• Aucun résultat trouvé

Influence de l'activite du systeme racinaire de pommiers sur la repartition des solutes en irrigation localisee

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Influence de l'activite du systeme racinaire de pommiers sur la repartition des solutes en irrigation localisee"

Copied!
9
0
0

Texte intégral

(1)

HAL Id: hal-02717535

https://hal.inrae.fr/hal-02717535

Submitted on 1 Jun 2020

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Influence de l’activite du systeme racinaire de pommiers sur la repartition des solutes en irrigation localisee

R. Guennelon, B. Cabibel

To cite this version:

R. Guennelon, B. Cabibel. Influence de l’activite du systeme racinaire de pommiers sur la repartition

des solutes en irrigation localisee. Agronomie, EDP Sciences, 1981, 1 (4), pp.323-330. �hal-02717535�

(2)

Influence de l’activité du système racinaire de pommiers sur la répartition des solutés en irrigation

localisée

Roger GUENNELON Bernard CABIBEL

Ph. BERTHIER A. M. de COCKBORNE

LN.R.A., Station de Science du Sol, Centre de Recherches d’Avignon, Domaine Saint-Paul, F84140

Montfavet.

RÉSUMÉ

Irrigation localisée, Système racinaire, Azote nitrique, Engrais phosphatés, Engrais potassiques, Transfert,

Solutés, Pommiers.

La fertilisation des arbres fruitiers associée à l’irrigation localisée peut permettre d’entrevoir des réductions importantes de coût d’exploitation

en

matière de main-d’oeuvre et de quantités d’engrais utilisées. Mais il faut que les éléments

comme

P et K, facilement adsorbés par le sol, puissent migrer jusqu’aux racines.

L’accélération des flux hydriques, due à la fonction puits des racines,

concurrence

l’évolution des cinétiques d’adsorption ; ainsi, la répartition de

ces

éléments n’est pas limitée

aux

environs immédiats du goutteur et ils peuvent arriver jusqu’aux

zones

l’absorption racinaire est la plus intense.

SUMMARY Drip irrigation,

Root system, Nitrates, P-fertilizers, K-fertilizers, Transfers, Solute, Apple-tree.

Influence of root system activity of apple-trees concerning solutes distribution during drip-irriga-

tion

Introducing

use

of fertilizers of fruit trees connected with drip irrigation

can

be

a mean

to reduce greatly two components of agricultural practice costs : manpower and rates of fertilization. But it is necessary that easily soil adsorbed elements like P and K

can

reach the root activity

zone.

Increase of water flux, related to root sink function, is sufficiently high comparative to the kinetics of adsorption

so

that the distribution of P and K is not limited to the neighbourhood of dripper and they

can

reach the

zone

of highest root activity.

INTRODUCTION

De nombreux travaux ont été réalisés à ce jour, concer-

nant la distribution des solutés dans les matériaux poreux et notamment les sols, en prenant en compte les phénomènes

de migration, de lessivage, de dispersion hydrodynamique

et d’adsorption réversible ou non (S ELIM et al., 1976, GU

R EG

HIAN et al., 1979). Le problème de l’absorption racinaire, s’il est résolu dans les divers modèles proposés

par l’introduction dans l’équation de transfert d’une fonc- tion puits supplémentaire, se heurte dans la réalité à

plusieurs difficultés :

-

détermination de la répartition des racines,

-

détermination des zones d’activité racinaire,

-

répartition de l’intensité de cette activité.

Ces difficultés sont souvent éludées en faisant dépendre

la fonction puits d’une cote, ou d’une distance par rapport à la plante, ou d’une densité de la biomasse racinaire dans le sol (densité par ailleurs difficile à apprécier).

D’autre part, on considère généralement des systèmes

monodimensionnés quant à l’apport d’eau, de solutés et à la

distribution des racines, ou des systèmes ayant pour ces 3 paramètres les mêmes axes de symétrie.

Le but de ce travail est de mettre en évidence l’influence d’un système racinaire excentré par rapport à la zone d’apport d’eau et de sels, comme cela peut être souvent le

cas pour des systèmes d’irrigation de type localisé, singuliè-

rement en arboriculture.

