Invariants de type fini des cylindres d'homologie et des string links

HAL Id: tel-00004184

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00004184

Submitted on 15 Jan 2004

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

Invariants de type fini des cylindres d’homologie et des

string links

Jean-Baptiste Meilhan

To cite this version:

Jean-Baptiste Meilhan. Invariants de type fini des cylindres d’homologie et des string links.

Mathé-matiques [math]. Université de Nantes, 2003. Français. �tel-00004184�

UNIVERSITE DE NANTES



ECOLE DOCTORALE

SCIENCES ET TECHNOLOGIES

DE L'INFORMATION ET DES MATERIAUX

Annee : 2003 N

Æ B.U.:

These de Do torat de l'Universite de Nantes

Spe ialite : MATH 

EMATIQUES ET APPLICATIONS

Presenteeetsoutenuepubliquement par

Jean-Baptiste MEILHAN

le19 De embre2003 

a l'Universitede Nantes

Titre

INVARIANTS DE TYPE FINI DES

CYLINDRES D'HOMOLOGIE ET DES

STRING-LINKS

Jury

President : PierreVOGEL Professeur(ParisVII) Rapporteurs : ThomasFIEDLER Professeur(ToulouseIII)

GregorMASBAUM C.R.duCNRS(ParisVII) Examinateurs : ChristianBLANCHET Professeur(Bretagne-Sud)

SylvainGERVAIS Ma^tredeConferen es(Nantes) NathanHABEGGER Professeur(Nantes)

Fran oisLAUDENBACH Professeur(Nantes) Mi haelPOLYAK Professeur(Haifa)

Dire teurde These : NathanHABEGGER

Laboratoire : JeanLeray(UMR6629CNRS/UN) Composante : Fa ultedesS ien eset Te hniques N

Æ E.D.:

Jevoudraistoutd'abordexprimermaprofondeetsin erere onnaissan e enversNathanHabegger,pourm'avoirtoujoursa ordesa onan eetpour m'avoirguide ave enthousiasme toutau longde ette these.

Jetiensaussia remer ierThomas Fiedlerpouravoir a epte d'^etre rap-porteur de ette these et pour ses ommentaires. De m^eme, je remer ie Gregor Masbaumpourl'interet qu'ila manifeste pourmon travail,et pour sapresen e dans lejury.

ChristianBlan het, SylvainGervais,Fran ois Laudenba h et Pierre Vo-gelont a epte de faire partie de e jury. Je les enremer ie, ainsiquepour l'attention que ha un d'entre eux a pr^ete a mon travail au ours de es annees.

Cettethesen'averitablement ommen equ'auprintemps2001,lorsd'un stageal'universitedeTel-Aviv.Jeremer ieMi haelPolyakdem'avoiroert ette possibilite et pour les nombreuses onversations que nous avons eu pendant e sejour; jeleremer ie en ore pour^etre venu sejoindreau jury.

Jeremer ie aussimes amis, aunombredesquels lesthesardsde Nantes, gr^a e auxquels etteperiodemelaisseraunsiex ellentsouvenir.Jeremer ie en parti ulier mon o-auteur,Gwenael Massuyeau; notre ollaborationfut unetres sympatiqueexperien e.

Enn, mespenseesvont a Marie,et aux membres denos deux(notre?) familles; votre onstant soutien et votre ae tion, votre uriosite aussi, me furent extr^emement pre ieux.



1 Introdu tion a la theoriedes laspersde Goussarov-Habiro 12

1.1 Qu'est- e qu'un lasper? . . . 12

1.1.1 Denitions et onventions . . . 12

1.1.2 Chirurgielelong d'un lasper . . . 14

1.1.3 Cal ulde laspers . . . 16

1.2 Relationsd'equivalen e hirurgi aleissues des laspers . . . . 18

1.2.1 C k -equivalen epourles entrela s . . . 19

1.2.2 Y k -equivalen epourles 3-varietes ave entrela s. . . . 20

1.3 Invariantsde type niet laspers . . . 22

1.3.1 Invariantsde Vassiliev et laspers. . . 22

1.3.2 Theoried'invariantsdetypenideGoussarov-Habiro pourles 3-varietes . . . 24

1.4 Lemmes te hniquessurles arbresde lasper . . . 25

1.4.1 Lemmes sur lesarbres stri ts . . . 25

1.4.2 Lemmes sur lesarbres a eptables . . . 27

2 Cylindres d'homologie et string-links 30 2.1 Cylindresd'homologie . . . 30

2.1.1 Denitions et notations . . . 30

2.1.2 Y k -equivalen epourles ylindresd'homologie . . . 31

2.1.3 Y 2 -equivalen epourles ylindressurunesurfa eave au plusune omposante debord . . . 33

2.1.4 Y 2 -equivalen epourles ylindressurunesurfa eave plusd'une omposante debord . . . 36

2.2 String-links . . . 36

2.2.1 Denitions et notations . . . 36

2.2.2 Y k -equivalen epourlesstring-linksframes desboules d'homologie . . . 39

2.2.3 C k -equivalen epourles string-links. . . 41

2.3 Y-equivalen epourles ylindresd'homologie et les string-links 43 2.3.1 Demonstration de laproposition2.14. . . 43

2.3.2 Demonstration de laproposition2.3 . . . 44

2.3.3 Demonstration de laproposition2.4 . . . 47

3 Y-ltration pour les ylindres d'homologie 49 3.1 Appli ationde hirurgiepourC 1 () . . . 49

3.1.1 Groupes abeliensspe iauxet le fon teurA 1 . . . 49

3.1.2 Stru tures spinet le groupe abelienspe ialP . . . 50

3.1.3 L'appli ation de hirurgie . . . 55

3.1.4 L'isomorphismede groupesabeliens  . . . 58

3.2 Cas des ylindres d'homologie sur une surfa e ave au plus une omposante de bord . . . 59

lindresd'homologie . . . 59

3.2.2 HomomorphismesdeBirman-Craggspourles ylindres d'homologie . . . 64

3.2.3 Demonstration destheoremes 2.6et 2.7 . . . 67

3.3 Cas general . . . 73

3.3.1 Unebornesuperieure ombinatoire . . . 73

3.3.2 Demonstration du theoreme 2.9 . . . 74

4 Y-ltration pour les string-links frames des boules d'homo-logie 76 4.1 Borne superieure ombinatoire . . . 76

4.2 Invariants lassiques pour les string-links frames des boules d'homologie . . . 77

4.2.1 Le -invariantde Ro hlindesboulesd'homologie . . . 77

4.2.2 Invariantde Arf . . . 78

4.2.3 Invariantde Sato-Levine . . . 80

4.2.4 Invariantsde Milnor . . . 83

4.3 Cara terisation dela Y 2 -equivalen epourlesstring-links . . . 85

4.4 Milnor,Johnson,Birman-Craggs et les autres . . . 87

5 C-ltration pour les string-links 91 5.1 Invariantsde Vassilievdes string-links . . . 91

5.1.1 L'invariant de Casson 2 . . . 92

5.1.2 Invariantde Vassiliev de degre 2pourles string-links  a deux ordes . . . 94

5.1.3 Invariantsde Milnor . . . 103

5.2 Cara terisation dela C 2 -equivalen epourles string-links. . . 103

5.3 Cara terisation dela C 3 -equivalen epourles string-links. . . 105

5.3.1 Appli ationde hirurgie pourSL 2 (n) . . . 105

5.3.2 Preuve du theoreme 2.21 . . . 107

5.4 Lien entre C-ltration et Y-ltrationpourles string-links. . . 110 A L'invariant de Vassiliev V

2

La theorie des invariants de type ni est une appro he re ente dans l'etudedes 3-varietes qui trouve sonorigine danslatheorie desnuds. V. Vassiliev denit en 1990 une famille d'invariants des nuds [V℄ qui s'averent plus nsque tous les invariants polyn^omiaux onnus jusqu'alors. L'idee estdedeniruneltration(des endante) surlegroupeabelien libre-ment engendre par les ( lasses d'isotopie des) nuds orientes de la sphere S

3

: un invariant est dit de type ni s'il s'annule a partir d'un ran de ette ltration. En 1996, T. Ohtsuki propose, en s'inspirant des travauxde Vassiliev,uneappro hesimilairepourles spheres d'homologieentiere[O1℄: le point lef est qu'une notion de mouvement elementaire sur les objets geometriques onsideresdenitunetheoried'invariantsde type ni. M.GoussarovetK.Habiroontainsiintroduitalandesannees90,defa on independante,unetheoried'invariantsdetypenides3-varietes ompa tes orientees(eventuellement ave entrela s). La denitionreposesurlanotion de hirurgie borromeenne,initialement introduitedansles annees 80 parS. Matveev [Mt ℄,qui est denie parleplongement dansla3-variete d'un

Y-graphe, et qui onsistea de ouperpuisre ollerun voisinagetubulairede e graphe.

La theorie de Goussarov-Habiro est bien omprise dans le as des spheres d'homologie rationnelle (elle on ide ave la theorie d'Ohtsuki dans le as desspheresd'homologieentiere),maisonnesaitdirequepeude hosesdans un adre plusgeneral.

Dansleurstravaux, M.Goussarovet K.Habiroont enfaitdenitoutun ensembled'outilsde al ultopologique,appele al ulde laspers [H℄(ou en- ore al ulde lovers dans[GGP ℄).Le al ulde lasperss'appliqueal'etude despaires

(M; )

ouM estune3-variete ompa te orienteeeventuellementabordet ou est unentrela s de M. Pluspre isement, ondistinguedeux appro hes :

{ M est xee et varie : on etudie alors les entrela s d'une 3-variete donnee.C'est dans e ontextequ'intervient latheoriede Vassiliev. { M et (eventuellement vide)varient: onestalorsdansle adre dela

theoried'invariantsde typeni de Goussarov-Habiro.

