• Aucun résultat trouvé

Instabilités thermo-viscoplastiques aux grandes vitesses de déformation

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Instabilités thermo-viscoplastiques aux grandes vitesses de déformation"

Copied!
180
0
0

Texte intégral

(1)

HAL Id: tel-01775696

https://hal.univ-lorraine.fr/tel-01775696

Submitted on 24 Apr 2018

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Instabilités thermo-viscoplastiques aux grandes vitesses

de déformation

Claude Fressengeas

To cite this version:

Claude Fressengeas. Instabilités thermo-viscoplastiques aux grandes vitesses de déformation. Autre. Université Paul Verlaine - Metz, 1986. Français. �NNT : 1986METZ004S�. �tel-01775696�

(2)

AVERTISSEMENT

Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de

soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la

communauté universitaire élargie.

Il est soumis à la propriété intellectuelle de l'auteur. Ceci

implique une obligation de citation et de référencement lors de

l’utilisation de ce document.

D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction illicite

encourt une poursuite pénale.

Contact : ddoc-theses-contact@univ-lorraine.fr

LIENS

Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4

Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10

http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php

(3)

D E T H E S E D O C T O R A T D I E T A T E S S C I E N C E S M A T H E M A T I O U E S MECANIQUE p r é s e n t é e à l r U n i v e r s i t é d e È l e t z p o u r obtenir I e g r a d e de D O C T E U R E S SCIENCES p a r C l a u d e F R E S S E N G E A S BIBLIOTHEQU Ê U NIVERSITAIRE - METZ

oo8tS

I N S T A B I L I T E S T H E R " I ' { O . V I S C O P L A S T I Q U E S A U X G R A N D E S V I T E S S E S D E D E F O R M A T I O N

slt sGl+

H

S o u t e n u e p u b l i q u e m e n t l e 6 J u i n 1 9 8 6 devant l - e J u r y c o m p o s é de: L . B R U N J . K L E P A C Z K O A . M O L I N À R I Q . S . N G U Y E N G . F E R R O N M . P O T I E R - F E R R Y E c o I e P o l y t e c h n i q u e Université de Metz U n i v e r s i t é d e M e t z E c o l e P o l y t e c h n i q u e U n i v e r s i t é d e M e t z U n i v e r s i t é d e M e t z Président Rapporteur il t l E x a m i n a t e u r il

(4)
(5)

L C e t t e é t u d e a é t é r é a l i s é e à t a F a c u 1 t é d e S c i e n c e s d e M e t z , a u L a b o r a t o i r e d e P h y s i q u e e t M é c a n i q u e d e s M a t é r i a u x , a s s o c i é a u C . N . R . S . d e p u i s c e t t e a n n é e 1 9 8 6 ; e l I e a é t é f i n a n c é e e n g r a n d e p a r t i e p a r l a D . R . E . T . ( D i r e c t i o n d e s R e c h e r c h e s E t u d e s e t T e c h n i q u e s ) q u e j e r e m e r c i e p o u r c e c o n c o u r s f i n a n c i e r . ( C o n t r a t s 8 3 / L O 7 L e t 8 5 / L L 6 0 ) M . L o u i s B R U N , p r o f e s s e u r à 1 ' E c o l e P o l y t e c h n i q u e a a c c e p t é p r é s i d e r I e J u r y c h a r g é d e j u g e r c e t t e t h è s e . I t m e f a i t a i n s i h o n n e u r e t u n p l a i s i r p o u r t e s q u e l s j e t i e n t à l u i e x p r i m e r r e s p e c t u e u s e r e c o n n a i s s a n c e . M . N G U Y E N O u o c S o n , D i r e c t e u r d e R e c h e r c h e C . N . R . S . à I ' E c o l e P o l y t e c h n i q u e , e t M . J a n u s z K L E P À C Z K O , P r o f e s s e u r e t c h e r c h e u r C . N . R . S . à I ' U n i v e r s i t é d e M e t z , o n t b i e n v o u l u p a r t i c i p e r à c e J u r y , e t s e c h a r g e r d e l a l o u r d e t a c h e d e r a p p o r t e u r . Q u r i l s v e u i l l e n t b i e n t r o u v e r i c i I ' e x p r e s s i o n d e m a p r o f o n d e r e c o n n a i s s a n c e . À l a i n M O L I N A R I o c c u p e d a n s c e j u r y u n e p l a c e p r i v i l é g i é e : l a p e r s p i c a c i t é e t l a f i n e s s e d e s o n j u g e m e n t s c i e n t i f i q u e , s o n i n f a t i g a b l e r i g u e u r , s o n g o û t p a s s i o n n é p o u r 1 a r e c h e r c h e s c i e n t i f i q u e e t s o n a m i t i é b i e n v e i l l a n t e s o n t p o u r b e a u c o u p d a n s I ' a b o u t i s s e m e n t d e c e t r a v a i l , c a r i l s m ' o n t a p p o r t é u n e x e m p l e s t i r n u l a n t , e n m ê m e t e m p s q . t . f ' a i d e l a p l u s e f f i c a c e . I I m ' e s t a g r é a b l e d e p o u v o i r l u i e x p r i m e r i c i t o u t e m o n a m i c a l e r e c o n n a i s s a n c e . M e s r e m e r c i e m e n t s v o n t é g a l e m e n t à G é r a r d F E R R O N e t M i c h e l P O T I E R - F E R R Y , p : : o f e s s e u r s à I ' U n i v e r s i t é d e M e t z , q u i m ' o n t f a i t I ' a m i t i é d e s ' i n t e r e s s e r à m o n t r a v a i l , ê t o n t b i e n v o u l u p a r t i c i p e r à c e J u r y . J e s u i s é g a l e m e n t r e d e v a b l e à G i I I e s C À N O V À , q u i m ' a d é v o i l é l e s M y s t è r e s d u P o l y c r i s t a l ; s o n i n s a t i a b l e c u r i o s i t é s c i e n t i f i g u e , s o n d y n a m i s r n e e t s o n e n t h o u s i a s m e c o m m u n i c a t i f s , ê D m ê m e t e m p s q u e s a de u n m a

(6)

g e n t i l l e s s e , o n t f a i t d e n o t r e t r a v a i r e n c o m m u n u n e expérience dont j ' a i t i r é b e a u c o u p d e p l a i s i r e t d ' e n s e i g n e m e n t s . J e t i e n s à a s s o c i e r à c e t r a v a i r l e s e n s e i g n a n t s d e M é c a n i q u e d e l a F a c u l t é d e s S c i e n c e s d e M e t z ( M a î t r i s e d e T e c h n o l o g i e d e c o n s t r u c t i o n , d e G é n i e M é c a n i g u e , c A p E T , À g r é g a t i o n d e M é c a n i q u e . . ) et c e l a à d o u b r e t i t r e : d ' u n e p a r t p o u r I ' a m b i a n c e c h a l e u r e u s e q u , i l s ont s u c r é e r e n t r e n o u s e t d a n s l a q u e l 1 e s ' e s t d é r o u 1 é c e t r a v a i l , d , a u t r e p a r t p o u r I a d i s p o n i b i r i t é q u ' i 1 s m ' o n t a p p o r t é e e t s a n s l a q u e l r e c e t t e é t u d e n ' a u r a i t p u v o i r l e j o u r . J e n e p u i s r e m e r c i e r l , u n p l u s q u e l r a u t r e ; c h a c u n m ' a y a n t a i d é à s o n h e u r e a d r o i t é g a l e m e n t à m a g r a t i t u d e . M a r e c o n n a i s s a n c e I a p l u s s i n c è r e M a r t i n e , m o n é p o u s e , s a n s I a q u e l l _ e r i e n p o s s i b l e . A r a i n B i l o c q a r é a r i s é a v e c s o i n e t c o m p é t e n c e r e s f i g u r e s e t l e u r m i s e e n p a g e ; i r a a s s u r é r ' é d i t i o n d e c e t t e t h è s e e t j e r r e n r e m e r c i e v i v e m e n t . E n f i n j e r e m e r c i e M a d e m o i s e l l e c o r i n n e M a r c e l e t q u i m , a a i d é d a n s la frappe d u p r e m i e r c h a p i t r e d e ce texte e t l a p l u s p r o f o n d e . v a à d e t o u t c e l a n r a u r a i t ê t ê

(7)

3

T a b l e d e s m a t i è r e s .

I n t r o d u c t i o n .

C h a p i t r e 1 - .

r- Représentations du comportement prastique anisotrope aux g r a n d e s d é f o r m a t i o n s . 1 - I n t r o d u c t i o n . 2 - E c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e c o r o t a t i o n n e l . 3 - E c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e c o n v e c t i f . 4 - E c r o u i s s a g f e c i n é m a t i q u e e n r o t a t i o n p r o p r e . S - I n t e r p r é t a t i o n d a n s t a t h é o r i e d e s r e p è r e s A n n e x e J - : C h a n g e m e n t s d e repères. A n n e x e 2 : C i n é m a t i q u e d e l a r o t a t i o n p r o p r e . A n n e x e 3 : C i n é m a t i q u e d u g t i s s e m e n t . R é f é r e n c e s d u c h a p i t r e l - I . L i s t e d e s f i g u r e s d u c h a p i t r e 1 - I .

?

J O

^ o

À t

À 9

g ô *<, d i r e c t e u r s . J t l {,:

"L3

è l à 3

3 s

I I -d é f o r m a t i o n . À p p r o c h e d e 1 ' é c r o u i s s a g e t e x t u r a r a u x g r a n d e s v i t e s s e s d e R é f é r e n c e s d u C h a p i t r e 1 - I I

3 6

4+

(8)

tl.

