RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l’enseignement Supérieur et de l a Recherche Scientifique
UNIVERSITÉ DES FRÈRES MENTOURI CONSTANTINE Faculté des Sciences de la Technologie
Département de GÉNIE-CIVIL
Mémoire
Présenté pour l’obtention du Diplôme de MAGISTÈRE en Génie-Civil
Option : Matériaux
par
BENAHMED KARIMA
_____________________________________________________________________________________________________
Thème
Éléments Poutres en Béton Ordinaire Armé(BOA) et en Béton de Sable Armé (BSA) en Flexion :
ÉTUDE COMPARATIVE
Jury
Président : H.CHABIL Professeur Université des Frères MENTOURI Constantine
Rapporteur : A.TEKKOUK (M.C/A) Université des Frères MENTOURI Constantine
Co-encadreur : C.AMOURI (M.C/B) Université des Frères MENTOURI Constantine
Examinateurs :
M.N.GUETTECHE Professeur Université des Frères MENTOURI Constantine
K.ABDOU
(M.C/A) Université des Frères MENTOURI Constantine
Novembre - 2015
1
REMERCIEMENTS
Je tiens à remercier mon Encadreur Mr A.TEKKOUK, Maître de Conférences à l’Université des Frères MENTOURI Constantine, pour avoir accepté de m’encadrer ainsi que pour sa confiance.
Je remercie également Mr M.L.SAMAI, Professeur à l’Université des Frères MENTOURI Constantine, pour m’avoir proposé ce thème de recherche, et aussi pour son aide.
J’adresse mes remerciements au président de Jury Mr H.CHABIL, Professeur à l’Université des Frères MENTOURI Constantine, de l’honneur qu’il m’a fait en acceptant la présidence du jury de la soutenance.
J’exprime aussi ma gratitude pour Mr M.N.GETTECHE, Professeur à l’Université des Frères MENTOURI Constantine, Mr K.ABDOU, Maître de conférence à l’Université des Frères MENTOURI Constantine, de m’avoir honoré en acceptant d’examiner ce travail.
Mes remerciements vont aussi à Melle C.AMOURI Maître de conférence à l’Université des Frères MENTOURI Constantine.
Je tiens à remercier vivement tous ceux qui m’ont apporté aide et soutien tout le long de ce parcours, notamment Mme KEBABI Enseignante à l’Institut des Maths de l’Université de Constantine, Melle N.SOUAIEGH et Mr K.BOUGANDOURA, sans oublier Mme
N.BENAHMED pour son soutien moral et ses encouragements.
2
TABLE DES MATIÈRES
REMERCIEMENTS ... 1
RÉSUMÉ ... 8
LISTE DES NOTATIONS ... 11
LISTE DES FIGURES ... 13
LISTE DES TABLEAUX ... 18
INTRODUCTION GÉNÉRALE ... 23
1.1. GÉNÉRALITÉS : ... 23
1.2. PROBLÉMATIQUE : ... 23
1.3. PLAN DE TRAVAIL : ... 24
1.4. STRUCTURATION DU MÉMOIRE : ... 24
MATÉRIAUX BÉTON ET ACIERS D’ARMATURES ... 27
2.1. INTRODUCTION : ... 27
2.2. BÉTON : ... 27
2.2.1. RESISTANCES A LA COMPRESSION DU BÉTON : ... 27
2.2.2. DIAGRAMME DE CONTRAINTES-DÉFORMATIONS DU BÉTON : ... 27
a) Blocs de contraintes de compression du béton : [3], [4], [6] ... 28
1) Bloc de contraintes Rectangulaire-Équivalent : [3] ... 29
2) Bloc de contraintes Rectangulaire-Simplifié : [4], [6] ... 29
3) Détermination des coefficients de remplissage k1 et de positionnement k2 dans le cas d’un Diagramme Rectangulaire-Équivalent : [3] ... 29
b) Détermination des Blocs de contraintes suivant les bétons armés (BOA) et (BSA) : ... 30
1) Béton Ordinaire Armé (BOA) : ... 30
2) Béton de Sable Armé (BSA) : ... 31
2.3. ACIERS D’ARMATURES : ... 31
2.3.1. RESISTANCES CARACTÉRISTIQUES DES ACIERS : ... 31
3
2.3.2. DIAGRAMMES CONTRAINTES-DÉFORMATIONS EXPÉRIMENTAUX : ... 32
a) Diagrammes Expérimentaux Bilinéaires : [2], [3] ... 32
b) Diagramme Expérimental Tri-linéaire : [10] ... 32
2.3.3. DIAGRAMMES CONTRAINTES-DÉFORMATIONS DE CALCUL : ... 33
a) Diagramme Bilinéaire Idéalisé et Pénalisé : [2], [3] ... 33
b) Diagramme Tri-linéaire Idéalisé et Pénalisé : [10] ... 34
2.4. CONCEPT DES TROIS PIVOTS : [3], [4], [6] ... 36
FLEXION SIMPLE À L’ELU ... 39
3.1- INTRODUCTION : ... 39
3.2. CONCEPTS DE LA THÉORIE GÉNÉRALE DE L’ELU : ... 39
3.2.1. HYPOTHÈSES : ... 39
3.2.2. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE CALCUL EN FLEXION SIMPLE À L’ELU: ... 39
a) Équations de compatibilité : ... 40
b) Équations d’équilibre : ... 40
3.3- DÉTERMINATION DU MOMENT ULTIME D’UNE SECTION EN BÉTON ARMÉ EN FLEXION SIMPLE À L’ELU : ... 41
3.3.1. SECTION DOUBLEMENT ARMÉE : ... 41
a) Les résultantes des forces internes : ... 42
b) Les équations d’équilibre : ... 42
c) Méthode des essais successifs : ... 42
3.3.2. SECTION SIMPLEMENT ARMÉE : ... 43
a) Les résultantes des forces internes : ... 43
b) Les équations d’équilibre : ... 43
c) Méthode Graphique (section simplement armée) : ... 44
d) Méthodes Analytiques (section simplement armée) : ... 46
d.1) Analyse de la section simplement armée : ... 47
d.2) Méthodes pour la détermination de x, profondeur de l’axe neutre : ... 48
1) - La méthode pour une section sous-armée (ρreel < ρeqth) : ... 48
2) - La méthode pour une section équilibrée (ρreel = ρeqth) : ... 49
3) - La méthode pour une section surarmée (ρreel > ρeqth) : ... 49
3.4. DÉTERMINATION DU FERRAILLAGE OPTIMAL D’UNE SECTION EN BÉTON ARMÉ EN FLEXION SIMPLE À L’ELU : ... 51
3.4.1. MOMENT CAPABLE DE LA SECTION ÉQUILIBRÉE :(Meq) ... 52
3.4.2. SECTION SIMPLEMENT ARMÉE :(M =< Meq) ... 56
a) Les résultantes des forces internes : ... 56
b) Les équations d’équilibre : ... 56
4
c) Détermination des armatures tendues : ... 57
3.4.3. SECTION DOUBLEMENT ARMÉE :(M > Meq) ... 57
a) Les résultantes des forces internes : ... 58
b) Les équations d’équilibre : ... 58
c) Détermination des armatures comprimées : ... 59
d) Détermination des armatures tendues : ... 59
d1) Vérification de l’enrobage des armatures comprimées : ... 60
d2) Vérification de l’enrobage des armatures comprimées : ... 61
e) Équation des armatures comprimées ne travaillant pas dans le domaine plastique : ... 61
APPLICATION DES ÉQUATIONS DE BASE POUR LE TRAITEMENT ANALYTIQUE D’UNE SECTION EN BÉTON ARMÉ EN FLEXION SIMPLE À L’ELU ... 63
4.1. INTRODUCTION : ... 63
4.2. BÉTON ORDINAIRE ARMÉ (BOA) : ... 63
4.2.1. DÉTERMINATION DU MOMENT ULTIME D’UNE SECTION EN BÉTON ARMÉ (BOA), EN FLEXION SIMPLE À L’ELU : ... 64
a) Section doublement armée : ... 64
b) Section simplement armée : ... 65
1) Méthode Graphique (section simplement armée) : ... 66
2) Méthodes Analytiques (section simplement armée) : ... 66
4.2.2. DÉTERMINATION DU FERRAILLAGE OPTIMAL D’UNE SECTION EN BÉTON ARMÉ (BOA), EN FLEXION SIMPLE À L’ELU : ... 68
a) Détermination du moment capable (moment ultime de la section équilibrée), Meq, suivant le code (l’EUROCODE2) : ... 68
b) Section simplement armée :(M < Meq) ... 70
c) Section doublement armée :(M > Meq) ... 72
4.3. BÉTON DE SABLE ARMÉ (BSA) : ... 76
