I. Climatisation d’une voiture

THERMODYNAMIQUE

CALCULATRICES AUTORISÉES

I. Climatisation d’une voiture

Pour refroidir l’air intérieur d’un véhicule, un fluide frigorigène effectue en continu des transferts énergétiques entre l’intérieur, l’extérieur du véhicule et le compresseur. Ce fluide est l’hydrofluorocarbone HFC, de masse molaire M = 32 g/mol ⁻¹ , aussi connu sous le code R134a. Le schéma de la machine est représenté ci-dessous.

Au cours du cycle en régime permanent, les étapes suivantes se succèdent.

• Le fluide est totalement vaporisé de l’état (4) à (1), de telle sorte que T ₁ = 5, 0 ^◦ C et P ₁ = 3, 0 bar.

• Le compresseur aspire la vapeur (1) et la comprime de façon isentropique avec un taux de com- pression r = ^P _P

1

= 6 (point (2)).

• Le fluide sortant du compresseur entre dans le condenseur et subit un refroidissement isobare jusqu’à la température T ₃ = 60 ^◦ C au cours duquel il est totalement liquéfié (point (3)).

• Le fluide sortant du condenseur est détendu dans le détendeur selon une transformation supposée adiabatique, jusqu’à la pression de l’évaporateur P 1 (point (4)).

Le diagramme enthalpique (p, h) du R134a est représenté en annexe. Les isentropes sont graduées en kJ.K ⁻¹ .kg ⁻¹ , et les isothermes sont graduées en ^◦ C. Lorsque cela est demandé, on répondra directement sur ce diagramme, et on le rendra avec la copie.

1. Indiquer sur le diagramme les domaines liquide (L), vapeur (V), et équilibre liquide-vapeur (L+V) du fluide.

2. Dans quel domaine du diagramme le fluide à l’état gazeux peut-il être considéré comme un gaz parfait ? Justifier l’allure des isothermes dans cette zone.

3. Placer le point (1) sur le diagramme. Relever la valeur de l’enthalpie massique h 1 et de l’entropie massique s ₁ du fluide en ce point.

4. Déterminer P ₂ et placer le point (2) sur le diagramme. Relever la valeur de la température T ₂ et de l’enthalpie massique h 2 en sortie du compresseur.

5. Placer le point (3) sur le diagramme. Relever la valeur de l’enthalpie massique h 3 en sortie du condenseur.

6. Montrer que la transformation dans le détendeur est isenthalpique.

Placer le point (4) sur le diagramme et tracer le cycle complet. Relever la valeur de la température T ₄ et le titre massique en vapeur x ₄ en sortie du détendeur.

7. Calculer le travail mécanique utile massique w _m reçu par le fluide lors de son passage dans le

compresseur. Le signe de w m est-il cohérent ?

8. Calculer le transfert thermique massique q e échangé par le fluide lors de son passage à travers l’évaporateur entre (4) et (1). L’air intérieur du véhicule est-il refroidi ?

9. Définir l’efficacité e du climatiseur, et calculer sa valeur numérique.

10. Comparer cette valeur à celle d’un climatiseur de Carnot fonctionnant entre la température de l’évaporateur et la température de liquéfaction du liquide sous la pression P ₂ . Commenter.

11. Le débit massique du fluide est de D _m = 0, 1 kg.s ⁻¹ . Calculer la puissance thermique évacuée de l’intérieur du véhicule et la puissance mécanique consommée par le climatiseur.

II. Etude d’un moteur diesel suralimenté à 4 temps

Présentation générale

L’air extérieur est aspiré par le compresseur centrifuge, puis refroidi dans l’échangeur air-air. Le moteur est ainsi alimenté en air comprimé. Les gaz d’échappement de ce moteur sont ensuite dirigés dans la turbine centripète dont le seul rôle est d’entraîner le compresseur centrifuge. Ces gaz d’échappement sont ensuite dirigés vers la ligne d’échappement.

Présentation du moteur

Dans un moteur thermique, un piston se déplace dans un cylindre entre deux positions extrêmes : le point mort haut (noté PMH) et le point mort bas (noté PMB). Le volume balayé s’appelle la cylindrée, notée C y . Ainsi pour un moteur classique, le volume varie donc entre une valeur maximale V 1 et une valeur minimale V ₂ . On a donc V ₁ − V ₂ = C _y .