Nous envisagerons tout d’abord le cas de solutés peu ou

pas adsorbés par le sol, puis celui de solutés dont on admet

la fixation rapide au niveau de leur point d’apport.

DISPOSITIF ET MÉTHODES

L’étude présentée consiste en des prélèvements et des analyses d’échantillons de sols dans un verger conduit en

irrigation localisée depuis sa plantation en février 1973 (pommiers « Golden Delicious/EM II », en espacement

4 m x 4,5 m), en non-travail du sol et désherbage chimique.

Le sol de ce verger est un sol de limon argileux calcaire (tabl.l) possédant une capacité d’échange de l’ordre de

30-40 meq/100 g d’argile. Le sol est un sol gonflant à

(3)

structure prismatique conservant la trace d’un labour pro- fond effectué en 1969. Sa porosité (et surtout la porosité

structurale (STE NG E L , 1979)) est faible sur les 10 premiers

cm (croûte de battance) ; elle est assez forte de - 10 à

-

50 cm (correspondant au défoncement cité) et diminue fortement en dessous de 50 cm.

L’irrigation est réalisée à raison d’un seul goutteur par

arbre, situé à 70 cm de l’axe du tronc.

Cette irrigation est une irrigation de complément limitée à

la période mai-septembre, dont la dose journalière est égale

à 50 p. 100 de l’évapotranspiration potentielle (E.T.P.) de la veille, pour une durée de 8 à 10 h par jour.

Le débit est d’environ 61 ! h-’ par arbre.

Les engrais, lorsqu’ils sont apportés dans l’eau d’irriga- tion, le sont sous forme d’ammonitrates, de phosphates d’ammonium, de nitrate de potassium ou en épandage sur le sol, aux doses de 150, 50 et 85 kg de N, P et K respective-

ment à l’ha, soit 270, 90 et 150 g par arbre. En épandage au sol, P et K sont apportés en novembre et N en janvier sur

toute la surface. Dans l’eau d’irrigation par goutteur, ils sont

apportés ensemble à partir de juin, en 4 apports successifs séparés de 2 à 3 semaines.

Des études réalisées en 1976 ont permis d’établir des

profils hydriques en régime permanent par mesures neutro-

niques, des profils hydriques après redistribution et des profils de répartition (fig. 1) des racines par examen visuel de tranchées autour de certains arbres (C AB I B E L , 1978).

En août et septembre 1977, des prélèvements de sol ont

été effectués sur une profondeur de 100 cm (de 10 en 70 cm) après un arrêt de l’irrigation de 3 jours.

Deux séries de prélèvements ont été effectuées : a) Pour un arbre en irrigation localisée avec épandage d’engrais en surface : prélèvements sur la ligne de planta- tion, sous le goutteur, et ensuite, tous les 10 cm entre l’arbre

et le goutteur, et au-delà du goutteur (fig. 2) : les ions N0 3 -

et K’ ont été dosés sur les échantillons prélevés.

b) Pour un arbre en irrigation localisée fertilisante : sur la

ligne de plantation, à 5, 15 cm, etc..., de part et d’autre du goutteur, et dans un plan perpendiculaire passant par le goutteur (fig. 2) : les ions N0 3 -, P0 4 et K- ont été dosés

sur les échantillons prélevés, à l’exception, pour P0 4 de

ceux des profils XIII et XIV.

Les mesures ont été réalisées :

-

par gravimétrie pour les teneurs en eau pondérale,

-

par électrode spécifique pour l’ion nitrate,

-

par extraction à l’acétate d’ammonium et photométrie

de flamme pour K + ,

-

par extraction à l’oxalate d’ammonium (J OR E T &

HEBERT, 1955) et colorimétrie au vanadomolybdate

d’ammonium pour P.

