemme 4.

Si U S 2)’(U) et P g WF(Xu). alors

Sq ^ (p) i s (p) - YïJï °t^ ‘

y” ^

La preuve du lemme 4 est basée sur le

Lerme 5.

Si K est un compact de U, alors, pour tout s réel, il existe une constante positive telle que

ï.

|al^l

u|| ^ C (llXull * llull J 2JÎ, K.,S S s 2£+l

si U G i’ CK] A H . s

Preuve du fait que le lemme 5 implique le lemme 4.

Si xfy«n3 6 S° est positivement homogène pour |ni grand, vaut 1 autour de Xp

f\j ^

si X est grand et a un petit support conique et si x désigne un operateur proprement supporté de symbole x» alors x o G et X xo = [X,^ u modulo C .

'\j a

Donc si S i 3 près de p, on a pour e > □ arbitraire ; x o G H H 'f? et

u s-c

X X u G H

, ce qui démontre Donc par le lemme 5, on conclut que D „Cx u) G H'V

y s---

2£+l - e le lemme 4.

(36)

Preuve du lerme 5.

ou

w

a] Il suffit de le prouver pour les fonctions C à support compact En effet u = u * 0 -*• u dans H si u 6 q (y) = g ^ q (X] ^

e e s s E e

0 6 cT a son support dans |y| g 1 et f 0dy= 1.

Si l*on a pour e ^ e :

E IID». u II S C(ll£ ujl^ . Ilujl^) .

C-* ■■■

2£ + l on déduit :

E lal^l

Id“. u II

y" e 2Z

■' s---

$ ceux

u

* 0 II ♦ ||[X, * 0 ]

ull + llu

II )

es es es

« t dix uii + s

2JI+1

]

.

Donc si e -► 0, on en déduit le lemme 4.

b) Il suffit de le prouver pour s = □, car si A désigne un opérateur pseudo- 2 1/2

différentiel proprement supporté de symbole (1 + |n| î , on a :

E ||D“u|| ^ C ^ IIA® □“ ul! 2t * 21 '

21*1 s- 2Z*1

s c ( I IId“. a® uII

UUI ^

212Z*1

* E II (a , D ] u|I 2£ 2Z ^ a èl ^ - -srs—r s-

2£+l 2£ + l

^ ^s.K ^^| , ^ 2£ * 21 ^ * a gi ^ - -st-rr 2£ + l s---2£+l

Si le noyau-distribution de A^ a son support assez près de la diagonale, alors supp u C K => sup A^ u C K* CC U. Or, supposant le lemme 5 prouvé pour s = ü, on a :

E ||d“„ wII $ C^. dix wll + llwll^), w G C"(KM .

'' -2îrï

Appliquant ce résultat à w = A u, on obtient que :

(37)

18.

2« S C^.K <11^ “l'o * ' s- 2£_+i

$ C „ dix dl + llull ) . S ÿ IN S s

c} Soient "k CC rJ- et I CC |r| tels que (G.CO.O)) G I x C U .

Si X G I est fixé et (t,z) appartient à un petit voisinage de alors X^ (la partie de X d’ordre i 0] est sous-elliptique en t et z. La démonstration des inégalités de Treves [2] montre qu'il existe une constante positive C, indé- pendante de x, telle que si u est une fonction C ayant la propriété que pour oo tout X E I, le support de la fonction (t,z3 u(x,t,z) est inclus à 1^, l'on a ;

1 ,21 + 1

//|(1 ♦ |d-| + u(x,t,z)|^ dz dt

^ C (//|Xj uCx.t.z]]^ dz dt + //|u(x,t,z] 1“^ dz dt)2 -

Intégrant cette inégalité par rapport à x, on obtient : _1__

11(1 + |d-| + uII^ g C (IIX^ ull^ + llull^ ) . En remarquant que

I IId“» uII^ ^ C 11(1 + Id-I + |d. I ull^ , on en déduit facilement le

I I , y" 21 ‘ z' ' t' O

hUi ^

21*1 „2 2£ + l

lemme 5.

Pour démontrer l'inégalité (3.1), on va démontrer que si w et ë > 0 sont assez petits (mais indépendants de X GE*], alors, pour tout A G Z: , on a :

rf\j r\^

11^ ,>X(^(y)+e)-U ^ (^u)(y,n’)ll^- dn ' <» (5.1)

° L^iy.ly'l^o)}

si x(y. y’* n’) “ <l'((y’ - y’) |n’ THn’ (où o P \\j g c”((R)) pour |n’ | 5 l.