Le al ul de laspers permet alorsde denirsur es objets les relations de C

k

-equivalen e et de Y k

long de orps en anses plonges. Elles induisent des ltrations surle groupe abelienlibrementengendre parles objets onsideres: laC-ltration surles entrela s (d'unevariete donnee)et laY-ltration sur les 3-varietes et leurs entrela s.

||||||||||||{

Dans ette these, nous nousinteressons auxpaires(M;),ou M est un ylindred'homologie surunesurfa e ompa te, onnexeorientee,et  est un string-link frame de M : le premier est un obordisme d'homologie sur lasurfa emunid'une onditiondetrivialitehomologiquesupplementaire, et le se ond est un plongement propre de opie de l'intervalle unite. Ces objetsinterviennentdansles papiersdeM. Goussarovetde K.Habiro,et y sont presentes omme d'importantsmodelespourlatheorie. Ils onstituent de plus des outils interessants pour l'etude du mapping lass group et du groupe destressespures.

Plus parti ulierement, on onsidere ertaines spe ialisations de e adre general :

(A)  = ; : as des ylindres d'homologie sur une surfa e  ompa te, onnexeorientee.

(B) =D 2

: asdesstring-links framesdansdes boulesd'homologie. (C) M =D

2

I;oubliduframingsur : asdesstring-links` lassiques'. Nousetudionsdon latheoried'invariantsdetypenide Goussarov-Habiro dans les as (A) et (B), et la theorie de Vassiliev dans le as (C). En par-ti ulier, nous al ulons expli itement les invariants en bas degre pour es objets.

Dans le as(A) sontainsietudiesles invariantsdeGoussarov-Habirode degre1 pourles ylindresd'homologie. Ilssontdonnespar ertaines exten-sions des homomorphismes de Johnson et de Birman-Craggs, intervenant initialementdanslestravauxdeD.Johnsonpourle al uldel'abelianisedu groupedeTorelli.Onobtientleresultatsuivant,quiestlefruitd'untravail ommun ave G. Massuyeau.

Theoreme 1. Soit  une surfa e ompa te onnexe orientee de genre g ayant au plus une omposante de bord. Soient M et M

0

deux elements de H C(), l'ensemble des ylindres d'homologie sur . Alors, les assertions suivantes sontequivalentes :

(1) M et M 0 sontY 2 -equivalents; (2) M etM 0

nesontpasdistinguesparlesinvariants deGoussarov-Habiro dedegre1;

(3) M andM 0

nesontpasdistinguesparles extensionsdu premier homo-morphismede Johnson et des homomorphismes de Birman-Craggs.

l'ensemble  3

des triples nombres de Milnor,et un ertain invariant  qui regroupe les redu tions modulo 2 de 

3

et de l'invariant de Sato-Levine,et les invariantsdeArf et deRo hlin.

Theoreme 2. Soient (M;) et (M 0

; 0

) deux elements de SL hb 1

(n), l'en-sembledesstring-linksframesa n ordes des boules d'homologie deframings etnombres d'enla ementnuls.Alorsles assertionssuivantessont equivalen-tes: (1) (M;) et (M 0 ; 0 ) sontY 2 -equivalents, (2) (M;) et (M 0 ; 0

) ne sont pas distingues par les invariants de Gous-sarov-Habiro de degre 1,

(3) (M;) et (M 0

; 0

) ne sont distingues ni par les triples nombres de Milnor, ni par l'invariant de Sato-Levinemodulo 2, ni par l'invariant deArf et le-invariant de Ro hlin.

Cesdeuxresultatssont vus omme des orollairesde theoremesde ara t e-risation de la relation de Y

2

-equivalen e pour les ylindres d'homologie et les string-links.Autrement dit,on al uleles groupesabeliens

C 1 () := H C() Y 2 -equivalen e et SL hb 1 (n):= SL hb 1 (n) Y 2 -equivalen e ;

en identiant esobjets topologiquesave ertainsespa es de diagrammes. Ilenresulteenparti ulieruneinterpretationdiagrammatiquedesinvariants des theoremes 1 et 2. Notons que le groupe abelien C

1

() est al ule pour toute surfa e , alors que le theoreme 1 ne traite que du as des surfa es ayant au plusune omposante debord.

Une orrespondan e estensuiteetablieentre les asd'etude (A) et (B), et don entreles diversinvariants destheoremes1 et 2 :

Theoreme3. Ilexisteunebije tionentrelesensemblesH C( g;1

)etSL hb 1

(2g) qui produit (bien que n'etant pas un homomorphisme de monodes) un iso-morphisme degroupes abeliens

C 1 ( g;1 )'SL hb 1 (2g) tel que le premier homomorphisme de Johnson 

1

et les homorphismes de Birman-Craggs  orrespondent respe tivement auxtriples nombres de Mil-nor 

3

et a l'homomorphisme .

On adopte ensuite pour le as d'etude (C) une appro he similaire : le al uldesinvariantsdeVassilievdesstring-linksendegre 1et 2 onsisteen une ara terisation desrelations deC

2 et C

3

-equivalen e.

2

la ement (les invariants de Vassiliev de degre 1). Comme orollaire, on re-trouve letheoreme de H.Murakami et Y. Nakanishisurle
-mouvement. On enon e ensuite le resultat suivant, qui implique la onstru tion d'un ertaininvariant de VassilievV

2

d'ordre2 desstring-links a2 ordes: Theoreme 4. Soient  et 

0

deux string-links a n ordes dans D 2

I, de nombresd'enla ementnuls.Alors,lesassertionssuivantessontequivalentes:

(1)  et  0

sont C 3

-equivalents;

(2) les invariants de Vassiliev de d'ordre 2 nedistinguent pas  et  0

; (3)  et 

0

nesontdistingues ni par les triples nombres deMilnor, ni par l'invariant V

2

, ni par l'invariant de Casson des nuds.

Ce resultat onsiste, omme pre edemment, a al uler le groupe abelien SL

2

(n) des lassesde C 3

-equivalen e desstring-links de nombres d'enla e-ment nuls,en l'identiant ave un espa ede diagrammes.

Enn, on etudie le lien entre les as d'etude (B) et (C); en d'autres termes, on s'interesse aux relations entre la Y-ltration et la C-ltration (dansle adredes string-links).Onobtient leresultatsuivant

Theoreme5. LegroupeabelienSL 2

(n)s'envoiesurje tivementsurle sous-groupe SL (0) 1 (n)  SL hb 1

(n) des string-links dans des boules d'homologie d'invariant de Ro hlin nul. De plus, les redu tions modulo 2 des invariants V

2

et de Sato-Levine on ident via ettesurje tion. ||||||||||||{

Cettetheses'organisedelafa onsuivante.Lapremierepartieest onsa- ree ala theorie des laspers de Goussarov et Habiro, rappelee i ide fa on uniee danslesou is derendre e texte leplus`auto- ontenu' possible. Danslase ondepartie, nousintroduisonslesobjetsde notreetude.Les y-lindresd'homologie et lesstring-linkssontpresentes, puisnousexposonsen detailles resultatsobtenus.

Latroisiemepartieest dediee au asd'etude (A).Nous demontronsdon le theoreme1apresavoirdenilesextensionsdeshomomorphismesdeJohnson et de Birman-Craggs. De plus, on ara terise la relation de Y

2

-equivalen e pourles ylindresd'homologie surunesurfa equel onque.

Le as d'etude (B) est aborde de fa on similairedans laquatrieme partie: on y etudie les invariants d'entrela s lassiques ites plus haut, pour en-suite ara teriser la relation de Y

2

-equivalen e pour les string-links frames des boules d'homologie et prouver le theoreme 2. On demontre ensuite le theoreme 3qui relie esdeux premiers asd'etude.

Enn, la inquieme partie on erne le as d'etude (C). On s'interesse don dansla se tion 5.1 aux invariants de Vassiliev des string-links.En parti u-lier,l'invariantV

2 

evoqueplushautyestdenietetudie( ertains al ulsun peute hniquesetantreportesenannexe). Ondemontreensuitelesresultats

2

des onne tionsentreles asd'etudes(B)et(C);enparti ulier,letheoreme 5estetabli.

Habiro

Ilexiste en ore peude referen es sur ette theorie.Les deuxprin ipales sont les papiers fondateurs de K. Habiro ([H ℄) et de S. Garoufalidis, M. Goussarov et M. Polyak([GGP ℄). Ontrouve aussi unebonne introdu tion danslelivrede T. Ohtsuki [O2,Appendi eE℄.

Conventions 1.1. Touteslesvarietes onsidereesserontsupposees ompa tes et orientees, saufs'il est faitmentionexpli itedu ontraire.

1.1 Qu'est- e qu'un lasper?

Soit (M; ) un entrela s (eventuellement a bord ou vide) dans une 3-variete M.

1.1.1 Denitions et onventions

Denition1.2. Un lasper pour dansM estleplongementdansM d'une surfa enon ne essairement orientee Gde omposee en onstituants appeles ^otes, feuilles,feuilles-disquees, sommetset bo^tes- voir Figure 1:

{ Un ^ote estune1-anse (  =D

1 D

1

).Onappelleextremites d'un ^ote les deux omposantes onnexes de S

0 D 1  D 1 D 1 (les zones d'atta hement de la 1-anse). Les ^otes de G interse tent l'ensemble desautres onstituantsau niveau de leursextremites.

{ Unefeuille est unanneau (  = S 1 D 1

),dont unedes omposantesde bord ontient l'extremite d'un ^ote.

{ Une feuille disquee est une 0-anse (  =

D 2

), dont le bord ontient l'extremite d'un ^ote.

{ Un sommet est une 0-anse dont le bord ontient l'extremite de trois ^otes (ave eventuellement un ^ote dont les deux extremites sont at-ta heesau m^emesommet).