Le fonctionnement d’un moteur est défini par son rapport volumétrique de compression, noté δ, et ainsi défini : δ = ^V _V

2

.

Pour un moteur Diesel, le piston comprime simplement l’air aspiré : le carburant n’est alors injecté qu’en fin de compression. La température de l’air en fin de compression étant élevée, il y a auto-combustion du carburant. Pour un moteur Diesel rapide, on suppose que la quantité de chaleur « dégagée par la combustion » est reçue par les gaz en partie à volume constant, et en partie à pression constante.

Le moteur étudié fonctionne suivant le cycle mixte ou « de Sabathé », suralimenté, représenté ci-dessous

dans le diagramme de Watt, et ainsi défini :

1 : fermeture soupape d’admission.

1-2 : compression adiabatique.

2 : injection de carburant et combustion.

2-3 : apport de chaleur isochore puis, 3-4 : apport de chaleur isobare.

4-5 : détente adiabatique.

5 : ouverture soupape d’échappement.

5-6 : échappement.

6-7 : balayage isobare (réfoulement).

7 : fermeture soupape d’échappement et ouverture soupape d’admission.

7-0 : augmentation instantanée de pression (évolu- tion isochore).

Hypothèses générales

• Le fluide gazeux (air, puis produits de combustion) en évolution dans le moteur est assimilé à un même gaz parfait défini par sa capacité thermique massique à volume constant, notéée c _v , et par son exposant isentropique γ . On donne c _v = 760 J.kg ⁻¹ .K ⁻¹ et γ = 1, 38.

• Toutes les évolutions sont supposées réversibles.

• Les énergies cinétique et potentielle seront négligées.

• On supposera que la combustion 2-3-4 est stœchiométrique et que, durant cette phase, les variations de T sont les mêmes que si, en l’absence de réaction chimique, le fluide (gaz parfait) contenu dans le cylindre recevait, en partie à volume constant (évolution 2-3), puis en partie à pression constante (évolution 3-4), une chaleur égale à la « chaleur dégagée » par la combustion.

Notations

— m _a : masse d’air « frais » aspirée dans le cylindre durant la phase d’admission.

— m c : masse de carburant injectée lors de la combustion 2-3-4.

— m _t : masse totale de gaz comprimée dans le cylindre au cours de l’évolution 1-2, et occupant en 1, le volume V ₁ , à la température T ₁ , sous la pression P ₁ . On note que m _t est différent de m _a car le cylindre ne se vide jamais vraiment totalement (V 2 6= 0).

Définitions

— Pouvoir comburivore du carburant, noté P co : rapport entre la masse d’air et celle de carburant lorsque la combustion est stœchiométrique.

— Pouvoir calorifique inférieur du carburant, noté P _ci : quantité de chaleur « libérée » par la com- bustion stœchiométrique, par kilogramme de carburant.

Données

— Cylindrée du moteur : C y = 2, 0 litres.

— Rapport volumétrique de compression : δ = 14.

— P _ci = 41500 kJ.kg ⁻¹ .

— Formule brute du carburant : C _7,1 H _14,8 (ne pas s’inquiéter des valeurs décimales de ces indices).

— Composition chimique de l’air ambiant : 1 mol de O ₂ pour 3,76 mol de N ₂ .

— Conditions d’admission dans le cylindre : P ₁ = 2, 00 bar et T ₁ = 340 K.

— Masses molaires (en g.mol ⁻¹ ) : H : 1 ; C : 12 ; N : 14 ; O : 16.

Définition des différentes masses

1. Calculer, à partir des données, les valeurs de V 1 et V 2 . Exprimer littéralement la valeur de la masse totale m _t de gaz comprimé en fonction de P ₁ , T ₁ , V ₁ , c _v et γ.

En déduire la valeur numérique de m _t .

2. Ecrire l’équation chimique de la combustion stœchiométrique d’une mole de carburant dans l’air (les produits obtenus sont de l’eau et le dioxyde de carbone CO ₂ ).

En déduire le pouvoir comburivore de ce carburant.

On donne m _a = 4, 1 g. Calculer la valeur de la masse de carburant m _c injectée.

IMPORTANT : pour toute la suite de ce problème, on prendra m _a = 4, 1 g, m _t = 4, 4 g et m _c = 0, 28 g.

