The node-edge weighted 2-edge connected subgraph problem : linear relaxation, facets and separation
Mourad Baïou, José R. Correa
Mars 2003
Cahier n° 2003-002
ECOLE POLYTECHNIQUE
CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
LABORATOIRE D'ECONOMETRIE
1rue Descartes F-75005 Paris (33) 1 55558215 http://ceco.polytechnique.fr/
mailto:[email protected]
The node-edge weighted 2-edge connected subgraph problem : linear relaxation, facets and separation
Mourad Baïou,
1José R. Correa
2Mars 2003 Cahier n° 2003-002
Résumé: Soit G=(V,E) un graphe non-orienté et 2-arêtes connexe. Chaque arête et sommet de G est muni d'un poids. Le problème du sous-graphe 2-arêtes connexe de poids minimum dans G (2ECSP), est de trouver un sous-graphe 2-arêtes connexe de G tel que la somme des poids sur ses sommets et ses arête soit minimum. Le 2ECSP généralise le problème, bien connu, du sous- graphe Steiner 2-arêtes connexe. Dans cet article, l'enveloppe convexe des vecteurs d'incidences des solutions de 2ECSP est étudiée. Une formulation naturelle du problème par un programme linéaire en nombres entiers est premièrement établie. Il est aussi montré que la relaxation ne suffit pas pour décrire l'enveloppe convexe associée au 2ECSP même dans une classe restreinte comme celle des graphes série-parallèles. Une nouvelle classe d'inégalités valides pour le 2ECSP est introduite. Il est monté qu'une sous- classe de ces inégalités peut être séparée en temps polynomial. Comme conséquence, ces nouvelles inégalités peuvent être séparées en temps polynomial dans la classe des graphes série-parallèles.
Abstract: Let G=(V,E) be an undirected 2-edge connected graph with weights on its edges and nodes. The minimum 2-edge connected subgraph problem , 2ECSP for short, is to find a 2-edge connected subgraph of G , of minimum total weight. The 2ECSP generalizes the well-known Steiner 2-edge connected subgraph problem. In this paper the convex hull of the incidence vectors corresponding to feasible solutions of 2ECSP is studied. First, a natural integer programming formulation is given and it is shown that its linear relaxation is not sufficient to describe the polytope associated with 2ECSP even when G is series-parallel. Then, a class of new valid inequalities is defined together with sufficient conditions for them to be facet-defining.
Finally, a polynomial time algorithm is given to separate a subclass of these new inequalities. As a consequence, all these new inequalities may be separated in polynomial time when G is series-parallel.
Mots clés : Optimisation combinatoire, la connexité dans les graphes, polyèdres.
1 : CUST, Université Clermont II, campus des cézeaux BP 206- 63174 Aubière cedex, France, et Laboratoire d’Econométrie, Ecole Polytechnique, 1 rue Descartes, 75005, Paris. [email protected]
2 Operations Research Center, Massachusetts Institute of Technology, Building E40-130, 77 Massachusetts Avenue, Cambridge, MA 02139, USA. [email protected]
The research of this author was partially supported by ECOS-CONICYT project C96E08.
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