{ Une bo^te est une 0-anse dont le bord ontient l'extremite de trois ^otes, deux d'entreelles (les entrees) etant distinguesde latroisieme (lasortie).

n'interse te pas G, sauf eventuellement au niveau des feuilles disquees (qu'ilinterse te transversalementen un ou plusieurspoints).

Remarquonsque,pardenition, un lasper ontient au moinsun ^ote. Ondistingueenparti ulierles laspers omposesdedeuxfeuilles( eventuel-lement disquees) reliees par un ^ote : e sont les laspers basiques - voir la gure2.

Ainsi,un lasperGest par denition le plongement d'unesurfa e dans une3-variete.Pourdessinerun lasperdansS

3

oudansun orpsenansesH g de genre g (en general, un voisinage regulier de ette surfa e), on utilisera la representation s hematique (1-dimensionnelle) donnee dans la gure 1,

Sommet

00

00

11

11

00

00

11

11

00

00

11

11

0

0

0

1

1

1

00

00

00

11

11

11

entrées

sortie

Feuille disquée

Boîte

Feuille

Fig. 1 { Les dierents onstituants d'un lasper, et leur representation s hematique.

quiutilisela onvention d'epaississementdutableau.Un exemplede lasper dansH

3 :

du plongement de

H

3

dans

est désignée par

s

00

00

11

11

00

00

11

11

_.

L’image

Notons qu'unssurun ^ote indiquelapresen e d'undemi-twist adroite.

On distingue, outre les laspers basiques, ertains types parti uliersde laspers.

Denition 1.3. On appelle graphe de laspers un lasper qui ne ontient pasde bo^tes.

Deplus,onappellearbrede laspers,ouarbre,ungraphede laspers onnexe dont la sous-surfa e formee par l'union de ses ^otes et de ses sommets est simplement onnexe.Uneuniondisjointedeplusieursarbresestappeleeune for^et de laspers.

Denition1.4. SoitGungraphede lasperspourunentrela s ( eventuel-lementvide)dansune3-varieteM.Gestdita eptablesi haque omposante onnexede Gpossedeau moinsun sommet,et n'apas defeuilledisquee. De tels graphes de laspers sont dits allowable dans [H℄ et sont appeles lovers dans [GGP ℄.

Denition 1.5. SoitGungraphede lasperspourunentrela s 6=;dans une 3-variete M. G est dit stri t si toutes ses feuilles sont disquees, et si haque omposante onnexe de Gpossede aumoins unefeuilledisquees. Il est de plus dit simple si ses feuilles disquees interse tent en un seul point.

SoitBun lasperbasique,etB 0

le lasperbasiqueobtenuenrempla ant les eventuelles feuilles disquees par des feuilles. Soit N(B

0 ) un voisinage regulier de B 0 dans M : N(B 0

)\ =;. Onpeut asso ierun entrela s en bandesadeux omposantesL

B

dansN(B 0

) ommerepresentedanslagure 2.

1

B

Fig.2{Un lasperbasiquedanssonvoisinageregulier,etl'entrela sadeux omposantesasso ie.

Dem^eme,on asso iea tout lasperG unentrela s en bandes : { Dans un premier temps, on onsidere le lasper G

0

obtenu en rem-pla ant les eventuelles feuillesdisqueespar desfeuilles.Son voisinage regulierN(G 0 ) veriedon N(G 0 )\ =;. { Puis,onde omposeG 0 dansN(G 0

)enuneuniondisjointede laspers basiquesen assantsessommetsetsesbo^tesdelafa onindiqueedans lagure3.

000

000

111

111

0000

0000

1111

1111

00

11

;

Fig. 3{ Cassured'un lasperen uneunion de laspersbasiques { Enn, on rempla e ha un de es laspers basiques par l'entrela s a

deux omposantes asso ie. Le resultat est un entrela s a 2E ompo-santes, ou E designele nombrede ^otesde G, note L

G .

Ainsi,tout lasperGpourunentrela s dansune3-varieteM ontientune instru tionde hirurgie: on denitla hirurgiele long du lasper G omme la hirurgie le long de l'entrela s asso ie L

G . On note (M G ; G ) le resultat de la hirurgie sur(M; ) lelongdu lasperG:

(
M G =( M nint(N(G 0 )) )[  N(G 0 ) L G ;
G est l'entrela s deM G

deni par Mnint(N(G 0

))M G

. Lelemmesuivantmontrel'eetde hirurgied'un lasperbasiquepossedant unefeuilledisquee :

1

a) Soit B un lasper basique pour dans M possedant une feuille et une feuille disquee. Alors, il existe un dieomorphisme entre N(B) et N(B)

B xant lebord point par point et qui s'etend (par l'identite) a un di eomor-phisme ':M !M

B .

b) Si de plus on suppose qu'une famille X d'objets 1-dimensionnels ou en bandes ( omposantes de , lasper...) interse te transversalement la feuille disquee de B, alors '

1 (X

B

)  M est omme represente dans la partie droite de la gure 4.

-1

ϕ ( )

X

X

B

Idee de la preuve : Lelemme semontrepardu al ulde Kirby:il apparait poura)quela hirurgiesurMlelongd'unentrela sa2 omposantesL

1 [L

2 telqueL

1

estunmeridien0-framedeL 2

produitune3-varietedieomorphe 

aM. Le pointb) seprouve en faisantglisserles brinsde X un aun lelong de la omposante de L

B

qui ne les enla epas. Proposition 1.7. [H, Prop. 3.3℄;[GGP , Lem. 2℄

Soit Gun lasper pour dans M tel que haque omposante onnexe de G ontient au moins une feuille disquee. On note N le voisinage regulier de G. Alors, il existe une dieomorphisme N

 =

N G

qui xe le bord point par point, qui s'etenda un dieomorphisme (dont la restri tion a l'exterieurde N est l'identite) ' G :M  = -M G :

Idee de la preuve : Elle se fait par re uren e sur le nombre de sommets : si G n'a pas de sommet, on applique le lemme fondamental 1.6. Si G a p > 1 sommets, on onsidere le sommet adja ent a la feuille disquee, que l'on` asse' ommedanslagure3entroisfeuillesformantunborromeen:le lasperobtenua lem^eme eetde hirurgiequeG. Deplus,onpeutd'apres le lemme 1.6 eliminer le lasper basique ontenant notre feuille disquee : ha une des omposantes restantes a une feuille disquee (disjointe de ) issuedu borromeen, et onpeutleurappliquerl'hypothesede re uren e. Remarque 1.8. D'apreslaproposition1.7,la hirurgielelongd'ungraphe de lasperstri tGpour dansM produitune3-varieteM

G

dieomorphea M. Onnoteraen ore

G

,etonappelleraentrela s obtenude par hirurgie lelong de G, l'entrela s ' 1 G ( G )M.

Denition 1.9. SoitG(respe tivementG 0

) un lasperpour dansM. Les laspers G et G

0

sont ditsequivalents, note G  G 0

, s'ils ont des resultats de hirurgieequivalents, 'est-a-dire :

{ siGetG 0

sontstri ts,lesresultatsde hirurgie G et 0 G 0 sontisotopes (relativement au bord)dansM.

{ sinon, les resultats de hirurgie (M; ) G et (M; 0 ) G 0

sont relies par un dieomorphisme (preservant l'orientation) qui est l'identite sur le bord.

Proposition 1.10 (Les 12 mouvements d'Habiro). [H, Prop.2.7℄ Les mouvements 1 a 12 presentes dans la gure 5 sont des equivalen es de lasper dans des orps en anses.

Danslagure,X designeunefamilled'objets1-dimensionnelsouenbandes (entrela s,feuilleou ^ote de lasper...).Bienquelagurenerepresente que des laspersave feuilles,on peutegalement ee tuer esmouvementsave desfeuillesdisquees(dont onn'a represente quelapartieutile).

Idee dela preuve :Le mouvement 1estl'appli ationdulemme fondamental 1.6. Lesautres mouvementssedemontrent su essivement parappli ations desmouvementspre edents et isotopiesde laspers.

Proposition 1.11 (Glissement de feuille). [GGP, Thm. 3.1℄

Lemouvementrepresentedans lagure6,qui onsisteaglisserunefeuillele longd'unefeuilleadja ente(ausenso uelleestin identeaum^emesommet) au prixd'un twist positif, est uneequivalen e de lasper.

Idee de la preuve : Appli ationdes mouvements 2,puis10 d'Habiro,suivie d'uneisotopiedu type `glissement d'anses'.

Poussement de bo^tes. Les laspers qui nous interessent sont les gra-phes, 'est-a-dire eux qui ne possedent pas de bo^tes, esdernieres ne ser-vant que d'outils lors des al uls. Nous allons don voir la pro edure de poussement de bo^tes, ouzip- onstru tion dans[H℄, quinous permet,a l'is-suedes al uls, denous debarasserdesbo^tes.

Etantdonneun lasperGpour dansM,onappellesous-arbrede Gtoute sous-surfa eformantunarbre auquelon auraitenlevedesfeuilles.Les ^otes quel'on a ainsi oupes sont lesbran hes.

OndistinguepourGlessous-arbres sortie,dontl'uniquebran he estla sor-tied'unebo^tede G, etlessous-arbres entree,dont haque bran heestune entree d'une bo^te.

Denition 1.12. On dit que le lasper G est zippe s'il possede un sous-arbre entree I ave au plus unebran he in idente par bo^te de G, haque bo^tein idente aI possedant aussiun sous-arbresortie.

