Trous noirs de Chern-Simons à trois dimensions

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE FERHAT ABBAS–SETIF1 (ALGERIE)

THESE

Présentée à la Faculté des Sciences Département de Physique

Pour l’Obtention du Diplôme de

DOCTORAT EN SCIENCES Option : Physique Théorique

Présentée par

GUENNOUNE HAKIM

THEME

Trous noirs de Chern-Simons à trois dimensions

Soutenue Publiquement le : . Devant la commission d’examen :

Pr. H. HACHEMI Président Professeur Université Ferhat Abbas Sétif Pr. K. AIT MOUSSA Rapporteur Professeur Université Constantine

Pr. N. BELALOUI Examinateur Professeur Université Constantine Pr. T. BOUDJEDAA Examinateur Professeur Université Jijel

Pr. K. NOUICER Examinateur Professeur Université Jijel

Pr. S. HOUAMER Examinateur Professeur Université Ferhat Abbas Sétif Pr. G.CLEMENT Invité Directeur de Recherche C.N.R.S

Table des matières

1 Introduction 6

2 Trous noirs 10

2.1 Introduction . . . 10

2.2 Diagrammes de Penrose . . . 14

2.3 Thermodynamique des trous noirs . . . 18

3 Gravitation à trois dimensions et termes de Chern-Simons 21 3.1 Introduction . . . 21

3.2 Electrodynamique et gravitation topologiquement massive . . . 22

3.3 Equations réduites . . . 23

4 Trous noirs de Chern-Simons 26 4.1 Solutions trous noirs de TMGE . . . 26

4.2 Structure globale . . . 33

4.3 Masse, moment angulaire et thermodynamique . . . 43

4.4 Symétries . . . 48

4.4.1 Vecteurs de Killings . . . 48

4.4.2 Générer des trous noirs du vide . . . 50

5 Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique 52 5.1 Introduction . . . 52

5.2 L’action . . . 53

5.3 Les équations du mouvement . . . 55

1

TABLE DES MATIÈRES 2

5.4 Métrique et champ dilatonique . . . 57

5.4.1 Expression du champ dilatonique . . . 57

5.4.2 Métrique des solution trous noirs de la théorie TME dilatonique . . . 59

5.5 Structure globale . . . 61

5.5.1 Régularité de la solution . . . 61

5.5.2 Diagrammes de penrose . . . 63

5.6 Masse, moment angulaire et thermodynamique . . . 65

6 Conclusion Générale 68

A Relativité Générale 70

B Vecteur et équation de Killing 74

Table des …gures

2.1 Diagramme de Penrose pour l’espace-temps de Minkowski représenté par le losange et la ligne r= 0: . . . 16 2.2 Diagramme de Penrose de la solution (2.3) représentant l’extention analytique maxi-

male de l’espace-temps de Schwarzschild. . . 18 4.1 Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans le cas où 0 < ² < 1, !² >

20=(1 ²) et ! > 0. Il est similaire au diagramme de Penrose du trou noir de Reissner-Nordström. . . 36 4.2 Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans le cas0< ² <1; ! >0et ₀ = 0,

ainsi que dans le cas ² = 1; ! > p

2u et u >0. C’est deux cas ont un diagramme similaire à celui du trou noir extrême de Reissner-Nordström. . . 37 4.3 Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans le cas0< ²<1et!² < ²₀=(1 ²)

similaire à celui du trou noir de Kerr. . . 38 4.4 Diagramme de Penrose de la solution(4.34) déduite de la solution (4.17) dans le cas

exceptionnel ! = ₀=(1 ²) avec 0 < ² <1. Ce diagramme est similaire au trou noir de Schwarzschild de la …gure 2.2 mais avec une singularité = ₀. . . 40 4.5 Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans la cas ² = 1; !² <2u et ₀ = 0.

Il est similaire au diagramme de Penrose du trou noir de Kerr extrême. . . 40 4.6 Diagramme de Penrose de la solution (4.17), dans le cas exceptionnel ² = 1; u= 0

et ! >0. La singularité de genre lumière = 0 et représentée par une double ligne inclinée de 45 : . . . 41 4.7 Diagramme de Penrose de la solution (4.24), dans le cas ² = 0 et ! > =2. Ce

diagramme est similaire à celui donnée par la métrique de Rindler. . . 42

3

TABLE DES FIGURES 4 5.1 Les deux morceaux composant le diagramme de Penrose de la structure conforme de

la solution de Minkowski . . . 64 5.2 Diagramme de Penrose de la solution (5.50) dans le cas 1 q < 0 ou, qui est

similaire au diagramme de Penrose de la solution de Schwarzschild. . . 65

Remerciements

Ce travail a été e¤ectué au Département de Physique de l’université Ferhat Abbas de Sétif1 et au Laboratoire d’Annecy-le-Vieux de Physique Théorique (LAPTH) en France en collaboration avec Monsieur Gérard Clément Directeur de recherche au C.N.R.S.

Que Monsieur le Professeur Karim Ait-Moussa, Directeur de ma thèse et notre cher collabora- teur Monsieur Gérard Clément, qui me fait l’honneur d’accepter d’être invité à la soutenance de ma thèse, reçoivent toute l’expression de ma reconnaissance pour m’avoir proposé ce sujet de recherche et m’avoir ouvert les portes de la Relativité Générale et des trous noirs, pour tout leur dynamisme et leurs compétences scienti…ques qui m’ont permis de mener à bien cette étude.

Monsieur le professeur H. Hachemi m’a honoré en acceptant de présider la commission d’examen.

Je le remercie vivement.

Je remercie les professeurs N. Belaloui, T. Boudjedaa, K. Nouicer ainsi que S. Houamer d’avoir bien voulu être les examinateurs de mes travaux de thèse.

Je tiens aussi à remercier mon père pour les e¤orts qu’il a fait pour que je puisse réussir dans la vie. Un de ses buts était de me voir soutenir et je suis très heureux de lui o¤rir ce cadeau.

Chapitre 1

Introduction

Le vocable "trou noir" a été employé pour la première fois en 1967 par John Wheeler. Pourtant, l’histoire des trous noirs a commencé bien plus tôt : en 1784, le révérend anglais John Michell imaginait déjà l’existence d’étoiles invisibles dans le cadre de la théorie newtonienne de la gravita- tion. La notion de trou noir a émergé et a été développée dans le cadre de la relativité qu’Einstein a achevée en 1915. Dans cette théorie, la gravitation se manifeste par des propriétés de l’espace- temps, dont la structure est modi…ée par la présence de matière-énergie. L’espace-temps n’est plus une entité absolue indépendant de ce qu’il contient, mais possède une structure géométrique non-euclidienne déterminée par son contenu en matière-énergie. Au début, Einstein était sceptique quant à la détermination de solutions exactes aux équations de la relativité générale tant elles paraissaient complexes. Pourtant, à peine quelques mois après cette publication, le physicien alle- mand Karl Schwarzschild trouve une solution de cette équation décrivant le champ gravitationnel extérieur d’une distribution de masse à symétrie sphérique. Plus tard, avec l’émergence du concept de trou noir, on s’est rendu compte que cette solution pouvait représenter l’extérieur d’une étoile en e¤ondrement ainsi que l’intérieur et l’extérieur de l’horizon du trou noir formé à la …n de cet e¤ondrement. L’existence des trous noirs a ensuite pu être con…rmée grâce à nos connaissances ac- tuelles sur les mécanismes de formation et de mort des étoiles. En e¤et, à la …n de sa vie, une étoile massive explose ( Supernova) en expulsant ses couches extérieures, tandis que son coeur s’e¤ondre en donnant ou bien une étoile à neutron (si sa masse est inférieure à trois fois la masse solaire), ou bien un trou noir (si sa masse est supérieure à trois fois la masse solaire). Aujourd’hui, l’exis- tence des trous noirs est une certitude pour la quasi-totalité des astrophysiciens et des physiciens

6

Chapitre 1 : Introduction 7

théoriciens.

