Lycée Fénelon-Sainte-Marie

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Lycée Fénelon-Sainte-Marie. BB 2 T°S 14/15

1

Lycée Fénelon-Sainte-Marie

TERMINALES S

BACCALAUREAT BLANC DE MATHEMATIQUES N°2 AVRIL 2015

Durée 4h

Calculatrices autorisées

Le soin et la qualité de la rédaction prendront une part significative dans la notation.

Vous pouvez traiter les exercices dans l’ordre de votre choix.

Débuter chaque exercice en haut d’une nouvelle page.

!★! ★! ★!★ !!★!★ !!★!★ !

EXERCICE 1 : (commun à tous les candidats) (5 points)

Partie A

Au bout de n heures, on note a

n

le nombre moyen de vélos présents à la station A et b

n

le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note U

n

la matrice colonne

! a

_n

b

n

"

et donc U

₀

=

! 50

60 "

.

1. Déterminer la matrice M telle que U

_n+1

= M × U

_n

. 2. Déterminer U

₁

et U

₂

.

3. Au bout de combien d’heures reste-t-il un seul vélo dans la station A ? Partie B

Le service décide d’étudier les effets d’un approvisionnement des stations A et B consistant à apporter après chaque heure de fonctionnement 30 vélos à la station A et 10 vélos à la station B.

Afin de conduire cette étude, il décide de modéliser la situation présente de la manière suivante :

Au bout de n heures, on note α

_n

le nombre moyen de vélos présents à la station A et β

_n

le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note V

_n

la matrice colonne

! α

n

β

_n

"

et V

₀

=

! 50

60 "

.

Dans ces conditions V

n+1

= M × V

n

+ R avec R =

! 30

10 "

.

1. On note I la matrice

! 1 0

0 1

"

et N la matrice I − M . a. On désigne par V une matrice colonne à deux lignes.

Montrer que V = M × V + R équivaut à N × V = R . b. On admet que N est une matrice inversible et que N

⁻¹

=

! 1, 4 0, 2

1, 2 1, 6

"

. En déduire que V =

! 44

52 "

2. Pour tout entier naturel n, on pose W

_n

= V

_n

− V . a. Montrer que W

n+1

= M × W

n

.

b. On admet que : – pour tout entier naturel n,W

_n

= M

ⁿ

× W

₀

, – pour tout entier naturel n ! _1, _M

ⁿ

₌ ¹

2

ⁿ⁻¹

! 0, 2 0, 1

0, 6 0, 3

"

. Calculer, pour tout entier naturel n ! _1, _V

_n

en fonction de n.

c. Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B a-t-il tendance à se stabiliser ?

E

XERCICE

4 5 points

Commun à tous les candidats

On désire réaliser un portail comme indiqué à l’annexe 1. Chaque vantail mesure 2 mètres de large.

Partie A : modélisation de la partie supérieure du portail

On modélise le bord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 2] par

Amérique du Sud 4 17 novembre 2014

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

f (x) =

! x + 1

4 "

e

^−4x

+ b

où b est un nombre réel. On note f

^′

la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].

1. a. Calculer f

^′

(x), pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 2].

b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].

2. Déterminer le nombre b pour que la hauteur maximale du portail soit égale à 1,5 m.

Dans la suite la fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 2] par f (x) =

! x + 1

4 "

e

^−4x

+ 5 4 . Partie B : détermination d’une aire

Chaque vantail est réalisé à l’aide d’une plaque métallique. On veut calculer l’aire de cha- cune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à 0,05 m de hauteur du sol.

1. Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 2] par

F (x) =

!

− x 4 − 1

8 "

e

^−4x

+ 5 4 x est une primitive de la fonction f .

2. En déduire l’aire en m

²

de chaque vantail. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10

⁻²

près de cette aire. (On s’intéresse ici à l’objet « vantail » sans faire référence à son environnement).

Partie C : utilisation d’un algorithme

On désire réaliser un portail de même forme mais à partir de planches rectangulaires dis- jointes de largeur 0,12 m, espacées de 0,05 m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir l’annexe 2 de l’exercice 4) et le bas de chaque planche à 0,05 m de hauteur. Les planches sont numéro- tées à partir de 0 : ainsi la première planche à gauche porte le numéro 0.

1. Donner l’aire de la planche numéro k .

2. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il calcule la somme des aires des planches du vantail de droite.

Variables : Les nombres X et S sont des nombres réels Initialisation : On affecte à S la valeur 0

On affecte à X la valeur 0 Traitement : Tant Que X + 0, 17 < . . .