Le omplementaire GnI est une sous-surfa e de G qui possede des bo^tes n'ayant qu'une entree : en rempla ant haque telle bo^te de GnI par un

X

X

3

3

s

00

00

11

11

00

00

11

11

s

côté

12

12

01

X

10

X

0

0

1

1

01

00

11

0

0

1

1

01

11

11

8

1

X

X

₁

2

X

2

X

7

0

1

1

X

X

₂

9

X

1

X

₂

5

6

X

X

2

4

s

s

4

1

Fig. 5 {Les 12mouvementsd'Habiro.

0

0

1

1

0

0

1

1

laspernote G I.

Lemme 1.13 (Poussement de bo^tes). [H, x3.3℄

Soit G un lasper pour dans M tel que G possede un sous-arbre entree I a k sommets. Soient O

1 ;:::;O

n

les sous-arbres sortie asso ies a I, et k i (i=1;:::;n)leur nombrede sommets. Alors,Gestequivalent a P[Qdans unvoisinage regulierN, o uP et Qsontdes laspers pour , disjointsdans N,tels que : { P G I dans N. { Qest un arbre a k+k 1 +:::+k n sommets.

Exemple 1.14. Unexempleestdonnedanslagure7.OnabienP G I parappli ationdu mouvement 3d'Habiro.

01

01

01

₀₀

1100

11

00

11

01

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

11

1

O

₀

0

₁

1

O

2

0

0

0

1

1

1

00

00

11

11

0

0

1

1

01

00

00

11

11

00

00

11

11

01

0

0

1

1

0

0

1

1

00

11

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

00

11

0

0

0

1

1

1

γ

I

Q

P

P

γ

γ

γ

5 et 6

11

Fig. 7{ Un exemplede poussement de bo^tes.

1.2 Relations d'equivalen e hirurgi ale issues des laspers K.Habirodenitdans[H℄deuxrelationsd'equivalen epourlesentrela s et les varietes en termes de hirurgie le long de graphes de laspers. La

[G2 ℄),etlase ondeaux3-varietes, eventuellementave entrela s(voiraussi [G1 ℄).

1.2.1 C k

-equivalen e pour les entrela s

Soit M une 3-variete xee, et un entrela s de M (eventuellement a bord, lebordde etant alorsproprement plonge danslebordde M). Denition 1.15. Soit T un arbrestri t pour : leC-degre d'untel arbre estegalaunombredesommetsplus1,et leC-degre d'unefor^et stri tepour estleminimumdesC-degresde ses omposantes onnexes.

Denition 1.16. Pour k 1,on appelleC k

-mouvement sur un mouve-ment de hirurgiesur lelong d'unarbre stri t T de C-degre k, note

7! C k T : On appelle C k

-equivalen e la relation d'equivalen e sur l'ensemble des en-trela s de M engendree parles C

k

-mouvements et les isotopies. Remarque 1.17. Les C

k

-mouvements, ainsi que la relation d'equivalen e qu'ils engendrent, sont relies a un ertain nombre de notions apparaissant danslalitterature.Ondistinguera,entreautres,lesnotionsdemodi ations interdependantes [G3 ℄ et de k-variations [G2 ℄ de M. Goussarov, les grope- obordismes de lasse k de J. Conant et P. Tei hner [CT℄, ou en ore la LCS

n

-equivalen ede T. Stanford[St℄.

La propositionsuivante,issue despropositions3.7, 3.22, 3.23 et 3.17de [H℄(auxquellesestrenvoyelele teurpourunepreuve),enon elesproprietes de etterelation deC

k

-equivalen e.

Proposition 1.18. 1. Pour 0  k  l, un C l

-mouvement peut ^etre realisepar un C

k

-mouvement:la C l

-equivalen eimpliquedon la C k

-equivalen e.

2. Unesuite deC k

-mouvementspeut^etre realisee de fa onsimultanee. 3. Un C

k

-mouvement estreversible.

4. Les arbres simples (Def. 1.5) de C-degre k suÆsent a engendrer la C k -equivalen e. Exemple 1.19. [H,p.56-57℄ { LesC 1

-mouvementssimples,qui engendrent larelationde C 1

- equiva-len e,sont justedes hangementsde roisement, ommele montre la gure8.

2

Ainsi,laC 1

-equivalen e on ide ave larelation d'homoto-pie.

2

I i, etfrequemment par la suite, on oublie les ha hureslorsque l'on represente les feuillesdisquees.

1

{ La relation de C 2

-equivalen e est de m^eme engendree par les C 2

-mouvementssimples:untelmouvement onsisteenunesomme onnexe ave un entrela s borromeen- voir Figure 9.

{ En general, un C k

-mouvement simple est lasomme onnexe ave un Bing-doubleitere [C1 ℄ del'entrela s de Hopfave k+1 omposantes. Lagure 9 illustrele as k=3.

;

H. Murakami et Y. Nakanishi denissent dans [MN℄ une operation sur les entrela s, le
-mouvement, representee dansla gure 10. Ils montrent que 'est une operation de denouage sur les nuds, i.e. tout nud est ramene aunud trivialparunesuiteniede
-mouvements.

Fig. 10{ Un
-mouvement.

Commele montrent les auteurs ([MN, Fig. 2.2℄, reproduite i-dessous), un
-mouvementest equivalent aun C

2

-mouvement simple.

1.2.2 Y k

-equivalen e pour les 3-varietes ave entrela s Soit unentrela s (eventuellement vide) dansune3-variete M.

de : le Y-degre de G est egal au nombre de sommets (qui est superieur ouegal a 1), et le Y-degre d'un graphe a eptable quel onque de M est le minimumdesY-degresde ses omposantes onnexes.

Denition 1.22. Pour k  1, on appelle Y k

-mouvement sur (M; ) un mouvement de hirurgiesur (M; ) lelong d'ungraphe onnexea eptable Gde Y-degre k, note (M; )7! Y k (M; ) G : OnappelleY k

-equivalen elarelationd'equivalen esurles3-varietesave en-trela sengendree parlesY

k

-mouvementset lesdieomorphismespreservant l'orientation.

Paranalogieave la proposition1.18, ona leresultatsuivant. Proposition 1.23. 1. Pour 0  k  l, un Y

l

-mouvement peut ^etre realise par un Y

k

-mouvement : la Y l

-equivalen eimplique don la Y k

-equivalen e.

2. Unesuite deY k

-mouvementspeut^etre realisee de fa on simultanee. 3. Un Y

k

-mouvement estreversible.

4. Lesarbresa eptables deY-degrek suÆsenta engendrer laY k

- equiva-len e.

Ledernierpointestjusted^uaufaitque,parlemouvement2d'Habiro,tout graphe onnexe estequivalent a unarbre.

Exemple 1.24. Un arbre de lasper a eptable de Y-degre 1 est appele unY-graphe danslalitterature([G1 ℄,[GGP ℄).Dem^eme,unY

1

-mouvement (resp.laY

1

-equivalen e)estaussiappeleuneY- hirurgie(resp.Y- equivalen- e),ouen ore hirurgieborromeenne parS.Matveevdans[Mt ℄.Ilestetabli par e dernier [Mt , Thm. 2℄ que deux 3-varietes fermees orientees sont Y -equivalentessietseulement siellesont lesm^eme premiersnombresde Betti et des formes d'enla ement T T ! Q=Z isomorphes, ou T designe le sous-groupe detorsion du premiergroupe d'homologie de lavariete.

1.3.1 Invariants de Vassiliev et laspers

Commel'expliqueK.Habirodans[H,x6.2℄,latheoriedeVassiliev(aussi appelee theorie de Vassiliev-Goussarov) peut se reformuler en termes de laspers.Commen ons par rappelerla notiond'invariant de Vassiliev (voir [BN1 ℄).

Soit 0

un entrela s xe dans une 3-variete M. On note L(M; 0

) l'en-semble des ( lasses d'isotopie des) entrela s orientes de M homotopes a

0

, et ZL(M; 0

) le groupe abelien librement engendre parles elements de L(M;

0

). Un entrela s singulier de M est une immersion de opies de S 1 dans M dont les singularites sont des points doubles (transverses). Un tel entrela s peut ^etre vu omme un element de ZL(M;

0

) en eliminant les singularitespar:

=! "; etpourtoutk 0,onnoteL

[k℄ (M;

0

)legroupeabelienlibrementengendre par les entrela s singuliers de M ave k points singuliers, homotopes a

0 (lorsque M et

0

sont lairs d'apres le ontexte, on les oubliera dans la notation). 3 Les L [k℄ ( 0

)denissent uneltrationdes endante de ZL( 0 ) ZL( 0 )=L [0℄ ( 0 )L [1℄ ( 0 ):::L [k℄ ( 0 )::: appelee ltration deVassiliev.

Denition1.25. SoitAungroupeabelien,etk 0unentier.Uninvariants des entrela s f : L(M;

0 )

-A est un invariant de Vassiliev de degre k sisonextension aZL(M; 0 ) s'annulesur L [k+1℄ (M; 0 ).

Le groupe desinvariants de Vassiliev de degre k a valeursdans A est don isomorphea Hom  ZL(M; 0 )=L [k+1℄ (M; 0 );A  .

Le asdesstring-links esttraite de fa on plusapprofondie dansx5.1. On redenit a present ette notion en termes de laspers stri ts. Soit 2L(M; 0 )=L( 0 ). 4 Soit l0un entier.