En astrophysique, on appelle trou noir un objet massif dont le champ gravitationnel est si intense qu’il empêche toute forme de matière ou de rayonnement de s’en échapper. Les trous noirs représentent une concentration de masse si compacte que même les photons ne peuvent se soustraire à leur force gravitationnelle. Ils sont quali…és de "noirs" car ils n’émettent pas de lumière. Puisque la lumière ne peut s’échapper des trous noirs, ce sont des objets invisibles qui ne peuvent pas être observés directement. En relativité générale, un trou noir est une région de l’espace-temps d’où aucun photon ne peut s’échapper et atteindre l’in…ni ; les événements se produisant dans cette région n’ont aucune in‡uence causale sur le reste de l’espace-temps. La frontière immatérielle entre le trou noir et le reste de l’univers est appelée horizon des événements. C’est une partie tridimentionnelle de l’espace-temps (hypersurface) et toute coordonnée de genre espace à l’extérieur de l’horizon devient de genre temps à l’intérieur et vice versa. Le cône de lumière de tout observateur franchissant cet horizon bascule et tout retour en arrière est exclu. L’horizon des événements est une structure globale de l’espace-temps, c’est-à-dire qu’aucune experience locale de physique ne peut révéler le passage de l’observateur à travers l’horizon.

Comme toute théorie classique, la gravitation a vocation à être quanti…ée et uni…ée avec les autres interactions. Cela est la motivation majeure de théories uni…catrices telle la théorie des cordes. Cependant, elle est restée rebelle à toute tentative : il n’ y a pas de théorie quantique satisfaisante de l’intéraction gravitationnelle. Comme souvent en de telle circonstance en physique, on essaie de simpli…er le problème en établissant des modèles simples qui peuvent faire avancer notre compréhension des choses. Une voie dans ce sens consiste à réduire le nombre de dimensions : on s’intéresse ainsi à la gravitation à trois dimensions.

La gravitation à trois dimensions admet une variété de solutions trous noirs. La première solu- tion découverte est celle de Banados-Teitelboim-Zanelli (BTZ). C’est une solution trou noir de la gravitation pure à trois dimensions avec une constante cosmologique négative [1]. Mais cette théorie de la gravitation pure à trois dimensions n’est pas dynamique ; il n’y a ni ondes gravitationnelles dans la théorie classique ni gravitons en propagation dans la théorie quantique. La gravitation topologiquement massive à trois dimensions (TMG) [2], qui est la gravitation d’Einstein à trois dimensions avec un terme de Chern-Simons de la gravité, n’a pas cet inconvénient. Cette théorie est dynamique et décrit la propagation d’un graviton massif de spin 2.

Chapitre 1 : Introduction 8

Le but de ce travail et de construire et d’analyser des solutions trous noirs de la gravito- électrodynamique topologiquement massive (TMGE) qui est une théorie d’Einstein-Maxwell à trois dimensions augmentée de deux termes de Chern-Simons de la gravitation et de l’électromagnétisme, c’est-à-dire la théorie de la gravitation topologiquement massive (TMG) couplée à la théorie de l’électrodynamique topologiquement massive (TME). Dans [3], deux classes de solutions exactes de cette théorie ont été obtenues en utilisant un ansatz adéquat. La première classe sont des solu- tions stationnaires self-duales géodésiquement complètes, la deuxième sont des solutions statiques diagonales.

Dans le deuxième chapitre, nous ferons une brève introduction historique sur les trous noirs et les premières solutions exactes de l’équation d’Einstein, tout en introduisant la notion de diagrammes de Penrose et ensuite nous parlerons du lien entre trous noirs et thermodynamique.

Dans le troisième chapitre, on introduit la théorie dynamique de la gravitation topologiquement massive à trois dimensions (TMG), ensuite la théorie de la gravito-électrodynamique topologique- ment massive à trois dimensions (TMGE), puis on utilise la procédure de réduction dimensionnelle [3] à cette dernière théorie, pour trouver les équations du champ pour les solutions à deux vecteurs de Killing.

Dans le quatrième chapitre, l’utilisation du même ansatz que dans [5] donne trois types de solutions trous noirs (selon les valeurs des paramètres du modèle) dépendant génériquement de deux constantes d’intégration. Ensuite nous analyserons la structure globale de nos trous noirs.

L’extension analytique à travers les deux horizons montre que ces solutions sont géodésiquement complètes mais il y a présence de courbes fermées de genre temps pour certains domaines des paramètres. Nous montrerons que dans ce dernier cas, il est possible d’a¢ ner davantage le domaine des paramètres a…n que la région acausale soit caché derrière l’horizon des événements. Le calcul de la masse et du moment angulaire des trous noirs de TMG a présenté un dé… qui a été relevé avec succès dans [4]. Nous allons utiliser la même méthode pour TMGE en donnant les dé…nitions de la masse, du moment angulaire, la température de Hawking et la vitesse angulaire de l’horizon ensuite on les calculera pour le cas des trous noirs de TMGE, tout en remarquant qu’elles véri…ent, pour tous les cas, la première loi de la thermodynamique des trous noirs pour les variations des paramètres des trous noirs ainsi que la relation intégrale de Smarr. En…n, nous montrons que nos trous noirs admettent quatre vecteurs de Killing locaux générant soit l’algèbre sl(2; R) R ou

Chapitre 1 : Introduction 9

bien (dans un cas particulier) une algèbre de Lie résoluble. L’existence de ces quatre isométries locales suggère que pour un ensemble donné de paramètres du modèle, les solutions trous noirs qui dépendent de constantes d’intégrations di¤érentes peuvent être transformées en d’autres par des transformations de coordonnées locales que nous donnons explicitement.

Dans le cinquième chapitre, on cherchera à trouver des solutions trou noir pour la théorie de l’électrodynamique topologiquement massive (TME) couplée à un champ scalaire appelé dilaton.

On utilisera un nouvel ansatz qui dépendra d’un paramètre q et on trouvera une nouvelle classe de trous noirs qui ne sont réguliers que pour certains domaines des paramètres de ces dernièrs.

Comme pour TMGE, on étudiera la structure globale et on calculera la masse, le moment angulaire et ensuite on étudiera la thermodynamique des trous noirs de cette théorie.

Chapitre 2

Trous noirs

2.1 Introduction

AuXX^e siècle, et plus exactement en 1915, Einstein posa les fondements de la relativité géné- rale. Aprés avoir dé…ni le principe d’équivalence, Einstein abondonna l’espace euclidien et utilisa un autre espace courbe développé par le mathématicien B.Riemann. Ainsi l’espace-temps en relati- vité générale est une variété pseudo-riemannienne donnant un aspect géométrique de l’interaction gravitationnelle. Sur cette variété on dé…nit le carré de la distance entre deux points in…niment voisins appelé métrique en fonction du tenseur métrique g

ds² =g dx dx (2.1)

où x (x⁰ =ct coordonnée temporelle,x¹; x²; x³coordonnées spatiales) est un système de coor- données quelconque. Dans ce cadre mathématique, le principe d’équivalence s’expime par le fait que localement, c’est-à-dire au voisinage d’un point d’espace-temps, on peut toujours trouver un sys- tème de coordonnées dans lequel l’intervalle (2.1) se réduit à l’ordre zéro à la métrique de Minkowski ds²_{M in} = dx dx avec = diag( 1;1;1;1): Pour Einstein, le champ qui décrit la géométrie de l’espace-temps et qui décrit aussi le champ gravitationnel n’est autre que le tenseur métrique g :Partant du principe d’équivalence, il réussit à trouver les équations dynamiques pour le champ de gravitation qui relient cette métrique au tenseur d’énergie-impulsion T (la densité d’énergie de la distribution de matière), du tenseur de Ricci R et de la courbure scalaire R; appelées les

10

Chapitre 2 : Trous noirs 11

équations d’Einstein de la gravitation :

R 1

2g R= 8 G

c² T (2.2)

Ces équations sont hautement non linéaires et de ce fait leur résolution n’est pas du tout chose aisée, mais des solutions analytiques exactes existent. Parmi ces solutions, il y a les solutions stationnaires avec des symétries spaciales (sphérique par exemple).