4.3.1. DÉTERMINATION DU MOMENT ULTIME D’UNE SECTION EN BÉTON ARMÉ (BSA), EN FLEXION SIMPLE À L’ELU : ... 77
a) Section doublement armée : ... 77
b) Section simplement armée : ... 78
1) Méthode Graphique (section simplement armée) : ... 79
2) Méthodes Analytiques (section simplement armée) : ... 79
4.3.2. DÉTERMINATION DU FERRAILLAGE OPTIMAL D’UNE SECTION EN BÉTON ARMÉ (BSA), EN FLEXION SIMPLE À L’ELU : ... 81
a) Détermination du moment capable (moment ultime de la section équilibrée), Meq, suivant le code (l’EUROCODE2) : ... 81
b) Section simplement armée :(M < Meq) ... 83
c) Section doublement armée :(M > Meq) ... 85
5
DÉVELOPPEMENT D’ABAQUES À TROIS ENTRÉES POUR LE
TRAITEMENT GRAPHIQUE D’UNE SECTION EN BÉTON ARMÉ EN
FLEXION SIMPLE À L’ELU ... 91
5.1. INTRODUCTION : ... 91
5.2. CONSTRUCTION DES ABAQUES A TROIS ENTRÉES : ... 91
5.3. EXEMPLES D’ABAQUES RÉALISÉS PAR LE PROGRAMME DE CALCUL INFORMATIQUE (I) : ... 97
5.3.1. BÉTON ORDINAIRE ARMÉ (BOA) : ... 97
a) Sections rectangulaires : ... 97
b) Sections trapézoïdales : ... 98
c) Sections triangulaires : ... 98
5.3.2. BÉTON DE SABLE ARMÉ (BSA) : ... 98
a) Sections rectangulaires : ... 99
b) Sections trapézoïdales : ... 99
c) Sections triangulaires : ... 100
5.4. VALIDATIONS DES RÉSULTATS : ... 100
5.4.1. VALIDATIONS DES ABAQUES A TROIS ENTRÉES DÉVELOPPÉS PAR LE PROGRAMME INFORMATIQUE PAR RAPPORT AUX ABAQUES EXISTANTS DANS LES CODES (EUROCODE2 [5] ET CP110 [10]) : ... 100
5.4.2. VALIDATIONS DES ABAQUES A TROIS ENTRÉES POUR DES SECTIONS NON USUELLES (SECTIONS TRAPÉZOÏDALES ET TRIANGULAIRES) : ... 102
5.4.3. VALIDATIONS DES RÉSULTATS ENTRE MÉTHODES ANALYTIQUES ET GRAPHES : ... 102
a) Béton ordinaire armé (BOA) : ... 103
1) Représentation Graphique : ... 103
2) Méthode Analytique : ... 104
2-1) Détermination du moment ultime réduit d’une section en béton armé (BOA) en flexion simple à l’ELU, pour un taux d’armatures tendues et un taux d’armatures comprimées donnés : ... 104
2-2) Détermination du ferraillage optmal d’une section en béton armé (BOA) en flexion simple à l’ELU, pour un moment réduit donné : ... 110
b) Béton de sable armé (BSA) : ... 114
1) Représentation Graphique : ... 114
2) Méthode Analytique : ... 115
2-1) Détermination du moment ultime réduit d’une section en béton armé (BSA) en flexion simple à l’ELU, pour un taux d’armatures tendues et un taux d’armatures comprimées donnés : ... 115
2-2) Détermination du ferraillage optimal d’une section en béton armé(BSA) en flexion simple à l’ELU, pour un moment réduit donné : ... 121
6
EFFETS DES PARAMÈTRES ET COMPARAISON ENTRE (BOA) ET (BSA) ... 126
6.1. INTRODUCTION : ... 126
6.2. ESTIMATION DES GAINS EN ACIERS D’ARMATURES ENTRE LES
SECTIONS EN BÉTON ARME (BA), (BOA) ET (BSA) : ... 126
6.2.1. PROGRAMME DE CALCUL INFORMATIQUE (II) POUR LA
DÉTERMINATION DU FERRAILLAGE OPTIMAL DES SECTIONS, (BOA) ET (BSA) : ... 127 6.2.2. DÉTERMINATION DES GAINS EN ACIERS D’ARMATURES : ... 129
6.3. EFFETS DES PARAMÈTRES SUR LES GAINS EN ACIERS D’ARMATURES : ... 129
6.3.1. EFFET DU DIAGRAMME CONTRAINTES-DÉFORMATIONS DES ACIERS: . 129 6.3.2. EFFETS DE LA RÉSISTANCE CARACTÉRISTIQUE DU BÉTON (fck) : ... 132
6.3.3. EFFETS DE LA RÉSISTANCE CARACTÉRISTIQUE DES ACIERS (fyk) : ... 139 6.3.4. EFFETS DE L’ENROBAGE DES ACIERS COMPRIMÉS (d’/d) : ... 146
6.3.5. EFFETS DE LA PROFONDEUR DE L’AXE NEUTRE DE LA SECTION
ÉQUILIBRÉE (xeq/d) : ... 154 6.3.6. EFFETS DE LA FORME GÉOMÉTRIQUE DE LA SECTION DE BÉTON : ... 159
6.4. VALIDATIONS DES GAINS EN ARMATURES OBTENUS PAR LE
PROGRAMME DE CALCUL INFORMATIQUE (II) PROPOSE PAR RAPPORT AUX ABAQUES A TROIS ENTRÉES : ... 162
6.4.1. SECTIONS RECTANGULAIRES : ... 162 6.4.2. SECTIONS TRAPÉZOÏDALES ET TRIANGULAIRES : ... 166
6.5. COMPARAISONS DES RESULTATS OBTENUS PAR LE PROGRAMME INFORMATIQUE (II) DU FERRAILLAGE OPTIMAL DES SECTIONS EN
BÉTON ARMÉ, (BOA) ET (BSA) : ... 166
6.5.1. COMPARAISON ENTRE ABAQUES À TROIS ENTRÉES ET PROGRAMME DE
CALCUL INFORMATIQUE (II) : ... 166
6.5.2. COMPARAISON DES FERRAILLAGES OPTIMAUX ENTRE SECTIONS EN
(BOA) ET SECTIONS EN (BSA) : ... 170
7 6.6. ESTIMATION DES GAINS EN CAPACITÉS FLEXIONNELLES ENTRE LES
SECTIONS EN BÉTON ARME (BA), (BOA) ET (BSA) : ... 172
6.7. EFFETS DES PARAMÈTRES SUR LES GAINS EN CAPACITÉS FLEXIONNELLES: ... 172
6.7.1. EFFET DU TAUX D’ARMATURES COMPRIMÉES (ρ’): ... 173
6.6.2. EFFETS DE LA RÉSISTANCE CARACTÉRISTIQUE DU BÉTON (fck) : ... 175
6.6.3. EFFET DE LA RESISTANCE CARACTÉRISTIQUE DES ACIERS (fyk) : ... 179
CONCLUSIONS ... 183
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES ... 187
ANNEXE ... 189
8
RÉSUMÉ
Éléments Poutres en (BOA) et en (BSA) en Flexion Simple : ÉTUDE COMPARATIVE
La gamme des bétons est très étendue, un concepteur qui retient le béton de sable comme matériau pour un élément de construction a une démarche de pensée béton.
La présente étude a pour but d’estimer le GAIN que peut apporter un Béton de Sable Armé (BSA) par rapport à un Béton Ordinaire Armé (BOA) par comparaison entre les deux bétons, elle est basée sur l’analyse d’une section d’une poutre en béton armé soumise à la flexion simple à l’ELU.
Le choix des diagrammes Contraintes-Déformations des matériaux Béton et Aciers est essentiel, car l’objectif d’un concepteur est l’utilisation optimale de ces matériaux.
Pour que les matériaux atteignent leurs maximums, l’étude doit être menée à l’ELU de résistance par écrasement du béton, c’est-à-dire au Pivot-B, ce qui correspond à une déformation relative de la fibre la plus comprimée du béton qui atteint son maximum ɛcu, en même temps il faut amener les armatures tendues et comprimées à travailler dans le domaine plastique pour assurer une section en béton armé économique qui aura une rupture lente et qui donne des avertissements en cas de ruine.
Cette analyse sur laquelle l’étude comparative est basée, utilise une méthode analytique longue, qui fait intervenir un ensemble de paramètres interdépendants (f
ck, f
yk, d’,--) et trois variables (M, A
stet A
sc: respectivement le moment et les sections d’armatures tendues et comprimées), donc il a été jugé plus bénéfique d’associer au traitement analytique un traitement graphique en élaborant des abaques à trois entrées, développés dans le but d’être exploités dans cette comparaison, ces abaques sont faciles et rapides à utiliser avec moins de risque d’erreurs.
Le calcul proprement dit s’avère laborieux et nécessite l’apport d’un outil informatique. Dans ce sens un programme de calcul informatique proposé pour la réalisation de ces abaques, existait sous le logiciel QBASIC, mais dans ce travail il a été utilisé sous le logiciel MATLAB.