S prend la valeur S + . . ..

X prend la valeur X + 0, 17 Fin de Tant Que

Affichage : On affiche S

Amérique du Sud 5 17 novembre 2014

(2)

2 Baccalauréat S A. P. M. E. P.

f (x) =

! x + 1

4 "

e

^−4x

+ b

où b est un nombre réel. On note f

^′

la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].

1. a. Calculer f

^′

(x), pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 2].

b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].

2. Déterminer le nombre b pour que la hauteur maximale du portail soit égale à 1,5 m.

Dans la suite la fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 2] par f (x) =

! x + 1

4 "

e

^−4x

+ 5 4 . Partie B : détermination d’une aire

Chaque vantail est réalisé à l’aide d’une plaque métallique. On veut calculer l’aire de cha- cune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à 0,05 m de hauteur du sol.

1. Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 2] par

F (x) =

!

− x 4 − 1

8 "

e

⁻^4x

+ 5 4 x est une primitive de la fonction f .

2. En déduire l’aire en m

²

de chaque vantail. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10

⁻²

près de cette aire. (On s’intéresse ici à l’objet « vantail » sans faire référence à son environnement).

Partie C : utilisation d’un algorithme

On désire réaliser un portail de même forme mais à partir de planches rectangulaires dis- jointes de largeur 0,12 m, espacées de 0,05 m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir l’annexe 2 de l’exercice 4) et le bas de chaque planche à 0,05 m de hauteur. Les planches sont numéro- tées à partir de 0 : ainsi la première planche à gauche porte le numéro 0.

1. Donner l’aire de la planche numéro k.

2. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il calcule la somme des aires des planches du vantail de droite.

Variables : Les nombres X et S sont des nombres réels Initialisation : On affecte à S la valeur 0

On affecte à X la valeur 0 Traitement : Tant Que X + 0, 17 < . . .

S prend la valeur S + . . ..

X prend la valeur X + 0, 17 Fin de Tant Que

Affichage : On affiche S

Amérique du Sud 5 17 novembre 2014

(3)

3 Annexe 1 de l’exercice 1 :

Annexe 2 de l’exercice 1

Annexe 1 de l’exercice 4

pilier gauche vantail de gauche vantail de droite pilier droit

Annexe 2 de l’exercice 4

0,5 1,0 1,5

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

O

La distance entre le bas du portail et le sol est de 0,05 m.

Amérique du Sud

6

17 novembre 2014

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

Annexe 1 de l’exercice 4

pilier gauche vantail de gauche vantail de droite pilier droit

Annexe 2 de l’exercice 4

0,5 1,0 1,5

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

O

La distance entre le bas du portail et le sol est de 0,05 m.

Amérique du Sud

6

17 novembre 2014

(4)

4 EXERCICE 2 : (commun à tous les candidats) (5 points)

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

E

XERCICE

4 5 points

Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On note C l’ensemble des nombres complexes.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé ! O, → −

u , − → v "

. On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.

Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.

On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe

f (z) = z

²

+ 2z + 9.

1. Calculer l’image de − 1 + i #

3 par la fonction f . 2. Résoudre dans C l’équation f (z) = 5.

Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.

Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l’af- fixe est solution de l’équation (A étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).

On laissera les traits de construction apparents.

3. Soit λ un nombre réel. On considère l’équation f (z) = λ d’inconnue z.

Déterminer l’ensemble des valeurs de λ pour lesquelles l’équation f (z) = λ admet deux solutions complexes conjuguées.

4. Soit (F) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z vérifie

| f (z) − 8 | = 3.

Prouver que (F) est le cercle de centre Ω( − 1 ; 0) et de rayon # 3.

Tracer (F) sur le graphique.

5. Soit z un nombre complexe, tel que z = x + iy où x et y sont des nombres réels.

a. Montrer que la forme algébrique de f (z) est

x

²

− y

²

+ 2x + 9 + i(2x y + 2y).

b. On note (E) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z est telle que f (z) soit un nombre réel.

Montrer que (E) est la réunion de deux droites D

1

et D

2

dont on précisera les équations.

Compléter le graphique de l’annexe en traçant ces droites.

6. Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles (E) et (F).

E

XERCICE

4 5 points

Réservé aux candidats ayant suivi la spécialité

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y.

D’une année sur l’autre, une partie des fonds de l’agence X est transférée à l’agence Y, et ré- ciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.