Voyons maintenant comment on dé…nit la symétrie sphérique et la stationnarité en relativité générale. Un espace-temps est dit stationnaire s’il existe un système de coordonnéesx tel que les composantesg du tenseur métrique soient indépendantes det(@tg = 0),tétant une coordonnée telle que le vecteur @_t soit de genre temps. Cette propriété fait de ce vecteur un générateur de symétrie de l’espace-temps : le tenseur métrique ne varie pas lorsqu’on suit les lignes de champ de ce vecteur. On dit que @_t est un vecteur de Killing du nom du mathématicien allemand Wilhelm Killing (1847-1923). Un espace-temps stationnaire dont le vecteur de Killing @t est orthogonal aux hypersurfaces _t dé…nies par t = cste est quali…é de statique. Par ailleurs, on dit qu’un espace temps est à symétrie sphérique s’il existe un système de coordonnées tel que les surfaces ft=const; r=constg sont à courbure constante positive.

La première solution exacte des équations d’Einstein et la solution qui décrit un champ gravi- tationnel à l’extérieur d’un corps massif sphérique et statique de masse M

ds² = 1 2GM

r dt²+ 1 2GM r

1

dr²+r² d ²+ sin² d'² (2.3) Cette solution fut découverte par Karl Schwarzschild en 1916, peu avant sa mort et quelques mois aprés les équations d’Einstein. Elle est l’unique solution à symétrie sphérique des équations d’Ein- stein sans source (Birkho¤ [6], 1923). La constanter_S = 2GM est appelée le rayon de Schwarzschild et elle est reliée à la masse M du corps massif qui engendre le champ gravitationnel. La première constatation à faire est que l’espace-temps de cette solution de Schwarzschild est statique et à symé- trie sphérique. En e¤et, les composantes de la métrique sont clairement indépendantes detet, pour r >2M G; @_t est du genre temps et donc l’espace-temps est stationnaire ; de plus, les composantes g étant diagonales, le vecteur@t est clairement orthogonal aux hypersurfaces t=const:, ce qui montre que l’espace temps est statique. Quant à la symétrie sphérique, on voit bien que la métrique de Schwarzschild est bien celle d’une métrique à symétrie sphérique. Par ailleurs, l’espace-temps dé- crit par la métrique de Schwarzschild est asymptotiquement plat : lorsquer!+1, les composantes

Chapitre 2 : Trous noirs 12

g se réduisent aux composantes de la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques ds² = dt²+dr²+r² d ²+ sin² d'²

On constate aussi que les composantes g00 et grr sont singulières pour r = 2GM. Cette sin- gularité apparente a été d’abord considérée comme une vraie singularité et c’est pour cette raison que la région 0 < r < 2GM fut longtemps considérée comme non physique et que la solution de Schwarzschild représente seulement le champ de gravitation extérieur. L’extension analytique maximale de la solution de Schwarzschild qui montre, entre autres, que la surface r = 2GM n’est pas une vraie singularité, à été réalisée par Kruskal [7] et Szekeres [8]. On dit qu’un espace-temps a une extension maximale si chaque géodésique est dé…nie pour toutes les valeurs du paramètre a¢ ne excepté si elle se termine sur une singularité du tenseur de Riemann. On va exposer comment on peut étendre analytiquement un espace-temps, entre autre celui de Schwarzschild. Pour celà nous introduisons le temps retardé u et le temps avancév de la métrique de Schwarzschild

u = t r rSln(r rS)

v = t+r+rSln(r rS) (2.4)

Les courbesu=constsont les géodésiques radiales sortantes de genre lumière. Ces coordonnées permettent d’écrire la métrique (2.3) sous la forme

ds²= 1 r_S

r dudv+r² d ²+ sin² d'² (2.5) Introduisons maintenant les coordonnées U et V par

U = exp( u

2r_S) V = exp( v

2r_S) (2.6)

dont le domaine de variation est U <0 etV >0:La métrique devient : ds²= 4r²_S

r exp( r

r_S)dU dV +r² d ²+ sin² d'² (2.7) r étant une fonction implicite deU V:

Nous constatons que les composantes de la métrique sont régulières enr =r_S. Nous prolongeons donc le domaine de variation deU et deV àU >0etV <0en gardant la même forme fonctionnelle en U et V des composantes. C’est ce qu’on appelle l’extension maximale de Kruskal.

Chapitre 2 : Trous noirs 13

L’émergence du concept de trou noir [9] a permis de réaliser que la solution de Schwarzschild représente l’extérieur d’une étoile en e¤ondrement ou encore l’intérieur et l’extérieur de l’horizon d’un trou noir statique formé à la …n de cet e¤ondrement. Notons que c’est l’existence d’un horizon des événements qui détermine un trou noir et non l’existence d’une vraie singularité (r = 0 pour Schwarzschild). Une singularité qui n’est pas entourée d’un horizon des événements est appelée singularité nue. La conjecture de censure cosmique stipule que tout e¤ondrement gravitationnel conduit à un trou noir et non à une singularité nue.

Pour être plus réaliste, on décrit les trous noirs réels par des solutions incluant la rotation. La solution de Schwarzschild, qui est statique, ne fournit alors qu’une description approchée. Les trous noirs étant accélérés par l’accrétion de matière, on s’attend à ce que les trous noirs réels soient en rotation rapide. la description par la métrique de Schwarzschild n’est alors plus satisfaisante. Une solution exacte de l’équation d’Einstein décrivant un corps massif en rotation a été découverte en 1963 par le mathématicien néo-zélandais Roy Kerr [10]. De plus cette solution recouvre tous les trous noirs stationnaires en rotation. La métrique de Kerr s’écrit

ds² = 1 2GM r

2 dt² 4GM arsin²

2 dtd'+

2

dr²+ ²d ²+ r²+a²+2GM a²rsin²

2 sin² d'²

(2.8) où

2 = r²+a²cos²

= r² 2GM r+a² (2.9)

M est la masse du trou noir eta est relié au moment angulaire du trou noirJ par a= J

M (2.10)

L’espace-temps de Kerr est stationnaire et axisymétrique. En e¤et, les composantes g sont indépendantes des coordonnéestet';et donc cet espace-temps possède deux vecteurs de Killing@_t et@_'. Cet espace-temps n’est pas statique car@_tn’est pas orthogonal aux hypersurfacest=const, en raison de l’existence du terme croisé gt':Comme la métrique de Schwarzschild, la métrique de Kerr est asymptotiquement Minkowskienne.