Afin de déduire directement les GAINS réalisés par (BSA) par rapport au (BOA) et exploiter un plus grand nombre de variantes de paramètres en prenant en considération leurs incidences sur ces GAINS, un autre programme de calcul informatique a été développé sous logiciel MATLAB, ce programme donne de meilleurs résultats et minimise encore plus le risque d’erreurs.
Cette étude se termine par une estimation des GAINS réalisés par la section de (BSA) par rapport à la section de (BOA), en plus des conclusions.
Mots clés : Béton de Sable Armé, Béton Ordinaire Armé, Flexion simple, Comparaison.
9
ABSTRACT
(BOA)’s and (BSA)’s Beams Elements in simple bending:
Comparative Study
The compilation of concrete is very extensive; a designer that holds sand concrete like material for a building element has an approach of thought concrete.
This study aimed to estimate the BENEFIT that can bring a reinforced concrete sand (RCS) compared to ordinary reinforced concrete (ORC) by comparison between two concretes, it is based on the analysis of a section of a beam in reinforced concrete subjected to the simple bending at the ultimate limit state.
The choice of steel and concrete stress-strain diagrams is essential, because the objective of a designer is the optimal use of these materials.
In order that materials reach their maximum, the study must be conducted at the ultimate limit state of resistance by crushing concrete, namely the Pivot-B, which corresponds to a relative deformation of the most compressed fibber of concrete reaching its maximum ɛ
cu, at the same time getting stretched and compressed frames to work in plastic domain to ensure an economic section reinforced concrete that will have a slow break and gives warnings in case of ruin.
The analysis on which the comparative study is based, uses a long analytical method, which
involves a set of interdependent parameters (f
ck, f
yk, d’,...) and three variables (M, A
st, and A
sc: respectively the bending moment, compressed and stretched steel sections), so it was
considered more beneficial to associate with analytical processing graphic treatment by developing charts three-input developed to be used in this comparison, these charts are easy and fast to use with less risk of errors.
The actual calculation is laborious and requires the input of a tool. In this sense a program computation proposed for the realization of these chart, existed under the QBASIC software, but in this work it has been used under the MATLAB software.
In order to directly deduct the BENEFIT made by (RCS) over the (ORC) and operate a greater number of variants of parameters taking into account their impact on these BENEFITS, another computer calculation program has been developed under MATLAB software, this program gives better results and minimizes even more the risk of errors.
This study ends with an estimate of the BENEFITS made by (RCS) section compared to the (ORC) section, in addition to the conclusions.
Keywords: Sand Reinforced Concrete, Ordinary Reinforced Concrete, Simple bending.
10
صـخـلـمـلا
دفاورلل طيسبلا ءانحنلإا ةحلسملا ةيداعلا ةناسرخلا نم
و ةحلسملا ةيلمرلا ةناسرخلا :
ةنراقم ةسارد
ةناسرخلا عاونأ ةعساو
و ،قاطنلا لل
ممصم ةيلمرلا ةناسرخلا راتخي يذلا ةدامك
ةقيرط ءانب ةيداع ريكفت
.
ت ةساردلا فده ةيلاحلا
نأ نكمي يتلا بساكملا ريدقت ىلإ تت
ققح ةحلسملا ةيلمرلا ةناسرخلا لامعتساب (
) BSA ةنراقم
ةحلسملا ةيداعلا ةناسرخلاب (BOA)
كلذ و ةنراقمب نيعونلا نيذه ةناسرخلا نم
و ت ىلع دنتس نم ةدفارل عطقم
ةناسرخلا
ةحلسملا لإل ةضرعم ءانحن
لا طيسب يئاهنلا دحلا ةلاح يف .
ربتعي رايتخا تانايب داهجلإا – ل هوشتلا ةناسرخل ديدحلا و
يرورض ف
فده لا داوملا هذهل لثملأا مادختسلاا وه ممصم .
ا غلبت نأ لجأ نم ىصقلأا دحلا داومل
ب موقن ةساردلا يئاهنلا دحلا ةلاح يف ل
قحسب ةمواقمل ةناسرخلا
يأ يذلا ،ب روحملا
لثمي لا هوشت لا يبسن اطاغضنا رثكلأا عطقملل لا نم
ةناسرخ ي و ىصقلأا دحلا ىلإ لص ɛ
cuهسفن تقولا يفو ، لعج بجي
ةدمملا و ةطغضنملا عطاقملا لاجملا يف لمعت
كيتسلابلا لجأ نم ي نامض
عطق نم لا ةناسرخ لا م ةحلس يداصتقا ة ف نوكي اهل
رايهنا دوجو ةلاح يف تاريذحتلا يطعيو ءيطب رايهنلإا
.
نإ يذلا ليلحتلا ت
دنتس هيلع ةسارد لا بولسأ مدختسي ،ةنراقم ا
يليلحت ا لايوط يذلا ، رابتعلاا نيعب ذخأي عم نم ةعومجم
ا م لا ت
ةطبارتم (fck, fyk, d’,--)
ةثلاثلا تاريغتملاو (
M A
st, A
scيلاوتلا ىلع
ةدمملا و ةطغضنملا ديدح عطاقم و مزعلا ، (
ةدئاف رثكأ ربتعي هنأ ثيح عمج
ةيليلحتلا ةجلاعملا ةينايب ةجلاعمب
بت تاذ ةينايب تاططخم ريضح ةثلاث
دم ا خ لي تعضو
ةعيرسو ةلهس تاططخملا هذه ،ةنراقملا هذه يف اهمادختسلا ا
لا مادختس عم ةضرع لقأ ل ءاطخلأ .
لمعلا ربتعي هتاذ دحب
قاش ا و ةادأ لاخدإ بلطت .
و نعملا اذه يف ى
حارتقا مت ح جمانرب
ا س و ب ي ةدوجوم ،تاططخملا هذه قيقحتل
جمانربلا نمض QBASIC
جمانرب تحت تمدختسا دق لمعلا اذه يف نكل ، MATLAB
.
نم لجأ لوصحلا ةرشابم
ىلع ققح يتلا بساكملا ت
اه نم ةرضحملا عطاقملا (
) BSA نم ةرضحملاب ةنراقم (BOA)
لامعتسا و عملل تاريغتملا نم ربكأ ددع
ا م لا رتويبمك باسح جمانرب عضو مت ،بساكملا هذه ىلع اهريثأت ةاعارم عم ت رخ
رب نمض ان جم MATLAB يف عوقولا رطخ نم للقيو ،لضفأ جئاتن يطعي جمانربلا اذه ،
لأا ءاطخ .
نو ن ذه يه ه ةساردلا ب ريدقت ا اهققح يتلا بساكمل نم ةرضحملا عطاقملا
( ) BSA نم ةرضحملاب ةنراقم (BOA)
، ةفاضلإاب
يتلا جئاتنلا ىلإ لا مت
اهيلإ لصوت .
ةيحاتفملا تاملكلا :
ةناسرخلا ةناسرخلا ،ةيلمرلا ةحلسملا
ةنراقملا ،طيسبلا ءانحنلإا ،ةيداعلا ةحلسملا
.
11
LISTE DES NOTATIONS
Ac aire de la section du béton comprimé qui est fonction de x.
AN Axe neutre (axe des déformations ou des contraintes nulles).
Asc section des armatures comprimées.
Ast section des armatures tendues.
Au aire utile de la section de béton.
b largeur d’une section rectangulaire de béton armé.
b(x) largeur d’une section non usuelle (section trapézoïdale) de béton armé.
(BOA) Section en Béton Ordinaire Armé.
(BSA) Section en Béton de Sable Armé.
d hauteur utile de la section, c’est la distance entre la fibre la plus comprimée du béton et le centre de gravité des armatures tendues.
d’ enrobage des armatures comprimées, c’est la distance entre la fibre la plus comprimée du béton et le centre de gravité des armatures comprimées.
ELU État Limite Ultime.
Es module d’élasticité des aciers.
fc
28résistance caractéristique du béton en compression à 28 jours.
fck résistance caractéristique du béton en compression.
fsc résistance des aciers comprimés correspondant à ɛsc.
fst résistance des aciers tendus correspondant à ɛst.
fyk résistance caractéristique des aciers (résistance à l’écoulement des aciers).
Fc Résultante des forces de compression dans le béton.
Fsc Résultante des forces de compression dans les aciers.
Fst Résultante des forces de traction dans les aciers.
h hauteur totale de la section de béton armé.
k coefficient du rapport entre la largeur inférieure et supérieure de la section trapézoïdale.
k1 coefficient de remplissage du bloc de contraintes ‘Parabole-Rectangle’ du béton comprimé.
k2 coefficient de positionnement du centre de gravité du bloc de contraintes du béton comprimé.
K Coefficient correspondant au Moment reduit externe appliqué à la section en béton armé.
