Taylor models and floating-point arithmetic: proof that arithmetic operations are validated in COSY
Texte intégral
(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Taylor models and floating-point arithmetic: proof that arithmetic operations are validated in COSY
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(5) * +% K. Makino, " , Dpt of Physics, University of Illinois at Urbana-Champaign M. Berz, ,. !- ". %.
(6) * +%. Dpt of Physics and Astronomy, Michigan State University. N° 4737 Février 2003. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--4737--FR+ENG. THÈME 2. apport de recherche.
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