3. En déduire la quantité de chaleur Q comb « dégagée » lors de la combustion.

Étude du cycle

Hypothèses :

• on suppose que 30% de la quantité de chaleur dégagée lors de la combustion sont reçus par les gaz lors de l’évolution isochore (Q 2−3 = 0, 3 . Q comb ) et que le reste est reçu lors de l’évolution isobare (Q 3−4 = 0, 7 . Q _comb ) ;

• on négligera l’enthalpie massique du carburant injecté lors de la combustion.

4. Calculer la pression et la température du point 2 (P 2 et T 2 ).

5. Préciser les quantités de chaleur reçues lors des évolutions 2-3 et 3-4. En déduire la pression et la température des points 3 et 4. On précisera la valeur de V ₄ .

6. Calculer la pression et la température du point 5 (P ₅ et T ₅ ).

7. Calculer les travaux échangés par le fluide gazeux avec le piston lors des évolutions 1-2, 2-3, 3-4, 4-5 et 5-1 (notés W 1−2 , W 2−3 , W 3−4 , W 4−5 et W 5−1 ).

Étude du turbocompresseur

Schéma de principe Hypothèses :

• On suppose que la compression et la détente sont adiaba- tiques réversibles.

• On négligera les pertes mécaniques au niveau des turboma- chines.

• Le compresseur aspire le débit massique d’air alimentant le moteur.

• La turbine est alimentée par le débit massique de gaz de com- bustion (air aspiré + carburant) rejeté par le moteur.

• La turbine entraîne le compresseur.

Données :

— Admission du compresseur (air ambiant) : P _A = 1, 0 bar et T _A = 293 K.

— Refoulement du compresseur : P _B = 2, 4 bar (P _B est supérieure à P ₁ , du fait des pertes de charge dans l’échangeur air-air).

— Admission de la turbine : T _C = 1100 K.

— Refoulement de la turbine : P _D = 1, 0 bar.

8. Calculer la température de l’air en sortie de compresseur (T _B ).

9. Calculer la température des gaz en sortie de turbine (T _D ). En déduire la pression à l’entrée de la

turbine (P _C ).

Etude du balayage et du rendement du moteur Hypothèse : On supposera que P C = P 6 .

10. Calculer les travaux W 0−1 et W 6−7 échangés par le fluide avec le piston lors des évolutions 0-1 et 6-7.

11. Calculer le travail utile W u fourni par ce moteur. En déduire son rendement thermique η _th . Bilan global

On précise qu’un moteur quatre temps aspire 1a cylindrée du moteur tous les deux tours de vilebre- quin et que ce vilebrequin tourne à la vitesse de rotation de N = 3000 tr.min ⁻¹ (tours par minute).

12. Calculer le débit massique d’air D a aspiré par le compresseur, puis le débit massique de carburant D c consommé par le moteur.

13. Calculer la puissance mécanique P _u fournie par le moteur, puis la puissance mécanique P _{c u} néces- saire au fonctionnement du compresseur.

Étude de l’échangeur air-air

L’air comprimé sortant du compresseur à la température T _B est refroidi jusqu’à la température T ₁ en utilisant l’air ambiant à la température de 293 K. On suppose que l’air ambiant au passage dans l’échangeur subit une élévation de température limitée à ∆T = 10 ^◦ C.

14. En précisant vos hypothèses, calculer le débit volumique d’air ambiant D _v,e nécessaire au bon fonctionnement de cet échangeur.

III. Étude d’un conditionneur pour avion pressurisé

Les avions de ligne actuels subissent des conditions variées. Dans ce problème, on considérera deux situations :

— Altitude de croisière (de l’ordre de 10000 m) : l’air est très froid (température extérieure T e = 215 K) et la pression très faible (pression extérieure p _e = 25 . 10 ³ Pa).

— Au sol : la pression est normale (p _S = 10 ⁵ Pa), mais il peut être nécessaire de refroidir la cabine en été ou dans les pays chauds. On prendra T s = 308 K.

