2 Formulations mathématiques de l’acoustique

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La joie est en tout, il faut savoir l’extraire (Confucius)

Résumé. Ce chapitre montre que la propagation des ondes acoustiques dans un fluide parfait est régie par une équation d’ondes dont la solution harmonique satisfait à une équation de Helmholtz qui, lorsque les conditions aux limites lui sont adjointes, définit la forme forte du problème continu auquel nous nous intéressons.

Afin d’introduire naturellement un estimateur d’erreur basé sur des champs admissibles, l’équation de Helmholtz est démontrée de deux manières équivalentes et le concept d’admissibilité est défini.

Il existe peu de cas pour lesquels une solution analytique est disponible, raison pour laquelle nous souhaitons analyser la qualité de solutions approchées de type éléments finis. Ce chapitre énonce alors la forme faible du problème de l’acoustique tel qu’il est résolu par le logiciel commercial SYSNOISE. L’équivalence entre les formes forte et faible est assurée mais la stabilité de la forme faible d’un opérateur de Helmholtz diminue lorsque le nombre d'onde augmente (la constante de Babuska-Brezzi est inversement proportionnelle au nombre d'onde).

Ce chapitre envisage également l’équation de Helmholtz comme un problème aux valeurs propres, ce qui correspond en fait à la recherche de valeurs propres de l’opérateur laplacien, et rappelle très brièvement les formulations en minimum du quotient de Rayleigh et en forme faible.

Enfin, nous définissons au cours de ce chapitre quatre problèmes modèles dont la solution analytique est connue et qui seront étudiés systématiquement dans les chapitres suivants tant du point de vue mathématique (chapitre 3) que numérique (chapitres 3 et suivants).

2.1 Mise en équations de l’acoustique

2.1.1 Hypothèses

Nous nous intéressons à la propagation et à la réflexion d’ondes de pression dans un fluide parfait non pesant. Le mouvement est supposé harmonique autour d’un état moyen (l’ambiance) au repos, hypothèse non indispensable mais qui permet de simplifier les équations (vitesses du fluide ambiant nulles). La mise en équations se fait aisément à partir des formes locales des lois fondamentales de la mécanique des milieux continus, ce qui conduit, après définition des conditions aux limites, à la forme forte du problème de l’acoustique (équation de Helmholtz).

2.1.2 Pourquoi plusieurs formulations

La forme forte se prête mal au calcul numérique à l’exception de la méthode des différences finies utilisée de plus en plus rarement car on lui préfère désormais les méthodes numériques basées sur les formes variationnelles.

Ce travail est consacré à l’analyse des solutions éléments finis de type Galerkin qui sont des approximations de formes faibles (paragraphe 2.3). Les développements et les tests numériques porteront principalement sur des problèmes intérieurs (acoustique de cavités). Toutefois, l’étude de problèmes unidimensionnels avec conditions aux limites appropriées nous permettra de simuler également le comportement de la solution éléments finis dans un milieu infini.

Dans le cas général d’un problème extérieur (rayonnement en milieu infini), il y a lieu de faire appel à d’autres méthodes numériques approchant parfois d’autres formulations.

Basée sur la même forme faible, la méthode d’éléments à enveloppe d’ondes [AST94, CRE94] consiste à discrétiser par éléments finis traditionnels une sphère de rayon R et à appliquer à sa frontière des conditions aux limites de Neumann, approximation par éléments à enveloppe d’ondes des conditions aux limites à l’infini (conditions de Sommerfeld). L. Demkowicz et al. [GER96/1] montrent que l’erreur de discrétisation de la méthode des éléments à enveloppe d’ondes est essentiellement due à la discrétisation éléments finis et non à l’approximation des conditions à l’infini. Les conclusions du présent travail s’étendent donc immédiatement aux solutions approchées par éléments à enveloppe d’ondes.

Les milieux infinis sont également souvent étudiés par la méthode des éléments de frontière basée sur une identité de Green (formulation intégrale). La formulation [COY94, MIG97], l’étude de la convergence et la qualité des solutions éléments de frontière [DEM92] ont fait l’objet d’études par ailleurs et ne sont pas décrites ici.

