DS2-2012_Corrigé

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DS2-2012_Corrigé

Partie A : « Calcul vectoriel »

1. Présentation du mécanisme

Sur la figure ci-contre sont définis deux repères orthonormés directs R0 (O, x, y, z) et R1 (O, x, v, w).

On définit également deux points P et M de coordonnées respectives :

z y x

OP r r r

4 3

2 + +

=

^et

OM x r y r z r 2 4

2 − +

=

2. Travail demandé :

Question A-1 : Exprimer les coordonnées de v et w dans le repère R0.



 



−

=

+

=

y z

w

z y

v

. sin . cos

. sin . cos

α α

α α

Question A-2 : Calculer la norme des vecteurs : OP

et

OM .

 

 



= + +

=

= + +

=

24

² 2

² 4

² 2

29

² 4

² 3

² 2 OM

OP

Question A-3 : Calculer les produits suivants : OP ⋅ x

^;

v ⋅ x

^;

v ⋅ y

^;

v ⋅ z

^;

OM ∧ x

^;

v ∧ x

^;

v ∧ y

^;

v ∧ z .

α α sin cos

0 2

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

z v

y v

x v

x OP

et

x x

z v

x y

v

w x v x OM

. cos 2 .

sin

. sin

4 2 0

0 0 1

2 4 2

α π α α

=

 

 



 −

=

∧

−

=

∧

−

=

∧

 







 







 =

 





 







 ∧

 





 







−

=

∧

Question A-4 : Déterminer les coordonnées d’un point N telles que : ON ⊥ OP

^;

ON ⊥ x

^et

ON = 5 .

En utilisant la méthode du produit vectoriel :

En effectuant le produit vectoriel :

OP ∧ x = T

on obtient un vecteur perpendiculaire au plan formé par

OP

et

x

.



 







 





−

 =

 







 





 ∧

 







 





=

=

∧

3 4 0

0 0 1

4 3 2 T x OP

Or on veut que

ON = 5

. On peut trouver deux solutions : soit

5 T

ON = T

^ou

5

T ON = − T

Or

T = 5

d’où les 2 solutions sont

 







 







−

= 3 4 0 ON

ou

 







 







−

= 3

4

0

ON

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En utilisant la méthode du produit scalaire :

On pose

ON = X . x + Y . y + Z . z

où X, Y, Z sont les coordonnées que l’on cherche. Et on traduit les conditions pour la position du point N en relations mathématiques sur ces coordonnées :

1 0 4 3 2

0 X Y Z eq

OP ON OP

ON ⊥ ⇒ ⋅ = ⇒ + + =

2 0

0 X eq

x ON x

ON ⊥ ⇒ ⋅ = ⇒ =

3 5

²

²

²

5 X Y Z eq

ON = ⇒ + + =

En substituant l’équation 2 dans l’équation 1, on obtient :

3 Y + 4 Z = 0 eq 4

Pour finir il suffit de substituer les équations 2 et 4 dans l’équation 3 :

5 3

9

² 5 25

² 3 ²

4  + = ⇒ = ⇒ =



 



 −

Z Z Z Z

Il y a donc deux solutions pour Z : Z = 3 ou Z = -3 et par conséquence, il y aura également 2 solutions pour Y : Y = ± 4

On obtient bien 2 solutions identiques à la méthode précédente :

 







 







−

= 3 4 0 ON

ou

 







 







−

= 3

4 0 ON

Partie B : « Table basculante »

1. Présentation du mécanisme

La table basculante présentée par le schéma cinématique de la fig. 1 est destinée à basculer des plaques de verre de grandes dimensions. Le maintien des plaques est assuré par un réseau de ventouses relié à un générateur de vide. Le basculement de la table S3 est commandé par la translation du vérin. Ce dernier est composé d’un corps S1 et d’une tige S2.

La course du vérin permet de basculer la table pour l’amplitude suivante : 30° < β < 110 °.

Sur la figure 1, le paramétrage est partiellement donné : -

R 0 ( O , X 0 , Y 0 , Z 0 )

est le repère lié à S0 -

R 1 ( A , X 1 , Y 1 , Z 0 )

est le repère lié à S1 -

R 3 ( O , X 3 , Y 3 , Z 0 )

est le repère lié à S3 - α est le paramètre angulaire de S1/S0

- β est le paramètre angulaire de S3/S0

- λ est le paramètre de distance de S2/S1 avec

AB = λ .Y 1

Les dimensions constantes du système seront notées de la façon suivante :

OA = a

^;

OB = b

2. Travail demandé

Question B-1 : Etablir le graphe de structure en indiquant la position et l’orientation de toutes les liaisons

Question B-2 : Terminer le paramétrage en définissant un repère et des paramètres liés à S2.