Keq Coefficient correspondant au Moment reduit ultime de la section équilibrée (ou correspondant au Moment capable de la section en béton armé).
M Moment externe appliqué à la section en béton armé.
Meq Moment ultime de la section équilibrée (ou Moment capable de la section en béton armé).
Mu Moment ultime de la section en béton armé.
Mu/(bd²) Moment ultime réduit de la section en béton armé.
x profondeur de l’axe neutre, c’est la distance entre la fibre la plus comprimée du béton et l’axe neutre.
xeq profondeur de l’axe neutre de la section équilibrée suivant l’EUROCOD2.
Z bras de levier entre le centre de gravité des armatures tendues (Ast) et le centre de gravité de la section du béton comprimé (Ac).
Zeq bras de levier de la section équilibrée.
ρ taux d’armatures tendues d’une section en béton armé.
ρ’ taux d’armatures comprimées d’une section en béton armé.
ρeq taux d’armatures tendues de la section équilibrée.
12 ρcr taux d’armatures tendues de la section critique.
ρ
reeltaux d’armatures tendues réel d’une section en béton armé.
ɛcu déformation relative ultime de la fibre la plus comprimée du béton.
ɛy déformation relative à l’écoulement des aciers.
ɛcr déformation relative critique des aciers pour Diagramme Tri-linéaire.
ɛsc déformation relative des aciers comprimés.
ɛst déformation relative des aciers tendus.
Ɣc coefficient de sécurité du béton.
Ɣs coefficient de sécurité des aciers.
13
LISTE DES FIGURES
Figure (2.1):
Cylindre et Cube pour le Contrôle de la Résistance à la compression du Béton.Figure (2.2):
Diagramme PARABOLE-RECTANGLEde Contraintes-Déformations du Béton IdéaliséFigure (2.3):
Blocs de Contraintes Parabole-Rectangle et Rectangle-Équivalent du Béton Comprimé.Figure (2.4):
Blocs de Contraintes Parabole-Rectangle et Rectangle-Simplifié du Béton Comprimé.Figure (2.5):
Diagrammes Expérimentaux Contraintes-Déformations desAciers.D’aprèsl’EUROCODE2.Figure (2.6):
Diagramme Expérimental Contraintes-Déformations des Aciers. D’après le CP110.Figure (2.7):
Diagramme de calcul Contraintes-Déformations des Aciers. D’après l’EUROCODE2.Diagramme Bilinéaire.
Figure (2.8):
Diagramme de calcul Contraintes-Déformations des Aciers. D’après le CP110.Diagramme Tri-linéaire.
Figure (2.9):
Diagramme Tri-linéaire des Contraintes-Déformations des Aciers Avec représentation des constantes F et G.Figure (2.10):
Diagramme des Trois Pivots.Figure (3.1):
Bloc de contraintes Parabole-Rectangle plus Bloc Rectangle-Équivalent d’une Section en Béton Armé.Figure (3.2):
Section quelconque en Béton Armé - Doublement Armée - en flexion simple à l’ELU (moment ultime).Figure (3.3):
Section quelconque en Béton Armé - Simplement Armée - en flexion simple à l’ELU (moment ultime).Figure (3.4):
Section rectangulaire en Béton Armé - Simplement Armée - en flexion simple à l’ELU (moment ultime).Figure (3.5):
Diagramme Bilinéaire et Diagramme Tri-linéaire des Contraintes-Déformations des Aciers Et représentation de l’équation fst = A / (B + ɛst)Figure (3.6):
Section rectangulaire Sous-Armée Avec représentation du Diagramme des Contraintes- Déformations des Aciers.Figure (3.7):
Section rectangulaire Équilibrée Avec représentation du Diagramme des Contraintes- Déformations des Aciers.Figure (3.8):
Section rectangulaire SurArmée Avec représentation du Diagramme des Contraintes- Déformations des Aciers.Figure (3.9):
Section quelconque en Béton Armé - Doublement Armée - en flexion simple à l’ELU (ferraillage).Figure (3.10):
Section quelconque équilibrée en Béton Armé (moment capable).Figure (3.11):
Représentation des positions de la profondeur de l’axe neutre (x/d) et du taux d’armatures tendues (ρ) par rapport aux diagrammes de contraintes-déformations des aciers.Figure (3.12):
Section rectangulaire équilibrée en Béton Armé (moment capable).Figure (3.13):
Section quelconque en Béton Armé – Simplement Armée - en flexion simple à l’ELU (ferraillage).Figure (3.14):
Section rectangulaire en Béton Armé - Simplement Armée - en flexion simple à l’ELU (ferraillage).Figure (3.15):
Section quelconque en Béton Armé - Doublement Armée - en flexion simple à l’ELU (ferraillage).Figure (3.16):
Section rectangulaire en Béton Armé - Doublement Armée - en flexion simple à l’ELU (ferraillage).Figure (4.1): 1 Section rectangulaire en Béton Armé (BOA) - Doublement Armée - en flexion simple à l’ELU (moment ultime).
Figure (4.2): 1 Section rectangulaire en Béton Armé (BOA) - Simplement Armée - en flexion simple à l’ELU (moment ultime).
Figure (4.3): 1 Section rectangulaire en Béton Armé (BOA) - Simplement Armée - en flexion simple à l’ELU (ferraillage).
Figure (4.4): 1 Bras de levier (Z/d) en fonction de (K) pour (BOA).
14 Figure (4.5): 1 Section rectangulaire en Béton Armé (BOA) - Doublement Armée - en flexion simple à l’ELU (ferraillage).
Figure (4.6): 1 Section rectangulaire en Béton Armé (BSA) - Doublement Armée - en flexion simple à l’ELU (moment ultime).
Figure (4.7): 1 Section rectangulaire en Béton Armé (BSA) - Simplement Armée - en flexion simple à l’ELU (moment ultime).
Figure (4.8): 1 Section rectangulaire en Béton Armé (BSA) - Simplement Armée - en flexion simple à l’ELU (ferraillage).
Figure (4.9): 1 Bras de levier (Z/d) en fonction de (K) pour (BSA).
Figure (4.10): 1 Section rectangulaire en Béton Armé (BSA) - Doublement Armée - en flexion simple à l’ELU (ferraillage).
Figure (5.1): Section trapézoïdale (k=b2/b1) d’une poutre en béton armé.
Figure (5.2): 1 Section rectangulaire (k=1) d’une poutre en béton armé.
Figure (5.3): Section trapézoïdale (k=0.5) d’une poutre en béton armé.
Figure (5.4): 1 Section triangulaire (k=0) d’une poutre en béton armé.
Figure (5.5): 1 ABAQUE à Trois Entrées de (M/bd²) en fonction de (ρ) et (ρ’) pour une section Rectangulaire (BOA) : EC2-Diagramme Bilinéaire
Figure (5.6): 1 ABAQUE à Trois Entrées de M/bd² en fonction de ρ et ρ’ pour une section Trapézoïdale (BOA) : EC2-Diagramme Bilinéaire
Figure (5.7): 1 ABAQUE à Trois Entrées de M/bd² en fonction de ρ et ρ’ pour une section Triangulaire (BOA) : EC2-Diagramme Bilinéaire
Figure (5.8): 1 ABAQUE à Trois Entrées de M/bd² en fonction de ρ et ρ’ pour une section Rectangulaire (BSA) : EC2-Diagramme Bilinéaire
Figure (5.9): 1 ABAQUE à Trois Entrées de M/bd² en fonction de ρ et ρ’ pour une section Trapézoïdale (BSA) : EC2-Diagramme Bilinéaire
Figure (5.10): 1 ABAQUE à Trois Entrées de M/bd² en fonction de ρ et ρ’ pour une section Triangulaire (BSA) : EC2-Diagramme Bilinéaire
Figure (5.11*): 1 Image d’un Abaque à trois entrées appartenant au code (CP110) et Abaque à trois entrées réalisé par le programme de calcul informatique (I) proposé pour une section rectangulaire (BOA).
Figure (5.12*): 1 Image d’un Abaque à trois entrées appartenant au code (EUROCODE2) et Abaque à trois entrées réalisé par le programme de calcul informatique (I) proposé pour une section rectangulaire (BOA).
Figure (5.11): 1 Abaque à trois entrées de (M/bd²) en fonction de (ρ) et (ρ’) pour une section rectangulaire (BOA).
Figure (5.12): 1 représentant le Diagramme Bilinéaire plus la courbe représentant (fst=A/(B+ɛst)) en fonction de (ɛst)-(BOA)
Figure (5.13): 1 Abaque à trois entrées de M/(bd²) en fonction de ρ et ρ’ pour une section rectangulaire (BSA).
Figure (5.14): 1 représentant le Diagramme Bilinéaire plus la courbe représentant (fst=A/(B+ɛst)) en fonction de (ɛst)-(BSA).