Soit n un entier naturel. On note x

n

la quantité de fonds détenue par l’agence X, et y

n

la quantité de fonds détenue par l’agence Y au 1

^er

janvier de l’année 2014 + n, exprimées en millions d’euros.

On note U

_n

la matrice

# x

_n

y

n

$

et on note I =

# 1 0

0 1

$ .

On suppose que le 1

^er

janvier de l’année 2014, l’agence X possède 50 millions d’euros et l’agence Y possède 10 millions d’euros.

Antilles-Guyane

3

11 septembre 2014

(5)

5 On dispose de deux urnes U

_!

et U

_!

contenant des boules indiscernables au toucher.

U

_!

contient 𝑛 boules blanches et 3 boules noires (𝑛 est un entier avec 𝑛 ≥ 1).

U

_!

contient 2 boules blanches et 1 boule noire.

On tire au hasard une boule de l’urne U

_!

et on la met dans U

_!

, puis on tire au hasard une boule de U

_!

et on la met dans U

_!

. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

1. On considère l’évènement A : « après l’épreuve, les urnes se retrouvent dans leur configuration de départ ».

a. Montrer que la probabilité 𝑝(A) de l’événement A peut s’écrire : 𝑝 A = 3

4 𝑛 + 2 𝑛 + 3

b. Déterminer la limite de 𝑝(A) lorsque 𝑛 tend vers +∞.

2. On considère l’événement B : « après l’épreuve, l’urne U

_!

contient une seule boule blanche ».

Vérifier que la probabilité 𝑝 B de l’événement B peut s’écrire : 𝑝 B = 6

4(𝑛 + 3)

3. Un joueur mise 20 euros et effectue une épreuve. A l’issue de cette épreuve, on compte les boules blanches contenue dans U

_!

.

• Si U

_!

contient 1 seule boule blanche, le joueur reçoit 2𝑛 euros.

• Si U

_!

contient 2 boules blanches, le joueur reçoit 𝑛 euros.

• Si U

_!

contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien.

a. Expliquer pourquoi le joueur n’a aucun intérêt à jouer tant que 𝑛 ne dépasse pas 10.

Dans la suite, on considère 𝑛 > 10, et on introduit la variable aléatoire X qui prend pour valeurs les gains algébriques du joueur (par exemple, si après l’épreuve, l’urne U

_!

contient une seule boule blanche, X = 2𝑛 − 20).

b. Déterminer la loi de probabilité de X.

c. Calculer l’espérance mathématique de X.

d. On dit que le jeu est favorable au joueur si et seulement si l’espérance mathématique est strictement positive. Montrer qu’il en est ainsi dès que l’urne U

_!

contient au moins 25 boules blanches.

(6)

6 EXERCICE 4 : (candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité) (5 points)

Baccalauréat S

2. On considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n’est pas équilatéral. Le point M est un point dont l’affixe z est telle que les nombres complexes z − b

c − a et z − c b − a sont imaginaires purs.

a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ;

b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB] ; c. M est l’orthocentre du triangle ABC.

3. Soit A et B les points d’affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelle G l’isobarycentre des points A, B et C et on note z

_G

son affixe.

a. | z

_G

− 3 − 2,5i | = 5 6 ; b. z

_G

− (1 + i) = 1

3 (4 + 3i) ; c. z

_G

− (3 + 2,5i) = 1

3 (4 + 3i).

E

XERCICE

4 5 points

L’annexe se rapporte à cet exercice.

Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. Le plan est rapporté à un repère orthogonal !

O, − → ı , → −

ȷ

"

.

Soit la fonction f définie sur [0 ; +∞ [ par

f (x ) = e

⁻^x

cos(4x) et Γ sa courbe représentative tracée dans le repère !

O, → − ı , − →

ȷ

"

de l’annexe. On consi- dère également la fonction g définie sur [0 ; +∞ [ par g (x) = e

⁻^x

et on nomme C sa courbe représentative dans le repère !

O, − → ı , → − ȷ

"

.

1. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞ [,

− e

⁻^x

! f (x ) ! e

⁻^x

. b. En déduire la limite de f en +∞ .

2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes Γ et C . 3. On définit la suite (u

_n

) sur N par u

_n

= f !

n π 2

"

.

a. Montrer que la suite (u

n

) est une suite géométrique. En préciser la raison.

b. En déduire le sens de variation de la suite (u

n

) et étudier sa convergence.

4. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞ [, f

^′

(x) = − e

⁻^x

[cos(4x) + 4sin(4x)] .

b. En déduire que les courbes Γ et C ont même tangente en chacun de leurs points communs.