L’intérêt de la métrique de Kerr pour l’astrophysique vient du théorème d’unicité démontré au début des années 1970 par Brandon Carter [11] et Robinson [12]. Ce théorème stipule que

Chapitre 2 : Trous noirs 14

tous les trous noirs stationnaires, axisymétriques et non chargés sont décrits par la métrique de Kerr et sont caractérisés seulement par deux paramètres : sa masse et son moment angulaire.

Il n’existe pas d’équivalent axisymétrique du théorème de Birkho¤; autrement dit, la métrique de Kerr n’est pas la solution de l’équation d’Einstein à l’extérieur d’une étoile axisymétrique en rotation. Elle ne décrit que les trous noirs. Les solutions de Schwarzschild et de Kerr constituent les seules solutions statiques à symétrie sphérique et stationnaire axisymétrique, respectivement, de l’équation d’Einstein sans source.

Dans la théorie d’Einstein Maxwell, les solution de Reissner-Nordström et de Kerr-Newman sont les généralisations avec charge des solutions de Schwarzschild et de Kerr respectivement. Ce sont des solutions trous noirs de la relativité générale avec source.

Toutes les solutions précédemment citées sont asymptotiquement Minkowskiennes. Il existe des solutions avec un comportement asymptotique di¤érent qui sont les solutions de de-Sitter (dS) et Anti-de-Sitter (AdS). Ces solutions sont celles de la relativité générale avec constante cosmologique

( >0pour dS et <0pour AdS).

2.2 Diagrammes de Penrose

Le diagramme de Carter-Penrose a été introduit pour clari…er ce qu’on entend par in…ni d’un espace-temps einsteinien. Nous remarquons d’abord que la structure causale de l’espace-temps n’est pas a¤ectée par l’introduction d’un facteur conforme pour la métrique

des²= ²(x)ds² avec 6= 0 (2.11) conduisant à une métrique qui n’est pas physique (ce n’est pas la solution des équations d’Einstein sans source). Nous allons choisir de telle sorte que l’in…ni devienne une frontière régulière pour la métrique conforme.

Ce diagramme permet de représenter l’espace-temps en entier sur une feuille de papier en donnant une vision globale de ce dernier. Pour bien nous familiariser avec ce genre de diagrammes et comment les construire, nous allons d’abords examiner l’espace-temps de Minkowski puis celui de Schwarzschild. Avec le temps retardé u = t r et le temps avancé v = t+r, la métrique de Minkowski s’écrit

ds²= dudv+1

4(v u)² d ²+ sin² d'² (2.12)

Chapitre 2 : Trous noirs 15

Les points situés à l’in…ni (r =1 ett= 1) ne font pas partie de l’espace-temps de Minkowski alors que r = 0 et sin = 0 sont des singularités de coordonnées. En faisant le changement de coordonnées qui suit, les points situés à l’in…ni prennent des valeurs …nies

u= tanU; v= tanV avec

2 < U <

2 et

2 < V <

2 (2.13)

où V U puisque r 0. La métrique prend la forme

ds²= (2 cosUcosV) ² 4dU dV + sin²(V U)(d ²+ sin² d'²) (2.14) L’in…ni correspond bien à des coordonnées …nies U et V et cela est su¢ sant pour dessiner le diagramme de Penrose. Cependant, ces points restent à distance géodésique in…nie à cause du terme (2 cosUcosV) ². Pour les amener à distance géodésique …nie, nous multiplions la métrique par le facteur (U; V) = (2 cosUcosV);obtenant ainsi une métrique régulière en ces points

des² = 4dU dV + sin²(V U)(d ²+ sin² d'²) (2.15) On remarque que les singularités de coordonnées sont toujours présentes dans le nouveau système de coordonnées (en U =V et en sin = 0) et nous pouvons considérer aussi bien les valeurs positives de r (V > U) que les valeurs négatives der (V < U). Introduisons, pour …nir, les coordonnées

T =U +V; X=V U avec T X (2.16)

qui nous permettent d’écrire la métrique

des²= dT²+dX²+ sin²X(d ²+ sin² d'²) (2.17) Le diagramme de Penrose ne prend en compte que la partie (T; X) de la métrique et néglige les coordonnées angulaires. On obtient de cette manière la …gure 2.1 en se rappelant que l’espace- temps de Minkowski (2.4) ne contient pas les points situés à l’in…ni, c’est-à-dire que la métrique de Minkowski est représentée par l’intérieur de la partie droite du losange (r >0)plus la ligner = 0.

Il y a plusieurs types d’in…nis dans le diagramme de Penrose notés i⁰; i etI i⁰ l’in…ni de genre espace :(r ! 1; t f ini))(T = 0; X= )

i⁺ l’in…ni de genre temps futur :(t! 1; r f ini))(T = ; X = 0) i l’in…ni de genre temps passé :(t! 1; r f ini))(T = ; X = 0)

I⁺ l’in…ni de genre lumière futur :((t+r)! 1;(t r)f ini))(T = X;0< X < )

Chapitre 2 : Trous noirs 16

Fig. 2.1 –Diagramme de Penrose pour l’espace-temps de Minkowski représenté par le losange et la ligne r= 0:

Chapitre 2 : Trous noirs 17

I l’in…ni passé de genre lumière :((t r)! 1;(t+r)f ini))(T = +X;0< X < ).

Les in…nis de genre lumière sont représentés d’après Penrose par des droites, donc les géodésiques de genre lumière dans ce cas sont à 45⁰sur le diagramme. Celles de genre temps vont dei jusqu’à i⁺, par contre les géodésiques spatiales arrivent au pointi⁰. Dans l’espace de Minkowski, les régions i eti⁰ sont représentées par des points.

Passons maintenant à l’espace-temps statique de Schwarzschild. En faisant la transformation de coordonnéesU = tanpetV = tanq sur la métrique de Kruskal (2.8)

ds² = (2 cospcosq) ² 16r²_S

r exp( r

r_S) dpdq+r²sin²(q p) d ²+ sin² d'² (2.18) Nous adoptons le facteur conforme = (2 cospcosq) et nous avons alors comme métrique conforme

dse² = 16r²_S

r exp( r

r_S) dpdq+r²sin²(q p) d ²+ sin² d'² (2.19) Dans le diagramme de Penrose, les in…nis i₀ etI se présentent exactement de la même façon que Minkowski. L’hypersurface r = 0, où le tenseur de Riemann est singulier, rencontre i⁺ et i qui sont donc des singularités dans ce cas. Les rayonnements entrants en I et sortants en I⁺ sont respectivement caractérisés par les fonctions de (v; ; ') et de (u; ; '). Les coordonnées u et v prennent toutes les valeurs et nous devons ajouter l’horizon futur H⁺ parp= ₂ et l’horizon passé H parq= ₂. Le diagramme de Penrose pour l’espace-temps de Schwarzschild est représenté sur la …gure 2.2.

On appelle horizon futurH⁺ d’un espace-temps asymptotiquement minkowskien à l’in…ni iso- trope l’hypersurface du genre lumière qui est la frontière du domaine d’où aucune géodésique du genre lumière n’aboutit à I⁺. C’est la frontière du trou noir. Ni la lumière ni la matière ne peuvent sortir à travers l’horizon futur. L’horizon des événements H⁺ est une structure globale de l’espace-temps : aucune expérience de physique locale ne peut révéler le passage par H⁺; un voyageur imprudent ne peut déceler l’instant où il franchit l’horizon. Les phénomènes physiques à l’extérieur de l’horizon sont causalement déconnectés de l’intérieur. Les conditions aux limites à l’horizon sont choisies pour assurer la régularité des phénomènes physiques à l’horizon. Localement, un observateur ne peut pas savoir qu’il y a un horizon.