Figure (6.1): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45)-Paramètre (Diag. d’Aciers)- Diagramme Bilinéaire - Diagramme Tri-linéaire
Figure (6.2): 1%GAINS pour -Paramètre (Diag. d’Aciers)- (xeq/d=Xeqth-b) Diagramme Bilinéaire - (xeq/d=Xeqth-t) Diagramme Tri-linéaire
Figures (6.3) et (6.4): 1 Respectivement %GAINS (BOA) et %GAINS (BSA) (xeq/d=0.45) de (BOA) avec (fck=30MPa)/(BOA) avec (fck=20MPa) et de (BSA) avec
(fck=30MPa)/(BSA) avec (fck=20MPa) Diagramme Bilinéaire et Tri-linéaire Paramètre (
fck)
15 Figures (6.5) et (6.6): 1 Respectivement %GAINS (BOA) et %GAINS (BSA) (xeq/d=
Xeqth) de (BOA) avec (fck=30MPa)/(BOA) avec (fck=20MPa) et de (BSA) avec
(fck=30MPa)/(BSA) avec (fck=20MPa) Diagramme Bilinéaire et Tri-linéaire Paramètre (
fck) Tableau (6.13) et Figure (6.7): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Diagramme Bilinéaire
Paramètre (fck)
Tableau (6.14) et Figure (6.8): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Diagramme Tri-linéaire Paramètre (fck)
Tableau (6.15) et Figure (6.9): 1%GAINS pour (xeq/d= Xeqth-b) Diagramme Bilinéaire Paramètre (fck)
Tableau (6.16) et Figure (6.10): 1%GAINS pour (xeq/d= Xeqth-t) Diagramme Tri-linéaire Paramètre (fck)
Figures (6.11) et (6.12): 1 Respectivement %GAINS (BOA) et %GAINS (BSA) (x
eq/d=
0.45
) de (BOA) avec (fyk=500MPa)/(BOA) avec (fyk=400MPa) et de (BSA) avec (fyk=500MPa)/(BSA) avec (fyk=400MPa) Diagramme Bilinéaire et Tri-linéaire Paramètre (fyk)
Figures (6.13) et (6.14): 1 Respectivement %GAINS (BOA) et %GAINS (BSA)
(
x
eq/d=X
eqth)de (BOA) avec (fyk=500MPa)/(BOA) avec (fyk=400MPa) et de (BSA) avec (fyk=500MPa)/(BSA) avec (fyk=400MPa) Diagramme Bilinéaire et Tri-linéaire Paramètre (fyk)
Tableau (6.25) et Figure (6.15): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Diagramme Bilinéaire Paramètre (fyk)
Tableau (6.26) et Figure (6.16): 1%GAINS pour (xeq/d=Xeqth-b) Diagramme Bilinéaire Paramètre (fyk)
Tableau (6.27) et Figure (6.17): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Diagramme Tri-linéaire - Paramètre (fyk)-
Tableau (6.28) et Figure (6.18): 1%GAINS pour (xeq/d=Xeqth-t) Diagramme Tri-linéaire Paramètre (fyk)
Figure (6.19): 1%GAINS pour (xeq/d= 0.45) Diagramme Bilinéaire -Parmètre (d'/d)-.
Figure (6.20): 1%GAINS pour (xeq/d= Xeqth-b) Diagramme Bilinéaire -Paramètre (d'/d)-.
Figure (6.21): 1%GAINS pour (xeq/d=Xeqth-t) Diagramme Tri-linéaire -Paramètre (d'/d)-.
Figure (6.15*): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Diagramme Bilinéaire -Paramètre (d’/d)- Tableau (6.25a**) et Figure (6.15a): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Diagramme Bilinéaire Paramètre (d’/d)
Figure (6.7*): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Diagramme Bilinéaire -Paramètre (d’/d)- Figures (6.22) et (6.23): 1 Respectivement %GAINS pour Paramètre (xeq/d=0.35-0.45-0.5- Xeqth-b-Xeqth-t) Diagramme Bilinéaire et pour Paramètre (xeq/d= 0.35-0.45-0.5- (X
eqth-t)- (X
eqth-b)) Diagramme Tri-linéaire
Figure (6.24): 1%GAINS -Paramètre (xeq/d)- Pour Diagramme Bilinéaire: (BOA) : (xeq/d=0.35-0.45-0.35-(Xeqth-b)) respectivement (BSA):(xeq/d=0.45-0.5-0.5-(Xeqth-b)) et Pour Diagramme Tri-linéaire:(BOA):(xeq/d=0.35-(Xeqth-t)) respectivement
(BSA):(xeq/d=0.5-(Xeqth-t))
Tableau (6.41) et Figure (6.25): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) respectivement Section Rectangulaire et Sections: Triangulaire-Trapézoïdal-Rectangulaire -Paramètre (forme des sections)-
Taleau (6.44) et Figure (6.26): 1%GAINS pour (xeq/d=(Xeqth-b)) respectivement Section Rectangulaire et Sections:Triangulaire - Trapézoïdale – Rectangulaire -Paramètre (forme des sections)-
Figures (6.27) et (6.28): 1 Abaque à trois entrées d’une section rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA) plus la courbe représentant le ferraillage optimal (RO1) (fck=20MPa,
fyk=400MPa, d’/d=0.1)
16 Figures (6.29) et (6.30): 1 Abaque à trois entrées d’une section rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA) plus la courbe représentant le ferraillage optimal (RO1) (fck=30MPa,
fyk=400MPa, d’/d=0.1)
Figures (6.31) et (6.32): 1 Abaque à trois entrées d’une section rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA) plus la courbe représentant le ferraillage optimal (RO1) (fck=20MPa,
fyk=500MPa, d’/d=0.1)
Tableau (6.57) et Figure (6.33): 1 Respectivement %GAINS (BSA)/(BOA) pour (xeq/d=0.45) et courbe représentant le ferraillage optimal (ρ) et (ρ+ρ’) correspondant à (M/bd²) de (BOA) et (BSA) (fck=20MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1)
Tableau (6.58) et Figure (6.34): 1 Respectivement %GAINS (BSA)/(BOA) pour (xeq/d=0.45) et courbe représentant le ferraillage optimal (ρ) et (ρ+ρ’) correspondant à (M/bd²) de (BOA) et (BSA) (fck=30MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1)
Tableau (6.59) et Figure (6.35): 1 Respectivement %GAINS (BSA)/(BOA) pour (xeq/d=0.45) et courbe représentant le ferraillage optimal (ρ) et (ρ+ρ’) correspondant à (M/bd²) de (BOA) et (BSA) (fck=20MPa, fyk=500MPa, d’/d=0.1)
Figures (6.33*) et (6.33**): 1 Le ferraillage optimal (ρ+ρ’) respectivement pour sections - R-(fck=20MPa) et pour sections -R-Z-T-(fck=30MPa), (BOA) et (BSA), en fonction de (K/Keq-BOA-R-fck20) (fyk=400MPa, d’/d=0.1)
Figures (6.34*) et (6.34**): 1 Le ferraillage optimal (ρ+ρ’) respectivement pour sections - R-(d’/d=0.15) et pour sections -R-(d’/d=0.2), (BOA) et (BSA), en fonction de (K/Keq-BOA- R-fck20) (fck=20MPa, fyk=400MPa)
Figures (6.35*) et (6.35**): 1 Le ferraillage optimal (ρ+ρ’) respectivement pour sections - R-(d’/d=0.1) et pour sections -R-(d’/d=0.2), (BOA) et (BSA), en fonction de (K/Keq-BOA- R-fck20) (fck=20MPa, fyk=500MPa)
Figures (6.33#) et (6.34#): 1 Le ferraillage optimal (ρ+ρ’) respectivement pour sections -R- (d’/d=0.1) et pour sections -R-(d’/d=0.2), (BOA) et (BSA), en fonction de (K/Keq-BOA-R- fck20) (fck=30MPa, fyk=400MPa)
Figures (6.35#) et (6.36#): 1 Le ferraillage optimal (ρ+ρ’) respectivement pour sections -R- (d’/d=0.1) et pour sections -R-(d’/d=0.2), (BOA) et (BSA), en fonction de (K/Keq-BOA-R- fck20) (fck=30MPa, fyk=500MPa)
Figures (6.36) et (6.37): 1Representation de (K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=30MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1) Diagramme Bilinéaire.
Figures (6.38) et (6.39): 1 Représentation des %GAINS en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=30MPa,
fyk=400MPa, d’/d=0.1) Diagramme Bilinéaire.
Figures (6.40) et (6.41): 1 Representation de (K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=20-30-40MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1 et (ρ’)=0%) Diagramme Bilinéaire.
Figures (6.42) et (6.43): 1 Representation de (K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=20-30-40MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1 et (ρ’)=1%) Diagramme Bilinéaire.
Figures (6.44) et (6.45): 1 Representation de (K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=20-30-40MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1 et (ρ’)=4%) Diagramme Bilinéaire.