?

c h a p i t r e 2 : E f f e t s d r i n e r t i e e t e f f e t s t h e r m i q u e s s u r r a t - o c a t i s a t i o n d e l a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e à g r a n d e v i t e s s e . h g L - I n t r o d u c t i o n . l ' t t 2 - E q u a t i o n s f o n d a m e n t a t e s . , 2 , 3 - A n a l y s e d e s t a b i f i t é l i n é , a i r e . 5 6 3 - l : E q u a t i o n s l i n é a r i s é e s . 5 6 3 - 2 : D é f o r m a t i o n d y n a m i q u e i s o t h e r m e . î g 3 - 3 : D é f o r m a t i o n q u a s i - s t a t i q u e . 6 3 3 - 4 : D é f o r m a t i o n d y n a m i q u e . C T 3 - 5 : A s p e c t s t r i d i m e n s i o n n e t s . + o 4 - À n a l y s e s n o n - l i n é a i r e s . + ' t 4 - l : C h a r g e m e n t q u a s i - s t a t i q u e . * l A - 2 : D ê f o r m a t i o n d y n a m i q u e . T d 4 - 3 : p r o c e s s u s d y n a m i q u e s q u a s i _ a d i a b a t i q u e s . g o S - C o n c 1 u s i o n . g 3 A n n e x e : A n a l y s e t r i d i m e n s i o n n e l l e 1 i n é a r i s é e . ? S R é f é r e n c e s d u C h a p i t r e 2 . g * L i s t e d e f i g u r e s d u C h a p i tre Z

a1

C h a p i t r e 3 : I n s t a b i l i t é e t l o c a l i s a t i o n d e g l i s s e m e n t s i m p t e à g r a n d e v i t e s s e . 1 a ' l ' d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e d e 1 - I n t r o d u c t i o n . 2 - E q u a t i o n s f o n d a m e n t a l e s . 3 - M é t h o d e s d e p e r t u r b a t i o n I i n é a i r e s c l a s s i q u e s . 4 - M é t h o d e de perturbation r e l a t j . v e . 5 - R é s u l t a t s n o n - t i n é a i r e s ; d i s c u s s i o n . A n n e x e : Théorème de CODDINGTON-LEVINSON. R é f é r e n c e s d u C h a p i t r e 3 . L i s t e d e f i g u r e s d u c h a p i t r e 3 .

5i

s È

) o L

^ 4 4

^2L

BE

zt tro

,/q3

(9)

)

1

c h a p i t r e 4 : À n a t y s e n o n - 1 i n é a i r e a p p r o c h é e d e r a formation d e s bandes de c i s a i l l e m e n t . 1 - I n t r o d u c t i o n . 2 - F o r m u l a t i o n d u p r o b l è m e . 3 - S o l u t i o n s s t a t i o n n a i r e s . 4 - S t a b i l i t é d e s s o l u t i o n s s t a t i o n n a i r e s . 5 - F r o n t i è r e s a d i a b a t i q u e s . R é f é r e n c e s d u C h a p i t r e 4 . L i s t e d e f i g u r e s d u C h a p i t r e 4 .

J\h

C o n c l u s i o n s .

J \ b

) \ 5

r'SL

-Xît

À6\

/12/

) t r J

(10)

1 I n t r o d u c t i o n -L f i n s t a b i l i t é d e I a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e d e n o m b r e u x m a t é r i a u x , m é t a u x ou polYmères, e s t c o u r a m m e n t o b s e r v é e l o r s d e p r o c e s s u s o ù I a v i t e s s e d e d é f o r m a t i o n e s t i m p o r t a n t e . C ' e s t n o t a m m e n t I e c a s d e I ' u s i n a g e à g r a n d e v i t e s s e , d u f o r m a g e p a r e x p l o s i o n o u d u m a g n é t o - f o r m a g e , e t d e s d é f o r m a t i o n s p r o v o q u é e s p a r I ' i m p a c t d . , u n v é h i c u L e o u d ' u n p r o j e c t i r e . D e n o m b r e u s e s o b s e r v a t i o n s c o n d u i s e n t à p e n s e r q u e 1 a l o c a l i s a t i o n d e 1 a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e q u i e n r é s u l t e a g i t c o m m m e un précurseur d e I a r u p t u r e d u m a t é r i a u ; o n c o m p r e n d dès l o r s l - ' i n t é r ê t c o n s i d é r a b r e p o r t é à c e s p h é n o m è n e s , . c o m m e e n t é m o i g n e I f a b o n d a n c e d e l a l i t t é r a t u r e i n t e r n a t i o n a l e . N é a n m o i n s l e s i n s t a b i l i t é s d e s d é f o r m a t i o n s p l a s t i q u e s p r o d u i t e s à g r a n d e v i t e s s e d e m e u r e n t e n g é n é r a r m a l c o m p r i s e s . o n r e s t e e n e f f e t p e r p l e x e d e v a n t r ' é n u m é r a t i o n d e s f a c t e u r s p h y s i q u e s q u i s o n t j u g é s i m p o r t a n t s d a n s r e u r d é v e l o p p e m e n t : é c r o u i s s a g e d u m a t é r i a u , s e n s i b i l i t é à 1 a v i t e s s e d e d é f o r m a t i o n , a d o u c i s s e m e n t t h e r m i q u e e t c o u p r a g e t h e r m o - m é c a n i q u e , c o n d u c t i o n t h e r m i q u e , t r a n s f o r m a t i o n s d e p h a s e , e f f e t s d ' i n e r t i e , a d o u c i s s e m e n t r i é à r ' é v o r u t i o n d e s ' t e x t u r e s , à l r e n d o m m a g e m e n t d u m a t é r i a u , a d o u c i s s e m e n t g é o m é t r i q u e e t c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s . L a p r é v i s i o n d e s i n s t a b i r i t é s d e s s t r u c t u r e s s o u m i s e s à d e s c h a r g e m e n t s c o m p l e x e s à g r a n d e vitesse e s t h o r s de portée à c e j o u r , e t l e s é t u d e s e n c o u r s p o r t e n t e n g é n é r a r s u r r a p r é v i s i o n e t i l i n t e r p r é t a t i o n d ' i n s t a b i l i t é s o b s e r v é e s s u r d e s c o n f i g u r a t i o n s e x p é r i m e n t a l e s r e l a t i v e m e n t s i m p l e s e t s o u s d e s c o n d i t i o n s à l a t i n i t e c o n t r o l a b r e s : s t r i c t i o n e n t r a c t i o n u n i a x i a r e e t b i a x i a l e , b a n d e s d e c i s a i l l e m e n t o b t e n u e s p a r I a t o r s i o n d e t u b e s m i n c e s p a r e x e m p l - e .

(11)

N é a n m o i n s , l e s p r o b l è m e s r e n c o n t r é s d e m e u r e n t p o u r L e s b e s o i n s d e I ' e x p o s é 1 e s r é p a r t i r u n p e u c l a s s e s : n o m b r e u x , ê t 1 ' o n p e u t a r b i t r a i r e m e n t e n trois 1 ) L e s p r o b l è m e s r i é s à t a f o r m u l a t i o n d e s t o i s d e c o m p o r t e m e n t d e s m a t é r i a u x , t a n t a u x g r a n d e s déformations qu'aux grandes vitesses de déformation' tant du point de vue de Ia description phénomènorogique que d e l r i n t e r p r é t a t i o n o n t o l o g i . q u e b a s é e s u r l a p h y s i q u e microscopique. 2 ) L a d e s c r i p t i o n d e I ' i n s t a b i l i t é p r o p r e m e n t d i t e , c ' e s t - à - d i r e d e 1 a c o m p é t i t i o n q u i s e p r o d u i t e n t r e f a c t e u r s s t a b i l i s a n t s : é c r o u i s s a g e , s e n s i b i l i t é à 1 a v i t e s s e d e d é f o r m a t i o n , c o n d u c t i - o n t h e r m i q u e , e f f e t s d r i n e r t i e d ' u n e p a r t , e t l e s f a c t e u r s d é s t a b i l i s a n t s d ' a u t r e p a r t : a d o u c i s s e m e n t g é o m é t r i q u e , t e x t u r a r , t h e r m i q u e , e t e n d o m m a g e m e n t . 3 ) L e s p r o b l è m e s m é t h o d o r o g i q u e s l i é s à 1 ' é t u d e d e i l i n s t a b i r i t é e t d e t a l o c a l i s a t i o n d e d é f o r m a t i o n s p r a s t i q u e s h o m o g è n e s e n g é n é r a l i n s t a t i o n n a i r e s . C e s t r o i s a s p e c t s s e r o n t s u c c e s s i v e m e n t t r a i t é s a u c o u r s de ce t r a v a i l . r r n r e s t n a t u r e l l e m e n t p a s q u e s t i o n d ' é p u i s e r l e s u j e t , n i m ê m e d t e n f a i r e u n e r e v u e e x h a u s t i v e . N o u s p r e n o n s l e p a r t i o " . r , e x p o s e r i c i q u e n o s travaux p e r s o n n e l s , o b t e n u s e n col,Iaboration a v e c À . M O L I N A R ï et G ' c À N o V A , â u r i s q u e d e n e p r é s e n t e r a i n s i q u ' u n e v u e p a r t i e r r e d u s u j e t . A u C h a p i t r e L , n o u s d i s c u t o n s d e l a f o r m u l a t i o n d e l o i s d e c o m p o r t e m e n t a d a p t é e s a u x g r a n d e s d é f o r m a t i o n s p l a s t i q u e s e t a u x g r a n d e s v i t e s s e s d e d é f o r m a t i o n . N o u s p r é s e n t o n s t o u t d ' a b o r d u n c e r t a i n n o m b r e d e m o d è l e s d ' é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e e n g r a n d e d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e , b a s é s s u r d i f f é r e n t e s d é r i v é e s o b j e c t i v e s , e t p o u r v u s d ' e f f e t s d e m é m o i r e . N o u s discutons r e u r s p r o p r i é t é s e n t r a c t i o n - c o m p r e s s i o n s i m p l e e t e n g l i s s e m e n t s i m p l e , n o t a m m e n t du point d e v u e de f instabilité d e s