2.2 Forme forte

2.2.1 Lois fondamentales de la mécanique des milieux continus

Afin d’établir l’équation régissant la propagation d’une onde acoustique, nous partons des lois fondamentales de la mécanique des milieux continus. Ces lois sont principalement les lois de bilan : de la masse, de la quantité de mouvement et du moment de la quantité de mouvement [WAR93/1]. Toutefois, seules les deux premières interviennent explicitement dans les développements ci-dessous et sont rappelées ici dans leur forme locale (ces équations sont valables en tous points du milieu continu Ω) :

Conservation de la masse (loi de continuité)

∂tρ + ∂i ρvi = 0 (2.1)

Conservation de la quantité de mouvement (loi de la résultante cinétique)

ρv_i^• = ∂jτi j (2.2)

pour un fluide non pesant, en tenant compte de la loi de conservation du moment de la quantité de mouvement (loi du moment cinétique). Rappelons que la signification des symboles a été groupée dans la préface (pages vi et vii) et que nous adoptons systématiquement la convention de sommation sur les indices muets.

2.2.2 Loi de comportement

Nous considérons que l’onde se propage dans un fluide parfait défini par la loi de comportement

τ_{i j} = - pδ_{i j} (2.3)

2.2.3 Équation d’onde

L’onde acoustique est considérée comme une petite perturbation de pression par rapport à un état moyen : l’ambiance. Nous pouvons donc développer les variables principales de masse volumique, de pression et de vitesse en les contributions décrivant l’ambiance (indice 0) et celles décrivant la perturbation (indice ').

ρ = ρ0 + ρ' ; p = p₀ + p ' ; v_i = v_{i 0} + v '_{i (2.4)} Si nous supposons l’ambiance au repos (c’est-à-dire, en l’absence d’écoulement moyen) et uniforme, on a,

ρ0 = constante ; p₀ = constante ; v_{i 0} = 0 _(2.5) Compte tenu des hypothèses (2.3) à (2.5), les lois fondamentales (2.1) et (2.2) deviennent, en faisant l’hypothèse de petites perturbations :

Loi de continuité sous les hypothèses de l’acoustique

∂tρ' + ρ0∂iv '_i = 0 _(2.6) Loi de la résultante cinétique sous les hypothèses de l’acoustique

ρ0∂tv '_i + ∂ip ' = 0 _(2.7)

En considérant l’écoulement isotherme, l’équation d’état donne le lien entre la pression et la masse volumique. Elle peut être développée en série de Taylor autour de l’ambiance limitée au premier ordre, elle s’écrit alors,

p - p₀ = dp dρ _ρ=ρ0

ρ - ρ0

(2.8) et définit la vitesse de propagation du son c (souvent appelée célérité),

dp

dρ _ρ=ρ0 = c²

(2.9)

En dérivant l’équation (2.6) par rapport au temps et l’équation (2.7) par rapport aux variables spatiales x_i, on peut éliminer v 'i. En tenant compte de l’équation d’état (2.8), nous obtenons l’équation d’onde,

∂t t p ' = c²∂i i p ' (2.10)

2.2.4 Équation de Helmholtz - méthode n° 1

Nous cherchons une solution harmonique à l’équation d’onde (2.10) telle que,

p ' (x , y , z, t ) = p (x , y , z) e ^jωt (2.11) qui permet d’éliminer la variable temporelle de l’équation (2.10) et de faire apparaître la pulsation ω.

L’équation (2.10) s’écrit alors,

∂i i p + ω c

2 p = 0

(2.12) Le coefficient du deuxième terme définit le nombre d'onde,

k = ω c = 2π

λ (2.13)

où λ désigne la longueur d’onde. Le nombre d’onde k apparaît donc comme le nombre d’ondes par unité (2π) de longueur d’onde. À partir d’ici, nous omettrons l’indice étant entendu que les grandeurs considérées sont toujours les distributions spatiales des perturbations harmoniques par rapport à l’ambiance

∆p + k²p = 0 (2.14)

montrant que la variation de pression doit satisfaire à une équation de Helmholtz.