Figures (6.46) et (6.47): 1 Representation des GAINS en fonction de (K/Keq(20)) d’une
Section Rectangulaire respectivement (BOA) avec (fck=30MPa)/(BOA) avec (fck=20MPa)
et (BSA) avec (fck=30MPa)/(BSA) avec (fck=20MPa), (fyk=400MPa, d’/d=0.1) Diagramme
Bilinéaire.
17 Figures (6.48) et (6.49): 1 Representation des GAINS en fonction de (K/Keq(20)) d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) avec (fck=40MPa)/(BOA) avec (fck=20MPa) et (BSA) avec (fck=40MPa)/(BSA) avec (fck=20MPa), (fyk=400MPa, d’/d=0.1) Diagramme Bilinéaire.
Figures (6.50) et (6.51): 1 Representation de (K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=30MPa, fyk=400- 500MPa, d’/d=0.1 et (ρ’)=0%) Diagramme Bilinéaire.
Figures (6.52) et (6.53): 1 Representation de (K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=30MPa, fyk=400- 500MPa, d’/d=0.1 et (ρ’)=1%) Diagramme Bilinéaire.
Figures (6.54) et (6.55): 1 Representation de (K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=30MPa, fyk=400- 500MPa, d’/d=0.1 et (ρ’)=4%) Diagramme Bilinéaire.
Figures (6.56) et (6.57): 1 Representation des GAINS en fonction de (K/Keq(500)) d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) avec (fyk=500MPa)/(BOA) avec
(fyk=400MPa) et (BSA) avec (fyk=500MPa)/(BSA) avec (fyk=400MPa), (fck=30MPa,
d’/d=0.1) Diagramme Bilinéaire.
18
LISTE DES TABLEAUX
Tableau (2.1): 1 Classes de résistances du Béton.
Tableau (4.1): 1 Bras de levier (Z/d) en fonction de (K) pour (BOA).
Tableau (4.2): 1 Bras de levier (Z/d) en fonction de (K) pour (BSA).
Tableau (5.1): 1 Moment ultime réduit (Mu/bd²) en fonction du taux d’armatures tendues (ρ) et comprimées (ρ’) pour une section rectangulaire (BOA).
Tableau (5.2): 1 résistances des aciers (fs) en fonction de (ɛs) Diagramme Bilinéaire plus (fst=A/(B+ɛst)) en fonction de (ɛst) - (BOA)
Tableau (5.3): 1 Moment ultime réduit Mu/(bd²) en fonction du taux d’armatures tendues (ρ) et comprimées (ρ’) pour une section rectangulaire (BSA).
Tableau (5.4): 1 résistances des aciers (fs) en fonction de (ɛs) Diagramme Bilinéaire plus (fst=A/(B+ɛst)) en fonction de (ɛst) - (BSA).
Tableaux (6.1) et (6.2): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Respectivement Diagramme Bilinéaire et Diagramme Tri-linéaire -Paramètre (Diag. d’Aciers)-
Tableaux (6.3) et (6.4): 1%GAINS Respectivement Diagramme Bilinéaire pour (xeq/d=
Xeqth-b) et Diagramme Tri-linéaire pour (xeq/d= Xeqth-t) -Paramètre (Diag. d’Aciers)- Tableaux (6.5) et (6.6): 1 Respectivement %GAINS de (BOA) avec (fck=30MPa)/(BOA) avec (fck=20MPa) et %GAINS de (BSA) avec (fck=30MPa)/(BSA) avec (fck=20MPa) pour (xeq/d= 0.45) Diagramme Bilinéaire -Paramètre (fck)-
Tableaux (6.7) et (6.8): 1 Respectivement %GAINS de (BOA) avec (fck=30MPa)/(BOA) avec (fck=20MPa) et %GAINS de (BSA) avec (fck=30MPa)/(BSA) avec (fck=20MPa) pour (xeq/d= 0.45) Diagramme Tri-linéaire -Paramètre (fck)-
Tableaux (6.9) et (6.10): 1 Respectivement %GAINS de (BOA) avec (fck=30MPa)/(BOA) avec (fck=20MPa) et %GAINS de (BSA) avec (fck=30MPa)/(BSA) avec (fck=20MPa) pour (xeq/d= Xeqth-b) Diagramme Bilinéaire -Paramètre (fck)-
Tableaux (6.11) et (6.12): 1 Respectivement %GAINS de (BOA) avec
(fck=30MPa)/(BOA) avec (fck=20MPa) et %GAINS de (BSA) avec (fck=30MPa)/(BSA) avec (fck=20MPa) pour (xeq/d= Xeqth-t) Diagramme Tri-linéaire -Paramètre (fck)- Tableau (6.13) et Figure (6.7): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Diagramme Bilinéaire - Paramètre (fck)-
Tableau (6.14) et Figure (6.8): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Diagramme Tri-linéaire - Paramètre (fck)-
Tableau (6.15) et Figure (6.9): 1%GAINS pour (xeq/d= Xeqth-b) Diagramme Bilinéaire - Paramètre (fck)-
Tableau (6.16) Figure (6.10): 1%GAINS pour (xeq/d= Xeqth-t) Diagramme Tri-linéaire - Paramètre (fck)-
Tableaux (6.17) et (6.18): 1 Respectivement %GAINS de (BOA) avec (fyk=500MPa)/(BOA) avec (fyk=400MPa) et %GAINS de (BSA) avec
(fyk=500MPa)/(BSA) avec (fyk=400MPa) pour (xeq/d= 0.45) Diagramme Bilinéaire Paramètre (fyk)
Tableaux (6.19) et (6.20): 1 Respectivement %GAINS de (BOA) avec (fyk=500MPa)/(BOA) avec (fyk=400MPa) et %GAINS de (BSA) avec
(fyk=500MPa)/(BSA) avec (fyk=400MPa) pour (xeq/d= 0.45) Diagramme Tri-linéaire Paramètre (fyk)
Tableaux (6.21) et (6.22): 1 Respectivement %GAINS de (BOA) avec (fyk=500MPa)/(BOA) avec (fyk=400MPa) et %GAINS de (BSA) avec
(fyk=500MPa)/(BSA) avec (fyk=400MPa) pour (xeq/d= Xeqth-b) Diagramme Bilinéaire
Paramètre (fyk)
19 Tableaux (6.23) et (6.24): 1 Respectivement %GAINS de (BOA) avec
(fyk=500MPa)/(BOA) avec (fyk=400MPa) et %GAINS de (BSA) avec
(fyk=500MPa)/(BSA) avec (fyk=400MPa) pour (xeq/d= Xeqth-t) Diagramme Tri-linéaire Paramètre (fyk)
Tableau (6.25) et Figure (6.15): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Diagramme Bilinéaire Paramètre (fyk)
Tableau (6.26) et Figure (6.16): 1%GAINS pour (xeq/d=Xeqth-b) Diagramme Bilinéaire Paramètre (fyk)
Tableau (6.27) et Figure (6.17): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Diagramme Tri-linéaire Paramètre (fyk)
Tableau (6.28) et Figure (6.18): 1%GAINS pour (xeq/d=Xeqth-t) Diagramme Tri-linéaire Paramètre (fyk)
Tableaux (6.29) et (6.30): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45), Diagramme Bilinéaire et (fck = 20MPa, fyk = 400MPa) respectivement pour Paramètre (d’/d=0.15) et Paramètre (d’/d=0.2) Tableaux (6.31) et (6.32): 1%GAINS pour (xeq/d=Xeqth-b), Diagramme Bilinéaire et (fck
= 20MPa, fyk = 400MPa) respectivement pour Paramètre (d’/d=0.15) et Paramètre (d’/d=0.2) Tableaux (6.33) et (6.34): 1%GAINS pour (xeq/d=Xeqth-t), Diagramme Bilinéaire et (fck
= 20MPa, fyk = 400MPa) respectivement pour Paramètre (d’/d=0.15) et Paramètre (d’/d=0.2) Tableaux (6.25*) et (6.25**): 1 %GAINS pour (xeq/d=0.45), Diagramme Bilinéaire et (fck
= 20MPa, fyk = 500MPa) respectivement pour Paramètre (d’/d=0.15) et Paramètre (d’/d=0.2) Tableaux (6.25a) et (6.25a*): 1 %GAINS pour (xeq/d=0.45), Diagramme Bilinéaire respectivement (fck = 30MPa, fyk = 500MPa) pour Paramètre (d’/d=0.15) et Paramètre (d’/d=0.2)
Tableau (6.25a**) et Figure (6.15a): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) Diagramme Bilinéaire (fck = 30MPa, fyk = 500MPa) Paramètre (d’/d)
Tableaux (6.13*) et (6.13**): 1 %GAINS pour (xeq/d=0.45), Diagramme Bilinéaire (fck
=30MPa, fyk =400MPa) respectivement pour Paramètre (d’/d=0.15) et Paramètre (d’/d=0.2) Tableaux (6.35*) et (6.36*): 1%GAINS pour (xeq/d=0.35), et (fck=20MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1) respectivement Diagramme Bilinéaire et Diagramme Tri-linéaire -Paramètre (xeq/d)-
Tableaux (6.37*) et (6.38*): 1%GAINS pour (xeq/d=0.5), et (fck=20MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1) respectivement Diagramme Bilinéaire et Diagramme Tri-linéaire -Paramètre (xeq/d)-
Tableaux (6.35) et (6.36): 1%GAINS (fck=20MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1) Diagramme Bilinéaire respectivement pour Paramètre (xeq/d=0.35) : (BOA) et (xeq/d=0.45) : (BSA) et pour Paramètre (xeq/d=0.45) : (BOA) et (xeq/d=0.5) : (BSA)
Tableaux (6.37) et (6.38): 1%GAINS (fck=20MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1) respectivement pour Paramètre (xeq/d=0.35) : (BOA) et (xeq/d=0.5) : (BSA) Diagramme Bilinéaire et pour Paramètre (xeq/d=0.35) : (BOA) et (xeq/d=0.5) : (BSA) Diagramme Tri-linéaire
Tableaux (6.39) et (6.40): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45), (fck=30MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1), Diagramme Bilinéaire respectivement Paramètre (forme de Section=Triangulaire) et Paramètre (forme de Section=Trapézoïdale)
Tableau (6.41) et Figure (6.25): 1%GAINS pour (xeq/d=0.45) respectivement Section Rectangulaire et Sections: Triangulaire-Trapézoïdal-Rectangulaire -Paramètre (forme des sections)-
Tabeaux (6.42) et (6.43): 1%GAINS pour (xeq/d=Xeqth-b), (fck=30MPa, fyk=400MPa,
d’/d=0.1), Diagramme Bilinéaire respectivement Paramètre (forme de Section=Triangulaire)
et Paramètre (forme de Section=Trapézoïdale)
20 Taleau (6.44) et Figure (6.26): 1%GAINS pour (xeq/d=(Xeqth-b)) respectivement Section Rectangulaire et Sections:Triangulaire - Trapézoïdale - Rectangulaire -Paramètre (forme des sections)-
Tableaux (6.45) et (6.46): 1(M/bd²) en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une section rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA) pour le traçage de l’abaque à trois entrées Paramètres (fck=20MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1).