(12)

d é f o r m a t i o n s p r a s t i q u e s h o m o g è n e s . L e u r s statuts t h e m o d y n a m i q u e s s o n t p r é c i s é s , ê t u n e i n t e r p r é t a t i o n e n e s t d o n n é e d a n s l e c a d r e d e l a t h é o r i e d e s r e p è r e s d i r e c t e u r s d e J . M À N D E L l o r s g u e c e l a e s t p o s s i b l e ( F R E S S E N G E A S - M O L I N A R I l - 9 8 3 ; L , 2 ) . P u i s u n e a p p r o c h e d e I ' a d o u c i s s e m e n t t e x t u r a l d e s m é t a u x a u x g r a n d e s v i t e s s e s d e d é f o r m a t i o n e s t p r o p o s é e ( c A N o v À - M O L T N A R T -F R E S S E N G E À S 1 9 8 4 , c À N o v A e t a t 1 9 g 6 ) , o ù r , o n c o n s i d è r e q u e l e s g r i s s e m e n t s s u r l e s p t a n s c r i s t a l l o g r a p h i q u e s s u i v e n t u n e l o i v i s q u e u s e . L a 1 o i d e c o m p o r t e m e n t ô b t e n u e p e u t ê t r e r e p r é s e n t a t i v e d u c o m p o r t e m e n t d u m o n o c r i s t a l a u x g r a n d e s v i t e s s e s d e d é f o r m a t i o n . L e s c o n s é q u e n c e s r e l a t j - v e s à I ' i n s t a b i l i t é d e L a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e s o n t é g a l e m e n t d i s c u t é e s . L e c h a p i t r e 2 j - ] - l u s t r e l e s i n f l u e n c e s c o n t r a d i c t o i r e s d e s f a c t e u r s s t a b i l i s a n t s : é c r o u i s s a g e , s e n s i b i r i t é à l a v i t e s s e , i n e r t i e , c o n d u c t i o n t h e r m i q u e , ê t d e s f a c t e u r s d é s t a b i l i s a n t s : a d o u c i s s e m e n t t h e r m i q u e e t g é o m e t r i q u e , s u r 1 a d u c t i l i t é d e s m a t é r i a u x e n t r a c t i o n u n i a x i a l e ( F R E S S E N G E À S - M O L I N A R I 1 9 8 5 ) . Les aspects " i s o t h e r m e s , , : t e x t u r e s e t e n d o m m a g e m e n t n e s o n t p a s pris e n c o n s i d é r a t i o n d a n s ce c h a p i t r e , e t I r a c c e n t e s t p o r t é s u r I ' i n f l u e n c e d e s e f f e t s d r i n e r t i e e t des e f f e t s t h e r m i q u e s , q u i p e u v e n t ê t r e p r é p o n d é . . r r 1 = a u x g r a n d e s v i t e s s e s d e d é f o r m a t i o n . L e s m é t h o d e s d e l i n é a r i s a t i o n , c l a s s i q u e s d a n s I r é t u d e d e s p h é n o m è n e s d ' i n s t a b i l i t é , ê u m o i n s p o u r u n e p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n , s o n t u t i l i s é e s e t d i s c u t é e s . D e s a n a l y s e s n o n l i n é a i r e s a n a l y t i q u e s e t n u m é r i q u e s s o n t p r é s e n t é e s , q u i p e r m e t t e n t d e d é c r i r e c o n v e n a b l - e m e n t I ' a c c r o i s s e m e n t d y n a m i q u e d e 1 a d u c t i l i t é , e t s o n a f f a i b t i s s e m e n t a d i a b a t i q u e . L e s r é s u r t a t s t h é o r i q u e s o b t e n u s s o n t c o m p a r é s a u x r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x d i s p o n i b l e s . À u c h a p i t r e 3 , o n m o n t r e q u e l e s c o n c e p t s d ' i n s t a b i l i t é e t d e l o c a l i s a t i o n d e I | é c o u l e m e n t p l a s t i q u e s o n t e n g é n é r a l d i f f é r e n t s , e t

(13)

q u e I a f o r m a t i o n d e s b a n d e s d e c i s a i l l e m e n t n ' e s t p a s e n g é n é r a l c o r r e c t e m e n t p r é d i t e p a r I e c o n c e p t c l a s s i q u e d r i n s t a b i l i t é d e l a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e , m a i s a u c o n t r a i r e p a r c e l u i d e l o c a l i s a t i o n . U n e n o u v e l l e m é t h o d e d e p e r t u r b a t i o n s , a p p e l é e m é t h o d e d e p e r t u r b a t i o n s r e l a t i v e s e s t p r é s e n t é e ( F R E S S E N G E A S - M O L I N A R I 1 9 8 6 ) , q u i p r e n d e n c o m p t e I e c a r a c t è r e i n s t a t i o n n a i r e d e l a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e h o m o g è n e , e t p e r m e t d ' é t u d i e r I a l o c a l i s a t i o n d e l a d é f o r m a t i o n . L e s c r i t è r e s d ' i n s t a b i l i t é f o u r n i s p a r l e s m é t h o d e s c l a s s i q u e s e t l e s c r i t è r e s d e I o c a l i s a t i o n f o u r n i s p a r 1 a m é t h o d e r e l a t i v e s o n t c o m p a r é s , p o u r d i v e r s e s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s , e t i l s s o n t c o n f r o n t é s a u x d o n n é e s e x p é r i m e n t a l e s a c t u e l l e s . L ' i n f l u e n c e d e l a t a i l l e d e s d é f a u t s e t d e I ' a d i a b a t i c i t é d e 1 a d é f o r m a t i o n s u r I ' i n s t a b i l i t é e t L a l o c a l i s a t i o n d e 1 a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e s o n t d i s c u t é e s . L e c h a p i t r e 4 p r é s e n t e d e s r é s u l t a t s a n l y t i q u e s e t n u m é r i q u e s n o n - I i n é a i r e s r e l a t i f s à l a f o r m a t i o n d e b a n d e s d e c i s a i l l e m e n t s o u s c o n t r a i n t e i m p o s é e d a n s d e s m a t é r i a u x à t r è s f a i b l e é c r o u i s s a g e , c o m m e c e r t a i n s a l l i a g e s d e T i t a n e . P o u r d e s c o n d i t i o n s à I a l i m i t e i s o t h e r m e s , o n m e t e n é v i d e n c e u n e c o n t r a i n t e c r i t i q u e a u d e l à d e l a q u e t l e I a d é f o r r n a t i o n p l a s t i q u e e s t n é c e s s a i r e m e n t i n s t a b l e . E n O l s s o u s d e c e t t e c o n t r a i n t e , ! ' i n s t a b i l i t é e s t c o n d i t i o n n e l l e : u n e m é t h o d e d e p e r t u r b a t i o n s n o n - l i n é a i r e s p e r m e t d e m o n t r e r I ' e x i s t e n c e d e d é f a u t s c r i t i q u e s e t d r a p p r o c h e r l e s d é f o r m a t i o n s c r i t i q u e s d e l o c a l i s a t i o n . P o u r d e s c o n d i t o n s a d i a b a t i q u e s à 1 a f r o n t i è r e , u n e m é t h o d e d e p e r t u r b a t i o n s n o n - 1 i n é a i r e s r e l a t i v e f o u r n i t é g a l e m e n t u n e a p p r o x i m a t i o n d e s d é f o r m a t i o n s c r i t i q u e s d e l o c a l i s a t i o n .

(14)

)lo C H A P I T R E é s e n t a t i o n s d u ement I a s t i a n i s o t r e aux d é f o r m a t i o n s 1 . . I n t r o d u c t i o n L e s m o d è r e s d ' é c r o u i s s a g e c i n é m a t i g u e r e p r é s e n t e n t I ' a n i s o t r o p i e d ' é c r o u i s s a g e p a r 1 e d é p r a c e m e n t t e n s o r i e l x d u c e n t r e d e t a s u r f a c e d ' é c o u r e m e n t ; d a n s 1 e d o m a i n e d e s f a i b r e s d é f o r m a t i o n s p r a s t i q u e s , l ' é v o l u t i o n d e L a v a r i a b l e i n t e r n e f ! e s t r é g i e c r a s s i q u e m e n t p a r t a t o i d e P r a g e r - Z i e g l e r : ( 1 . 1 ) x = 8 ( l ) p p o u r l a q u e r t e I a d é r i v é e p a r t i c u r a i r e i o " x e s t c o t i n é a i r e a u t e n s e u r d e s v i t e s s e s d e d é f o r m a t i o n p r a s t i q u e D ; I e s t u n e f o n c t i o n s c a l a i r e d e I a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e c u m u l é e :

-

f '

T = ) a ( Z o : D ) r / e d t . L a d é r i v é e p a r t i c u t a i r e n ' é t a n t p a s o b j e c t i v e , l r e x t e n s i o n d e ( 1 . 1 ) a u x g r a n d e s d é f o r m a t i o n s p l a s t i q u e s n f e s t p a s p o s s i b l e s o u s c e t t e f o r m e ; o n f a i t g é n é r a l e m e n t a p p e l à t a d é r i v é e d e I J a u m a n n X d e X : I

( L . 2 )

x = I + x . e - e . x

( O : t e n s e u r d e s v i t e s s e s d e r o t a t i o n ) p o u r e n a s s u r e r 1 ' o b j e c t i v i t é , e t l r o n p o s e : ( 1 . 3 )

x = 8 ( l ) q

\7 C e m o d è r e d o n n e d e s r é s u r t a t s s a t i s f a i s a n t s e n t r a c t i o n - c o m p r e s s i o n s i m p r e ; e n r e v a n c h e , l e s p r é d i c t i o n s o b t e n u e s e n t r a c t i o n - c o m p r e s s i o n c y c r i q u e , o u i l n ' a p p a r a î t p a s d ' h y s t é r é s i s , ê t s u r t o u t e n g r i s s e m e n t

s i m p l e , d e sradient de déformation

"

= l Ë i $ l ,rrn,r.e t), où ra

l o 0 r .