2.2.5 Équation de Helmholtz - méthode n° 2

Il est possible d’obtenir l’équation de Helmholtz sans établir explicitement l’équation d’onde (2.10). Cette façon de procéder est peu classique mais elle nous permettra d’introduire plus naturellement l’estimateur d’erreur en champs admissibles (chapitre 5). Reprenons la démonstration en postulant immédiatement que les pressions et les vitesses ont un comportement harmonique, respectivement (2.11) et

v '_i(x , y , z, t ) = v_i(x , y , z) e ^jωt (2.15) La loi de la résultante cinétique sous les hypothèses de l’acoustique (2.7) s’écrit alors, en omettant les indices et 0

jωρvi + ∂ip = 0 (2.16)

De même, la loi de continuité (2.6) s’écrit 1 c²

jωp + ρ∂iv_i = 0

(2.17) ou encore,

- jρc ∂iv_i + k p = 0 (2.18)

En dérivant l’équation (2.16) par rapport aux variables spatiales x_i, on peut éliminer ∂iv_i de l’équation (2.18), il vient

∂i i p + k² p = 0 (2.19)

qui est l’équation de Helmholtz précédemment obtenue (2.14).

2.2.6 Lien entre pression et vitesse acoustiques

Nous utiliserons abondamment la relation (2.16) dans la suite car elle est à la base de l’estimateur d’erreur a posteriori en champs admissibles. Nous y ferons référence en parlant de la relation pression-vitesses et l’écrivons en faisant apparaître le nombre d'onde, principal paramètre de nos études théoriques et numériques

^jρck vi + ∂ip = 0 (2.20)

2.2.7 Conditions aux limites

Nous notons Γ le frontière du domaine Ω. Pour le cas des problèmes intérieurs, les conditions aux limites sont de trois types. Les parties du contour ΓD, ΓN et ΓR que nous définissons ci-dessous forment une partition du contour Γ, c’est-à-dire qu’elles sont telles que

ΓD ∪ ΓN ∪ ΓR = Γ ΓD ∩ ΓN = ∅ ΓN ∩ ΓR = ∅

ΓD ∩ ΓR = ∅ (2.21)

Conditions aux limites de Dirichlet

p = p sur ΓD (2.22)

où p désigne la valeur imposée de la pression. À l’exception des problèmes académiques ou lorsque l’on dispose de mesures expérimentales de pressions, ce cas se rencontre très rarement en pratique. Ainsi, du point de vue mathématique, il est remarquable de noter que l’opérateur de Helmholtz ne nécessite pas l’adjonction systématique de conditions aux limites de Dirichlet pour garantir l’unicité de la solution, comme c’est le cas pour l’opérateur de Poisson ou pour les équations d’équilibre de l’élasticité [WAR96/2]. Conditions aux limites de Neumann

∂np = - jρω v_n sur ΓN (2.23)

où vn désigne la valeur imposée de la composante normale de la vitesse. La condition de Neumann modélise la vibration d’un panneau. C’est de loin la plus répandue en pratique où l’on tient compte du comportement vibratoire de la structure en effectuant d’abord un calcul de réponse dynamique et ensuite, sous l’excitation des vitesses ainsi calculées, un calcul de réponse acoustique. Nous aurons l’occasion de décrire cette méthodologie, et ses limites, en détail au chapitre 7.

Conditions aux limites de Robin

∂np = - jρω A_n p sur ΓR (2.24)

où A_n est un coefficient d’admittance. Cette condition s’exprime souvent à l’aide du coefficient d’impédance mais nous conviendrons de l’utiliser toujours sous la forme (2.24) car l’admittance A_n et l’impédance Z_n sont reliées par la relation

A_n Z_n = 1 (2.25)

Physiquement, les conditions de Robin modélisent l’absorption de l’onde acoustique par les matériaux environnants (plancher, toit, rideaux, ...). La difficulté majeure de la modélisation réside dans l’évaluation du coefficient d’admittance. En fait, il n’existe pas de moyen de mesurer ce coefficient mais il est lié au coefficient d’absorption[BER92] α variant de 0 à 1 mesuré classiquement par l’expérience du tube de Kundt. Le lien entre le coefficient d’absorption et l’impédance s’exprime par

α = 1 - R² (2.26)

où R est un facteur de réflexion défini par

R = Z_n - Zcaractéristique

Z_n + Zcaractéristique (2.27)

avec l’impédance caractéristique Zcaractéristique = ρc air = 416.5 Pa s / m

Il faut remarquer que la valeur de l'impédance n’est pas déterminée de façon univoque (il y a deux valeurs de Z_n par valeur de α). Cependant, une seule de ces valeurs est réaliste car, en pratique, on trouve des coefficients d’impédance dans la plage