Tableaux (6.47) et (6.48): 1 Ferraillage Optimal (ρ), (ρ’) et (ρ+ρ’) pour (M/bd²) donné d’une section rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA) Paramètres (fck=20MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1).
Tableaux (6.49) et (6.50): 1(M/bd²) en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une section rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA) pour le traçage de l’abaque à trois entrées Paramètres (fck=30MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1).
Tableaux (6.51) et (6.52): 1 Ferraillage Optimal (ρ), (ρ’) et (ρ+ρ’) pour (M/bd²) donné d’une section rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA) Paramètres (fck=30MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1).
Tableaux (6.53) et (6.54): 1(M/bd²) en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une section rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA) pour le traçage de l’abaque à trois entrées Paramètres (fck=20MPa, fyk=500MPa, d’/d=0.1).
Tableaux (6.55) et (6.56): 1 Ferraillage Optimal (ρ), (ρ’) et (ρ+ρ’) pour (M/bd²) donné d’une section rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA) Paramètres (fck=20MPa, fyk=500MPa, d’/d=0.1).
Tableau (6.57) et Figure (6.33): 1 Respectivement %GAINS (BSA)/(BOA) pour (xeq/d=0.45) et courbe représentant le ferraillage optimal (ρ) et (ρ+ρ’) correspondant à (M/bd²) de (BOA) et (BSA) (fck=20MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1)
Tableau (6.58) et Figure (6.34): 1 Respectivement %GAINS (BSA)/(BOA) pour (xeq/d=0.45) et courbe représentant le ferraillage optimal (ρ) et (ρ+ρ’) correspondant à (M/bd²) de (BOA) et (BSA) (fck=30MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1)
Tableau (6.59) et Figure (6.35): 1 Respectivement %GAINS (BSA)/(BOA) pour (xeq/d=0.45) et courbe représentant le ferraillage optimal (ρ) et (ρ+ρ’) correspondant à (M/bd²) de (BOA) et (BSA) (fck=20MPa, fyk=500MPa, d’/d=0.1)
Tableaux (6.60) et (6.61): 1(K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=30MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1)
Diagramme Bilinéaire.
Tableaux (6.62) et (6.63): 1%GAINS en fonction de (ρ) et (ρ’) d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=30MPa, fyk=400MPa, d’/d=0.1)
Diagramme Bilinéaire.
Tableaux (6.64) et (6.65): 1(K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) et %GAINS d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=20-30-40MPa,
fyk=400MPa, d’/d=0.1 et (ρ’)=0%) Diagramme Bilinéaire.
Tableaux (6.66) et (6.67): 1(K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) et %GAINS d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=20-30-40MPa,
fyk=400MPa, d’/d=0.1 et (ρ’)=1%) Diagramme Bilinéaire.
Tableaux (6.68) et (6.69): 1(K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) et %GAINS d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=20-30-40MPa,
fyk=400MPa, d’/d=0.1 et (ρ’)=4%) Diagramme Bilinéaire.
Tableaux (6.70) et (6.71): 1(K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) et %GAINS d’une Section
Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=30MPa, fyk=400-500MPa,
d’/d=0.1 et (ρ’)=0%) Diagramme Bilinéaire.
21 Tableaux (6.72) et (6.73): 1(K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) et %GAINS d’une Section Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=30MPa, fyk=400-500MPa, d’/d=0.1 et (ρ’)=1%) Diagramme Bilinéaire.
Tableaux (6.74) et (6.75): 1(K/Keq) en fonction de (ρ) et (ρ’) et %GAINS d’une Section
Rectangulaire respectivement (BOA) et (BSA), Paramètres (fck=30MPa, fyk=400-500MPa,
d’/d=0.1 et (ρ’)=4%) Diagramme Bilinéaire.
22
CHAPITRE 1
INTRODUCTION
GÉNÉRALE
23
INTRODUCTION GÉNÉRALE 1.1. GÉNÉRALITÉS :
La préoccupation de trouver de nouvelles ressources dans le domaine de la construction a amené les chercheurs à s’intéresser de nouveau aux bétons de sable.
D’après l’historique du béton de sable, il existait depuis très longtemps, mais seulement n’a pas évolué au même degré que le béton ordinaire.
L’intérêt de l’utilisation du béton de sable se situe dans la valorisation d’une ressource locale abondante et non exploitée, quelle que soit son origine (sables naturels ou de concassage), leur utilisation optimale sous forme de béton de sable est profitable à l’économie locale, ce béton de sable peut être considéré comme un matériau de substitution au béton ordinaire surtout pour fabriquer des bétons courants.
Cette étude consiste à la comparaison entre Béton Ordinaire Armé (BOA) et Béton de Sable Armé (BSA) pour apprécier le GAIN que peut apporter un (BSA) par rapport à un (BOA).
La comparaison est basée sur l’analyse d’une section en béton armé soumise à la flexion simple à l’ELU, suivant deux volets, soit la détermination du ferraillage optimal d’une section en béton armé non définie, soit la détermination du moment ultime d’une section en béton armé complètement définie, pour un ensemble de paramètres choisis (fck, fyk, d’/d,---), en considérant l’effet de chaque paramètre sur le comportement des sections, (BOA) et (BSA), ensuite sur les GAINS réalisés.
Il est difficile d’utiliser directement la méthode analytique et cerner tous les points essentiels de la comparaison entre les deux bétons, vu qu’il y a plusieurs paramètres interdépendants qui sont considérés dans cette étude, en plus des trois variables ((M/bd²), (ρ) et (ρ’) :
respectivement le moment réduit et les taux d’armatures tendues et comprimées ), pour cela un ensemble d’abaques à trois entrées reliant (Mu/bd²) à (ρ) et (ρ’) ont été développés en utilisant un programme de calcul informatique, afin de faciliter la comparaison entre les deux bétons par une simple lecture sur ces abaques, soit pour déduire le moment ultime réduit, soit pour déterminer le ferraillage optimal de la section considérée.
Pour renforcer cette comparaison et minimiser encore plus les risques d’erreurs, un autre programme de calcul informatique a été réalisé pour déduire directement les GAINS du (BSA) par rapport au (BOA).
1.2. PROBLÉMATIQUE :
Le ferraillage ou la détermination de la capacité flexionnelle d’une section en (BOA) peut se faire de manière analytique (développement d’équations permettant la détermination de As et As’ ou l’utilisation de la méthode d’essais successifs pour l’obtention de (Mp)), graphique (par le biais de développement d’abaques à trois entrées reliant le moment réduit (Mu/bd²) aux taux d’armatures (ρ) et (ρ’) qui sont des variables) ou à l’aide d’un algorithme (cas du BAEL).