Certains résultats ont été exprimés en moyenne mobile bidimensionnelle : si X;, Xji,,, X;&dquo; Xi:; sont les mesures

correspondant à 4 prélèvements adjacents, nous appelle-

(4)

RÉSULTATS ET DISCUSSIONS I. Élément mobile : Ion nitrate

A. Irrigation localisée fertilisante

En examinant l’ensemble des échantillons situés dans le

plan contenant l’arbre et le goutteur (fig. 2 et 3), on peut observer une très nette dissymétrie de la répartition des

nitrates. Les profils 1 et VII situés à 5 cm de part et d’autre du goutteur (fig. 3) sont peu différents ; on y note cependant

un début d’élargissement en direction de l’arbre de la zone

de redistribution des nitrates en surface. Cette tendance s’accroît pour devenir très marqué à 35 cm de part et d’autre du goutteur. Dans le même temps, la redistribution en

surface s’accroît, mais plus faiblement, dans la direction

opposée à l’arbre, cependant qu’en profondeur on observe

2 phénomènes :

-

à l’opposé de l’arbre par rapport au goutteur, les variations de la concentration en nitrates s’identifient bien

avec celles de la zone saturée (ou voisine de la saturation) en

cours d’irrigation ;

-

entre le goutteur et l’arbre, la concentration en nitrates diminue et cette diminution coïncide avec la zone la plus largement colonisée par le système racinaire.

Lorsqu’on s’éloigne du goutteur, les profils de concentra-

tion à l’opposé de l’arbre (à 65 et 75 cm) ne reflètent plus la

(5)

morphologie de la zone saturée, alors qu’au voisinage de l’arbre, à 55 cm du goutteur, la concentration en surface diminue par rapport aux distances précédentes tandis que les concentrations en profondeur présentent une légère augmentation relative.

Cet aspect de la distribution des sels solubles qui, dans le

cas des nitrates, révèle la teneur consécutive aux apports les plus récents, peut s’expliquer par l’interaction du bulbe

d’irrigation localisée et de la zone d’activité racinaire. Par suite de l’utilisation de l’irrigation localisée depuis la planta-

tion du verger, les racines de petites dimensions présentent

une abondance maximum à la profondeur de 25-45 cm (C

A

BIBEL, 1978), à mi-distance entre l’arbre et le goutteur,

et une plus faible fréquence, à l’emplacement du goutteur.

La zone d’absorption de l’eau la plus intense se situant donc entre arbre et goutteur, le flux des sels solubles est plus important en direction de cette zone qui, lors de la redistri- bution entre chaque irrigation, alimente une zone d’enrichis- sement en surface par évaporation.

La pénétration maximale apparente en profondeur des

nitrates se situe aux alentours de 90 cm. Une répartition homogène de l’azote à 90-100 cm autour du goutteur, dans

un volume hémisphérique centré sur le goutteur, aboutirait à

une concentration moyenne de l’ordre de 60 I -lg . g ’, pour

une année de fertilisation : des teneurs plus élevées n’ont été obtenues qu’en surface et, en particulier, jamais à l’opposé de l’arbre par rapport au goutteur ; la diffusion et la redistribution de N dans cette direction est donc faible.

D’ailleurs, si l’on se réfère à des E.T.P. de l’ordre de 0.3 à 0.5 mm - h-’, on peut montrer que le débit (6 t ’ h-’) assure,

par arbre et par jour, un approvisionnement en eau toujours inférieur à celui qu’il faudrait pour compenser l’E.T.P. (6 à 91. h-

1

). Les transferts hydriques sont donc très bien orientés dans le sens goutteur-arbre et il en est de même du

sens de transfert des nitrates.

Cette interprétation est conforme aux figures de redistri- bution de l’eau entre chaque phase d’irrigation. Elle est également en accord avec le résultat d’autres essais ayant

permis de situer, par rapport au bulbe d’irrigation, les zones où l’activité racinaire est suspendue, affaiblie ou, au

contraire, très intense (CABIBEL, 1978).

B. Irrigation localisée avec engrais en couverture

On peut s’attendre à ce que, dans ce cas, les teneurs en

N03 soient plus faibles, par suite de la non-simultanéité de

l’apport d’eau et de solutés. Ces teneurs ne dépendent alors pratiquement que de la quantité de nitrates solubles, encore présents dans le sol, dans un faible rayon autour du goutteur (fig. 4). Le profil « nitrate » enregistré directement sous le goutteur présente un élargissement vers 45-50 cm qui cor- respond toujours au maximum de pénétration du bulbe en

cours de fonctionnement. Si l’on compare avec le profil

moyen d’une parcelle identiquement fertilisée, mais arrosée

par aspersion, on peut noter des teneurs du même ordre de grandeur, avec toutefois la tendance à une plus faible pénétration en profondeur.