1000 ≤ Zn ≤ 20000 ( Pa s m ) (2.28)

Conditions aux limites de Sommerfeld

Lorsque l’onde acoustique se propage en milieu infini, il y a lieu d’adjoindre des conditions aux limites caractérisant l’onde de pression à l’infini. Ces conditions portent le nom de Sommerfeld et s’expriment, pour le cas d’une surface Γ rayonnante en champ libre dans un milieu de dimensions d, par

∂p

∂r - j k p = o(r^{1 -d}2)

(2.29) où u = o(r) est la notation usuelle de Landau pour exprimer que

r →∞lim u r = 0

. 2.2.8 Champs admissibles

Nous développons au chapitre 5 un estimateur d’erreur a posteriori basé sur la construction de champs satisfaisant à la forme forte du problème. Ces champs sont dits admissibles et sont définis par les conditions suivantes.

Champ de pression cinématiquement admissible

Lorsqu’un champ de pression respecte les conditions aux limites de Dirichlet (2.22), nous dirons, par analogie avec l’élasticité, qu’il est cinématiquement admissible. Si un champ de pression respecte les conditions aux limites de Dirichlet homogènes (p = 0), nous dirons qu’il est cinématiquement homogène.

Champ de vitesses statiquement admissible

Les conditions aux limites de Neumann (2.23) et de Robin (2.24) peuvent être écrites directement en variables de vitesses

v_n = v_n sur ΓN (2.30)

v_n = A_n p sur ΓR (2.31)

Lorsqu’un champ de vitesses respecte la loi de continuité (2.18) ainsi que les conditions aux limites de Neumann (2.30) et de Robin (2.31), nous dirons, par analogie avec l’élasticité, qu’il est statiquement admissible.

2.2.9 Problème modèle général

Nous ferons fréquemment allusion à la forme forte du problème modèle que nous venons d’établir et qui est à la base du développement du logiciel SYSNOISE. Nous le dénommons problème modèle général pour le distinguer des cas particuliers que nous analyserons ci-dessous. Les études numériques qui suivent mettront en évidence le rôle essentiel joué par le nombre d'onde. C’est pourquoi, nous systématisons nos équations pour y faire apparaître le nombre d'onde

∆p + k²p = 0 dans Ω (2.32)

p = p sur ΓD (2.33)

∂np = - jρc k v_n sur ΓN (2.34)

∂np = - jρc k A_n p sur ΓR (2.35)

2.2.10 Présence de sources acoustiques en volume

Dans le cas où le volume Ω contient une ou plusieurs sources acoustiques, l’équation de Helmholtz prend la forme,

∆p + k²p = f (2.36)

où f ∈ C¹(Ω) dépend du type de sources considérées (sphérique, cylindrique, etc.). J.-L. Migeot montre [MIG97] pour des sources ponctuelles, que ce problème peut se ramener au problème modèle général en décomposant la pression en une onde incidente induite par le rayonnement des sources en champ libre (dont la solution analytique est connue) et une onde diffractée solution d’une équation de Helmholtz homogène dont les conditions aux limites ont été adaptées. Nous considérons donc que ce cas est inclus dans le problème modèle général (2.32-35)

2.2.11 Problèmes modèles particuliers

Tout au long de ce travail, les développements mathématiques et les tests porteront sur des cas particuliers du problème modèle général. Lorsque les variables spatiales sont adimensionnelles, elles sont notées par les lettres grecques (ξ, η, ζ) et le nombre d'onde correspondant κ. Dans le cas de variables dimensionnelles, on les note respectivement (x, y, z) et k.

Problème modèle 1

- d²p

dξ² - κ²p = f dans Ω ( 0 ≤ ξ ≤ 1 )

(2.37)

p ( 0 ) = 0 (2.38)

dp

dξ ( 1 ) - j κ p ( 1 ) = 0

(2.39) Il est important de remarquer que l’on travaille en variables adimensionnelles définies par

ξ = x

L (2.40)

κ = k L (2.41)

où L est une longueur caractéristique (en pratique, pour des problèmes bi- ou tridimensionnels, il y a lieu de prendre la plus grande longueur). L’intérêt de cette définition sera souligné au paragraphe 2.3.5. Le problème modèle 1 est illustré à la figure 2.1. Remarquons bien que la condition aux limites de Robin (2.39) implique que l’on choisisse

ρc An = - 1 (2.42)

ce qui conduit à une onde plane qui se propage en milieu infini sans amortissement. Par souci de simplicité, les constantes matérielles ρ et c sont choisies de telle façon que leur produit soit unitaire (c = 250 m/s, ρ = 0^.004 kg/m³).