I

(15)

^ 4

C 1 . ê 2 , ê 3 ,

(16)

À L

I

'=qp

F l e . 2 . C o n t r a l n t e d e c l s a l l l e n e n L e n f o n c t l o n d e l a d l s L o r s l o n , X

-,lérlvée eonvectlve covarla.nte, { - dérlvÉe de Jaunu,nn, R - dérivée en

roLation propre. .âux grances valeurs de y Ia courUr til possè,le une

(17)

) 3 c o n t r a i n t e d e c i s a i l l e m e n t t é v o l u e d e m a n i è r e c y c l i q u e e n f o n c t i o n d u g l i s s e m e n t Y [ 1 ] , s o n t i n h a b i t u e t l e s ( F i g u r e 2 ) . L r a n a l y s e c i n é m a t i q u e d u g l i s s e m e n t m o n t r e q u e Ie repère c o r o t a t i o n n e l e s t a f f e c t é d a n s ce c a s d ' u n e v i t e s s e d e r o t a t i o n c o n s t a n t e j / ? , p a r r a p p o r t a u r e p è r e d e r é f é r e n c e E : c e t t e r o t a t i o n c o n t i n u e e s t à I ' o r i g i n e d e s o s c i l l a t i o n s e n g e n d r é e s p a r l a d é r i v é e d e J a u m a n n . o n v e r r a n é a n m o j - n s au cours de c e c h a p i t r e q u ' u n t e l c o m p o r t e m e n t p e u t ê t r e r e n c o n t r é , n o t a m m e n t a u x g r a n d e s v i t e s s e s d e d é f o r m a t i o n . D i f f é r e n t s a u t e u r s o n t p r o p o s é d e s l o i s d ' é v o l u t i o n d e X m o d i f i é e s d e m a n i è r e à p r é d i r e d e s c o m p o r t e m e n t s p l u s c r a s s i q u e s ; E . H . L e e e t a l . t 2 1 d é f i n i s s e n t d a n s r e c a s d u g l i s s e m e n t s i m p l e u n e d é r i v é e d e J a u m a n n m o d i f i é e : l a d é r i v é e d e X e s t e f f e c t u é e p a r . r a p p o r t à u n r e p è r e d o n t I a r o t a t i o n e s t l i m i t é e e m p i r i q u e m e n t . C e m o d è I e n e p r é d i t p a s d ' o s c i l l a t i o n s ; c e p e n d a n t s a g é n é r a l i s a t i o n à d ' a u t r e s t y p e s d e s o l l i c i t a t i o n s p a r a i t d i f f i c i l e . E . T . O N Â T t 3 1 e t Y . F . D Ê F Ê L I Ê S t 4 I m o d i f i e n t é g a l e m e n t t a d é r i v é e d e J a u m a n n . L e s o s c i l l a t i o n s s o n t s u p p r i m é e s o u n o n s u i v a n t 1 e s c a s . A u c u n d e c e s m o d è I e s n e d é c r i t t ' h y s t é r é s i s d e t ' é c r o u i s s a g e c y c t i q u e . C . F R E S S E N G E Ê S e t Ê . f 1 0 L I N Ê R I t 5 , 1 3 1 é t u d i e n t l e s p o s s i b i l i t é s o f f e r t e s p a r 1 e s d é r i v é e s c o n v e c t i v e s c o v a r i a n t e X . e t c o n t r a v a r i à t e X . : l e s é l i m i n e n t ] e comportement c y c l i q u e i n h é r e n t a u x m o d è r e s corotationnets. r r y a t o u t e f o i s d e s d i f f i c u r t é s d ' o r d r e c i n é m a t i q u e r i é e s à t a c o n v e c t i o n e t à I ' i n c o m p r e s s i b i l i t é d e I ' é c o u l e m e n t . U n t e r m e d e r e s t a u r a t i o n d e s t i n é à i n t r o d u i r e u n e f f e t d e m é m o i r e évanescente d a n s l e s m o d è r e s c o r o t a t i o n n e r s o u c o n v e c t i f s e s t i n t r o d u i t d a n s t s } : m o d è 1 e s ( 1 . 4 )

( 1 . 5 )

( 1 . 6 )

( 1 . 7 )

X " = B ( Y ) D e t X " = 8 ( t ) D

X = 8 ( ? ) D - A ( ? ) i x

x . = B ( i ) D - A ( t ) ? X

x c = B ( 7 ) D - . 4 ( i ) ï x

A u x g r a n d e s d é f o r m a t i o n s , i r a t t é n u e r e s e f f e t s c i n é m a t i q u e s d e

(18)

^ +

(19)

) î

rotation ou de convection; de plus, iI permet Ia description de

I ' é c r o u i s s a g e c y c l i q u e . C . F R E S S E N G E Ê S , R . l 1 0 L I N Ê R I t 5 1 e t Y . F . D Ê F R L I Ê S L t 4 1 p r o p o s e n t e n o u t r e I ' e m p l o i d e t a d é r i v é e e n r o t a t i o n p r o p r e X d e X d é f i n i e p a r : L ( 1 . 8 ) I = X + X . R . R t - R . R r ' X , R e s t i s s u d e I a d é c o m p o s i t i o n p o l a i r e F = f i . U = U . R d u g r a d i e n t F L a l o i d ' é v o l u t i o n a v e c r e s t a u r a t i o n : L

( 1 . e )

x = 8 ( i ) D - A ( i ) i x

d u t e n s e u r X é l i m i n e n o t a m m e n t l e c o m p o r t e m e n t c y l c l i q u e e n g l i s s e m e n t s i m p l e : l a s o l u t i o n c o i n c i d e â v e c l a s o l u t i o n c o r o t a t i o n n e l l e a u x v a l e u r s a s s e z f a i b l e s d u g l i s s e m e n t , p u i s é v o 1 u e p a r a l l è l e m e n t à l a s o l u t i o n c o n v e c t i v e a u x g r a n d e s d é f o r m a t i o n s , t o u t e n a s s u r a n t f i n c o m p r e s s i b i l i t é d e l ' é c o u l e m e n t . U n e a u t r e a p p r o c h e p a r v a r i a b l e s i n t e r n e s a é t é p r o p o s é e p a r F . S I I I O R 0 F F t 6 I . L e s m o d è I e s ( 1 . 5 ) , ( L . 6 ) , ( L . 7 ) , ( 1 . 9 ) , i n t r o d u i t s c i - d e s s u s s o n t d é v e l o p p é s d a n s c e c h a p i t r e e n l i m i t a n t I e p r o p o s à 1 r é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e . C e p e n d a n t , I e s c o n s i d é r a t i o n s p r é s e n t é e s p e u v e n t ê t r e é t e n d u e s à u n é c r o u i s s a g e m i x t e i s o t r o p e - c i n é m a t i q u e . L ' é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e c o r o t a t i o n n e l e s t d é v e l o p p é d a n s I e p a r a g r a p h e 2 ; I e p a r a g r a p h e 3 p r é s e n t e I ' é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e c o n v e c t i f , p u i s o n d é f i n i t a u p a r a g r a p h e 4 I a d é r i v é e e n r o t a t i o n p r o p r e e t ' o n p r é s e n t e s o n a p p l i c a t i o n à l r é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e . D a n s c h a q u e c a s , l r i n f l u e n c e d e l a r e s t a u r a t i o n e s t a n a l y s é e ; l e s m o d è I e s s o n t t e s t é s e n t r a c t i o n - c o m p r e s s i o n e t e n g l i s s e m e n t s i m p l e . L e s t a t u t t h e r m o d y n a m i q u e d e c h a q u e m o d è l e e s t p r é c i s é ; e n f i n , d a n s l - e p a n a g r a p h e 5 , u n e p r é s e n t a t i o n e n e s t f a i t e , I o r s q u e c e l a e s t p o s s i b l e , d a n s l e c a d r e t h é o r i q u e d e s r e p è r e s d i r e c t e u r s é t a b 1 i p a r J . H R N D E L f . ? 1 . ? . E c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e c o r o t a t i o n n e l

Nous considérons un matériau initiatement isotrope, soumis à un é c o u l e m e n t p l a s t i q u e i n c o m p r e s s i b l e . L a l o i d ' é c o u l e m e n t e s t d é d u i t e d e

(20)

^ 6

l - a f o n c t i o n s e u i t d e v o n M i s e s :

On représente par s le tenseur déviateur des contraintes, et par I une c o n t r a i n t e é q u i v a l e n t e :

< ? .

L >

( 2 . ? >

.T

D = - ( s - X ) ,

I è o .

t

L r / 2

r = ( - ( s - X ) : ( s - X ) )

2

L e s j - g n e : r e p r é s e n t e l e p r o d u i t c o n t r a c t é d e d e u x t e n s e u r s . L e s l o i s d ' é c r o u i s s a g e s o n t s p é c i f i é e s p a r I a f o n c t i o n t ( t ) , e t p a r 1 ' é q u a t i o n d ' é v o l u t i o n c o r o t a t i o n n e l l e ( 1 . 5 ) d e I a v a r i a b l - e i n t e r n e X . L i m i t a n t n o t r e p r o p o s à 1 r é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e s e u l , n o u s s u p p o s o n s t ( y ) c o n s t a n t . D a n s l e c a s d u g l i s s e m e n t s i m p r e , d ê v i t e s s e i c o n s t a n t e , l e s c o o r d o n n é e s d a n s I e r e p è r e d e r é f é r e n c e d u t e n s e u r g r a d i e n t d e v i t e s s e s L = Ë . F - 1 , d u t e n s e u r d e s v i t e s s e s d e d é f o r m a t i o n I l , e t d u t e n s e u r d e s v i t e s s e s d e r o t a t i o n Q s o n t r e s p e c t i v e m e n t :

( 2 . 3 )

L =

8ù81

. n = i l?â81 o= i l- ?â8

0 0 0 1

? 1 0 0 0 1

? | o o o

d é r i v é e i s o n t a l . o r s E n o u t r e , l a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e c u m u l é e y e t s a s i m p l e m e n t d o n n é e s p a r :

Q . $

i = t ,

i = y

S i I ' o n d é f i n i t I e t e n s e u r s p a r : ( 2 . 5 ) X = 8 ( l ) a I a r e l a t i o n ( 1 . 5 ) f o u r n i t I e s y s t è m e d i f f é r e n t i e l d o n = t r z - A f t ) a 1 1 , a'{

< ? . 6 >

d o r ,

L

_ . - .

