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Devoir n˚1
I) Application d’un théorème
1) Théorème des valeurs intermédiaires
Notations On donne :
Iun intervalle inclus dansR,f une fonction définie surI,a, b, k des nombres réels
Conditions
• f est continue surI
• aet bappartiennent à I
• k est compris entref(a)etf(b)
Conclusion
Il existe au moins un réelccompris entreaetb tel quef(c) =k
2) Théorème : Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions suivantes sont continues sur tout intervalle réel où elles sont définies : polynômes, sin, cos,√
3) Théorème : Continuité, opérations et composition
Si deux fonctionsuetvsont continues sur leurs domaines de définition respectifs, alors les fonctions suivantes sont également continues sur leurs domaines de définition : u+v,u−v ,u×v, u
v,v◦u
4) Travail à faire
Voici un problème :
« L’équation√
x−1−sin(x) = 0admet-elle au moins une solution ? »
Rédigez la solution du problème avec sa démonstration, en utilisant les théorèmes don- nés. Détaillez bien à chaque fois :
– comment le théorème s’applique :
comment les notations du théorème correspondent aux données du problème – pourquoi il peut s’appliquer :
vérifier que toutes les conditions du théorème sont satisfaites, en justifiant à chaque fois pourquoi elles sont satisfaites (ce qui peut nécessiter une démonstration auxiliaire avec d’autres applications de théorèmes)
– ce qu’il permet d’affirmer :
comment se traduit la conclusion du théorème dans le cadre du problème
A l’occasion de ce travail, rédigez les questions que vous vous posez sur les concepts utilisés, la façon de rédiger, etc.
• Défi (facultatif ) : combien l’équation a-t-elle de solutions (justifiez) ? Même si vous n’arrivez pas à tout démontrer, essayez de faire avancer la recherche en amorçant des pistes, des démarches possibles.
II) Erreurs à expliquer
Les exercices rédigés suivants comportent des erreurs de raisonnement ou de rédaction.
Expliquez ces erreurs et donnez une solution correcte.
Rédigez les questions que vous vous posez.
1. Soitf la fonction définie surRparf(x) =−x+√ x2+ 8 f0(x) =−1 + 2x
2√
x2+ 8 =−1 + x
√x2+ 8 Sif0(x) = 0, alors x
√
x2+ 8 = 1, doncx2=x2+ 8, ce qui est impossible.
Doncf0(x)6= 0. etf est décroissante surR
2. Soitf la fonction définie sur[0; +∞[parf(x) =x4−6x2+ 9x
f0(x) = 4x3−12x+ 9 = 4x3−(12x−9). Or4x3 est de degré 3 alors que12x−9 est de degré 1, donc4x3>12x−9et doncf0(x)>0.
Doncf est croissante sur[0; +∞[
3. Variante de l’exercice précédent :
Pourx>0,4x3>0et 12x>0, donc4x3−12x+ 9>0−0 + 9>0.
Doncf est croissante sur[0; +∞[
