Mines Maths 1 PSI 2014 — Énoncé 1/4
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH.
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP).
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2014
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l’épreuve : trois heures) L’usage d’ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PSI
L’énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initia- tives qu’il est amené à prendre.
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Mines Maths 1 PSI 2014 — Énoncé 2/4
Somme de projecteurs orthogonaux Notations
On noteNl’ensemble des entiers naturels,Rl’ensemble des réels,R+l’ensemble des réels positifs ou nuls etMn l’ensemble des matricesn×nà coefficients réels.
Dans tout le problème,X est un espace vectoriel de dimension n ≥2 sur le corps des réels etTun endomorphisme deX.
SiBest une base deX, on noteTB la matrice représentant T dans cette base.
On noteN(T)le noyau de T etR(T)l’image de T, rg T le rang de T etσ(T)le spectre de T.
On appelle projecteur un endomorphisme P deX idempotent, c’est-à-dire tel que P2=P.
On note I l’endomorphisme identité de X, In la matrice identité de Mn et O la matrice nulle.
1 Trace
SiA∈Mn, on appelle trace deAle nombre réel suivant :
trA=
n
X
i=1
aii.
Question 1 SoientAetB∈Mn,montrer quetrAB=trBA.
Question 2 SoitTun endomorphisme de X,montrer que la trace de la matriceTB asso- ciée àTest indépendante de la baseB.
On appelle trace de T, notée tr T, la valeur commune des traces des matrices repré- sentant T. On dit que la trace est un invariant de similitude.
2 Projecteurs
Question 3 SoitPun projecteur de X,démontrer que X =N(P)⊕R(P). Question 4 En déduire querg P=tr P.
Question 5 Démontrer que la dimension de la somme de deux sous-espaces F et G de X est inférieure ou égale à la somme de leurs dimensions.
Question 6 Soit S un endomorphisme de X. Montrer que si S est une somme finie de projecteursPi,i=1, . . . ,m,alorstr S∈Nettr S≥rg S.
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Mines Maths 1 PSI 2014 — Énoncé 3/4
3 Décomposition en somme de projecteurs orthogonaux
On considère maintenant le cas oùXest un espace (pré)hilbertien. On dit que T est symétrique positifs’il estsymétriqueet si
(Tx|x)≥0∀x∈X.
Question 7 Montrer queT, supposé symétrique, est positif si et seulement siσ(T)⊂R+. Question 8 Montrer qu’un projecteurPest un projecteur orthogonal si et seulement si il vérifie
x−Px y
=0,∀x∈X,∀y∈R(P).
Question 9 Montrer qu’un projecteur est un projecteur orthogonal si et seulement si il est symétrique ; montrer également qu’un projecteur orthogonal est positif.
On suppose désormais que Test symétrique positif et vérifietr T∈Net tr T≥
rg T.
On note rle nombre de valeurs propres strictement positives de T, comptées avec leur multiplicité. On noteei les vecteurs d’une base propreB de T orthonormée, or- donnés de telle façon que les valeurs propres associées soient strictement positives si et seulement si i ≤ r. On noteY l’espace engendré par lesei, i =1, . . . ,r et Z celui engendré par lesei,i=r+1, . . . ,n.
Question 10 Montrer que Y =R(T),Z=N(T),ainsi querg T=r.
Pouri=1, . . . ,n, on note Qil’endomorphisme deX défini par Qi ej
=δi jei,j=1, . . . ,n
Question 11 Montrer queQiest un projecteur orthogonal de rang1.
Question 12 On se place dans le cas particulier oùtr T>rg T.Montrer qu’on peut choisir i tel queT−Qisoit symétrique positif et vérifierg T−Qi
=rg T.Quelle est la valeur de tr T−Qi
?
Question 13 On se place maintenant dans le cas général où tr T≥ rg T.Déduire de la question12qu’il existeSsymétrique positif tel que Y soit stable parS, tr S=rg S=rg Tet queT−Ssoit la somme de k=tr T−r projecteurs orthogonaux de rang1.
On noteµi,i=1, . . . ,rles valeurs propres strictement positives de S.
Question 14 Montrer queS|Y est inversible.
On pose U=S|Y et pour x et y ∈Y,ξ x,y
= U−1x y
. On noteǫi,i=1, . . . ,r une base de vecteurs propres de U associés aux valeurs propresµi.
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Mines Maths 1 PSI 2014 — Énoncé 4/4
Question 15 Démontrer queξconstitue un produit scalaire sur Y.
Question 16 Déterminer w∈Y,tel quekwk=1etξ(w,w) =1.On pourra, si nécessaire, chercher w dans le sous-espace de dimension2engendré par deux vecteurs propresǫietǫj bien choisis.
Question 17 Montrer quePest un projecteur orthogonal de rang1sur X si et seulement si il existe un vecteur z unitaire dans X,tel que pour tout x∈X, P(x) = (x|z)z.
On considère maintenant unwtel que défini à la question16et l’endomorphisme Pw défini surX par la formule suivante :
Pw(x) = (x|w)w.
Question 18 Démontrer queS−Pwest symétrique et positif.
Question 19 Démontrer que N S−Pw
=N(S)⊕Vect U−1w
,oùVect U−1w
note l’en- semble des vecteurs colinéaires à U−1w.En déduire querg S−Pw
=rg(S)−1.
Question 20 Déduire des questions17 18et19queSest la somme d’un nombre fini de projecteurs orthogonaux de rang1.
Question 21 En déduire qu’un endomorphisme symétrique positifTest une somme finie de projecteurs orthogonaux si et seulement sitr T∈Nettr T≥rg T.
Fin de l’épreuve
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