Il est possible de trouver f tel que le problème (2.37-39) est équivalent au problème - d²p

dξ² - κ²p = 0 dans Ω ( 0 , 1 )

(2.43)

p ( 0 ) = 1 (2.44)

dp

dξ ( 1 ) - j κ p ( 1 ) = 0

(2.45) dont la solution se calcule aisément

p (ξ) = e^jκ ξ

= cos(κ ξ) + j sin (κ ξ) (2.46)

La plupart des développements mathématiques porteront sur le problème (2.37-39) tandis que les tests numériques porteront sur le problème (2.43-45).

L

x v_n = 0

p = 1 A_n = -1

ρc

figure 2.1. Problème modèle 1

Problème modèle 2

d²p dx²

+ k²p = 0 dans Ω ( 0 , L )

(2.47) v_n( 0 ) = v₀

v_n( L ) = 0 (2.48)

L

x

v₀ v_n = 0

figure 2.2. Problème modèle 2

Le problème modèle 2 est illustré à la figure 2.2., les constantes matérielles sont celles de l’air (c = 340 m/s, _ρ = 1^.225 kg/m³). Remarquons bien que la condition aux limites de Neumann en x = 0 s’écrit en variables de pression par

∂np ( 0 ) = - j_ρc k v₀ (2.49)

et dépend donc également du nombre d'onde. La solution analytique du problème modèle 2 s’écrit p = - j ρcv₀cos[ k ( L-x ) ]

sin ( k L ) (2.50)

Il s’agit d’un problème intérieur qui fait apparaître les fréquences propres liées aux nombres d'onde k = ^mπ

L m ∈ N

(2.51) Problème modèle 3

∂²p

∂x² + ^∂2p

∂y²

+ k²p = 0 dans _Ω ( 0 , L ) _× ( 0 , L )

(2.52) - ∂p

∂y + j k p sinα = 0 sur le côté ( x , y = 0) ∂p

∂x - j k p cosα = 0 sur le côté ( x = L , y ) ∂p

∂y - j k p sinα = 0 sur le côté ( x , y = L) - ∂p

∂x + j k p cosα = 0 sur le côté ( x = 0 , y ) p (0 , 0 ) = 1

(2.53)

Le problème modèle 3 correspond à la propagation d’une onde plane suivant une direction α par rapport à l’axe x. La solution analytique s’écrit

p = e^jk ( x cosα + y sinα )

= cos[k ( x cosα + y sinα ) ] + j sin [k ( x cosα + y sinα ) ] (2.54) Ici également les constantes matérielles ρ et c sont choisies de telle façon que leur produit soit unitaire (c = 250 m/s, ρ = 0^.004 kg/m³).

L

L

x y

A_n = cosα

ρc A_n = - cosα

ρc A_n = - sinα

ρc

A_n = sinα ρc p=1

figure 2.3. Problème modèle 3

Enfin, le problème modèle 4 correspond à la recherche de modes propres d’une cavité carrée et sera défini ci-dessous (paragraphe 2.5.4)

2.3 Forme faible

2.3.1 Principes mathématiques

Ce paragraphe s’inspire principalement des références [STR73] et [BAB96/2] mais la terminologie sera adaptée systématiquement à l’acoustique. La forme forte du problème modèle général (2.32-35) peut être formulée par différentes formes faibles équivalentes, comme l’a évoqué l’introduction du paragraphe 2.1.2. Les lecteurs peu familiers avec l’analyse fonctionnelle trouveront en annexe 9.2 les notions principales indispensables à la lecture des paragraphes qui suivent.