) 0 , 1 , 1 , (

2 B X Y Z

R est le repère lié à S2 S0

S3 S2

S1

Pivot glissant // (A, B)

Pivot // (O, Z0)

Pivot // (B, Z0)

S3 S1

S0

X0 Y0

Y1

α

O A

B

λ Fig. 1

X3

S2

X1 β

Pivot // (A, Z0)

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Question B-3 : Représenter les repères R1 et R3 sur deux figures planes par rapport à R0. Choisir des valeurs d’angle comprises entre 0 et + π ^/2

Question B-4 : En écrivant une boucle vectorielle passant par les points O, A, B , déterminer la loi

« Entrée/Sortie » de cette table : β ^{= f(} λ ⁾ 3

0 1

. Y a X b X

OB AO

AB = + ⇒ λ = − ⋅ + ⋅

( ^{− sin ⋅ X 0 + cos ⋅ Y 0} ) ^{= − a ⋅ X 0 + b (cos ⋅ X 0 + sin ⋅ Y 0 )}

⇒ λ α α β β

On en déduit 2 équations scalaires : ( )

( )

 



= +

−

=

−

2 sin

cos

1 cos

sin

eq b

eq b

a β α

λ

β α

λ

En ajoutant les 2 équations au carré on obtient : eq 1

²

+ eq 2

²

⇒ λ ² = a ² + b ² − 2 ab cos β eq 3 Etant donné que λ est toujours positif on peut en déduire les deux relations suivantes pour relier β et λ :

β

λ = a ² + b ² − 2 ab cos

^;





 





−

−

= −

ab b a 2

²

² arccos λ ² β

Question B-5 : Déterminer la longueur du vérin λ quand la table est verticale β ^{= 90°.}

²

² b a + λ =

Question B-6 : Déterminer les longueurs mini et maxi que doit avoir le vérin ( λ ^{mini et} λ ^maxi ) pour que la table ait l’amplitude de basculement prévue : 30° < β < 11 ^0°.

30 cos 2

²

²

min = a + b − ab

λ et λ max = a ² + b ² − 2 ab cos 110

Partie C : « Vérin mécanique d’appoint »

1. Présentation du mécanisme

Le petit vérin mécanique représenté sur la fig. 2 permet de soulever et maintenir un élément ou une machine que l’on veut rehausser. Les pièces que l’on veut soulever ne présentent pas toujours un appui selon un plan horizontal. C’est pourquoi la pièce 4 de ce vérin peut s’adapter à l’inclinaison du plan

de contact de la pièce supportée.

Le dessin est donné en vue de face (demi-coupe A-A et demi-vue extérieure sauf les pièces 3 & 4) et en vue de dessus (coupe complète).

La lecture de la nomenclature (ci- contre) permet de comprendre la fixation de la pièce 8 dans la pièce 1.

8 1 Goupille cylindrique 16 Ni Cr 6 Montée serrée dans 1

7 1 Rondelle spéciale S 235

6 1 Vis CHC M10 x 22

5 1 Ecrou à embase C 22

4 1 Support taraudé C 32

3 1 Chapeau vissé C 22

2 1 Vis spéciale à tête sphérique C 32

1 1 Corps de vérin EN GJL 300

Rep. Nb Désignation Matière Observations

X0 Y0

Y3

β O

A B X3 β

X0 Y0

Y1

O α

A B

X1 α

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2. Analyse du mécanisme

Question C-1 : Quelle est la fonction de chacune des pièces suivantes : 5, 7, 8 ? Ecrou 5 : permettre la commande de translation de la vis 2.

Rondelle 7 : réaliser une butée de fin de course pour la translation de la vis 2.

Goupille 8 : permet l’arrêt en rotation de la vis 2 par rapport au corps 1.

Question C-2 : Sachant que les pièces 3 et 4 sont de révolution, dessiner en perspective isométrique et à main levée les pièces 1, 3 et 4.

Question C-3 : Expliciter la désignation des matériaux utilisés pour la fabrication des pièces 1 et 8.

EN GJL 300 Fonte à graphite lamellaire avec Rm = 300 Mpa

16 Ni Cr 6 Acier faiblement allié avec 0,16% de carbone, 1,5% de nickel et des traces de chrome.

Question C-4 : Etablir le graphe de structure et tracer le schéma cinématique de ce vérin.

Fig. 2