Denition 1.26. Un s hema de variation de dimension l pour est une for^et de laspers stri ts G = G

1 [:::[G l pour (les G i  etant supposes onnexes). Il est dit simple si les omposantes G

i

de G sont simples. Le degred'un s hema devariation, appele S-degre, est lasommedes C-degres de ses omposantes : S-deg (G)=

P l i=1 C-deg(G i ). Pour 2 L( 0

), et G un s hema de variation pour , on denit lasomme alternee [ ;G℄= X G 0 G ( 1) jG 0 j G 0 2ZL( 0 ); 3 L [k ℄

( 0)estnoteJk( 0)dans[H℄. 4

Par l'exemple1.19, hoisir un homotope a 0

signie juste que  C1 0 :L( 0 ) designedon la lassedeC1-equivalen ede 0.

oulasommeestprisesurtouteslessous-partiesG deG,ave jGjlenombre de omposantes onnexes de G 0 . Pour k l0,on note F l k ( 0

) lesous-groupe abelien de ZL( 0

) engendre parleselements[ ;G℄,ou 2L(

0

) et ou Gest uns hema de variationde dimensionl pour de S-degre k (F

l k ( 0 ) est note J l k ( 0 ) parK.Habiro) : F l k ( 0 )=<[ ;G℄; 2L( 0 ) , S-deg (G)=k et jGj=l>: Dem^eme, ondenit F k ( 0 )=<[ ;G℄; 2L( 0 ) , S-deg (G)=k >:

On a don les in lusions suivantes, issues du al ul de laspers ([H, Prop. 6.7℄) : F k ( 0 )=F k k ( 0 )F k 1 k ( 0 ):::F 1 k ( 0 ) F l ( 0 )=F l l ( 0 )F l l +1 ( 0 ):::F l k 1 ( 0 )F l k ( 0 ) On observe ([H , Prop. 6.7℄)) que laltration de ZL(

0

) induite parles groupesF

k (

0

) on ideave latration de Vassilievdenie plushaut : 8k1, L [k℄ ( 0 )=F k ( 0 ):

La preuvede ette egalite repose surl'observation suivante :

=! "=[!;B℄;

ouB estun s hema devariationde degre1 pour! onstitue d'un lasper basique dont haque feuille enla e un des deux brins de ! - voir gure i-dessous.

-=

Comme orollaire,on a alorsleresultat suivant. Theoreme 1.27. [H, Cor. 6.8℄

Pourk1,sideuxentrela sd'une3-varieteM sontC k+1

-equivalentsalors ils nesont pas distingues par les invariants deVassiliev de degre k. Remarque 1.28. K. Habiro montre que la re iproque est vraie pour les nuds orientes de S

3

[H, Thm. 6.18℄ (une preuve de ette re iproque a ete egalement donnee par L. Funar [Fu ℄). Il est onje ture par K. Habiro ([H , Conj. 6.13℄, voir aussi [G1 , Thm. 4℄) qu'il en est de m^eme pour les string-links(Def. 2.10) : unereponsepartiellea ette onje tureest donnee

partiellement deni. 5

1.3.2 Theoried'invariantsdetypenideGoussarov-Habiropour les 3-varietes

Cette theorie d'invariants de type ni est l'objet prin ipal de [GGP ℄; elleestaussievoquee parK.Habiro([H ,x8.4.2℄) -voiraussi[Ha1,x5℄. Bien qu'ellesedenisse aussibien pourles 3-varietesave entrela s que pourles 3-varietes, nousnousrestreignonsdans ette se tiona esdernieres.

Soit M 0

une 3-variete, et M 0

la lasse de Y-equivalen e (i.e. de Y 1 -equivalen e)de M 0 . Soit M 2M 0 et l0un entier.

Denition 1.29. Un s hema de variation de dimension l a eptable pour M estungraphede laspersa eptable G=G

1 [:::[G l deM,lesG i  etant supposes onnexes. Le degre d'un s hema de variation a eptable de M, appeleA-degre,estlasommedesY-degresdeses omposantes:A-deg (G)= P l i=1 Y-deg (G i ).

Pourdesentiers kl0,on denitlessous-groupesabeliens deZM 0 (le groupe abelien librement engendre par les 3-varietes Y-equivalentes a M 0 ) suivants : F l k (M 0 ) = <[M;G℄; M 2M 0 , A-deg (G)=k et jGj=l>; F k (M 0 ) = <[M;G℄; M 2M 0 , A-deg (G)=k>: ou, omme dans la se tion pre endente, [M;G℄ =

P G 0 G ( 1) jG 0 j M G 0, ave jG 0

j le nombre de omposantes onnexes de G 0 . Les groupes F k (M 0 ) in-duisent don uneltration des endante de ZM

0

, quel'on appelleltration de Goussarov-Habiro : 6 ZM 0 =F 0 (M 0 )F 1 (M 0 ):::F k (M 0 ):::

Denition 1.30. Soit A un groupe abelien, et k  0 un entier. Un inva-riantde typeni dedegrek (ausens deGoussarov-Habiro) surM

0 estune appli ationf :M 0 !A dontl'extension aZM 0 s'annulesur F k+1 (M 0 ). Le groupe desinvariantsde type ni de degre k a valeurs dans A est don isomorphea Hom(ZM 0 =F k+1 (M 0 ));A).

Le resultat suivant suitdesdenitionsintroduites i-dessus. 5

Soit une lassedeC k

-equivalen edesstring-linksan ordes. SoitF k +1

[ ℄, le sous-groupe de Z (le Z-module libre sur ) engendre par les elements [;G℄, ou G est un s hemadevariationdedimensionk tel que,pourtout G

0 G,ona G 0  C k .SoitA ungroupeabelien.Un invariantdesstring-links f :

-Aestun invariantde type k partiellementdeni sisonextensionaZ s'annulesurF

k +1 [ ℄. 6

CetteltrationestappeleeltrationF Y n

Pourk 1, sideux3-varietes M etM 0

sontY k+1

-equivalentsalors elles ne sont pas distinguees par les invariants de type ni (au sens de Goussarov-Habiro) dedegrek.

Remarque 1.32. La re iproqueest vraiepourlesspheres d'homologie en-tiere([H ,x8.4.2℄).M.GoussarovaÆrme([G1,Thm.3℄)qu'ilenestdem^eme pourles ylindresd'homologie (voirx2.1.1) : omme pourletheoreme 1.27, unepreuve partielle peut-^etre donnee gr^a e a la notiond'invariant partiel-lement deni( f Remarque1.28).

1.4 Lemmes te hniques sur les arbres de lasper 1.4.1 Lemmes sur les arbres stri ts

Lemme1.33 (Changement de roisement ^ote- ^ote). [H, Prop. 4.6℄ Soient T

1 et T

2

deux arbres stri ts pour disjoints dans M de C-degre respe tif k 1 et k 2 . Soit T 0 1 [T 0 2 la for^et obtenue deT 1 [T 2 en hangeant un roisement entre un ^otede T

1 et un ^otede T 2 . Alors dans M T1[T2 7! C k 1 +k 2 +1 T 0 1 [T 0 2 :

Demonstration. Dansunepetiteboule,onpeutvoir e hangement de roi-sement ommedanslapartiegau hedelagure11.Parappli ationdes

mou-01

01 01

s

s

s

s

1

₁₂

2

T

1

T

1

00

11

T

T

’

_{T ’}

₂

I

estequivalentau lasperave deuxbo^tes representedanslagure11,etenprenant ommesous-arbreentreeIle sous-arbre (a deux sommets) portant les deux demi-twist, on peut pousser es bo^tesparlelemmme1.13:T

0 1 [T 0 2 P[Q,ave P (T 0 1 [T 0 2 ) I =T 1 [T 2 etQunarbrea(k 1 1)+(k 2 1)+2=k 1 +k 2

sommets.Leresultatsuit. Lemme 1.34 (Glissement de ^ote). [H, Prop.4.5℄

SoitT unarbrede lasperstri tpour dansM deC-degrek.SoitT 0

l'arbre obtenuen faisant passant un ^ote deT a travers . Alors, on a dans M

T 7! C k +1 T 0 :

Demonstration. D'apreslemouvement1d'Habiro,T estequivalental'union de T et d'un lasperbasique dontunefeuilleenla ele ^ote de T, sonautre feuille etant une opie d'un meridien de . En appliquant le mouvement 12 d'Habiro, on obtient que T

0

est equivalent au lasper ave deux bo^tes represente danslagure 12.

s

s

γ

γ

γ

00

11

01

γ

P

Q

I

1

12

Par l'appli ationdu lemme 1.13 de poussement debo^tes (enprenantpour sous-arbre entree I le sous-arbre a un sommet in ident a K), on a : T

0 est equivalent a l'union disjointe P [Q, ave P  T

0

I = T et Q un arbre de C-degre k +1 (i.e. a k sommets). D'ou

T 0 ' P[Q ' ( P ) Q '( T ) Q , 'est-a-direque

T 0 estobtenu de T parun C k+1 -mouvement.

Remarque 1.35. Comme note par K. Habiro (preuve de [H , Thm. 4.3℄), une onsequen e du Lemme1.34 estlasuivante :

Soit T un arbre de lasper stri t pour dans M de C-degre k. Soit T 0 l'arbre obtenu de T en hangeant un roisement entre deux ^otes de T, ou enee tuantun twist omplet sur un ^ote de T. Alors, on a dans M

T 7! C k +1 T 0:

Lemme 1.36 (E hange de feuilles disquees). [H, Prop. 4.4℄ Soient T

1 et T

2

deux arbres stri ts pour disjoints dans M de C-degre respe tifk 1 etk 2 .SoitT 0 1 [T 0 2

la for^etobtenueenpassant unefeuilledisquee

0

0

1

1

0

0

1

1

T

1

T

2

T’

1

T’

2

0

0

1

1

0

0

1

1

a travers une feuilledisquee f 2

de T 2

- voir i-dessus. Alors dans M T 1 [T 2 7! C k 1 +k 2 T 0 1 [T 0 2 :

Demonstration. Commeonl'afaitremarquerpre edemment,onpeut libre-ment hanger lesfeuillesdisqueespardesfeuillespouree tuer les al uls: on onsidere don lafeuilleasso iee a f

1

. Par isotopiede ette feuille, puis appli ationdesmouvements7et 12d'Habiro(ennotantquel'insertiond'un demi-twist sur un ^ote est ne essaire pour l'appli ation de e dernier), on

obtient un lasperequivalent a T 1

[T 2

ave deux bo^tes, et dans lequelon distingueun sous-arbre entree I a un sommet (voir Figure 13). Le resultat

s

00

00

00

11

11

11

f

2

00

00

11

11

f

1

0

0

0

1

1

1

isotopie

s

0

0

0

1

1

1

01

0

0

1

1

I

s

de ouledon de l'appli ationdulemme 1.13a e lasper.