Dans le cas de l’espace-temps de Schwarzschild, nous remarquons que la singularité du tenseur

Chapitre 2 : Trous noirs 18

Fig.2.2 –Diagramme de Penrose de la solution (2.3) représentant l’extention analytique maximale de l’espace-temps de Schwarzschild.

de Riemann est située à l’intérieur de l’horizon. Cependant une singularité d’un espace-temps n’a aucune raison d’être, à priori, à l’intérieur de l’horizon mais une singularité nue (non "habillée"

par un horizon) serait peu réaliste, car la singularité serait alors accessible à l’observation. On a donc conjecturé ce qu’on appelle la censure cosmique : toute singularité se trouve à l’intérieur d’un horizon. Au voisinage de la singularité, la théorie de la gravitation classique d’Einstein n’est certainement plus valable.

2.3 Thermodynamique des trous noirs

L’étude des trous noirs indique que ces objets sont décrits seulement par trois paramètres : la masse M, la charge électrique Q et le moment angulaire J. Le paramètre pertinent décrivant la structure d’un trou noir n’est pas son rayon, mais la surface de l’horizon des événements. Il existe donc une relation liant l’aire d’un trou noir A aux trois paramètres mentionnés. Au début des années 1970, Bekenstein [13, 14] trouve cette relation qui exprime la variation de l’aireAd’un trou noir auquel on injecte une petite quantité non nulle soit de matière M, soit de moment angulaire

J, ou de charge électrique Q:

M =

8 G A+ _h J + _h Q (2.20)

Chapitre 2 : Trous noirs 19

où , h et h s’identi…ent respectivement à sa gravité de surface qui mesure à quelle vitesse le champ gravitationnel du trou noir devient in…ni en son voisinage, à sa vitesse angulaire de rotation et au potentiel électrique au voisinage du trou noir. Peu de temps aprés, Smarr [15] trouva la formule suivante

M =

8 GA+ 2 hJ + hQ (2.21)

Bekenstein fut donc le premier à suggérer que les trous noirs puissent avoir une entropie bien dé…nie. La justi…cation employée était intrigante mais manquait de rigueur, jusqu’à ce que Stephen Hawking découvre le rayonnement qui porte son nom l’année suivante. Ces travaux permirent de jeter ceux de Bekenstein sur une base rigoureuse. Bekenstein put ensuite formuler le second principe de la thermodynamique appliqué aux trous noirs. Le théorème que Hawking démontra en 1971 stipule que l’aire d’un trou noir ne diminue jamais

A 0 (2.22)

Ce théorème présente une grande ressemblance avec le deuxième principe de la thermodyna- mique en comparant la surface avec l’entropie. De plus, lorsque deux trous noirs fusionnent et qu’un nouveau trou noir s’engendre, l’aire du trou noir …nal ne peut être inférieure à la somme des aires initiales. Viennent ensuite Bardeen, Carter et Hawking [16] qui généralisent les résultats de Bekenstein et Smarr pour n’importe quel trou noir asymptotiquement plat et font l’analogie avec la thermodynamique en formulant les quatre lois de la thermodynamique des trous noirs :

Le principe zéro : La gravité de surface est constante sur l’horizon pour un trou noir stationnaire à comparer avec le principe zéro de la thermodynamique qui dit que la températureT d’un corps en équilibre est constante.

Premier principe:

dM =

8 GdA+ _hdJ+ _hdQ (2.23)

à comparer avec le premier principe de la thermodynamique : dE =T dS+travail fourni. Au fait les termes _hdJ et _hdQsont les variations d’énergie cinétique de rotation et d’énergie potentielle électrique qui sont le travail des forces extérieures au système. Ainsi, dans la formule bien connue de la thermodynamique dE = Q+ W, le terme dE ressemble fort au terme c² M , on a pris

Chapitre 2 : Trous noirs 20

(c²= 1), de l’équation du trou noir, et le terme W correspond à hdJ+ hdQ. Pour que l’analogie entre trous noirs et thermodynamique présente un sens physique, il faut donc supposer que le terme

8 G A puisse s’identi…er au terme de la quantité de chaleur fournie au système Q =T S ce qui nous pousse à identi…er l’aire du trou noir à son entropie et la gravité de surface à la température de rayonnement du trou noir. Mais en relativité générale classique, les trous noirs absorbent mais n’émettent jamais et leur température est nulle. Mais Hawking à montré qu’en incluant les e¤ets quantiques (au voisinage de l’horizon, il y a création de paires particules-antiparticules tel que les premières partent à l’in…ni et que les secondes tombent dans le trou noir) les trous noirs rayonnent et se comportent comme un corps noir. Ce phénomène est connu sous le nom de "Rayonnement de Hawking" [17].

Deuxième principe : A 0 pour tout processus physique, à comparer avec le deuxième principe de la thermodynamique : S 0 pour tout processus physique.

On constate, d’aprés le rayonnement de Hawking, que le trou noir rayonne jusqu’à évaporation totale et que donc son aire tend vers zéro ; ce qui viole le deuxième principe. Pour remédier à cela on introduit une deuxième loi généralisée [18] :

ST 0pour tout processus physique (2.24)

où ST et la somme de l’entropie du trou noir Stn et de l’entropie Sext de tout ce qui se trouve à l’extérieur du trou noir.

Troisième principe : On ne peut atteindre = 0 par aucun processus physique à comparer avec le troisième principe de la thermodynamique qui dit qu’on ne peut atteindre T = 0par aucun processus physique.

Chapitre 3

Gravitation à trois dimensions et termes de Chern-Simons

3.1 Introduction

Les di¢ cultés que présente la quanti…cation de la relativité générale, qui est une théorie hau- tement non linéaire et non renormalisable [19], ont poussé à la recherche de modèles plus simples tout en gardant les aspects géométriques essentiels de la relativité générale. Un de ces modèles est la gravitation à (2 + 1) dimensions, avec ou sans constante cosmologique [20]. Cett dernière possède une solution trou noir de type Kerr, trouvée par M. Banados, C. Teitelboim et J. Zanelli connue sous les iniciales BTZ [1]. Cette solution est celle des équations d’Einstein avec constante cosmologique négative et elle est donc de courbure constante négative. Elle possède un horizon d’événement et des propriétés globales non triviales. Cette théorie est cependant non dynamique car elle ne possède pas de degré de liberté dynamiques ; il n’y a pas des ondes gravitationnelles dans la théorie classique ni des gravitons en propagation dans la théorie quantique. Vient ensuite la théorie construite par S. Deser, R, Jackiw et S. Templeton [21] comme remède. C’est la théorie de la gravitation topologiquement massive à trois dimensions (TMG). Le principe de cette théorie est d’ajouter à l’action d’Einstein à trois dimensions, un terme topologique (car il ne contient pas la métrique de façon explicite) appelé terme de Chern-Simons. Cette théorie est dynamique et décrit un graviton massif de spin 2. l’action de TMG est

I =I_E +I_CSG (3.1)

21

Chapitre 3 : Gravitation à trois dimensions et termes de Chern-Simons 22

avecIEl’action d’Einstein avec la constante cosmologique et la constante de gravitation d’Einstein

= 8 G:

IE = 1 2

Z

d³xp

jgj(R 2 ) (3.2)

etI_CSGl’action de Chern-Simons de la gravitation ( est le tenseur complètement antisymétrique de Levi-Cevita à trois dimensions) et ¹

G est la constante de couplage de Chern-Simons I_CSG= 1

4 _G Z

d³x @ +2

3 (3.3)

Cette théorie dynamique de la gravitation à trois dimensions a été proposée dans le cadre plus général des théories de jauge topologiquement massives dans l’espace-temps à trois dimensions. Les équations qui dérivent de l’action (3.1) sont

G + 1

G

C = (3.4)

où

G R 1

2R (3.5)

est le tenseur d’Einstein et

C D R 1

4g R (3.6)

est le tenseur de Cotton qui est symétrique (C =C ) et conservé (D C = 0).

