Les graphes : semaine 40

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Les graphes : semaine 40

Guillaume CONNAN

IUT de Nantes - Dpt d'informatique

3 octobre 2011

(IUT de Nantes - Dpt d'informatique ) 1 / 24

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1 Coloration 2 Graphe planaire

(3)

Coloration

Sommaire

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Dénition 1

Un stable d'un graphe est un sous-graphe sans arête. Le nombre de stabilité α (G) d'un graphe G est la taille d'un stable maximum.

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Coloration

Dénition 1

Un stable d'un graphe est un sous-graphe sans arête. Le nombre de stabilité α (G) d'un graphe G est la taille d'un stable maximum.

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Dénition 1

Un stable d'un graphe est un sous-graphe sans arête. Le nombre de stabilité α (G) d'un graphe G est la taille d'un stable maximum.

(7)

Coloration

5 4 3

2

1

8

7

6

(8)

Dénition 2

Le nombre chromatique χ (G) d'un graphe est le plus petit nombre de couleurs tel que l'on puisse colorier les sommets de G de façon à ce que deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur.

Remarque

Les ensembles monochromes sont stables donc la coloration permet d'obtenir une partition de X en un nombre minimum de stables

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Coloration

Dénition 2

Le nombre chromatique χ (G) d'un graphe est le plus petit nombre de couleurs tel que l'on puisse colorier les sommets de G de façon à ce que deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur.

Remarque

Les ensembles monochromes sont stables donc la coloration permet d'obtenir une partition de X en un nombre minimum de stables

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Dénition 2

Le nombre chromatique χ (G) d'un graphe est le plus petit nombre de couleurs tel que l'on puisse colorier les sommets de G de façon à ce que deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur.

Remarque

Les ensembles monochromes sont stables donc la coloration permet d'obtenir une partition de X en un nombre minimum de stables

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Coloration

Dénition 3

χ (G) = 1 ⇔ G est stable

χ (G) = 2 ⇔ G est biparti

(12)

Dénition 3

χ (G) = 1 ⇔ G est stable

χ (G) = 2 ⇔ G est biparti

(13)

Coloration

Dénition 3

χ (G) = 1 ⇔ G est stable

χ (G) = 2 ⇔ G est biparti

(14)

Dénition 3

χ (G) = 1 ⇔ G est stable

χ (G) = 2 ⇔ G est biparti

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Coloration

Dénition 3

χ (G) = 1 ⇔ G est stable

χ (G) = 2 ⇔ G est biparti

(16)

Théorème 4

On a pour tout graphe G = (X ^, A) :

» n α (G)

¼

É χ (G) É n − α (G) + 1

(17)

Coloration

Conséquence : Corollaire 5

Le graphe complet K

_n

est n − coloriable.

(18)

Dénition 6

Un sous-graphe complet d'un graphe G est appelé une clique.

L'ordre de la plus grande clique dans G est noté ω (G).

(19)

Coloration

Dénition 6

Un sous-graphe complet d'un graphe G est appelé une clique.

L'ordre de la plus grande clique dans G est noté ω (G).

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Dénition 6

Un sous-graphe complet d'un graphe G est appelé une clique.

L'ordre de la plus grande clique dans G est noté ω (G).

(21)

Coloration

Théorème 7

χ (GR) Ê ω (G)

(22)

Théorème 8 (Tutte 1954)

Pour tout entier k Ê 2, il existe un graphe k − chromatique sans clique à 3 sommets (triangle).

Cas particuliers en TD. Admis dans le cas général.

(23)

Coloration

Théorème 8 (Tutte 1954)

Pour tout entier k Ê 2, il existe un graphe k − chromatique sans clique à 3 sommets (triangle).

Cas particuliers en TD. Admis dans le cas général.

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Théorème 8 (Tutte 1954)

Pour tout entier k Ê 2, il existe un graphe k − chromatique sans clique à 3 sommets (triangle).

Cas particuliers en TD. Admis dans le cas général.

(25)

Coloration

Théorème 9 (Nordhaus et Gaddum - 1960)

Soit G = (X ^, A) un graphe et G = (X ^, A) son complémentaire.

1

χ (G) · χ (G) Ê n

2

χ (G) + χ (G) É n + 1

3

χ (G) + χ (G) Ê 2 ^p n

4

χ (G) · χ (G) É ¡

_n+1

2

¢

₂

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Théorème 9 (Nordhaus et Gaddum - 1960)

Soit G = (X ^, A) un graphe et G = (X ^, A) son complémentaire.

1

χ (G) · χ (G) Ê n

2

χ (G) + χ (G) É n + 1

3

χ (G) + χ (G) Ê 2 ^p n

4

χ (G) · χ (G) É ¡

_n+1

2

¢

₂

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Coloration

Théorème 9 (Nordhaus et Gaddum - 1960)

Soit G = (X ^, A) un graphe et G = (X ^, A) son complémentaire.

1

χ (G) · χ (G) Ê n

2

χ (G) + χ (G) É n + 1

3

χ (G) + χ (G) Ê 2 ^p n

4

χ (G) · χ (G) É ¡

_n+1

2

¢

₂

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Théorème 9 (Nordhaus et Gaddum - 1960)

Soit G = (X ^, A) un graphe et G = (X ^, A) son complémentaire.

1

χ (G) · χ (G) Ê n

2

χ (G) + χ (G) É n + 1

3

χ (G) + χ (G) Ê 2 ^p n

4

χ (G) · χ (G) É ¡

_n+1

2

¢

₂

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Coloration

Théorème 9 (Nordhaus et Gaddum - 1960)

Soit G = (X ^, A) un graphe et G = (X ^, A) son complémentaire.

1

χ (G) · χ (G) Ê n

2

χ (G) + χ (G) É n + 1

3

χ (G) + χ (G) Ê 2 ^p n

4

χ (G) · χ (G) É ¡

_n+1

2

¢

₂

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Dénition 10

L'indice chromatique χ

⁰

(G) d'un graphe G = (X , A) est le nombre

minimum de couleurs nécessaires pour colorier les arêtes de sorte que deux arêtes adjacentes ne soient jamais de la même couleur.

(31)

Coloration

On admettra le théorème suivant : Théorème 11 (Vizing - 1964) Pour tout graphe G,

∆ (G) É χ

⁰

(G) É ∆ (G) + 1 avec ∆ (G) le degré maximum d'un sommet du graphe.

(32)

5 4 3

2

1

8

7

6

(33)

Coloration

5 4 3

2

1

8

7

6

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1 2 3

4 5

6 7

8

(35)

Coloration

1

2

3 4 5

6 7

8

(36)

1 2 3

4 5

6 7

8

(37)

Graphe planaire

Sommaire

(38)

Dénition 12

Un graphe planaire est un graphe que l'on peut dessiner sur un plan sans que ses arêtes ne se croisent.

(39)

Graphe planaire

Dans un graphe plan, il y a des faces internes et une face externe.

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Les graphes : semaine 40