La représentation graphique est réalisée par la variable (ρ) alors que la deuxième variable (ρ’) est prise comme paramètre.
Pour ce qui est des autres paramètres rentrant en ligne de compte à savoir (fcu), (fyu) et (d’/d) les courbes changent pour chaque ensemble de paramètres retenus. Ces approches ont été étendues au béton de sable armé prenant en compte sa grande déformabilité en atteignant 5‰
pour développer les équations qui donnent As et As’ ainsi que le développement graphique
d’abaques à trois entrées.
24 Dans le présent contexte, on se propose de mener une étude comparative entre des éléments en (BOA) et (BSA) soumis à la flexion simple des points de vue analytique et graphique.
Pour ce faire, la comparaison globale est difficile à cerner car elle doit concerner la comparaison entre plusieurs faisceaux de courbes et ces derniers varient pour chaque changement du groupe de paramètres retenus. Cette comparaison peut être tendancielle comme elle peut concerner un certain nombre de points de repères.
La présente thèse se propose de faire une comparaison d’ordre quantitatif et qualitatif.
1.3. PLAN DE TRAVAIL :
- Revue de littérature (thèses de Magistère ayant traité du sujet).
- Renforcement des connaissances théoriques.
- Maitrise et compréhension du programme développé pour la réalisation graphique.
- Réalisation d’un travail judicieux de superposition de courbes pour accomplir le travail de comparaison pour l’ensemble des paramètres influents.
- Étude des effets des différents paramètres influents à savoir fck, fyk, d’/d, nature du diagramme σ-ε des aciers, nature du bloc des contraintes.
- Conclusions avec éventuellement une étude technico-économique.
1.4. STRUCTURATION DU MÉMOIRE :
Le travail dans ce mémoire a été présenté sous forme de sept chapitres : CHAPITRE -1 :
Constitue l’introduction générale, il regroupe généralités, problématique et structuration du mémoire.
CHAPITRE -2 :
Donne les caractéristiques des matériaux, béton et aciers en plus du béton ordinaire armé (BOA) et du béton de sable armé (BSA).
CHAPITRE -3 :
Définit le traitement analytique d’une section en béton armé soumise à la flexion simple à l’ELU.
CHAPITRE -4 :
C’est une application du Chapitre -3, définit le développement des équations de base pour des sections en béton armé, béton ordinaire armé (BOA) et béton de sable armé (BSA), soumises à la flexion simple à l’ELU.
CHAPITRE -5 :
Définit le traitement graphique de sections en béton armé, béton ordinaire armé (BOA) et béton de sable armé (BSA), soumises à la flexion simple à l’ELU, qui se traduit par le développement d’abaques à trois entrées en utilisant le programme de calcul informatique (I) proposé en plus de la validation entre traitement analytique et graphique.
Le programme de calcul informatique (I) est basé sur un algorithme et un organigramme.
25 CHAPITRE -6 :
Premièrement la détermination des ferraillages optimaux par un programme informatique (II) basé sur un algorithme et un organigramme, puis l’estimation des GAINS en Aciers
d’armatures.
La détermination des GAINS en Capacité flexionnelle en se basant sur le programme informatique (I).
Des tableaux et des graphes regroupent les résultats des GAINS réalisés par les sections de béton armé, (BOA) et (BSA), pour chaque paramètre, puis les comparaisons entre les sections de béton armé et les commentaires.
CHAPITRE -7 :
Ce chapitre contient les conclusions générales de l’étude et les perspectives.
26
CHAPITRE 2
MATÉRIAUX BÉTON ET
ACIERS D’ARMATURES
27
MATÉRIAUX BÉTON ET ACIERS D’ARMATURES 2.1. INTRODUCTION :
Ce chapitre va présenter les principales caractéristiques des matériaux béton et aciers.
L’analyse des sections en béton armé est basée sur le choix du diagramme contraintes- déformations des aciers et le bloc de contraintes de compression du béton.
2.2. BÉTON :
2.2.1. RESISTANCES A LA COMPRESSION DU BÉTON :
Le béton est défini par la valeur caractéristique spécifiée de sa résistance à la compression à 28 jours notée fck et correspondant à une probabilité au plus égale à 5 % de ne pas être atteinte. [3], [2]
Pour les contrôles, la résistance à la compression fck est mesurée par écrasement à la presse hydraulique d’éprouvettes :
•cylindriques :
–de 16 cm de diamètre ; –de 32 cm de hauteur ;
–dont l’aire de la section droite est de 200 cm2 = 0,02 m2 ;
•ou bien cubiques de 14 ou 20 cm de côté. [3]
Figure (2.1):
Cylindre et Cube pour le Contrôle de la Résistance à la compression du Béton.Tableau (2.1): 1
Classes de résistances du Béton.Le béton de sable se distingue d’un béton ordinaire par un fort dosage en sables, l’absence, ou le faible dosage, de gravillons, et l’incorporation d’additions.
Le béton de sable se distingue d’un mortier par la composition, le mortier est en général fortement dosé en ciment et ne comporte pas d’additions, et surtout les bétons de sable sont essentiellement destinés aux usages traditionnels du béton. [1]
2.2.2. DIAGRAMME DE CONTRAINTES-DÉFORMATIONS DU BÉTON :
Pour l’étude des sections à l’état limite ultime de résistance, le diagramme qui peut être utilisé est le diagramme de calcul dit :
Diagramme PARABOLE-RECTANGLE de contraintes-déformations du Béton.
28 Ce diagramme est un diagramme idéalisé constitué d’une branche parabolique ayant son sommet pour une déformation de ɛ
0et suivi d’une branche horizontale jusqu’à une déformation de ɛcu. [6], [2]
Figure (2.2):
Diagramme PARABOLE-RECTANGLEde Contraintes-Déformations du Béton IdéaliséLa résistance de calcul retenue pour la flexion est prise égale à :
Avec :
(Pour les situations accidentelles)
Le coefficient (0.8 ≤ αc ≤ 1), tient compte de l’effet défavorable de la durée d’application des charges, vis-à-vis de l’essai de courte durée utilisé pour définir fck. [3]
Ce coefficient (αc = 0.85) pour le béton ordinaire tient compte de la différence entre la force de flexion et la force d’écrasement du cylindre des essais pour la détermination de la
résistance caractéristique du béton. [5]
Le coefficient (αc = 0.85) a pour objet de tenir compte de ce que la résistance du béton est fonction décroissante de la durée d’application de la charge. [6]
Ce même coefficient (αc = 1) pour le béton de sable suivant le code BAEL. [1]
a) Blocs de contraintes de compression du béton : [3], [4], [6]
En flexion simple à l’ELU de résistance par écrasement du béton, ce qui correspond à la déformation ultime de la fibre la plus comprimée du béton ɛcu, c’est le Pivot B, le Bloc de Contraintes de Compression du Béton est le Diagramme Parabole-Rectangle entièrement mobilisé. [6]
Lorsque le pivot est le Pivot B, on peut substituer à ce Diagramme Parabole-Rectangle un Diagramme Rectangulaire.
Une section en béton armé, (BOA) ou (BSA), est représentée ci-dessous avec un diagramme
de déformations relatives, un bloc de contraintes parabole-rectangle et un bloc de contraintes
rectangulaire en pointillés.
29 1) Bloc de contraintes Rectangulaire-Équivalent : [3]
Ce Diagramme Rectangulaire Équivalent a la même surface que le Diagramme Parabole- Rectangle et la même position de son centre de gravité où est appliquée la résultante des forces de compression du béton comprimé.
Figure (2.3):
Blocs de Contraintes Parabole-Rectangle et Rectangle-Équivalent du Béton Comprimé.2) Bloc de contraintes Rectangulaire-Simplifié : [4], [6]
Lorsque la section droite n’est pas entièrement comprimée, on peut utiliser un Diagramme Rectangulaire-Simplifié, défini ci-après, dans lequel (x) représente la distance de l’axe neutre à la fibre la plus comprimée. [6]
L’EUROCODE2, comme le BAEL, autorise l’emploi d’un Diagramme Rectangulaire- Simplifié. Le Diagramme Parabole-Rectangle de contrainte maximum (αc fck / ɣc) est remplacé par un diagramme rectangulaire de hauteur (0.8x) (x étant la hauteur comprimée du diagramme des déformations) et de contrainte constante (αc fck / ɣc). [4]
Figure (2.4):
Blocs de Contraintes Parabole-Rectangle et Rectangle-Simplifié du Béton Comprimé.3) Détermination des coefficients de remplissage k1 et de positionnement k2 dans le cas d’un Diagramme Rectangulaire-Équivalent : [3]
Coefficients de Remplissage k1 :
La surface du rectangle équivalente à la surface représentant le Bloc de contraintes Parabole- Rectangle permet d’écrire l’égalité suivante :
D’après la figure (2.3) :
(2.2-1)
30 D’après le diagramme des déformations relatives :
D’où :