3.2 Electrodynamique et gravitation topologiquement massive

Par la suite on va étudier les solutions trous noirs dans la théorie de la gravito-électrodynamique topologiquement massive (TMGE). Cette théorie est le couplage de la gravitation à trois dimensions avec la théorie de Maxwell augmentée des deux termes de Chern-Simons de la gravitation I_CSG et électromagnétiqueI_CSE. L’action de TMGE s’écrit

I =I_E+I_M +I_CSG+I_CSE (3.7)

où

I_M = 1 4

Z

d³xp

jgjg g F F (3.8)

est l’action de Maxwell et

I_CSE = ^E 2

Z

d³x A @ A (3.9)

Chapitre 3 : Gravitation à trois dimensions et termes de Chern-Simons 23

Le terme de Chern-Simons électromagnétique. ¹

G et _E sont les constantes de couplage de Chern- Simons de la gravitation et de l’électromagnétisme respectivement, et A est le potentiel du champ électromagnétique. Cette théorie décrit, en plus de la propagation du graviton, la propagation d’une particule de masse _E et de spin1:

3.3 Equations réduites

Nous allons, chercher pour cette théorie, des solutions stationnaires à symétrie circulaire en uti- lisant la procédure de réduction dimensionelle [3], que nous résumons ici. On suppose que l’espace- temps à trois dimensions possède deux vecteurs de Killing (@_t et @_'), c’est-à-dire que la métrique g ne dépend plus que d’une seule coordonnée . On peut toujours écrire dans ce cas l’élement d’intervalle d’espace-temps sous la paramétrisation [22],[23].

ds²= _ab( )dx^adx^b+ ²( )R ²( )d ² , A= _a( )dx^a (3.10) avec (x⁰ =t; x¹ ='), où est une matrice2 2

= 0

@ T+X Y

Y T X

1

A (3.11)

Le déterminant det = R², où R² X² peut alors être considéré comme la pseudo-norme d’un

vecteurXd’un espace-temps de Minkowski abstrait de signature( ;+;+)avecX( ) = X⁰ =T; X¹ =X; X² =Y ;

X² = _ijXⁱX^j = T²+X²+Y² (3.12)

et le facteur d’échelle ( )permet la reparamètrisation arbitraire de la coordonnée radiale . Nous rappelons pour le future que les solutions stationnaires correspondent aux chemins de genre espace X ( ) avec R² > 0, et que les intersections de ces chemins avec le cône de lumière futur (R² = 0; T >0)correspondent à des horizons d’événement.

La paramétrisation (3.10) réduit l’action (3.7) sous la forme I =

Z d²x

Z

d L (3.13)

avec le Lagrangien e¤ectif L L= 1

2 1 2 _G

2X: X⁰^X⁰⁰ + 1

2 X⁰²+ ⁰ :X ⁰+ _E ⁰ 2 ₁

(3.14)

Chapitre 3 : Gravitation à trois dimensions et termes de Chern-Simons 24

Dans (3.14),⁰ = _@^@ , et le produit vectoriel est dé…ni par(X^Y)ⁱ= ^ij jklX^kY^l (avec 012 = +1), les matrices de "Dirac" ⁱ sont

0 = 0

@ 0 1 1 0

1

A , ¹ = 0

@ 0 1

1 0 1

A , ² = 0

@ 1 0

0 1

1

A (3.15)

et ^{T 0} est l’adjoint de Dirac du spineur .

La variation du Lagrangien (3.14) suivant le spineur donne l’équation

@ ( :X) ⁰+ _E = 0. Cela signi…e que le terme entre crochet est une constante du mouve- ment, qu’on peut annuler en faisant une transformation de jauge, conduisant à l’intégrale première

0 = ^E

R² ( :X) (3.16)

Cela permet d’éliminer du Lagrangien (3.14) les champs de spineurs et ⁰ en faveur du vecteur

"spin"SE dé…ni par :

S_E =

2 (3.17)

qui est de module nul S²_E = 0 et satisfait l’équation ( qui est équivalente à (3.17)) S⁰_E = 2 _E

R² X^SE (3.18)

En faisant varier le Lagrangien (3.14) suivant la variable X, on obtient alors l’équation dyna- mique pour les champs de vecteurs X,

X⁰⁰=

2 _G 3 X⁰^X⁰⁰ + 2 X^X⁰⁰⁰ 2 ²_E

2R² S_E 2

R²X(S_E:X) (3.19) où pour simpli…er nous avons …xé l’échelle =const. Finalement, la variation du Lagrangien (3.14) par rapport au multiplicateur de Lagrange conduit à la contrainte hamiltonienne

H 1

4 X⁰²+ 2X:X⁰⁰

G

X X⁰^X⁰⁰ + 4 ₂ = 0 (3.20)

où nous avons utilisé l’équation [qui vient de (3.20)]

S_E:X=

2R²

2 ²_E X:X⁰⁰ 3

2 _GX: X⁰^X⁰⁰ (3.21)

Dans les équations précédentes, nous avons gardé le paramètre d’échelle constant libre. Comme l’ansatz (3.10) est stationnaire et à symétrie circulaire, on trouvedetjgj= ², qui montre que

Chapitre 3 : Gravitation à trois dimensions et termes de Chern-Simons 25

a les mêmes dimensions (l’inverse d’une longueur) que les constantes de couplage de Chern-Simons

G et _E. Par la suite, il se révélera pratique de …xer l’échelle comme

= _E (3.22)

(en le prenant, sans perte de généralité, positif), et de remplacer la constante de couplage de la gravitation de Chern-Simons _G par le paramètre sans dimension

E

2 _G (3.23)

Chapitre 4

Trous noirs de Chern-Simons

4.1 Solutions trous noirs de TMGE

Comme nous l’avons cité dans le chapitre précédent, nous allons établir dans ce chapitre des trous noirs stationnaires à symétrie circulaire de la théorie de la gravito-dynamique topologiquement massive (TMGE). Dans le chapitre 3, en utilisant la procédure de réduction dimensionelle, on a pu obtenir les équations qui vont nous permettre dans ce chapitre d’obtenir une classe de trous noirs.

En premier lieu, nous allons d’abord trouver la métrique qui dé…nit le champ de gravitation de ces trous noirs et puis aprés le champ électromagnétique générant ce champ gravitationnel. Dans la seconde partie, nous étudierons la structure globale de ces solutions , examiner leur domaines de régularité et nous construirons leurs diagrammes de Penrose. On calculera, dans la troisième partie, la masse, le moment angulaire et l’entropie de ces nouvelles solutions, et on remarquera qu’elles véri…ent dans tous les cas la première loi de la thermodynamique des trous noirs. Vu la symétrie de ces trous noirs, nous allons montrer dans la section 4 qu’ils admettent quatre vecteurs de Killing locaux générant quatre isométries locales et par conséquent des transformations de coordonnées locales.

Avant d’aborder notre travail, rappelons d’abord que dans [3] les auteurs ont pu établir deux classes spéciales de solutions TMGE en utilisant la réduction dimensionelle, équations (3.17), (3.18), (3.19), (3.20), et (3.21) : les solutions selfs-duales, qui sont asymptotiquement Minkowskiennes ou anti-de-Sitter et les solutions diagonales (statiques). Nous allons établir une famille de solutions

26

Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons 27

trous noirs de TMGE en utilisant l’ansatz [5]

X= ²+ + (4.1)

qui est un vecteur d’ordre2 en et où ; ;et sont des vecteurs constants linéairement indépen- dants.