Les profils à 10 et 20 cm du goutteur en direction de l’arbre sont caractérisés par un élargissement superficiel de

la zone enrichie en N03, alors que ce phénomène ne se produit de l’autre côté du goutteur qu’à partir de 30 cm.

Dans cette région, la redistribution après chaque phase d’irrigation contribue à faire progresser un front salin, enrichi en nitrates, aux dépens de la zone

«

sous-goutteur » ; du côté de l’arbre, le flux induit par l’absorption racinaire produit le même effet au voisinage du bulbe ; en profondeur

et au fur et à mesure que l’on se rapproche de l’arbre, l’absorption des nitrates devient prépondérante par rapport à l’accélération du flux. Aux différences de niveau des teneurs près, on constate donc des phénomènes analogues dans les 2 types d’apport de fertilisants, justiciables de la même explication, c’est-à-dire l’augmentation du flux de solutés par l’augmentation du flux de fluide vecteur,

compensée ici par une absorption plus importante dans la

zone d’activité racinaire.

(6)

II. Éléments présentant des phénomènes d’adsorption

A. Ion phosphate

L’application d’acide phosphorique sous forme de phos- phates solubles n’est en général pas recommandée en

irrigation localisée du fait de la précipitation possible dans

les conduites de distribution et des déplacements réduits

vers la zone racinaire, surtout en sols calcaires (HIRA &

SI N

GH, 1977-1978 ; RAUSCHKOLB et al., 1976). Ce dernier phénomène est bien marqué lorsque l’on travaille avec de faibles vitesses de déplacement dans les pores et qu’on

laisse agir la redistribution du fluide vecteur en l’absence de flux d’alimentation. Lorsque le déplacement de l’eau est accéléré, la mobilité des ions P0 4 -- peut être accrue par

rapport aux cinétiques des réactions d’adsorption. On a tenté de montrer que ce pouvait être le cas lorsque l’activité

racinaire crée un flux de direction préférentielle. Pour cela,

on a comparé la distribution des ions N0 3 et P0 4 ---, en irrigation localisée, dans les 3 cas de figure suivants (fig. 2) ; a) sur la ligne entre l’arbre et le goutteur (profils de prélèvements 1 à VI).

b) sur la ligne du goutteur à l’opposé de l’arbre (profils de prélèvements VII à IX).

c) perpendiculairement à la ligne de plantation (profils de prélèvements A à F).

L’interprétation des résultats obtenus pour P par extrac- tion à l’oxalate d’ammonium, comparés aux teneurs en

azote nitrique, doit être assortie des considérations sui- vantes :

a) le P extrait ne correspond pas nécessairement à la totalité de la fraction de cet élément qui a atteint le point de prélèvement considéré par suite des différents mécanismes d’insolubilisation (A RVI EUx, 1972 ; BOUVIER, 1974) ;

b) l’enrichissement constaté ne résulte pas seulement du dernier apport, mais dépend également des fumures des années antérieures ;

c) par contre, les teneurs en azote nitrique reflètent davantage les apports les plus récents, compte tenu du

lessivage et de la redistribution en période pluvieuse.

Les valeurs utilisées sont les moyennes mobiles bidimen- sionnelles de 4 échantillons.

La majeure partie des échantillons, appartenant aux profils VII à IX, se trouve en dehors de la zone d’extension du système racinaire : il n’y a pas de corrélation entre la

répartition des teneurs en NO3 et P (fig. 5 : échantillons

repérés par un carré noir).

Dans les 2 autres cas, la plupart des prélèvements se

trouvent à proximité des zones d’activité des racines et on

obtient les corrélations suivantes (fig. 5 et 6).

P

=

0,14 Log N - 0.16 r 2 = 0,69 (prélèvements 1 à VI)

P

=

0,227 Log N - 0.43 r 2

=

0,85 (prélèvements A à F)

Le phosphore soluble à l’oxalate d’ammonium est

exprimé en mg ! g-’ et l’ion nitrate en J .lg ’ g- 1 d’élément N.