Y étant un nombre réel appartenant à l'intervalle (0,1) qui sera déterminé par la suite et <ri’> = (1 + jn’|^)^'^^.

Si on pose - T Au, l'estimation (4.1) pour X appliquée à T u avec O » £n <n'>'^ f|l’l ^ T) et le poids introduit au i3 donne :

en • X-4(£+1 !) I, , X»f , _ f iiii2 (£n <n'> ) ll<n > ^ 'l) u(y,n')ll 7

$ C ll<n'>^'f X^(^ T u)(y, n’)llL2 (5.2)

(38)

En tenant compte du fait que

JC.C^P T u] = \p T Xu + [X,i(;]T U + \p u * iJ;lX , T ]u ,

X X J- X X

il vient, si |n’| ^ T

C(£n ^ i|»T u(y,n’3ll^_ ^(Î) + (2) + @ + (5).

*— M OU

@ . t T jCui:^,

^ X I 2

y"

@ » [X ,4,] T ull^

1 X L

@ . ii<„.>*'rï)-i'

*Æui|2

® . = rfXj, T lull^

X- lI

On va montrer qu'il existe u > O tel que chacune de ces quatre expressions soient sommables en y’ et n' sur {(y',n“]. ly'| < w, n’ > T} .

Remarque.

Pour prouver le théorème 1, il suffit de considérer des distributions qui, dans le système de coordonnées x,t,z, sont de la forrr.e v^^ @ 1^ (cf Î2).

Pour ces distributions-là, on a, en diminuant éventuellement N :

{((x,t,z], 0 < |x| < N, sup (|t|,|z|) < N} n WF(u) = 2 (5.3) En effet, repassant aux coordonnées x,t,z, on a bien que

( (x,t,z) (1,0, F /F ) ) 2 WF (v 1^1 )si (x,t,z) est proche de (0,0,□} et x 0.

Z X xt-' Z

Comme le changement de coordonnées x = F(x,z),z = G(x,z) choisi au 52 fait localement se correspondre les régions x 0 et x / 0, on en tire (5.3). Si on veut prouver le théorème 1' pour des distributions u Quelconques, il faut tenir compte de la structure de h ^(0) dans x 0 .

Voir remarque 1 du 56.

(39)

20.

Etude de IHntégrale de (|)

Si 0) est assez petit, on aura, vu la régularité de X u :

Xu||^„ d n’ < “

^ L {y*|y‘U“}

Etude de IHntégrale de @

,i(;] ull^ d n’

>-^{y. |y’ Uü)}

r^én' { ®d y- . /"

^ ly'U- "

^ T

Si n*est pas localement nulle autour de (0,t,z), on a 2 cas possibles : ou bien t > 0, et alors u ê C autour de ((Q,t,z),(1,0,0] ) par le corollaire 7.2.2. de Duistermaat-Ufirmander I 1]. Dans ce cas, la contribution au 2e membre est < “>

— 1 3

ou bien^CO.t.z) ^ alors si W est un petit voisinage (dans iR ) de l'ensemble { (x,t,z] 6 |R^, x = 0, t g 0, (x,t,z3 G support de la fonction (X^,ij^] } , on a ;

(^(x,t,z] ^ ”4*^1 P°'^^ (x,t,z) G W, où peut être rendu arbitrairement petit.

Si vp + e $ 0 pour (x,t,z) 6 W, on a alors si uj est assez petit ;

fj ^ ri’ f d)cly’ < “ pour X = 1. Il suffit donc de choisir ^ 4 ” ^1 ’ ly’U<*>

Etude de l'intégrale de Q)

Si + e ^ 1 lorsque (t,z) G supp f et |y'| gu), et si X = 1, alors

/tdn’/ dn’<“’

^ ly'Uoj ^ L2{y.ly’U<^}

puisque S (y, n'. 0) > -p +1 si (y, n’)S ((? . Comme vp(0,t,z] < jrrj sur supp Ÿ par construction, il suffit de prendre e < 2^71 ^ petit.

Etude de l'intégrale de (5)

Puisque [X,, T ] = -i[h. T ]D- + [ r, T ] = -i T 0- + T

X X ^ A A|.^ ^ Ap

avec et Xj. S K , on a ;

Figure

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Références

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