Comme nous l’avons cité dans le chapitre 3, X( ) est un vecteur d’un espace-temps de Min- kowski abstrait de signature( ++)qui possède trois composantesT; X etY. CommeXdépend de trois vecteurs constants ; ;et qui sont eux aussi des vecteurs du même espace-temps abstrait, la solution dépend donc à priori de neufs paramètres. Mais on va réduire ce nombre en utilisant les équations du champ. En e¤et, insérons (4.1) dans la contrainte hamiltonienne (3.21) qui va le réduire à une équation du second ordre en . Cette dernière n’est satisfaite que si les vecteurs ; et seront liés par trois contraintes. Le terme en ² et le terme en nous donnent deux contraintes

2 = 0; ( : ) = 0 (4.2)

et le terme constant nous donne la contrainte

2+ 4 : + ( ^ ): + ₂

E

= 0 (4.3)

Il est facile de constater que les deux contraintes (4.2) peuvent être remplacées par deux nouvelles contraintes plus pratiques pour le calcul

^ =d , ²=d² (4.4)

oùdest une constante. On remarque qu’il est donc nécessaire de trouver la valeur de cette dernière pour dé…nir d’une façon unique les contraintes (4.4) qui relient les vecteurs et entre eux et ensuite les utiliser avec la contrainte (4.3) pour trouver une liaison entre les vecteurs et . Pour le faire, calculons à partir de l’équation (3.22) le produit scalaire

S_E:X=b( : )R²; b= 1 + 3d (4.5) En remplaçant cette expression dans l’équation (3.20), nous obtenons l’expression plus simple du

"spin"

S_E =b 2 ( : )X R² (4.6)

Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons 28

Un calcul simple permet d’obtenir la dérivée de SE

S⁰_E = 2b ² + ( : ) ( : )

= 2bd[d + ^ ] (4.7)

où le produit vectoriel ^ est évalué en s’aidant de (4.4). D’autre part, le produit vectoriel de X avec S_E qui est donné par (4.6) est facilement calculé

X^S_E =b[d + ^ ]R² (4.8)

Remarquons que les termes des deux équations (4.7) et (4.8) sont les membres de gauche et de droite respectivement de l’équation (3.19) pour le champ de jauge. Il est clair que cette dernière n’est satisfaite que dans deux cas. La première solution estb= 0, c’est-à-dire d’aprés (4.5) et (4.6), d= ₃^{2 G}

E et SE = 0, qui n’est autre que le cas de TMG. Cette solution ne nous interesse pas car on veut étudier des trous noirs de TMGE. C’est le deuxième solution, où l’équation (3.19) est aussi satisfaite, qui nous interesse

d= 1 (4.9)

Cette valeur de d nous permet, en s’aidant de l’équation de la contrainte (4.3), de trouver une troisième contrainte qui n’est autre que le produit scalaire :

: = 1 + 4 = ²_E

4(1 ) (4.10)

Comme nous l’avons mentionner auparavent, la solution dépend de neuf paramètre qui sont les composantes des trois vecteurs constants ; ;et du vecteurXde l’espace-temps abstrait. Comme ces trois vecteurs constants sont liés entre eux par les trois contraintes ² = 1; ^ = et : = ¹⁺⁴₄₍₁ ⁼₎^2E, la solution ne dépend plus que de cinq paramètres. Rappelons que les trous noirs stationnaires et axisymétriques sont caractérisés seulement par deux paramètres : leur masse et leur moment angulaire. Donc le nombre de paramètres libres devrait se réduire à deux. E¤ectivement, ceci est réalisable en tenant compte du groupe de transformations à trois paramètres qui laisse la forme de l’ansatz (4.1) (avec = _E et la période de l’angle '…xée) invariante : les translations de , la transition des repères en rotation uniforme, et les changements d’échelle respectivement de longueur ( ) et de temps (t). Cependant, pour pouvoir comparer avec les solutions données dans [24], nous introduisons le paramètre d’echelle de temps p

c. Choisissons un repère en rotation et

Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons 29

une échelle longueur-temps de telle sorte que = (c=2; c=2;0). Dans ce repère

= (c=2; c=2;0); = (!; !; 1); = (z+u; z u; v) (4.11) Il est d’abord important de remarquer que les vecteurs ; ;et sous cette forme véri…ent les deux contraintes (4.4) et ne véri…ent la troisième (4.10) ( : = cz) que si

z= 1 ²

2c (4.12)

où

2= 1 2 4 = ²_E

2(1 ) (4.13)

Au chapitre 3 on a vu queR² X² et en s’inspirant de l’expression de X², calculée par l’équation (4.1), et du repère (4.11) on peut exprimer R² en fonction de

R² = ^{2 2} 2(v+ 2!z) +v² 4uz (4.14) On remarque que si ² 6= 0, une simple translation de annulle le terme linéairev= 2!z et rend l’expression de R² plus simple (v² 4uz= ^{2 2}₀)

R² = ²( ^{2 2}₀) (4.15)

où maintenant les deux paramètres indépendants restants du repère (4.11) sont ₀ et ! tels que v = ^!_c(1 ²) etu= ¹₂h

c ² 1 ²

20+^!_c²(1 ²)i

:Cette restriction nous permet d’otenir une classe de trous noirs de la gravitation topologiquement massive couplée à un champ électromagnétique (TMGE) et qui a …nalement pour métrique les deux formes équivalentes. La forme

ds²=U dt+Y Ud'

2 R²

U d'²+ d ²

2ER² où U; V etY sont calculés en utilisant (4.1) et le repère (4.11)

U = T+X= 1 ² c

V = T X=c ²+ 2! +!²

c 1 ² + c ^{2 2}₀

1 ²

Y = + 1 ² !=c

c’est-à-dire

ds² = 1 ²

c dt c

1 ² +! d'

2 c ²

1 ²( ^{2 2}₀)d'² + 1

2 2E

d ²

2 2

0

(4.16)

Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons 30

ou bien la forme ADM

ds² = U Y²

V dt²+V d'+Y Vdt

2

+ d ²

2ER² et

ds² = ²

2 2

0

r² dt²+r²

"

d' + 1 ² !=c

r² dt

#2

+ 1

2 2E

d ²

2 2

0

(4.17) avec

r²=c ²+ 2! +!²

c 1 ² + c ^{2 2}₀

1 ² (4.18)

Remarquons d’abord que cette métrique sous ses deux formes est singulière en = ₀. On va voir par la suite que ces deux valeurs de ne sont pas des singularités mais ce sont les deux horizons d’un trou noir si ²₀ > 0. Donc cette métrique est bien celle d’un trou noir et elle est très similaire dans sa forme à celle donnée dans [25]. Si on regarde la solution (4.16), elle évoque une métrique lorentzienne pour les deux cas ² > 1 et c > 0, ou ² <1 et c <0, mais la forme Arnowitt-Deser-Misner (ADM) (4.17) montre que les conditions r² >0et ² >0 sont su¢ santes pour que la métrique ait la signature lorentzienne. Par ailleurs, nous montrerons par la suite, en étudiant la structure causale de cet espace-temps,que ce trou noir n’est causalement régulier que si c >0 et ² <1. En conclusion, cette classe de trous noirs n’est régulière que dans le domaine

0< ² <1 ()

8>

<

>:

2 >1 ⁴2 E

si < ₄^2E 2 <1 ⁴2

E

si > ₄^2E

(4.19)

Par ailleurs, il est possible d’étendre la solution aux cas ² = 1 et ² = 0 et nous allons les traiter maintenant.