Toutes les formes variationnelles peuvent se ramener à ceci : on considère deux espaces de Hilbert V₁ (espace complexe des fonctions d’essai p) et V₂ (espace complexe des fonctions tests w), on définit une forme bilinéaire a(p , w) de V₁× V₂ →^C et une fonctionnelle linéaire ϕ(w) de V²→^C. La forme variationnelle consiste alors à chercher p ∈ V1 telle que

a(p , w) = ϕ(w) ∀ w ∈ V₂ (2.55)

où ^• désigne le complexe conjugué (ce choix sera justifié au paragraphe 3.5). Pour que la formulation (2.55) ait un sens, il convient toujours de démontrer que p existe, est unique et est solution de la forme forte du problème modèle. L’introduction des formes faibles est indispensable car elles sont à la base des approximations par éléments finis (Chapitre 3).

2.3.2 Forme variationnelle du problème modèle général

On définit les espaces

V₁ = H_D¹(Ω) = p ∈ H¹(Ω) p _Γ D = p

(2.56) V₂ = H₀¹(Ω) = w ∈ H¹(Ω) w_Γ

D = 0

(2.57) L’espace H¹(Ω) est un espace de Hilbert où les fonctions p et leurs dérivées premières sont de carré sommable (définition 9.20). On note également que p ∈ V1 définie par la relation (2.56) est cinématiquement admissible et w ∈ V2 définie par la relation (2.57) est cinématiquement homogène.

On définit ensuite les opérateurs

a(p , w) = ∂ip ∂iw - k²p w dΩ Ω

+ jρc k An p w dΓ

ΓR (2.58)

ϕ(w) = - jρc k v_n w dΓ

ΓN (2.59)

La forme variationnelle s’énonce alors

p ∈ V1 a (p , w) = ϕ(w) ∀ w ∈ V2 (2.60) est solution du problème modèle général.

Il existe de nombreuses formes variationnelles [STR73, BAB96/2] mais la forme (2.58-60) a la faveur des ingénieurs car elle correspond, en élasticité, au principe des travaux virtuels [WAR96/2]. La démonstration de l’équivalence entre la forme forte du problème modèle général (2.32-35) et sa forme faible (2.58-60) est aisément établie par la méthode des résidus pondérés (le poids est noté w ici) et ne sera pas détaillée puisqu’on la trouve intégralement dans [WAR94/1, MIG97], en prenant soin de considérer les fonctions tests complexes, ce qui ne modifie pas la démonstration. Nous remarquons que les conditions aux limites de Neumann et de Robin (respectivement) apparaissent sous forme faible dans cette formulation dans les relations (2.58) et (2.59) (respectivement). Par contre, nous choisissons a priori des fonctions d’essai cinématiquement admissibles (voir définition 2.56 de V₁).

2.3.3 Problème variationnel bien posé : principes

La méthode des éléments finis que nous introduisons au chapitre suivant est basée sur la forme variationnelle (2.60). Cette forme n’est pas définie positive pour tout nombre d’onde supérieur au nombre d’onde correspondant à la première fréquence propre. Il est donc nécessaire de s’intéresser aux conditions d’existence et d’unicité de la solution du problème (2.60). C’est cette idée qui a conduit I. Babuska d’une part [BAB73], et F. Brezzi d’autre part [BRE74] à introduire une condition de stabilité aussi appelée condition inf-sup ou encore condition de Babuska-Brezzi (BB) pour les solutions variationnelles et les solutions numériques approchées. Cette condition peut s’écrire [BAB96/3]

inf p ∈ V1

sup w ∈ V2

a (p , w)

p _V1 w _V2 = γ > 0

(2.61)

où • désigne le module du nombre complexe • et • ^V désigne une norme définie pour l’espace V (voir annexe 9.2). Nous rappelons ci-dessous (paragraphe 2.3.5.) la condition de stabilité de la forme faible du problème modèle 1 car elle est une première illustration de la spécificité de l’opérateur de Helmholtz.

2.3.4 Forme variationnelle du problème modèle 1

Dans le but de simplifier les démonstrations qui suivent, c’est le problème modèle 1 qui sera analysé d’un point de vue mathématique, et ensuite, les conclusions seront confrontées à des tests numériques plus généraux. La formulation variationnelle du problème modèle 1 conduit à un choix particulier des espaces de Sobolev

V = V₁ = V₂ = H₀¹(Ω) = u ∈ H¹(Ω) u (0 ) = 0 (2.62) On définit ensuite les opérateurs

a₁(p , w) = dp dξ dw

dξ - κ²p w dξ 0

1

- jκ p (1 ) w(1 )

(2.63)

ϕ1(w) = f w dξ 0

1

(2.64) La forme variationnelle s’énonce alors

p ∈ V a1(p , w) = ϕ1(w) ∀ w ∈ V (2.65) est solution du problème modèle 1.