- - G r r * - _ - d ( ' [ ) a 1 2 , d-t 2 d z z = - û 1 1 .

Supposons Ie coefficient de restauration i4(i) constant, et prenons pour c o n d i t i o n s i n i t i a l e s :

(21)

Jt

< ? .

. 7 )

N o u s o b t e n o n s

( e . B )

( 2 . 9 )

a , r ( o ) = o , i , j = L , 2 a l o r s p o u r s o l u t i o n

l-a t z =

z 1 r * a . 1 i

: A + e x p ( - À T ) ( s i n l - . 4 c o s l ) ) e t l a l - o i d ' é c o u t e m e n t ( 2 . 7 ) f o u r n i t ] a c o n t r a i n t e d e c i s a i l l e m e n t 7 , : )

B

( = s r z = t *

i ,

_ n ( A

r e x p ( - 4 7 ) ( s i n Y - . 4 c o s l i

P o u r u n c o e f f i c i e n t d o n n é p a r : de restauration .r{ nut e t p o u r I c o n s t a n t , t e s t ( 2 . 1 0 ) t = T + B s i n Y 2 e t p r é s e n t e l e s o s c i t t a t i o n s m e n t i o n n é e s e n t 1 I . P o u r l e s g r a n d e s v a l e u r s d e . Ê , l e s o s c i l l a t i o n s d i s p a r a i s s e n t c o m p l è t e m e n t ; p o u r l e s v a l e u r s m o y e n n e s , 1 â c o n t r a i n t e d e c i s a i l l e m e n t p a s s e p a r u n e v a l e u r m a x i m u m , p u i s p r é s e n t e u n e l i m i t e f i n i e l o r s q u e l e g l i s s e m e n t Y d e v i e n t i n f i n i ( f i g u r e 3 ) . C e c o m p o r t e m e n t e s t q u a l i t a t i v e m e n t s e m b l a b l e a u x r é s u t t a t s d e I a t h é o r i e d u v e r t e x t B ] . E n t r a c t i o n - c o m p r e s s i o n p u r e , l a d é r i v é e d e J a u m a n n I s ' i d e n t i f i e à I a d é r i v é e p a r t i c u t a i r e X . L e s c a l c u l s e f f e c t u é s e n p e t i t - e s d é f o r m a t i o n s 1 9 , 1 Z , I s ' é t e n d e n t s a n s d i f f i c u l t é s a u x g r a n d e s d é f o r m a t i o n s ; i I e n r é s u l t e n o t a m m e n t q u e l e m o d è l e ( L . 5 ) d é c r i t I ' h y s t é r é s i s d e 1 ' é c r o u i s s a g e c y c l i q u e . E n v i s a g e o n s m a i n t e n a n t 1 e s t a t u t t h e r m o d y n a m i q u e d e s m o d è I e s ( 1 . 3 ) e t ( 1 . 5 ) : I a l o i d ' é v o l u t i o n ( 1 . 3 ) e s t c o m p a t i b t e a v e c l e s c h é m a d e s m a t é r i a u x s t a n d a r d s g é n é r a I i s é s . D o n n o n s n o u s e n e f f e t l ' é n e r g i e I i b r e V : ( 2 . L L ) { , = - B a : a .1 2 L a d i s s i p a t i o n 0 : ( 2 . L 2 ) P Q = s : D - P ù

(22)

^ x

, v a u t a 1 0 r s : ( 2 . L 3 ) p Q = s : D - B u : q . c ' e s t à d i r e c o m p t e t e n u d e ( L . 2 ) , ( 1 . 3 ) ( 2 . 5 ) : ( 2 . L 4 ) p Q = ( s - X ) : D - B ( s : Q . c - a : c r . Q ) . M a i s , c r e s t u n t e n s e u r d é v i a t e u r s y m é t r i q u e , p a r s u i t e : ( 2 . L 5 ) c : f ) . q = a : s . f 2 d e s o r t e q u e , d ' a p r è s l a l o i d ' é c o u l e m e n t ( 2 . I ) :

( 2 . L 6 )

p 0 ) o

L ' i n é g a l i t é d e C l a u s i u s - D u h e m e s t d o n c s a t i s f a i t e d a n s t o u t e é v o l u t i o n g o u v e r n é e p a r 1 a r e l a t i o n ( 1 . 3 ) . O n p e u t é g a l e m e n t v é r i f i e r q u e c h o i s i s s a n t 1 ' é n e r g i e t i b r e ( z . L L ) , e t A > O , l e m o d è t e ( 1 . 5 ) s a t i s f a i t à I ' i n é g a l i t é d e C L À U S I U S - D U H E M ; t o u t e f o i s , i I n e v é r i f i e p a s l r h y p o t h è s e d e n o r m a l i t é g é n é r a l i s é e . 3 . E c r o u i s s a g e c i n é r n a t i q u e c o n u e c t i f L I e m p l o i d e s d é r i v é e s c o n v e c t i v e s c o v a r i a n t e z ( 3 . f ; X . = X * X . L + L t . X e t c o n t r a v a r i a n t e : ( 3 . 2 ) X c = X - X . L I - L . X d a n s l e s l o i s d ' é v o l u t i o n ( 1 . 6 ) e t ( I . 7 ) p e r m e t d ' é t i m i n e r s i m p l e m e n t l e c o m p o r t e m e n t c y c l i q u e d u m o d è l e c o r o t a t i o n n e l ( J - . 3 ) e n g t i s s e m e n t s i m p l e , t o u t e n s a t i s f a i s a n t a u p r i n c i p e d t o b j e c t i v i t é . L e p r o b l è m e p o s é p a r l e s é q u a t i o n s ( 1 . 6 ) , ( ! . 2 ) , ( 2 . t ) , ( 2 . 3 ) , ( 2 . 5 ) , ( 3 . 1 ) , ( 3 . 2 ) s e r é d u i t a u x d e u x s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s v é r i f i é s p a r 1 e t e n s e u r u , d a n s l e s c a s r e s p e c t i v e m e n t c o v a r i a n t ( 1 . 6 ) , ( 3 . 1 ) : d o , , = - . Q , " 1 1 , dt

( 3 . 3 )

f u - * ûrr = 1- Ar.12,

d t z

d s , , + 2 a 1 2 = - t 1 a 2 2 , a'(

(23)

^ ^ e t c o n t r a v a r i a n t z ( L . 7 ) , ( 3 . 2 ) : d o " - 2 , . t z = ' A a 1 1 ' dt

( 3 . 4 )

y - s z , = : - A . . 1 2 ,

O o r " = _ A u " r . dt P o u r l e s c o n d i t i o n s i n i t i a l e s ( 2 . 7 ) , u D é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e I i n é a i r e ( 8 c o n s t a n t ) e t u n c o e f f i c i e n t d e r e s t a u r a t i o n . 4 c o n s t a n t , t a c o n t r a i n t e t a n g e n t i e l l e e s t d o n n é e p a r :

- B

. ( = t + ( t - e x p ( - A T ) ) ?.,q ( 3 . 5 ) D a n s l e m o d è I e s a n s r e s t a u r a t i o n ( d = O ) , ( v a r i e l i n é a i r e m e n t e n f o n c t i o n d e Y i ( 3 . 6 )

( = 7 + h/z

E n r e v a n c h e , I â t r a c e d e c d e v i e n t n o n n u l l e d e s o r t e q u e I r i n c o m p r e s s i b i l i t é n ' e s t p l u s a s s u r é e . C e r é s u l t a t e s t d r a i l l e u r s g é n é r a l ; p a r e x e m p l e p o u r l a l o i d ' é v o l u t i o n ( L . 6 ) s a n s r e s t a u r a t i o n : ( 3 . 7 ) t r ( X . ) = 8 t r ( D ) = f l D e s o r t e q u ' a p r è s ( l - . 6 ) , ( 3 . 1 ) , ( 3 . 7 ) ( 3 . 8 )

t r l X ; = 2 D = X .

C e c i e s t e n g é n é r a l n o n n u l , c e q u i c o n d u i t à l a c o n c l u s i o n a n n o n c é e . U n e m o d i f i c a t i o n s i m p l e d e I a l o i d ' é c o u l e m e n t ( 2 . L ) p e r m e t c e p e n d a n t d ' a s s u r e r I r i n c o m p r e s s i b i t i t é , e t d e c o n f é r e r u n c o m p o r t e m e n t c o n v e n a b l e a u x m o d è I e s c o n v e c t i f s ; i I s u f f i t e n e f f e t d r i m p o s e r I a p r é s e n c e d u d é v i a t e u r X ' d e X e n é c r i v a n t : ) ( 3 . 9 ) [ J = - ( s - X ' ) . t C e I a n e m o d i f i e p a s l e r é s u t t a t ( 3 . 5 ) , m a i s s e u l e m e n t l e s c o n t r a i n t e s n o r m a l e s , d o n t I a r é p a r t i t i o n e s t p a r a i l l e u r s p l u s s a t i s f a i s a n t e d a n s l e c a d r e d u m o d è l e c o v a r i a n t ( 1 . 6 ) t l B l E x a m i n o n s m a i n t e n a n t l e c o m p o r t e m e n t d u m o d è l e c o n v e c t i f c o v a r i a n t

(24)

Jo ( 1 . 6 ) , ( 3 . 1 ) , ( 3 . 9 ) d a n s u n e s o l l i c i t a t i o n d e t r a c t i o n s i m p l e o u d e c o m p r e s s i o n s i m p l e , d e g r a d i e n t d e d é f o r m a t i o n :