On peut donc dire qu’en dehors de la zone de redistribu- tion par diffusion, le déplacement de P0 4 est lié à celui de

N03. La forme de la fonction de régression traduit cepen- dant la mobilité plus faible des phosphates par rapport au nitrate. Sur les profils A à F (les plus proches de l’arbre)

avec les valeurs exactes pour une maille de 10 cm, on a

même pu tester une régression linéaire (fig. 6).

P

=

0,016 ! N - 0,096 avec r 2

=

0,60

La forme de la relation liant P à N n’est d’ailleurs pas

déterminante, puisque l’on ne cherche à traduire qu’une

liaison statistique non explicative.

On peut cependant essayer de situer les teneurs en P observées par rapport aux apports : si l’on considère que le niveau moyen de P avant le départ de la fertilisation se

situait aux environs de 0,03 mg ! g-’, l’enrichissement du

profil apparaît notable jusqu’à 80 cm environ du point d’apport ; en admettant une distribution parfaitement homo- gène et isotrope, on aboutirait sur la base de l’apport d’une

seule année à un taux moyen de 0,054 mg ! g-’ ; en cumulant

la fumure de 4 ans, on obtiendrait 0,216 mg ! g-’, ces

chiffres étant des maxima ne tenant compte ni de l’insolubi-

lisation, ni du prélèvement par les plantes ; il est à noter

cependant combien ces prévisions globales d’enrichisse-

ment sont voisines des teneurs mesurées.

(7)
(8)

Quoi qu’il en soit, une très grande partie de la variation des teneurs du sol en P est expliquée par les variations de l’azote nitrique. Comme on a vu que celles-ci dépendaient

des transferts hydriques préférentiels, on peut dire que dans les sols en place, la migration des orthophosphates solubles

est plus importante que dans des milieux poreux adsorbants

homogènes, sans interaction des racines.

B. Ion potassium

Dans un sol argileux à assez forte capacité d’échange (avec prédominance d’illite et de vermiculite), on doit s’attendre à une migration extrêmement lente du potas- sium ; la répartition du potassium échangeable qui reflète la

distribution de cet élément au cours des fertilisations successives, mais plus particulièrement des dernières réali- sées, devrait donc être très différente de la répartition des

nitrates.

Nous avons recherché les corrélations existant entre K

échangeable et les teneurs en nitrates, en considérant

séparément, comme dans le cas des ions P0 4 --, les profils

de prélèvements :

-

entre l’arbre et le goutteur (I à VI) (fig. 7)

-

dans le plan perpendiculaire à la ligne, les plus proches

de l’arbre (A à F) (fig. 8)

-

dans le même plan, mais plus éloigné (F à L) (fig. 8)

-

sur la ligne, au-delà du goutteur (VII à XIV) (fig. 7) On obtient les corrélations suivantes, correspondant aux

4 situations ci-dessus :

K = 60,70 Log N + 12,05 avec r z = 0,74

K = 65,50 Log N - 44,08 avec r 2 = 0,87

K = 76,39 Log N - 50,23 avec r Z = 0, 72

K

= -

6,59 Log N + 140,88 avec r 2

=

0,01

On n’observe donc aucune relation dans la dernière zone

qui est celle de la densité racinaire la plus faible, voire nulle.

Un calcul de l’ordre de grandeur de K (pour une distance

de parcours inférieure à 50 cm correspondant à la profon-

deur d’enrichissement) apporté sur 4 années de fertilisation conduirait à un enrichissement de 360 mg . kg-’, sans tenir

compte de la fixation ni de l’absorption par la plante. En fait, compte tenu d’un niveau moyen initial de 50 mg ! kg-’

de potassium échangeable, l’enrichissement maximum n’est que de 150 mg : les ordres de grandeur sont donc relative- ment respectés.

On peut donc dire que, pour l’ion K! comme pour l’ion

PO Q

--, dans les conditions énoncées pour l’irrigation et la fertilisation, la migration prédomine sur la fixation lorsque

les racines induisent un flux hydrique suffisamment rapide.

En l’absence de racine, par contre, les nitrates se répartis-

sent en fonction de la circulation de l’eau et de sa redistribu- tion, alors que les ions K’ et P0 4 -- ne se déplacent que fort peu, à l’exception de la zone d’élargissement de la tache

superficielle et du flux vers la surface dû à l’évaporation.