Notons que l'onne diposepasd'unresultatanalogue pourdeux feuilles disqueesd'unm^eme arbrestri t.

1.4.2 Lemmes sur les arbres a eptables

Lesdeuxpremierslemmessontlesequivalentspourlesarbresa eptables deslemmes1.34 et 1.33, et seprouvent de maniere identique.

Lemme 1.37 (Glissement de ^ote). [GGP, Cor. 4.2℄

Soit T un arbre de lasper pour dans M de Y-degre k, et K un nud en bandes dans M disjoint de et de T. Soit T

0

l'arbre obtenu en faisant la somme onnexe d'un ^ote ede T ave K. Alors

(M; ) T 7! Y k +1 (M; ) T 0 :

Lemme 1.38 (Changement de roisement ^ote- ^ote). Soient T 1

et T

2

deux arbres pour disjoints dans M de Y-degrerespe tif k 1 et k 2 . Soit T 0 1 [T 0 2 lafor^etobtenuedeT 1 [T 2

en hangeantun roisemententreun ^ote de T 1 et un ^otede T 2 . Alors (M; ) T 1 [T 2 7! Y k 1 +k 2 +2 (M; ) T 0 1 [T 0 2 :

Le lemme suivantest laird'apreslapreuve dulemme 1.36 :

Lemme 1.39 (Changement de roisement feuille- ^ote). SoientT 1

et T

2

deux arbres a eptables pour disjoints dans M de Y-degrerespe tif k 1 et k 2 . Soit T 0 1 [T 0 2 la for^et obtenue de T 1 [T 2 en hangeant un roisement entreune feuille deT

1 et un ^otede T 2 . Alors, (M; ) T1[T2 7! Y k 1 +k 2 +1 (M; ) T 0 1 [T 0 2 :

Lemme 1.40. (Changement de roisement feuille-feuille sur une for^et). Soient T

1 et T

2

de Y-degre respe tif k 1 et k 2 . Soit T 1 [T 2 la for^et obtenue de T 1 [T 2 en hangeant un roisement entreune feuille deT

1 et unefeuille de T 2 . Alors (M; ) T1[T2 7! Y k 1 +k 2 (M; ) T 0 1 [T 0 2 :

Demonstration. Dansunepetiteboule,onpeutvoir e hangement de roi-sement ommedanslapartiegau he delagure i-dessous.Parappli ation

7

₂

I

Fig. 14 {

des mouvements 7 et 2 d'Habiro, T 0 1

[ T 0 2

est equivalent au lasper ave deuxbo^tesrepresente danslagure14.Leresultatsuitdel'appli ationdu lemmme 1.13 (en prenant omme sous-arbre entree I le sous-arbre a zero sommetsde lagure) : T 0 1 [T 0 2 P [Q, ave P T 1 [T 2 et Qun arbrea k 1 +k 2 sommets.

En suivant exa tement les m^emes idees, on prouve le resultat suivant, on ernant un hangement de roisement entre deux feuilles d'un m^eme arbre :

Lemme 1.41. (Changement de roisement feuille-feuille sur un arbre). Soit T un arbrea eptable pour dans M de Y-degre k 2. Soit T

0

l'arbre obtenu en hangeant un roisement entre deux feuilles F 1 et F 2 de T. Alors (M; ) T  Y k +1 (M; ) T 0 [ ~ T ; o u ~

T est obtenu deT en onne tant les ^otes in idents a F 1

et F 2

. Lemme 1.42 (S indement de feuille). [GGP ,Cor. 4.3℄

Soit T un arbre de lasper a eptable pour dans M de Y-degre k, et f unefeuilledeT.Soientf

1 et f

2

deuxfeuillesobtenuesens indant f lelong d'un ar  allant du point d'atta hement a un autre point de f (voir Fig. 15). Soient T

1 etT

2

les arbres de Y-degrek obtenus de T enrempla ant f par f i ,i=1;2. Alors (M; ) T  Y k +1 (M; ) T 1 [T 2 :

Demonstration. En appliquant le mouvement 7 d'Habiro a la feuille f, on fait appara^tre une bo^te ave , en entree, les feuilles f

1 et f

2

. Puis, on ap-pliquele lemme 1.13 pourpousser ette bo^te en prenant, disons,lafeuille f

2

et son ^ote in ident dans le r^ole du sous-arbre entree I : T  P [Q, ave P T I = T

1

α

T

f

f

7

1

f

2

I

T

1

T

2

2

T

P

T1

2

de côté

T

3

2

T

P

glisssement

pro edure de poussement de bo^tesdonne dans e as : Q=T 2 , et P T 1 diere de T 1 dans un voisinagede T 2

par desbo^tesave de petites feuilles trivialesenla ant les ^otes de T

2

, omme danslagure 16.

Au niveau de haque telle bo^te, on peut alors appliquer le lemme 1.37 pour glisser le ^ote de T

2

le long d'un petit meridien de la feuille, e qui ne modie pas la lasse de Y

k+1

-equivalen ede T

(voir la gure 16) : par lemouvement 3 d'Habiro,le lasperobtenu estequivalent a T

1 . Ona don bien T ' P[Q  Y k +1 T1[T2 .

Les ylindresd'homologie etles string-linkssont d'importantsobjetsde latheoried'invariantsdetypenideGoussarov-Habiro:ilsapparaissenten eet dans[H℄ et dans[G1 ℄.Dans ette se tion, nousrappelonsladenition de esobjets etenon ons les prin ipauxresultats de ette these.

2.1 Cylindres d'homologie 2.1.1 Denitions et notations

Soitunesurfa e ompa te, onnexeetorienteedegenreg0, eventuel-lement a bord. Par la suite, on designera la variete produit I par 1

 , et on notera H le premier groupe d'homologie entiere de ette surfa e : H=H

1 (;Z).

Denition 2.1. Un obordisme d'homologie sur estun triple(M;i +

;i ) ou M est une3-variete ompa te orientee et i

 : 

-M sont des plon-gementsorientes d'images



, tels que: (i) i



sontdes isomorphismesen homologie; (ii) M = + [(  ) et  + \(  )=  ; (iii) i + j  =i j  .

Les obordismes d'homologie sont onsideres a dieomorphisme onservant l'orientation pres, et on note C() l'ensemble des lasses d'equivalen e des obordismesd'homologie sur .

Si M =(M;i +

;i ) et N =(N;j +

;j ) sont des obordismes d'homolo-gie, onpeutdenirleurproduitd'empilement par

M
N :=(M[ i Æ(j + ) 1 N;i + ;j ):

Ce produit munit C() d'une stru ture de monode. L'element unite est 1  := ( I;Id 0 ;Id 1

), ou I designe l'intervalleunite [0;1℄ et ou Id "

(" = 0;1) est la omposee de Idf"g ave un ollier de f"g tire lelong de I, detelle sortequela se onde onditiondela denition2.1 soitbien remplie.

Pourtout obordismed'homologieM =(M;i +

;i )2C(),l'appli ation i



induit un isomorphismeau niveau de haque quotient nilpotent (par le theoreme deStallings [S℄)

(i  ) k :   k ' - 1 (M) ( 1 (M)) k ;

ou  designe le groupe fondamental de , et  k

designe le k ieme

terme de sa serie entrale des endante, initialisee en 

1 = . En onsiderant la omposee (i ) 1 k Æ(i + ) k

, haque obordisme d'homologie M = (M;i +

k

des obordismes d'homologiequi induisent l'identitesur = k+1 . 7 Denition 2.2. Lorsque(i ) 1 2 Æ(i + ) 2 :H 1 (;Z) -H 1 (;Z)est l'iden-tite,on ditque M est un ylindre d'homologie.

OnnoteH C():=C()[1℄lesous-monodedes ylindresd'homologiesur.

2.1.2 Y k

-equivalen e pour les ylindres d'homologie

Comme K. Habiro dans [H ℄, on peut denir une ltration des endante de monodes C()C 1 ()C 2 ()


C k ()


ouC k

()estlesous-monodedes obordismesd'homologieY k

-equivalentsau obordismetrivial1



. La propositionsuivante estdemontree dansx2.3.2,a lan de e hapitre.

Proposition 2.3. 1. Pourunesurfa e ompa teorienteedegenreg 0 ave au plus une omposante de bord, alors

C 1

()=H C():

2. Pour  une surfa e ompa te orientee de genre 0 ave n2 ompo-santesde bord, alors

H C()=C() , et C 1

()=C()[2℄: L'objetde notreetudeest lemonode quotient C

k () :=C k ()=Y k+1 . Proposition 2.4. Soit  une surfa e ompa te, onnexe, orientee quel- onque. Alors,pour tout k1, C

k

() est un groupeabelien.

Une preuve est donnee dans x2.3.3. On montre de m^eme que, pour tout 1kl, C

k ()=Y

l

est un groupe.