2.3.5 Stabilité en semi-norme H¹ pour le problème modèle 1

Afin d’illustrer les spécificités des analyses par éléments finis de problèmes acoustiques, nous allons commenter la condition inf-sup (2.61) pour le problème modèle 1 établie par F. Ihlenburg et al. [IHL95/2]. Théorème

Il existe des constantes C₁ et C₂ indépendantes de κ telles que la constante de Babuska-Brezzi est bornée par

C₁

κ ≤ γ ≤ C₂

κ (2.66)

avec

γ = inf p ∈ V

sup w ∈ V

a₁(p , w) p ₁ w ₁

(2.67) où • ¹ désigne la semi-norme H¹ (pour l’instant nous adoptons la définition 9.28, mais le choix de la norme appropriée sera discuté au paragraphe 3.5)

Démonstration

La démonstration se trouve in extenso dans [IHL95/2].

Commentaires

Ce résultat est fondamental. Il montre que la stabilité de la forme faible d’un opérateur de Helmholtz diminue lorsque le nombre d'onde augmente, c’est-à-dire qu’une faible variation de l’excitation f (2.37) peut engendrer une grande variation de la solution p.

2.4 Forme d’extrémum

La forme d’extrémum conduit à une méthode approchée éléments finis de type Ritz. Elle consiste, pour le problème modèle général (2.32-35), à chercher p ∈ H_D¹(Ω) telle que

δΠ ( p ) = 0 ∀ δp ∈ H₀¹(Ω) (2.68) où,

Π(p ) = 1

2 a ( p , p ) - ϕ(p )

(2.69) Dans le cas de l’acoustique, comme dans le cas de l’élasticité linéaire, les méthodes de Galerkin et de Ritz conduisent exactement au même problème discret. Par contre, l’opérateur a( p , p ) n’étant pas défini positif, il n’est pas possible d’établir une formulation de minimum comme en élasticité [IHL97/3, pp. 53-55].

2.5 Problème aux valeurs propres

2.5.1 Quotient de Rayleigh

Du point de vue mathématique, l’équation de Helmholtz définit un problème aux valeurs propres lorsque le nombre d’onde n’est pas imposé. Pour le problème modèle général, les valeurs propres et les vecteurs propres sont complexes par la présence de condition d’amortissement structural sur ΓR. Dans les applications courantes, l’ingénieur cherchera plutôt à obtenir les valeurs propres et les fonctions propres réelles pour le système non amorti, dont l’interprétation est analogue aux modes structuraux [WAR94/2]. Nous définissons donc un cas particulier du problème modèle général par sa forme forte

∆ φ + k²φ = 0 dans Ω φ = 0 sur ΓD

∂nφ = 0 sur Γ \ ΓD (2.70) où les conditions aux limites de Dirichlet sont choisies homogènes, hypothèse non indispensable.

L’équation de Helmholtz peut s’écrire, en posant λ = k²

- ∆ φ = λ φ (2.71)

qui est un problème classique de Sturm-Liouvillle possédant une infinité de valeurs propres réelles positives rangées dans l’ordre croissant

λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ ... ≤ λm ≤ ... ∞ (2.72) et l’ensemble de fonctions propres associées orthonormées

< φm , φn > = δmn ∀ m, n (2.73)

où < • , • > désigne le produit scalaire (9.10). Le quotient de Rayleigh est défini par R(φ) = c(φ,φ)

< φ , φ > (2.74)

où

c(φ, w) = ∂iφ ∂iw dΩ

Ω (2.75)

est la forme bilinéaire classique associée à un opérateur de Laplace. Avec la définition (2.75), nous avons c(φm,φn) = ∂iφm ∂iφn dΩ