Dans le cas de l’épandage des engrais en surface, les dosages des ions K + et P0 4 ne révèlent, aussi bien en

irrigation localisée qu’en aspersion, qu’un léger enrichisse-

ment des 2 niveaux supérieurs analysés.

CONCLUSIONS

Même dans un sol dont les propriétés physico-chimiques pourraient favoriser l’immobilisation des ions K + et des ions

P0 4

--, l’accentuation des transferts hydriques sous

l’action de l’évapotranspiration, au voisinage des racines, autorisent des déplacements de ces ions, beaucoup plus importants que ceux que laissent prévoir des expériences de

laboratoire sur des milieux poreux homogènes, en l’absence

de fonction « puits » pour l’eau.

Il conviendrait d’ajouter à cela, la possibilité de transferts

prioritaires de solutés dans des éléments de porosité structu-

rale (pores ou fentes) même de petites dimensions, qui

réalisent localement, de manière hétérogène, des circula-

tions en régime saturé dans un milieu globalement non

saturé.

Reçu le 21 octobre 1980.

Accepté le 21 janvier 1981.

(9)

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

Arvieux J. C., 1972. Contribution à la connaissance de l’évolution des engrais phosphatés

en

sols calcaires. Thèse de Doctorat ès Sciences Physiques, Université de Nice.

Bouvier O., 1974. Étude expérimentale de l’action de la fraction

argileuse

sur

l’évolution du phosphate monocalcique

en

milieu calcaire. Thèse 3 e Cycle, Université de Nice.

Cabibel B., 1978. Influence du mode d’irrigation

sur

la structure et le fonctionnement du système racinaire de jeunes pommiers. C.R.

Ac. Agric. Fr., p.616-624.

Gureghian R. B., Ward D. S., Cleary R. W., 1979. Simultaneous transport of water and reacting solutes through multilayered soils under transient unsaturated flow conditions. J. of Hydrol. 41, 253-278.

Hira G. S., Singh N. T., 1977. Observed and predicted rates of phosphorus diffusion in soils of varying bulk density and water

content. Soil Sci. Soc. Am. J., 41, 537-540.

Hira G. S., Singh N. T., 1978. Prediction of phosphorus diffusion from fertilizer source. Soil Sci. Soc. Am. J., 42, 561-565.

Joret G., Hebert J., 1955. Contribution à la détermination du besoin des sols en acide phosphorique. Ann. agron. 6 (2), 233-299.

Rauschkolb R. S., Rolston D. E., Miller R. J., Carlton A. B., Burau

R. G., 1976. Phosphorus fertilization with drip irrigation. Soil Sci.

Soc. Am. J. 40 (1), 68-72.

Selim H. M., Davidson J. M., Mansell R. S., 1976. Evaluation of

a

two-site adsorption-desorption model for describing solute tran- sport in soils. In Proc. Summer Computer Simulation Conf.

Washington.

Stengel P., 1979. Utilisation de l’analyse des systèmes de porosité

pour la caractérisation de l’état physique du sol in situ. Ann. agron.

30 (1), 27-51.

Références

Documents relatifs

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des

interactions plus fortes entre organismes, un flux plus important de carbone vers le sol Dans le cadre du projet européen EcoFINDERS coordonné par l’Inra, les chercheurs ont

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant

Milieux poreux et transferts hydriques - Bulletin du Groupe français d’humidimétrie neutronique et des techniques as- sociées, Groupe français d’humidimétrie neutronique

De plus, les ions excrétés et l'apport de matière organique par les racines mortes font de la zone raci- naire une zone où la biomasse microbienne et son activité sont très

D'après les données de la BCE, le stock de crédits distribués aux ménages pour le logement décélère depuis le début 2006, avec une croissance de 8 % au deuxième trimestre

Ce rapport, très circonstancié, démontre la nécessité d'adapter les proportions de logements à construire en zone de développement d'une part car elles n'ont pas permis de répondre

En fonction de votre réponse, déterminer la relation de dispersion pour une OPPH dans le métal.. On est donc dans le cas où il n’y a pas