( 3 . r o 1

( 3 . 1 1 ) F = L = [ J - - é

1 0 0

0 L / ^ 0

0 0 t / ^

L e t e n s e u r g r a d i e n t d e v i t e s s e s L e s t c o n f o n d u a v e c l e t e n s e u r d e s v i t e s s e s d e d é f o r m a t i o n D ; s e s c o o r d o n n é e s d a n s t e r e p è r e d e r é f é r e n c e s o n t : 1 0 0

o - r / 2 o

o o

- L / 2

o n a p o s é ê = i t X ; l a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e c u m u l é e i v a u t e e n t r a c t i o n e t - e e n c o m p r e s s i o n . L e s é q u a t i o n s g o u v e r n a n t 1 r é v o l u t i o n d e q s o n t a l o r s e n t r a c t i o n : d d , , - + Q + A ) a 1 1 = L , de ( 3 . L 2 ) d u z z - + ( A - L ) t z z = - l / 2 , de û g g = t 2 2 e t e n c o m p r e s s i o n : d o , , + ( 2 - r f ) u r , = L , de ( 3 . L 3 ) d s , , de a E g = u 2 2 . C o m p t e t e n u d e s c o n d i t i o n s i n i t i a t e s ( 2 . 7 ) , l e s s o l u t i o n s d e ( 3 . 1 - 2 ) e t ( 3 . l - 3 ) s o n t r e s p e c t i v e m e n t ; l_ û r r = 2 * A ( 1 - e x p ( - ( 2 + A ) c ) 1 ( 3 . 1 4 ) o " z z = - ; æ ( r - e x n ( - ( . 4 - l ) e ) û g g = d 2 2 , e t :

(25)

{,t

L E t t = ; 4 ( f - e x n ( ' ( z - A ) e ) L ( 3 . L 5 ) q z z = 2 U + r ) ( 1 - e x n ( L + É ) e ) , G g g = t 2 2 . L a c o n t r a i n t e o q u i e n r é s u 1 t e v a u t e n t r a c t i o n ( e > O ) L l _ ( 3 . l - 6 ) a = ç / 3 t + 8 ( * O < , - e x p - ( 2 + ' 9 ) e ) ) + z ( , - . f i ( 1 - e x p - ( , 4 - 1 ) e ) ) e t e n c o m p r e s s i o n ( € < O ) _ 1 l -( 3 . I 7 ) c = r / S t + 8 ( , * ( l - e x p ( - ( z - A ) e ) - " * n ( l - e x p ( r + ' 4 ) e ) ) I I e s t c l a i r q u e l e c o m p o r t e m e n t a i n s i o b t e n u n ' e s t p a s s a t i s f a i s a n t e n t o u s p o i n t s ; o n d o i t n o t a m m e n t e x i g e r : . d ) 2 p o u r g u e o g a r d e u n e I i m i t e f i n i e . E n o u t r e , l e s c o m p o r t e m e n t s e n t r a c t i o n e t e n c o m p r e s s i o n s o n t d i s s y m é t r i q u e s ; e n p a r t i c u l i e r , l e s c o n t r a i n t e s a s y m p o t i q u e s o b t e n u e s s o n t , e n t r a c t i o n : ( 3 . L 8 I , / à t et en compression

( 3 . r . 9

1 + 8 ( - + 2 + A 1 ) 2 ( A - L ) _ t l _ _ ,,/3t + B(' 2 - A 2 ( A + I ) C e t t e p r o p r i é t é e s t c e p e n d a n t f o r t e m e n t a t t é n u é e p a r I a r e s t a u r a t i o n ; d e p l u s , e I I e e s t s a n s c o n s é q u e n c e e n c h a r g e m e n t m o n o t o n e . E n f i n , I e m o d è l e p e r m e t d e d é c r i r e u n c y c l e s t a b i l i s é d ' é c r o u i s s a g e c y c l i q u e . L e s m o d è l e s c o n v e c t i f s s o n t i n c o m p a t i b l e s a v e c u n e f o r m u l a t i o n t h e r m o d y n a m i q u e b a s é e s u r I e c h o i x d e I ' é n e r g i e l i b r e ( 2 . 1 - l - ) : p a r e x e m p t e I a d i s s i p a t i o n s ' é c r i t p o u r I e m o d è I e c o v a r i a n t s a n s r e s t a u r a t i o n : ( 3 . 2 0 ) p O = ( s - X ) : D - ? B D : a . s L a q u a n t i t é D : c r . a e s t d e s i g n e q u e l c o n q u e , d e s o r t e q u e I ' i n é g a l i t é d e

(26)

{ t

C l a u s i u s - D u h e m n e p e u t e n g é n é r a l ê t r e s a t i s f a i t e . 4 . E c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e e n r o t a t i o n p r o p r e D a n s l e b u t d e l e v e r l e s d i f f i c u l t é s c i n é m a t i q u e s d e s m o d è I e s c o r o t a t i o n n e l e t c o n v e c t i f , n o u s c o n s i d é r o n s I a d é r i v a t i o n p a r rapport a u r e p è r e o r t h o n o r m é E * = ( l l ) , d é d u i t d u r e p è r e E = ( 1 , ) d a n s l e t r a n s p o r t p a r Ia rotation R : ( 4 . 1 ) l i = R . l i , R e s t d é f i n i p a r l a d é c o m p o s i t i o n p o l a i r e : ( 4 . 2 ) F = U . R = R . U d u g r a d i e n t d e d é f o r m a t i o n F . S o i t u n t e n s e u r X d é f i n i p a r s e s c o o r d o n n é e s d a n s E * : ( 4 . 3 ) X = x i i l l e t j L N o u s a p p e l e r o n s d é r i v é e e n r o t a t i o n p r o p r e d e X L e t e n s e u r X d é f i n i p a r : L . ( 4 . 4 ) X = ; ç i j l j e l l . O n v é r i f i e q u e c e t t e d é f i n i t i o n e s t i n t r i n s è q u e ( v o i r A n n e x e l - ) , L c ' e s t - à - d i r e i n d é p e n d a n t e d u c h o i x d u r e p è r e E . L e t e n s e u r X e s t l i é à I a d é r i v é e p a r t i c u l a i r e X p " . : L ( 4 . 5 ) X = X + X . Q ' t - Q ' r ' X o ù : ( 4 . 6 ) f 2 * = R ' R t L e t e n s e u r v i t e s s e d e r o t a t i o n p r o p r e Q * d i f f è r e e n g é n é r a 1 d e I a v i t e s s e d e r o t a t i o n Q q u i d é f i n i t I a d é r i v é e d e J a u m a n n , e t l ' o n a ( v o i r a n n e x e 2 ) : I ( 4 . 7 ) o = ç ) * * ; R ' ( ù ' U - l - U - t ' ù ) ' R t . 2 L L a d é r i v é e X e s t o b j e c t i v e . A n o t r e c o n n a i s s a n c e , e l l e a p p a r a Î t p o u r l a

(27)

2 b

p r e m i è r e f o i s d a n s G R E E N - N À G H D I t 1 1 1 . N o u s a v o n s p r o p o s é s o n e m p l o i d a n s I a l o i d ' é v o l u t i o n ( 1 . 9 ) d u t e n s e u r d ' é c r o u i s s a g e X . I I i m p o r t e d e s o u l i g n e r u n e c a r a c t é r i s t i q u e e s s e n t i e l l e d e c e t t e l o i : L I e c a l c u t d e X n é c e s s i t e l a c o n n a i s s a n c e d u g r a d i e n t F p a r r a p p o r t à u n e c o n f i g u r a t i o n p r i v i l é g i é e . L r i n t e n s i t é d e I ' é c r o u i s s a g e f a i t r é f é r e n c e à I ' é t a t i d é a l e m e n t r e c u i t d u m a t é r i a u , p o u r l e q u e l l e s c o n t r a i n t e s i n t e r n e s s o n t n u l l e s . C e t é t a t c o n s t i t u e 1 a c o n f i g u r a t i o n L i n i t i a t e c h o i s i e p o u r l e c a l c u l d e X d a n s I a l o i d ' é v o l u t i o n ( f - . 9 ) . L D a n s u n e e x p é r i e n c e d e t r a c t j - o n - c o m p r e s s i o n , l a d é r i v é e X s t i d e n t i f i e a v e c l a d é r i v é e d e J a u m a n n f e t l a d é r i v é e p a r t i c u l a i r e X ; l e s p r é d i c t i o n s d u m o d è l e ( f - . 9 ) s o n t d a n s c e c a s l e s m ê m e s q u e c e l l e s d u m o d è 1 e c o r o t a t i o n n e l d u t e n s e u r f 2 * s o n t : 1 . 5 ) . n n g t i s s e m e n t s i m p l e , I e s c o o r d o n n é e s d a n s 8 *

o

- e

0

( 4 . 8 ) s i I ' o n p o s e

( 4 . e )

( v o i r a n n e x e

. 2 i

Ê = -" 4 * - 7 ,

e t e = a . " t g ] = e ( z )

2 Q * =

e o l

0 0 l

o 0 l

3 ) : L a l o i d r é v o l u t i o n ( l - . 9 ) d i f f é r e n t i e l : tenseur f o u r n j - t a l o r s 1 e s y s t è m e d o n - + dt d o r , _ dt d o r " _ dt , = - 4 a 1 1 , ( 4 . 1 0 ) - . â a 1 2 , z = - 4 a 2 2 , d o n t l r i n t é g r a t i o n , c o m p t e t e n u d e s c o n d i t i o n s i n i t i a l e s ( 2 . 7 ) c o n d u i t à I a v a l e u r : dè T c r 4'l

de

d^l dg - t t a'( 1 , = ; ( 4 . L 1 ) t = t + d e l a c o n t r a i . n t e d e c i s a i l l e m e n t . I 1 a p p a r a l t s u r l e s f i g u r e s ( 2 e t 3 ) q u e c e t t e f o n c t i o n c o i n c i d e a v e c

B

e

e x p ( - . 8 7 ) ( s i n 2 e

rY

rY

f " " n , l 9 c ) s i n 2 0 ( c ) d c + c o s 2 e J e x p ( i ? s ) c o s 2 0 ( a ) d a )