D’autre part, pour assurer le confort des passagers, il faut renouveler l’air dans l’avion. Le débit volumique à fournir est d _p = 280 litres par minute et par passager, à une pression p _C = 10 ⁵ Pa (pour simplifier, on considère que cette valeur ne varie pas avec l’altitude de l’avion) et une température T C = 293 K. C’est le but de l’appareil étudié dans ce problème, qui sera nommé conditionneur d’air dans la suite, que de prélever l’air à l’extérieur de l’avion et de faire circuler le débit prescrit en maintenant l’air de la cabine à la température T C et à la pression p C . Dans une première partie, on cherche le travail minimal à fournir pour maintenir T _C et p _C , avec le débit d’air présent. Dans une deuxième partie, on étudie dans le détail un dispositif effectivement utilisé. Dans tout le problème, on n’envisagera que le régime stationnaire, et on négligera la vitesse globale d’entraînement du gaz.

1. Travail minimal à fournir pour climatiser et pressuriser l’avion

Le système de conditionnement d’air prend l’air à l’extérieur de l’avion (pression p _e , température T _e ) et l’amène à la température T C et à la pression p C de la cabine. Un autre dispositif que nous n’étudierons pas permet de rejeter de l’air hors de la cabine. On illustre le principe du conditionneur sur le schéma idéalisé ci-dessous, dans lequel un système thermodynamique S traverse intégralement le conditionneur en un temps ∆t. Pendant cette traversée, il reçoit potentiellement :

— un transfert thermique Q ₁ de la part de l’air extérieur ;

— un transfert thermique Q ₂ de la part de l’air de la cabine ;

— un travail W pe de la part de l’air extérieur en amont ;

— un travail W pc de la part de l’air de la cabine en aval ;

— un travail utile W _u de la part des éléments mobiles au sein du conditionneur.

La chaleur Q 2 correspond à une puissance P ₂ = − ^Q _∆t

que doit fournir le conditionneur à la cabine pour maintenir sa température (T _C ) en compensant les pertes par conducto-convection avec l’air extérieur, tout en fournissant le débit d’air suffisant pour les passagers. Cette puissance dépend donc de l’altitude de vol de l’avion, ainsi que du nombre de passagers N p . Dans toute la suite on considère N p = 150. Une étude non présentée ici permet alors de montrer que :

— en haute altitude : P ₂ = P _2,alt = 29, 3 kW, positif car il faut réchauffer la cabine ;

— au sol : P ₂ = P _2,sol = −19, 0 kW, négatif car il faut refroidir la cabine.

Le but de cette partie est de calculer la puissance utile P _u = ^W _∆t

minimale que les sources d’énergie de l’avion doivent fournir à l’air entrant, modélisé par le système S. Cet air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol ⁻¹ , et de coefficient adiabatique γ = ^c _c

v

(le rapport des capacités thermiques), supposé constant et égal à 1,4. La constante des gaz parfaits est R = 8, 314 J.K ⁻¹ .mol ⁻¹ . On note d _n le débit molaire de l’air, et n le nombre de moles du système S .

1. Donner l’expression reliant n, ∆t et d _n .

Calculer d _n en fonction N _p , du débit volumique d _p , et des caractéristiques de l’air dans la cabine.

Calculer sa valeur numérique.

2. Peut-on considérer que la transformation globale schématisée ci-dessus subie par le système S est un cycle ?

Ecrire le bilan enthalpique pour cette transformation. En déduire une relation entre Q ₁ , Q ₂ , W _u et l’écart de température T C − T e .

3. Exprimer la variation d’entropie ∆S du système S pour cette transformation. En déduire une inégalité portant sur Q ₁ , Q ₂ et des températures.

4. En déduire que la puissance utile P _u est minorée par une puissance minimale P _u,min à fournir pour

faire fonctionner ce conditionneur. À quelle(s) condition(s) peut-on atteindre ce minorant ?

Faire l’application numérique pour un avion en altitude et un avion au sol en utilisant les données

de l’introduction, toujours avec N p = 150 passagers.

2. Étude du conditionneur d’air

Dans la section précédente, on ne s’est pas préoccupé de la manière pratique de réaliser les échanges d’énergie considérés. En fait, dans un avion, il peut être plus important d’économiser du poids que de l’énergie. Aussi le conditionneur utilisé pour la pressurisation et la climatisation a été retenu pour sa simplicité. Il n’est en revanche pas conçu pour un rendement optimal. On étudie donc dans cette partie un appareil qui réalise une transformation qui est assez éloignée de la transformation idéale étudiée précédemment.