5. Donner une valeur approchée à 10

⁻¹

près par excès du coefficient directeur de la droite T tangente à la courbe Γ au point d’abscisse π

2 . Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant T et C .

Polynésie 3 septembre 2005

(7)

7 EXERCICE 4 : (candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité) (5 points)

Les quatre questions sont indépendantes.

3. Soit 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels, et 𝑀 la matrice carrée définie par : 𝑀 = 𝑎 1 − 𝑎

1 − 𝑏 𝑏

a. Calculer 𝑀

^!

− 𝑎 + 𝑏 𝑀 en fonction de 𝐼

_!

, matrice identité de dimension 2.

b. En déduire les matrices 𝑀 telles que 𝑀

^!

= 𝑀.

4. On considère l’algorithme suivant où Ent

^!_!

désigne la partie entière de

^!_!

.

4. Soit la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; +∞ [ par f (x) = ln x − x ln 2.

a. Déterminer la limite de f en +∞ . b. En déduire la limite de la suite (u

_n

).

E

XERCICE

4 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Les cinq questions sont indépendantes.

1. Dans un lycée donné, on sait que 55 % des élèves sont des filles. On sait également que 35 % des filles et 30 % des garçons déjeunent à la cantine.

On choisit, au hasard, un élève du lycée.

Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?

2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément.

Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair ? 3.

3. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et 1 5 .

Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur ap- prochée du résultat à 10

⁻³

.

4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.

On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évè- nement « l’appareil présente un défaut de fonctionnement ».

On suppose que les évènements A et F sont indépendants.

On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069.

On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil pré- sente le défaut F ?

5. On considère l’algorithme :

A et C sont des entiers naturels, C prend la valeur 0

Répéter 9 fois

A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.

Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1 Fin Si

Fin répéter Afficher C.

Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la va- riable aléatoire prenant la valeur C affichée.

Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.

E

XERCICE

4 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Les quatre questions sont indépendantes.

1. a. Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l’équation (E) 11x − 5y = 14.

Antilles-Guyane 3 19 juin 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 2

³ⁿ

≡ 1 (mod 7).

b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2011

²⁰¹²

par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caracté- ristiques de la transformation f qui à tout point M d’affixe z associe le point M

^′

d’affixe z

^′

tel que :

z

^′

= 3

2 (1 − i)z + 4 − 2i.

4. 5. On considère l’algorithme suivant où Ent

! A

N

"

désigne la partie entière de A N . A et N sont des entiers naturels

Saisir A

N prend la valeur 1 Tant que N ! ^$ _A

Si A N − Ent

! A

N

"

= 0 alors Afficher N et A Fin si N

N prend la valeur N + 1 Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ? Que donne cet algorithme dans le cas général ?

Antilles-Guyane 4 19 juin 2012

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 2

³ⁿ

≡ 1 (mod 7).

b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2011

²⁰¹²

par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caracté- ristiques de la transformation f qui à tout point M d’affixe z associe le point M

^′

d’affixe z

^′

tel que :

z

^′

= 3

2 (1 − i)z + 4 − 2i.

4. 5. On considère l’algorithme suivant où Ent

! A

N

"

désigne la partie entière de A N . A et N sont des entiers naturels

Saisir A

N prend la valeur 1 Tant que N ! ^$ _A

Si A N − Ent

! A

N

"

= 0 alors Afficher N et A Fin si N

N prend la valeur N + 1 Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ? Que donne cet algorithme dans le cas général ?

Antilles-Guyane

4

19 juin 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

2

³ⁿ

≡ 1 (mod 7).

b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2011

²⁰¹²

par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caracté- ristiques de la transformation f qui à tout point M d’affixe z associe le point M

^′

d’affixe z

^′

tel que :

z

^′

= 3

2 (1 − i)z + 4 − 2i.

4. 5. On considère l’algorithme suivant où Ent

! A

N

"

désigne la partie entière de A N . A et N sont des entiers naturels

Saisir A

N prend la valeur 1 Tant que N ! ^$ A

Si A N − Ent

! A

N

"

= 0 alors Afficher N et A Fin si N

N prend la valeur N + 1 Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ? Que donne cet algorithme dans le cas général ?

Antilles-Guyane 4 19 juin 2012

(8)

8 NOM Prénom : T°S

Annexe : exercice 2

NOM, Prénom : Classe :

Sévelin Cn

(9)

9

0

1 −1

1234O

−→ ı

−→ ȷ

Annexe:exercice4

Polynésie 4 septembre 2005

Lycée Fénelon-Sainte-Marie

1