(28)

tr{

l a s o l u t i o n c o r o t a t i o n n e l l e a u x v a l e u r s d u g l i s s e m e n t a s s e z f a i b l e s , p u i s é v o 1 u e p a r a t l è I e m e n t à 1 a s o l u t i o n c o n v e c t i v e a u x g r a n d e s d é f o r m a t i o n s . L e s o s c i l l . a t i o n s s o n t s u p p r i m é e s ; o n o b s e r v e c e p e n d a n t u n a d o u c i s s e m e n t d û à t a r o t a t i o n , p u i s u n e r e p r i s e d e 1 ' é c r o u i s s a g e . E n o u t r e , I ' i n c o m p r e s s i b i t i t é d e I ' é c o u l e m e n t e s t a s s u r é e . L e m o d è I e d ' é c r o u i s s a g e e n r o t a t i o n p r o p r e ( 1 . 9 ) b é n é f i c i e d u m ê m e s t a t u t t h e r m o d y n a m i q u e q u e 1 e s m o d è l e s c o r o t a t i o n n e l s ( 1 . 3 ) e t ( 1 . 5 ) : l a l o i d ' é w o l u t i o n ( L . 9 ) s a n s r e s t a u r a t i o n e s t c o m p a t i b l e a v e c 1 e s c h é m a d e s m a t é r i a u x s t a n d a r d g é n é r a l i s é s . 5 . I n t e r p r é t a t i o n s d a n s l a t h é o r i e d e s r e p è r e s d i r e c t e u r s L a t h é o r i e d e s r e p è r e s d i r e c t e u r s p r é s e n t é e p a r J . M À N D E L ' 7 g p e u t s e r v j - r d e c a d r e p o u r u n e p r é s e n t a t i o n p h é n o m é n o l o g i q u e d e 1 ' ' é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e e n g r a n d e d é f o r m a t i o n . D a n s c e t t e t h é o r i e , 1 ê l o i d ' é c o u l e m e n t d u m a t é r i a u p r é c i s e c o m p l è t e m e n t I e t e n s e u r d e v i t e s s e s , p a r t i e a n t i s l ' r n é t r i q u e c o m p r i s e , s o u s 1 a f o r m e :

( s . r 1

Ê . r - ' - À G ,

G est un tenseur en général non symétrigue, dont les .arguments sont précisés pJ-us loin; Ê Ae"igne la dérivée de F par rapport à un repère D d o n t I a v i t e s s e d e r o t a t i o n e s t Q o , e t q u e I ' o n a p p e l l e r e p è r e d i r e c t e u r Ê = È - e o . F . L e 1 a

( s . 2 )

( s . 3 )

e t e n s a

( s . a 1

t e n s e u r f , ) o e s t c o n n u d è s l o r s q u e la fonction G e s t d o n n é e ; e n e f f e t , I o i d ' é c o u l e m e n t ( 5 . f ) d é d o u b l é e e n s a p a r t i e s 1 ' m é t r i q u e :

D = . À G

partie anti-symétrique :

Q - Q o = . t r G

(29)

f o u r n i t :

( s . s )

L a d é t e r m i n a t i o n d e G , e t n o t a m m e n t d e s a p a r t i e a n t i s y m é t r i q u e G , p e u t ê t r e f o n d é e s u r u n e a n a l y s e d e s m i c r o - r o t a t i o n s d u p o l y c r i s t a l , e t c ' e s t p e u t - ê t r e I e c a d r e n a t u r e l d e c e t t e t h é o r i e , o u e f f e c t u é e d e m a n i è r e p h é n o m é n o l o g i q u e ( D . F R E S S E N G E R S , Ê . H O L I N Ê R I t 1 3 l ) , e t c ' e s t I a v o i e q u e n o u s c h o i s i s s o n s i c i : N o u s p o s o n s d e m a n i è r e c l a s s i q u e ( 5 . 6 )

D - À G = ) ( s - X )

p o u r l a p a r t i e s y m é t r i q u e ( 5 . 3 ) . S i d ' a u t r e p a r t , n o u s p r é c i s o n s

( s . 7 )

h = B ( i ) n - A f ù ï

a v e c ,

( s . 8 )

p a r d é f i n i t i o n : O o = Q - ' À G '

R = x * X . e o - e o . X

t a l o i d ' é v o l u t i o n d e I a d é r i v é e R : n o u s o b t e n o n s u n m o d è 1 e d ' é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e c o m p t e t : ( 5 . 5 ) , ( 5 . 6 ) , ( 5 . 7 ) ( 5 . 8 ) . U n r é s u l t a t i d e n t i q u e e s t o b t e n u p a r E . T . O N A T t 3 , ( ? 9 ) ; p . ? 5 9 1 a u t e r m e d ' u n e a r g u m e n t a t i o n c o m p l è t e m e n t i n d é p e n d a n t e d e l a t h é o r i e d e s r e p è r e s d i r e c t e u r s . O n p e u t o b s e r v e r t o u t d ' a b o r d q u e s i G e s t r é d u i t à s a p a r t i e s y m é t r i q u e . L e r e p è r e d i r e c t e u r D n ' e s t a u t r e q u e l e r e p è r e c o r o t a t i o n n e l , e t l e m o d è I e ( 5 . 2 1 c o i n c i d e a v e c I e m o d è I e c o r o t a t i o n n e l ( 1 . 5 ) . E . T . O N À T t 3 l e t Y . F . D A F A L I A S I 4 1 s u g g è r e n t l e c h o i x :

( s . e )

. t r G = r l ( D . X - X . D )

dans lequeI u est un coefficient déterminé sur la base de données e x p é r i m e n t a l e s . C e c h o i x g é n è r e u n e f a m i l l e d e r o t a t i o n s Q o :

(30)

1L

( s . 1 o )

f l ' = ç 2 - t ( D . X - X . D ) e t u n e f a m i l l e d e m o d è I e s c o r o t a t i o n n e l s ( 5 . 7 ) c o r r e s p o n d a n t s . S e l o n l e s v a l e u r s d e v , l e s o s c i l l a t i o n s c o r o t a t i o n n e l l e s s o n t s u p p r i m é e s , o u a u c o n t r a i r e s u b s i s t e n t [ 3 , 4 ] ; e l l e s s o n t a m o r t i e s p a r I e t e r m e d e r e s t a u r a t i o n o u p a r u n é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e n o n l i n é a i r e . L e s m o d è l e s c o n v e c t i f s n e r e ç o i v e n t p a s d ' i n t e r p r é t a t i o n d a n s I a t h é o r i e d e s r e p è r e s d i r e c t e u r s , c a r c e u x - c i s o n t n é c e s s a i r e m e n t o r t h o n o r m é s , c e q u i n ' e s t p a s e n g é n é r a 1 l e c a s d e s r e p è r e s c o n v e c t i f s . E n r e v a n c h e , t e m o d è l e d ' é c r o u i s s a g e e n r o t a t i o n p r o p r e ( 1 . 9 ) r e ç o i t u n e i n t e r p r é t a t i o n d a n s c e t t e t h é o r i e e t c o n d u i t à u n e f a m i l l e d e m o d è I e s e n r o t a t i o n p r o p r e , d i s t i n c t e d e I a f a m i l l e c o r o t a t i o n n e l l e ( 5 . 8 ) , ( 5 . 1 0 ) . P o s o n s e n e f f e t p o u r } a p a r t i e a n t i s y m é t r i q u e d e l a l o i d ' é c o u l e m e n t , p a r a n a l o g i e a v e c ( 4 . 7 ) :

( 5 . r . r . )

L a r e l a t i o n ( 5 . 4 ) repère directeur ( s . 1 2 )

l e = l F .

J fournit t) f , ) D = f ) - 2 R . ( ù . u - 1 - u - t . Û ) ' R t 1 v 2

i 1 1 - ,

'

)

2 4 + ' ( "

( ù . u - ' - u - r . ù ) . R i .

a l o r s l e t e n s e u r v i t e s s e d e r o t a t i o n Q D d u D ' a p r è s ( 4 . 7 ) , I e c h o i x p = L c o n d u i t à I ' é g a ] i t é O o t ç 2 * ; I e r e p è r e d i r e c t e u r e s t a l o r s c o n f o n d u a v e c I e r e p è r e E * . D e I a m ê m e f a ç o n , l e r e p è r e D s ' i d e n t i f i e a v e c t e r e p è r e c o r o t a t i o n n e l p o u r l e c h o i x u = O . L e s d i - f f é r e n t s c h o i x d e p f o u r n i s s e n t u n e f a m i l l e d e d é r i v é e s o b j e c t i v e s X e t d e m o d è l e s ( 5 . 7 ) , ( 5 . 8 ) , ( 5 , 1 2 ) c o r r e s p o n d a n t s , a u x p r o p r i é t é s t h e r m o d y n a m i q u e s i d e n t i q u e s à c e l l e s d e s m o d è L e s c o r o t a t i o n n e l s ( 1 . 3 ) e t ( 1 . 5 ) . D a n s I e c a s d u g l i s s e m e n t s i m p l e , l a l o i d ' é v o l u t i o n ( 5 . 7 ) p o u r I a f a m i l l e d e d é r i v é e s ( 5 . 8 ) , ( 5 . L 2 ) e s t t r a d u i t e p a r l e s y s t è m e d i f f é r e n t i e l ( 4 . L 0 ) a v e c ( v o i r A n n e x e 3 ) : dg - = dT

( s . 1 3 )

(31)

"2+

L e s s o l u t i o n s s o n t d e I a f o r m e ( 4 . 1 1 ) a v e c : ( 5 . 1 4 )

e ( r ) = ( 1

r , )

: .

v e r c t s !

p o u r : O z - ù L L, e l l e s é v o l - u e n t c o n t i n u e m e n t d e I a s o l u t i o n c o r o t a t i o n n e l l e à 1 a s o l u t i o n e n r o t a t i o n p r o p r e ( F i g u r e s 2 , 3 ) . L r a d o u c i s s e m e n t g é o m é t r i q u e d e r o t a t i o n e s t m o d u l é p a r u . L a f a m i l l e d e m o d è l e s e n r o t a t i o n p r o p r e , q u e I ' o n p e u t c o m p l é t e r p a r u n e f o n c t i o n d ' é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e n o n l i n é a i r e :

( s . 1 5 )

8 ( r ) = B ( 1 - k ( D . D ) r ' " )

m e t e n j e u q u a t r e p a r a m è t r e s 1 A , B , k , u ) e t p a r a i t s u s c e p t i b l e d e r e n d r e c o m p t e d ' u n c e r t a i n n o m b r e d e c o m p o r t e m e n t s . L e s m o d è I e s d ' é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e ( 1 - . 5 ) e t ( L . 9 ) c o m p l é t é s p a r u n é c r o u i s s a g e i s o t r o p e o n t é t é n o t a m m e n t u t i l i s é s p a r D . D U D Z I N X I e t Ê . H O L I N Ê R I t 1 4 1 p o u r I e c a l c u l d e c o u r b e s l i m i t e s d e f o r m a g e . I 1 a p p p a r a i t à c e s u j e t g u e I e m o d è I e e n r o t a t i o n p r o p r e p e r m e t de mieux r e n d r e c o m p t e d e c e r t a i n s r e s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x d a n s l e d o m a i n e d u r é t r e i n t .