Dans l’appareil effectivement utilisé dans les avions de lignes actuels, l’air de pressurisation est prélevé sur les compresseurs des moteurs (turboréacteurs). Pour simplifier, on supposera qu’il n’y a qu’un compresseur entraîné par une puissance mécanique utile P _cu et que celle-ci ne sert qu’à compresser l’air de pressurisation. Le système S passe de (p e , T e ) à (p 1 , T 1 ) dans cette transformation. Ensuite, une vanne sépare le système S en deux sous-systèmes S ₁ et S ₂ de nombres de moles respectifs n 1 et n 2 .

Le système S ₁ est porté de T ₁ à T ₂ de manière isobare dans un échangeur de chaleur avec l’air extérieur, puis subit une détente dans une turbine, qui fournit au système S ₁ une puissance utile P _tu . Comme P _tu est négative, elle peut être utilisée pour alimenter des accessoires de l’avion, en particulier un ventilateur servant à augmenter l’efficacité de l’échangeur de chaleur. Le passage dans la turbine amène S ₁ de (p ₁ , T ₂ ) à (p _C , T ₃ ).

Le système S ₂ passe au travers d’une vanne de détente, ce qui le porte de (p 1 , T 1 ) à (p C , T 4 ).

Enfin, les deux systèmes sont finalement mélangés de manière isobare, ce qui les amène à la température finale T _a > T _C . Cet air est alors envoyé à une pression p _C = 10 ⁵ Pa dans la cabine, de telle sorte que le mélange final corresponde à une puissance thermique P ₂ fournie à l’air de la cabine (et donc soit de température T _C ).

5. Donner l’expression de cette température T _a . Puis donner sa valeur numérique en altitude d’une part puis au sol.

6. Exprimer P _Cu en fonction de T e et T 1 notamment. Exprimer P _tu en fonction de T 2 et T 3 notamment.

En déduire l’expression de P _u en fonction de T e , T 1 , T 2 , T 3 , d n et la capacité thermique molaire à pression constante C _{p m} = _γ−1 ^γR .

7. On suppose que la compression dans le compresseur et la détente dans la turbine sont adiabatiques et réversibles. Trouver une relation liant T ₁ , T ₂ , T ₃ et T _e au rapport p _C /p _e .

8. On considère qu’il n’y a ni travail utile ni transfert thermique échangés dans la vanne de détente.

Quelle est alors la relation entre T ₁ et T ₄ ?

9. On considère que le mélange isobare de S ₁ et S ₂ est suffisamment rapide pour que le système global {S ₁ , S ₂ } soit isolé pendant l’homogénéisation. En déduire l’expression de T _a en fonction de T ₃ , T ₄ , et x 1 = n 1 /n.

10. Représenter schématiquement, dans un diagramme de Clapeyron (plan (p, v)), le trajet parcouru

par les systèmes S ₁ d’une part et S ₂ d’autre part, dans le cas où l’avion est en altitude. On ne

cherchera pas à respecter les échelles. On indiquera bien les états e, 1, 2, 3, 4 et a, et on précisera le type de transformation pour chaque portion.

Donner simplement l’allure de ce diagramme dans le cas où l’avion est au sol.

11. On définit un coefficient de transfert r pour l’échangeur r = T 1 − T 2

T ₁ − T _e

Expliquer pourquoi on ne peut pas envisager que r soit négatif ou plus grand que 1.

12. Montrer que finalement la puissance utile s’exprime selon

P _u = d _n C _{p m} [r x ₁ (T ₁ − T _e ) + T _a − T _e ] , où T ₁ est connu si x ₁ et r le sont aussi.

13. On considère que le réglage de la machine pour une condition de vol donnée consiste à fixer les valeurs de x 1 et r. Dans les deux figures ci-dessous, on présente l’évolution de T 1 et P _u pour un avion en altitude, en fonction de x 1 , et pour des valeurs de r croissantes de 0 à 1 (l’épaisseur de la courbe est d’autant plus grande que r est grand).

a) Expliquer physiquement (et succinctement) les évolutions de T ₁ et P _u avec x ₁ d’une part (pour r fixé), et avec r d’autre part (pour x ₁ fixé).

b) Quelle valeur de r a-t-on intérêt choisir à cette altitude ?

* * * Fin de l’épreuve * * *

(pensez à rendre votre annexe avec votre NOM et Prénom)

ANNEXE : Diagramme enthalpique du R134a (à rendre avec la copie)

NOM Prénom :