Cas où ² = 1 ( = ²_E=4)

Dans ce cas les paramètres z=v= ₀ = 0et il ne reste que le paramètre u libre. La métrique est dans ce cas la même que (4.17) avec

2= 1; ₀= 0; r² = c ²+ 2! + 2u (4.20)

Cas où ² = 0 (2 = 1 4 = ²_E)

Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons 31

Dans ce cas le paramètre z = 1=2c. L’expression (4.14) de R²devient linéaire en , le terme quadratique s’annulle. Si v+!=c 6= 0, on peut annuler le terme constant (u =cv²=2) par une translation de .R² prend la forme

R² = 2 (4.21)

La métrique pour ce cas particulier s’écrit alors pour les deux formes équivalentes ds²= 1

c[dt c( + +!=c)d']² 2c d'²+ d ²

2 ²_E (4.22)

ou

ds² = 2

r² dt²+r² d' + +!=c r² dt

2

+ d ²

2 ²_E (4.23)

avec

r²= c ²+ 2! +c( +!=c)² (4.24)

Là aussi la métrique est singulière en = 0mais en verra que ce cas est un horizon simple et donc que c’est une métrique d’un trou noir. Elle n’est régulière que si c >0 et! > c =2.

Mais que se passera-t-il si !0. Ce cas exceptionnelv+!=c= 0, nous donne une métrique sans horizon et qui prend la forme, en faisant une translation de ! !=cet en posant 2u c ²₁

ds² = 1

c[dt c d']² c ²₁d'²+ d ²

2 E 2

1

(4.25)

=

21

c( ^{2 2}₁)dt²+c( ^{2 2}₁) d'

c( ^{2 2}₁)dt

2

+ d ²

2E 2 1

(4.26) Dans le cas où = ²_E=4et = 1, l’équation (4.13) est indéterminée, donc la contrainte (4.3) est satisfaite pour toutes les valeurs du produit scalaire : = zet par voie de conséquence pour toutes les valeurs de ².

Cette étude des di¤érents domaines de ² nous permet de conclure que cette classe de trous noirs réguliers est donnée par la forme (4.16) ou (4.17) pour0< ² 1(avec ₀ = 0 pour ²= 1), ou par (4.22) ou (4.23) dans le cas limite ²= 0.

L’équation (3.18) reliant le "spin"S_E au champ , avec l’expression deS_E donnée par l’équation (4.6) nous permettent de calculer le champ électromagnétique générant ce champ gravitationnel et on complètera de cette manière notre solution trou noir. Cette résolution donne pour 0< ² 1

A=

r c(1 3 )"

1 ²

c dt + 1 ² !=c d'

#

(4.27)

Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons 32

et pour le cas limite ² = 0 A=

r c(1 3 ) 1

cdt ( + +!=c)d' (4.28)

On peut, par une transformation de jauge, annuler le potentiel électrique et donc a¢ rmer que ce champ est purement magnétique.

Dans l’article [26], les auteurs ont montré que le signe de la constante gravitationnelle dans la gravitation d’Einstein à (2 + 1)D n’est pas …xé. En regardant de près le terme sous la racine carré de l’expression du champ électromagnétique (4.27) et (4.28), on constate que la réalité de ce dernier impose une restriction supplémentaire sur le domaine d’existence de ces solutions trous noirs. En e¤et, si c >0, le rapport des deux constantes de couplage de Chern-Simons doit être délimité par _E= _G>2=3. Ceci conduit à un trou noir régulier(0 ² 1)sic >0et < ²_E=12.

Maintenant si c <0, la limite est inversée _E= _G <2=3. Le trou noir n’est régulier que si c >0 et ²_E=4:

Mais que se passera t-il si le rapport entre eux est _E= _G= 2=3. On remarquera que le champ électromagnétique s’annulle et il est évident que les métriques des trous noirs (4.16) ou (4.17) [ou bien (4.22) ou (4.23) mais dans ce cas = ²_E=12 = ²_G=27] résolvent les équations des trous noirs de TMG.

Dans le casc <0, nos solutions coïncident avec les solutions avec horizon de TMG avec constante cosmologique donnée dans [5] ,[28][voir aussi [29] équation (18)], qui ne sont pas des trous noirs réguliers. Par ailleurs, si = 0 ( ² = 1=4) etc= 1=4, les métriques des trous noirs (4.16) et (4.17) se réduisent respectivement aux équations (4) et (6) des trous noirs de TMG des auteurs de [25], en faisant le changement d’échelle !2 , ₀ !2 ₀ et en prenant _G= 3.

Le cas exceptionnelc= 0qui correspond à = 0implique une fois de plus la nullité du champ électromagnétique. Dans ce cas, la métrique se réduit à celle donnée dans [22] puisque (4.1) se réduit à X = + et que l’équation (4.3) devient ² = 4 = ²_E. Cette métrique décrit, pour

<0;les trous noirs bien connus de BTZ [27].

Les auteurs de l’article [28] ont donné une classe de solutions de la théorie d’Einstein-Maxwell- Chern-Simons. Il est donc nécessaire de les comparer avec nos solutions TMGE en faisant quelques commentaires. A la limite !0 ( _G ! 1), la constante de couplage du terme de Chern-Simons de la gravitation tend vers zéro, et de ce fait TMGE se réduit pour une constante cosmologique négative = ` ² à la théorie d’Einstein-Maxwell-Chern-Simons considérée par les auteurs dans

Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons 33

[28], en prenant = uE=2. Dans [28] les auteurs supposent que = 8 Gest positif et donc dans ce cas notre champ électromagnétique (4.27) ne sera réel que si c <0, or pour cette condition les solutions admettent nécessairement des courbes fermées de genre temps. Notant que pour _G ! 1 notre constante ² est connectée avec leurs paramètres par la relation

1 ² =

2`² 1

2 ²`² (4.29)

Signalons que les auteurs de [28] trouvent deux genres de solutions trous noirs : la solution

"Gödel cosmon" [eq. (17) de [28]] avec ²`² > 1 et la solution "Gödel trou noir " [eq. (31) [28]].

Ces solutions peuvent être retrouvées via les équations (4.16) et (4.17) en reliant notre coordonnée radiale et leur coordonnée r [28] par la relation = 2 r (1 ²)!=c, avec c = (1 ²) à noter que [le signe supérieur est pour le cas de l’équation (17) et le signe inférieur dans le cas de l’équation (31)], et les constantes d’intégration ! et ₀ sont reliées aux constantes etJ par

! = ; ²₀= ^{2 2} 2 J = 2G

2 = 4 `²G

1 + ²`² (4.30)

4.2 Structure globale

Dans cette section nous allons étudier la structure globale de notre espace-temps et voir les di¤érents domaines où celui-ci est régulier. Nous allons voir que l’extension analytique maximale de l’espace-temps est possible au-delà de l’horizon extérieur en le représentant par un diagramme de Penrose, mais en verra qu’il y a apparition de courbes fermées de genre temps, qui sont dans certains cas nues ( en dehors de l’horizon extérieur).

Pour pouvoir analyser les propriétés des trous noirs stationnaires d’une manière facile, il est plus commode d’avoir recours à la paramétrisation d’Arnowitt-Deser-Misner (ADM). Rappelons que cette dernière est mise au point initialement pour la formulation canonique et la quanti…cation de la relativité générale :

ds² = N²dt²+h_ij(dxⁱ+N^jdt)(dx^j +N^jdt)