(32)

{ 3

Ê N N E X E 1 . C h a n g e m e n t s d e r e p è r e s S o i e n t f i = ( 1 , ) e t A = ( a , ) d e u x r e p è r e s c o v a r i a n t s l a g r a n g i e n s ; d a n s I e t r a n s p o r t p a r Ia rotation p r o p r e R , i l s s e t r a n s f o r m e n t r e s p e c t i v e m e n t e n E * = ( 1 l ) e t . d * = ( a l ) t e r s q u e :

( À . 1 . r-

)

l l = R - 1 , a i - R ' 4 , L e t e n s e u r X p e u t ê t r e d o n n é p a r s e s c o o r d o n n é e s d a n s 8 * o u d a n s . 4 * ( A . L . 2 ) X = ; ç i j l i e t j - A i i a f e a l L a t r a n s f o r m a t i o n l i n é a i r e r e l i a n t l e s v e c t e u r s d e E * e t d e ; 4 * e s t :

( À . 1 . 3 )

l i = ( l l . a k * ) a i l

o u a k * d é s i g n e l e s v e c t e u r s d u r e p è r e c o n t r a v a r i a n t r é c i p r o q u e d e , 4 * . L a

r é g 1 e d e t r a n s f o r m a t i o n d e s c o o r d o n n é e s c o n t r a v a r i a n t e s d e X , d é c o u l e d e ( A . l - . 2 ) e t ( 4 . 1 . 3 ) : ( A . 1 . 4 ) A k L = ; ç i j ( l i . a k * ) ( l l . a t * ) T o u s l e s t e r m e s d u t y p e : ( l | . a k * ) s o n t i n v a r i a n t s a u c o u r s d e I a t r a n s f o r m a t i o n . E n e f f e t : ( À . L . 5 ) l f . a k * = l , . R ' . R . a k = l r . i l k P a r I a s u i t e , I a d é r i v a t i o n d e ( . A . L . 4 ) f o u r n i t : ( À . L . 6 ) d r , = y i s ( l T . a k * ) ( l j . a t * ) e t c o m p t e t e n u d e ( A . l - . 3 ) :

( À . 1 . 2 )

. â u , " i l r a Ë = i ' i

l l e l j

= *

L e r é s u l t a t ( À . L . 7 ) m o n t r e l e c a r a c t è r e i n t r i n s è q u e d e I a d é r i v a t i o n e n r o t a t i o n p r o p r e .

(33)

{ 6 R N N E X E e . C i n é m a t i q u e d e l a r o t a t i o n p r o P r e L a d é c o m p o s i t i o n p o l a i r e d u g r a d i e n t d e d é f o r m a t i o n F : ( À . 2 . 1 ) F = R . U = U ' R c o n d u i t à I a d é f i n i t i o n d e I a r o t a t i o n R e t d e s t e n s e u r s d e d é f o r m a t i o n p u r e d r o i t e t g a u c h e U e t U . L e t e n s e u r g r a d i e n t d e v i t e s s e s L : ( A . 2 . 2 ) | = Ë . p - t p e u t être e x p r i m é e n f o n c t i o n d e R e t U : ( À . 2 . 3 ) L = R . R t + R . U . U - 1 . R t . Sa partie antislnnétrique Q : t_ ( A . 2 . 4 ) Q = - ( L - L t ) 2 s ' é c r i t a l o r s : ( À . 2 . 5 ) o = R . R t . ] * . ( ù . u - r - u - ' . Û ) . R t

Nous définissons Ie tenseur vitesse de rotation propre Q* par :

( A . 2 . 6 ) Q * = È ' R ' L e t e n s e u r v i t e s s e d e r o t a t i o n Q s ' é c r i t d e m ê m e : : ^ ( A . 2 . 7 ) ç 2 - R . R t S o i t e n e f f e t R + , I a r o t a t i o n t e l l e q u e : ( À . 2 . 8 ) p r ' . R ' t t . j * - . ( Û . U - t - U - 1 . Û ) . R * t = Q I I e s t c l a i r q u e : l - ' r , t . p * ( A . 2 . 9 ) : ( U . U - r - U - t . u ) = - R 2 C o m p t e t e n u d e ( À . 2 . 5 ) e t ( À . 2 . 9 ) :

(34)

3 o

( A . 2 . 1 O )

a - n . n , - F . R * t . p * . p t

c o m m e R * e s t o r t h o g o n a l ( 4 . 2 . 1 0 ) s ' é c r i t a u s s i :

( A . 2 . 1 r .

)

ou encore :

Q = n . n t + R . R * t . R ' l . R t ( A . 2 . ] . 2 ) Q = ( n . n * t + R . R * t ) . R * . R t L a f o r m u l e ( A 2 - L 2 ) s ' i d e n t i f i e a v e c ( A . 2 . 7 ) s i I ' o n p o s e :

( A . 2 . 1 3 )

i = , . * * *

R r e p r é s e n t e I a r o t a t i o n d u r e p è r e c o r o t a t i o n n e l f = ( l , ) par rapport au repère lagrangien :

(35)

. à 4 R N N E X E 3 . E i n é m a t i q u e d u g l i s s e m e n t L a d é c o m p o s i t i o n p o l a i r e ( À . 2 . 1 ) d u g r a d i e n t F = U . R

1 1 ^ t o l

( À . 3 . 1 )

F =

l o 1 o l

l o o o l

p e r m e t l e c a l c u l d e U e t d e R : ( À . 3 . 2 ) U a = F . F t , R = U - l . F L a m a t r i c e d e U - l d a n s s o n r e p è r e p r i n c i p a l e s t

( A . 3 . 3 )

u - r =

o ù :

'Éut'',V,

il

1 ( À . 3 . 4 ) . À 1 = ; ( 2 + . r 2 + t r / T V ) ' 1 ^ z = ; ( 2 + ^ r ? - ' y \ | T - T T ) , s o n t l e s v a l e u r s p r o p r e s d e U e = F . F t U n c a l c u l s i m p l e m a i s f a s t i d i e u x c o n d u i t a u x c o o r d o n n é e s d e R d a n s E ( l t , l r , l s ) , r e P è r e d e r é f é r e n c e .

(A.3.s) R = l- S3;8

:Ë38

Hl

a v e c :

(4.3.6)

cose

=

n#

1t,t )ffi1,'"

o u , p l u s s i m p l e m e n t : Y ( 4 . 3 . 7 ) 0 = À r c t g -2 L a v i t e s s e d e r o t a t i o n p r o p r e Q * e n d é c o u l e d ' a p r è s ( A . 2 . 6 ) : 2t ( À . 3 . 8 ) ç 2 ' = - - - ^ 4 + ^ ( '

o t o l

- 1 ool

o o o l

(36)

r,J

D ' a u t r e p a r t , I a v i t e s s e d e r o t a t i o n Q :

rl

0 I ol

( A . 3 . 9 )

a -

; l - 1 o

o l

=l

o o ol

s ' é c r i t s o u s l a

( A . 3 . r . 0 )

o ù : ( A . 3 . 1 1 ) ( A . 2 . 7 ) p o u r c o s 6 s i n 6 - sinû c o s 6

0

a

$ =

-2

f o r m e f i =

o

0

1

L o r s q u e 7 d e v i e n t i n f i n i , I a r o t a t i o n â t e n d v e r s l t i n f i n i , a l o r s q u e I a r o t a t i o n 0 d é f i n i e p a r ( 4 . 3 . 7 ) , t e n d v e î s T r / 2 . P a r s o u s t r a c t i o n d e ( À . 3 . 8 ) e t ( À . 3 . 9 ) , d u r e p è r e d u r e p è r e c o r o t a t i o n n e l e n r o t a t i o n p r o p r e ( A . 3 . 1 2 ) R . ( Ù . U - t - U - r . Û ) . R t = O - Q * = f. 2 1

2

o n o b t i e n t s i m p l e m e n t :

o t o l

I o o l

o o o l

Y 2 4 + ' ( "

Références

Documents relatifs

matière organique pour les séquences mères et l'évolution au cours des temps des paramètres comme le gradient thermique et la conductivité thermique dans les séquences

Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie.. Il est soumis à

Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie.. Il est soumis à

Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie.. Il est soumis à

Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie.. Il est soumis à

Les hêtres locallsés sur sols acldes sont nrlnérables

En effet, à partir du premier aspect de la deixis (Ie rni)r nous avons montré que, dans les JT français, Ie prêsentateur est beaucoup plus impliquê dans son discours

Outre les trois textes africains, on a rencontré dans d'autres régions de l'Empire (mais en moins grand nombre) des hommages à Pantheus Augustus, notamment rendus par