Ω

= λm si m = n

0 si m ≠ n (2.76)

compte tenu de la propriété d’orthogonalité (2.73) et de la définition (2.71) de la valeur propre λ ^[STR73]. Les fonctions φ qui rendent le quotient de Rayleigh stationnaire (extrémum) sont les fonctions propres et le quotient de Rayleigh donne la valeur propre correspondante. En effet, exprimons les fonctions tests et d’essai dans la base modale

φ = αi φi i = 1

∞

(2.77) où les coefficients valent

αi = < φi , φ > (2.78)

Le quotient de Rayleigh s’écrit alors

R(φ) =

c( αi φi i = 1

∞

, αi φi i = 1

∞

)

< αi φi i = 1

∞

, αi φi i = 1

∞

>

(2.79) c’est-à-dire,

R(φ) =

λi α_i² i = 1

∞

α_i² i = 1

∞

(2.80) en tenant compte de (2.73) et (2.76). Exprimant la condition d’extrémum,

∂R(φ)

∂αm = 0

(2.81) il vient,

∂R(φ)

∂αm =

2 λmαm α_i² i = 1

∞

- 2 αm λiα_i² i = 1

∞

( α_i² i = 1

∞ )²

(2.82) ou encore

∂R(φ)

∂αm =

2 αm α_i² ( λm - λi ) i = 1

∞

( α_i² i = 1

∞ )²

(2.83) La dérivée du quotient de Rayleigh s’annule pour le mode propre φm car tous les coefficients αi sont nuls à l’exception de αm mais dans ce cas la parenthèse ( λm - λm ) est nulle. Dans le cas de valeurs propres multiples, cette propriété reste valable en se rappelant que toute combinaison de modes propres est un mode propre et forme donc un hyperplan de stationnarité du quotient de Rayleigh. Avec les propriétés d’orthogonalité (2.73) et (2.76), il vient immédiatement

R(φm) = c(φm,φm)

< φm , φm > = λm

(2.84) 2.5.2 Forme faible

La recherche des fonctions propres peut également être formulée de manière faible, avec V l’espace des fonctions cinématiquement homogènes réelles (définitions 2.56-57 restreintes aux variables réelles),

φ ∈ V c (φ, w) = λ < w , w > ∀ w ∈ V (2.85) Les deux formulations (minimisation du quotient de Rayleigh et forme faible) conduisent au même résultat. Très souvent, on calcule les fonctions propres par la forme faible (2.85) et on déduit du quotient de Rayleigh (2.84) la valeur propre correspondante.

La forme bilinéaire c(φ, w) est toujours définie positive en présence de conditions aux limites de Dirichlet. Toutes les méthodes et résultats obtenus pour des problèmes elliptiques sont donc d’application.

2.5.3 Réponse forcée par superposition modale

Disposant des modes propres, la réponse forcée peut être obtenue par superposition modale complète (solution exacte du problème modèle général 2.32-35)

p = αiφi i = 1

∞

(2.86) ou tronquée (solution approchée) en se restreignant aux m modes propres φi choisis en fonction de la gamme de fréquence étudiée

p^* = αi φi i = p p+m

(2.87)

Bien sûr, cette dernière méthode introduit une erreur supplémentaire, mais elle ne fait pas l’objet du présent travail.

2.5.4 Problème modèle

Problème modèle 4

Le problème modèle 4 correspond au calcul des modes propres de l’opérateur laplacien pour une cavité carrée.

∂²p

∂x² + ∂²p

∂y²

+ k²p = 0 dans Ω ( 0 , L ) × ( 0 , L )

(2.88)

v_n = 0 sur Γ (2.89)

Le neuvième mode propre (premier mode non multiple) est donné par la relation (pour L = 10 m) φ = cos π

5 x cos π 5 y

(2.90)

L

L

x y

v_n = 0

figure 2.4. Problème modèle 4

Les constantes matérielles sont celles de l’air (c = 340 m/s, ρ = 1^.225 kg/m³). Le problème modèle 4 ainsi introduit permettra d’illustrer que les estimateurs d’erreur a posteriori développés pour le calcul d’erreur sur la réponse forcée s’appliquent également au calcul d’erreur sur les modes propres. Toutefois, pour pouvoir se comparer à un mode exact, il est indispensable de disposer de modes uniques, comme celui choisi en (2.90), car dans le cas de modes multiples, il n’est pas possible de prédire quelle combinaison linéaire des modes sera produite par le logiciel éléments finis.