Pourk2,K.Habirodonneunebornesuperieure ombinatoirepourle groupe abelien C

k

(). Plus pre isement, il denitle groupe abelien A k

(H) (niment) engendre par les diagrammes unitrivalents de degre interne k, ave une orientation y lique en haque sommet trivalent et dont les som-mets univalents sont olories par des elements de H et sont totallement ordonnes.Cesgraphessont onsideresmodulolesrelationsAS,IHXet Mul-tilinearitehabituelles,et aune ertainerelation\STU-like"pres on ernant l'ordredessommets univalents.Dans le as los, ertainesrelations detype symple tiquedoivent^etre ajoutees. Ainsi,on a uneappli ation de hirurgie surje tive A k (H) k - -C k () 7

CemonodeestnoteM h g;1

[k℄dans[Ha1℄pourle as= g;1

envoyant haque graphe G sur (1 

) ~ G

, ou G est un lasper de la variete 1  de graphe abstrait asso ie G, dont les feuilles sont empilees a partir de la surfa eduhaut 1 suivantl'ordretotal, framees lelongde ette surfa e et plongeessuivant l'etiquette dusommet univalent orrespondant.

Lefaitque esappli ationssontbiendeniesprovientde al ulsde laspers. Dansle ask =1,K.Habironedenitpasd'espa edediagrammesmais annon eles isomorphismessuivants, pourles as =

g;1 ou  g ( C 1 ( g;1 )' 3 H 2 H (2) H (2) Z 2 C 1 ( g )' 3 H=(!^H) 2 H (2) =! (2) H (2) Z 2 (1) ouH (2) =HZ 2 et ou != g X i=1 x i ^y i 2 2 H

estl'element symple tique. 8

Ce faitaete utilise parlasuitedans[Lev1 ℄. Le butde ette se tion est d'etablir es isomorphismes,de fa on diagram-matique,en denissant a nouveau uneappli ation de hirurgie

A 1 (P) -C 1 ();

et equellequesoitlasurfa e.L'espa e dediagrammesA 1

(P) et l'appli- ation s'averent ^etre substantiellement dierents des A

k (H) et

k pour k>1,rendant le ask =1 ex eptionnel. Eneet, leurdenitionfait inter-venir le groupe d'homologie H et Spin(), l'ensemble des stru tures spin sur. Rappelonsquel'on peutvoir l'ensembleSpin() omme

Spin()=f 2H 1 (U;Z 2 )=i  ()6=02Z 2 g; ou S 1 i -U p -

designe le bre tangent unitairede la surfa e. Spin() a unestru ture de H

1 (;Z

2

)-espa e aÆne,d'a tion donnee par 82Spin();8x2H 1 (;Z 2 ); x
 :=+p  (x): Ainsi,parmilesappli ationsSpin()

-Z

2

,on distinguelesappli ations aÆnes, et plusgeneralement les polyn^omes Booleens, qui sont des sommes deproduitsd'appli ationsaÆnes(voir[J4,x2℄).Cespolyn^omesformentune Z

2

-algebre notee B :=B(),ltree parledegre : B (0) B (1) 


B (k) : 8

Onrappellequel'algebreexterieure(H)estl'algebrequotientdel'algebretensorielle T(H)parl'idealbilatereengendreparleselementsxx;x2H.

Parexemple,B est l'espa edesfon tionsaÆnessurSpin();lafon tion onstante 1 : Spin()

-Z

2

envoyant tout  sur 1 et, pour h 2 H, la fon tion h envoyant haque  sur < ;

~

h > sont des fon tions aÆnes. I i, ~

h 2H 1

(U;Z 2

) est le releve anonique de h, deni parJohnson dans [J1, x3℄. Plus pre isement, si h est represente par une ourbe fermee simple de , on note~ son releve dans U obtenu en framant par le hamp de ve teurs tangent a la ourbe. On note z la lasse de la bre, 'est-a-dire l'imagepari  du generateur de Z 2 'H 1 (S 1 ;Z 2 ). Alors ~

h est la lasse d'homologiede~ +z:

Notons ([J1 ,Thm.1B℄) que ^ h 1 +h 2 = f h 1 + f h 2 +(h 1 h 2 )z, 8h 1 ;h 2 2H,ou  designelaforme d'interse tion surH. Onen deduitl'egalite suivante :

8h 1 ;h 2 2H; h 1 +h 2 =h 1 +h 2 +(h 1 h 2 )
12B (1) : (2)

Pour toute base (e i ) 2g+n 1 i=1 de H = H 1 ( g;n ;Z), on a un isomorphisme d'algebres: B ' Z 2 [t 1 ;:::;t 2g+n 1 ℄ t 2 i =t i (3) envoyant 1 sur 1 et e i sur t i

. Notons en parti ulier que d'apres (3) on a B( g )'B( g;1 ). 2.1.3 Y 2

-equivalen e pour les ylindres sur une surfa e ave au plus une omposante de bord

Dans ette se tion, on ara terise la Y 2

-equivalen e pour les ylindres d'homologiesurunesurfa e ompa te onnexeorientee=

g;1 ou

g .Ce i faitl'objetd'unepubli ation,[MM ℄,qui estun travail ommun ave G. Massuyeau.

Le groupe de Torelli abelianise. K. Habiro souligne dans [H , x8.5℄ le fait que les ylindres d'homologie peuvent servir de puissant outil pour l'etude dumapping lassgroup d'une surfa e(voir [GL ℄,[Ha1℄,[Lev1 ℄). La orrespondan e repose surl'homomorphismede monodes

T() C

-H C()

envoyant haque hdu groupede Torellide surlemapping ylindre C h

= (I;Id

0

;h) (ou, omme pre edemment, un ollierde  

est tire le long de I).

Restreignons nousaux as= g;1

et  g

. LesnotationsusuellesT g;1 = T( g;1 )etT g =T( g

)pourlesgroupesdeTorelliserontutilisees.Onnotera de plusB g laZ 2 -algebre B( g )'B( g;1 ).

^etrerassemblesdansununiquehomomorphisme(suivantquel'on onsidere le asa bordoule as los)

T g;1  -B (3) g ou T g  -B (3) g 
B (1) g ; ou 2B (2) g

estlafon tion Booleenne quadratique

 = g X i=1 x i
y i ; (4)

onnuesouslenomd'invariantdeArf.Rappelonsausside[J3 ℄quelepremier homomorphisme de Johnson est unhomomorphisme

T g;1  1 - 3 H ou T g  1 - 3 H !^H :

Formons lepullba ksuivant :  3 H  3 H (2) B (3) g -B (3) g  3 H ? Z 2 - 3 H (2) ; q ?

ou l'appli ation q est la proje tion anonique B (3) g -B (3) g =B (2) g suivie de l'isomorphisme B (3) g =B (2) g '  3 H (2)

qui identie le polyn^ome ubique h 1 :h 2 :h 3 ave h 1 ^h 2 ^h 3

( equiestbiendenipar(2)et(3)). OnnoteSle sous-groupede epullba k orrespondanta!^H

3 Het 
B (1) g B (3) g . Johnsonamontredans[J4 ℄que,sousl'hypotheseg3,leshomomorphismes 

1

et  induisent lesisomorphismes

(T g;1 ) Ab ( 1 ;) ' - 3 H  3 H (2) B (3) g et (T g ) Ab ( 1 ;) ' - 3 H  3 H (2) B (3) g S :

Remarque 2.5. Notons que, par (3), les espa es buts de es appli ations sontrespe tivementnon anoniquementisomorphesa

3 H 2 H (2) H (2)  Z 2 et  3 H=(!^H) 2 H (2) =! (2) H (2) Z 2 .

Enon edesresultats. Dansx3.1,onva onstruirel'espa edediagrammes A 1 (P) et l'appli ation de hirurgie : A 1 (P) -C 1 ( ) annon es dans lase tionpre edente. Lesstru turesspinjouent unr^oleimportant dans es

abeliens :A 1 (P) - 3 H  3 H (2) B (3) g . Observonsque,C 1

()etant ungroupe abelien,la onstru tion du mapping ylindreinduitun homomorphismede groupesabeliens

(T()) Ab C -C 1 ():

Comme l'ont signale S. Garoufalidis et J. Levine dans [GL℄ et [Lev1 ℄, les homomorphismes de Johnson et de Birman-Craggs se fa torisent par l'ap-pli ation mapping ylindre C : T()

-H C(). Ces extensions seront detaillees dansx3.2.1 et x3.2.2.

Lesdeux theoremessuivantsseront prouvesdans x3.2.3. Theoreme 2.6. Dans le as a bord, le diagramme

A 1 (P) -C 1 ( g;1 )  C (T g;1 ) Ab       R ( 1 ;)  3 H  3 H (2) B (3) g ( 1 ;) ?

ommute et toutes ses e hes sont des isomorphismes, ex eptees les deux appli ations partant de( T

g;1 )

Ab

lorsque g<3. Theoreme 2.7. Dans le as los,le diagramme

A 1 (P)  1 (S) -C 1 ( g )  C (T g ) Ab       R ( 1 ;)  3 H  3 H (2) B (3) g S ( 1 ;) ?

ommute et toutes ses e hes sont des isomorphismes, ex eptees les deux appli ations partant de( T

g )

Ab

lorsqueg<3.

Notons que les theoremes2.6 et 2.7 et laremarque 2.5 donnent les isomor-phismesd'Habiro (1),non anoniques.

Ondeduitaisementde equipre edele orollairesuivant,qui ara terise les invariants de type ni (au sens Goussarov-Habiro) de degre 1 pourles ylindresd'homologiesur 

g;1 ou  g . Corollaire 2.8. Pour  =  g;1 ou  g , soient M et M 0 deux ylindres d'homologie sur . Alors, les assertions suivantes sontequivalentes :

(1) M et M 0

sontY 2

(2) M etM nesontpasdistinguesparlesinvariants deGoussarov-Habiro dedegre1;

(3) M and M 0

ne sont pas distingues par le premier homomorphisme de Johnson,ni par les homomorphismes de Birman-Craggs.

Enn, si on se xe un plongement  g;1  - g , il y a une appli ation evidente de \rebou hage" C 1 ( g;1 ) -C 1 (  g

) , a travers laquelleles dia-grammes ommutatifsdestheoremes2.6et 2.7sont ompatibles.Voirx3.2.3 pourun ennon e pre is.

2.1.4 Y 2

-equivalen e pour les ylindres sur unesurfa e ave plus d'une omposante de bord

Le theoreme2.6pourles ylindresd'homologiesur unesurfa edegenre g  0 ave une omposante de bord peut en partie se generaliser au as d'unesurfa e

g;n

de genre g0 an1 omposante(s) de bord. Eneet,ondenitpourtoutg0,n1unespa edediagrammesA

1 (P

g;n ) et une appli ation de hirurgie : A

1 (P g;n ) -C 1 ( g;n ) omparables a euxintervenantdanslestheoremespre edents.LetheoremesuivantaÆrme que ette appli ation de hirurgieest un isomorphisme.

Theoreme 2.9. Pour tout g0, n1 l'appli ation de hirurgie

A 1 (P g;n ) -C 1 ( g;n ) estun isomorphisme de groupes abeliens.

La demonstration de e theoreme, ainsi que les denitions de A 1

(P g;n

) et de , sont donnes dansx3.3.

2.2 String-links

2.2.1 Denitions et notations

Soit  une surfa e ompa te, onnexe, orientee, et x 1

;:::;x n

n points xes a l'interieurde . Soit M une3-variete a bord, ompa te et orientee, dont le bord s'identie a (I) (un obordisme d'homologie sur , par exemple).

Denition 2.10. On appellestring-link a n ordes dans M, aussi appele enla ementd'intervalles ouen hev^etrementspurs,unplongementpropre(et lisse)dansM : n G i=1 I i -M de n opiesdisjointesI i

de l'intervalleunite telque,pourtouti, l'image i deI i vade (x i ;0) a(x i

;1) (via l'identi ationM =(I)).Onappelle 

i lai

ieme

duiteparl'orientationnaturellede l'intervalleunite I.

Un string-link frame a n ordes dans M est un string-link  equipe d'une lassed'isotopie de se tionsnon singulieres de sonbre normaldont la res-tri tionsurlebordestxee.Autrementdit,estunplongementpropre(et lisse)dansM : n G i=1 I i [0;"℄ -M

de n opiesdisjointes de l'intervalleuniteepaissi (">0) tel que,pourtout i,l'image de I i f0g vade (x i ;0) a (x i ;1). SoientM et M 0

deux varietesa bordtellesqueM =M 0

=(I); On denit le produit de deux string-links a n ordes (M;) et (M

0 ; 0 ) en empilantsur 0 dansleproduitM
M 0 ,realiseenidentiantf1gM ave f0g M 0 .

etant xee, e produitmunitl'ensembledesstring-linksframesan ordes d'unestru turede monode,ave pourelementunitela lassedustring-link trivial1 n :=[ i (x i I)dans I.

Parlasuite, on serestreint au as=D 2

.

Onseramenedon au asd'etude(B)annon e dansl'introdu tion.Onnote SL

hb

(n) le monode des ( lasses de dieomorphisme par rapport au bord des) string-links frames a n ordes des boules d'homologie (dont le bord s'identie a (D

2

I)), ave pourelement neutre(D 2

I;1 n

). Si de pluson hoisit de se restreindre au as des string-links dans D

2 I, etque l'onnetient plus onptedu framing,

9

on estdansle asd'etude (C), 'est-a-direle asdesstring-links lassiques. OnnoteSL(n)lemonodedes ( lassesd'isotopieambianteparrapportauborddes)string-linksan ordes, d'element neutre1

n .

Notations 2.11. Par la suite, D 2 n := D 2 nfx 1 ;:::;x n g  =  0;n+1 designera le disque a n trous. Comme dans la se tion pre edente, H := H

1 (D

2 n

;Z) designera le premiergrouped'homologie entiere de la surfa e, et on notera de m^eme H (2) := H 1 (D 2 n ;Z 2

). On utilisera frequemment la notation 1 D

2 pourdesigner leproduitD

2 I. Denition 2.12. Soit (M;)2SL hb (n).Onnote ^ M :=M[ (D 2 I) la sphere d'homologieobtenue enatta hant,via l'identi ationM =(D

2  I), les D 2 fg  M aux D 2 f(1 )g  (D 2 I) ( = 0;1) et en identiant lesD 2

I. Auniveau desstring-links, ette operationenvoie  surun entrela s frame oriente ^ a n omposantes de

^ M. 9

D'apres la denition 2.10, l'oubli du framing sur un string-link ~ onsiste juste a prendrelarestri tion:=~j F i I i f0g .

(M;)^ est appelelafermeture de(M;). Enparti ulier,pourM =1 D

2,on retrouvela notion lassiquede fermetured'un string-link(voir [HL, x2℄).

Pour(M;)un string-linkdansunebouled'homologie M, onnotei 0 et i 1 lesin lusionsdeD 2 n

respe tivementdanslesbordsinferieurset superieurs du omplementaireM  :=Mn (via l'identi ationM =(D 2 I)) : D 2 n i  -(D 2 n )  M  ou(D 2 n )  :=(D 2 n

)fg,=0;1.ParletheoremedeStallings([S℄), es in lu-sions induisent des isomorphismes au niveau de haque quotient nilpotent dugroupe fondamental: (i  ) ? :  1 ((D 2 n )  ) ( 1 ((D 2 n )  )) k = F F k ' - 1 (M  ) ( 1 (M  )) k ;

ouF designelegroupelibrea ngenerateurs, et F k

estlek ieme

termede sa serie entrale des endante. Ainsi, toutelement de SL

hb (n) induitun auto-morphismede F=F k+1 , parsak ieme

representationd'Artin A k : SL hb (n) -Aut(F=F k+1 )  -(i 1 ) 1 k+1 Æ(i 0 ) k+1 Deplus, A k

() vitdans Aut 0 (F=F k+1 ) Aut(F=F k+1 ),le sous-groupe des automorphismes de F=F k+1

envoyant haque generateur x i

de F sur un onjuguede x

i

et laissant in hange leurproduitx 1 x 2 :::x n [HL℄. Onnote SL hb (n)[k℄ :=KerA k

le sous-monode des string-links induisant l'identite sur F=F k+1 . Notons ([HM , x5℄) que SL hb (n) = SL hb (n)[1℄, et que (M;) 2 SL hb (n)[2℄ si et seulement sitous sesnombresd'enla ements et framingssont nuls.

Remarque 2.13. Pour(M;)2SL hb (n),le omplementaireM  ,munides plongementsi 0 eti 1

, estun obordismed'homologiesurledisque antrous D 2 n : (M  ;i 0 ;i 1 )2C(D 2 n

).Ce i denitunisomorphisme

:SL hb (n) ' -C(D 2 n );

dontuninverseestdonneparl'atta hementde n2-anseslelongdes ompo-santesde bordde M



asso iees auxntrousde D 2 n

: les^ames de es2-anses D

2

I fournissent les n ordes du string-link (et le framing sur le disque D

2

induitunframingsur ette orde).Pourtoutk,l'appli ation induitun isomorphismedemonodes

SL hb (n)[k℄'C(D 2 n )[k℄;

ouC(D 2 n

)[k℄ estdeni dansx2.1.1.En eet,(M;)2SL (n)[k℄ siet seule-ment siA k () =(i 1 ) 1 k+1 Æ(i 0 ) k+1

=1, e qui equivaut a direque le obor-dismed'homologie (M  ;i 0 ;i 1

) induitl'identite au niveau de F=F k+1

: 'est don pardenition unelement de C(D

2 n

)[k℄.

Cetteremarque esta omparer ave [Ha1 ,Thm.2.1℄.

2.2.2 Y k

-equivalen e pourles string-linksframesdes boules d'ho-mologie OnnoteSL hb k (n) lesous-monodeSL hb

(n) deselements (M;) quisont Y k -equivalents a(1 D 2;1 n

). Ona laltrationdes endante demonodes SL hb (n)SL hb 1 (n)SL hb 2 (n)::: Proposition2.14. LeselementsdeSL

hb 1

(n)sontlesstring-linksdeSL hb

(n) dont les longitudes sontnul-homologues, autrement dit les string-links dont tous ses nombres d'enla ement etframings sont nuls :

SL hb 1 (n)=SL hb (n)[2℄: (unepreuve estdonnee dansx2.3.1).

Pourk 1,lemonode quotient SL hb k (n):=SL hb k (n)=Y k+1

est un groupe abelien. Ce i sedemontre de maniereanalogue a la proposi-tion2.4, pardes al ulsde laspers standards - voirx2.3.3.

On va i i se onsa rer a l'etude du as k = 1, en etablissant pour les string-linksdesboulesd'homologieunresultatanaloguea euxdelase tion pre edente.

Rappelons que les triples nombres de Milnor peuvent ^etre rassembles en un homomorphisme de monodes SL

hb 1 (n)  3 - 3 H; qui se fa torise parSL hb 1 (n) - -SL hb 1

(n)en unhomomorphismedegroupesabeliens(voir x4.2.4) SL hb 1 (n) 3 - 3 H: Par ailleurson note, omme dans x2.1.3, B

0;n+1 =B( 0;n+1 ) la Z 2 -algebre despolyn^omesBooleenssur Spin(

0;n+1 ),et B (k) 0;n+1 lapartiede degrek de B 0;n+1

. Onvadenirdans x4.3un homomorphismedegroupesabeliens

SL hb 1 (n)  -B (3) 0;n+1

dont ladenition faitintervenirla redu tion modulo 2 destriples nombres deMilnor

3

et del'invariantde Sato-Levine, ainsique l'invariantde Arf etle-invariantde Ro hlin.Cesinvariantssontdenisetetudiesdansx4.2. On a alors le theoreme suivant (prouve dans x4.3), qui ara terise la Y

2

-equivalen epourles string-linksdansSL hb 1