Dégradation d'un système dynamique : modélisation dans le plan complexe

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Tran Minh Hao La, Khac Tuan Huynh, Yves Langeron, Antoine Grall

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Tran Minh Hao La, Khac Tuan Huynh, Yves Langeron, Antoine Grall. Dégradation d’un système dynamique : modélisation dans le plan complexe. Congrès Lambda Mu 21 “ Maîtrise des risques et transformation numérique : opportunités et menaces ”, Oct 2018, Reims, France. �hal-02075336�

DÉGRADATION D’UN SYSTÈME DYNAMIQUE: MODÉLISATION DANS LE PLAN COMPLEXE

DEGRADATION OF A DYNAMIC SYSTEM: MODELLING IN THE S-PLANE

LA T.M.H., HUYNH K.T., LANGERON Y. et GRALL A.

ICD, ROSAS, LM2S, Université de Technologie de Troyes, UMR 6281, CNRS Résumé

Cet article s’inscrit dans le cadre général du pronostic de durée de vie d’un système dynamique présentant des dégradations graduelles au cours de temps. Nous nous intéressons à représenter les évolutions de dégradations d’un tel système par le biais du suivi des pôles de la fonction de transfert dans le plan complexe et à évaluer la pertinence d’une modélisation de leurs trajectoires par processus stochastique. La distance de l’emplacement des pôles dans le plan complexe par rapport à leur emplacement initial est donc définie comme un indicateur de dégradation du système. Nous cherchons ensuite à traduire l’évolution de cet indicateur par un processus stochastique Gamma étendu. Enfin, la durée de vie résiduelle du système sera utilisée comme un critère pour valider le modèle de dégradation proposé.

Summary

This paper contributes to the general framework of lifetime prognosis for a dynamic system subject to gradual degradation over time. We aim at studying the degradation behavior of such a system from the evolution of the system pole in the s-plane, thence proposing a relevant stochastic process-based degradation model for lifetime prognosis purpose. To this end, we first define the distance between a poles location at a given time and its initial location as a system degradation indicator. Then, the evolution of this degradation indicator is fitted by an extended gamma process. Finally, we use the system remaining useful life as a criterion to validate the proposed degradation model.

1. Introduction

Cet article se place dans le cadre général d’un système industriel se détériorant de façon graduelle. Un tel système est généralement composé de plusieurs éléments avec des dépendances structurelles, stochastiques et économiques (Huynh et al., 2015). Nous faisons l’hypothèse que chacun de ces composants se détériore de manière stochastique due à l’usure, l’âge ou l’utilisation qui est faite du système. Nous prenons le parti d’une modélisation stochastique de la dégradation, car elle permet de prendre en compte diverses incertitudes propres au système et ainsi de garantir une indépendance vis-à-vis d’exigences technologiques et expérimentales (Sobczyket al., 2012).

Les processus de dégradation sous-jacents des composants pouvant être de nature différente ne sont pas observables ni mesurables. Pour cette raison, cet article met l’accent sur la modélisation de la dégradation du système en prenant en compte les impacts de leur détérioration sur sa performance. A ce titre, il est fait l’hypothèse que la dynamique du système est décrite avec une équation différentielle du second ordre dont les coefficients varient de manière aléatoire. La variation des coefficients est corrélée aux phénomènes de dégradation sous-jacents. Cette hypothèse est souvent vérifiée pour un système industriel à l’image du comportement dynamique d’un moteur électrique, d’un vérin pneumatique, d’une vanne.

A partir de la réponse du système lorsqu’il est sollicité à des moments spécifiques, la perte de performance est mesurée en inférant la position de ses pôles dans le plan complexe. D’après (Huynh et al., 2017), l’emplacement de ces pôles dans le plan complexe peut présenter toute l’information concernant la dégradation globale du système ceci quel que soit le nombre de ses composants dégradés. Donc, l’extraction d’un indicateur de dégradation en regardant l’emplacement des pôles dans le plan complexe est possible pour caractériser la dégradation globale du système. Un nouvel indicateur de dégradation est alors proposé comme la distance entre l’emplacement des pôles et leur emplacement original. Cet indicateur univarié est ensuite modélisé par un processus stochastique. La durée de vie résiduelle (RUL) du système peut être déterminée en se basant sur la prédiction de l’évolution de cet indicateur. En effet, la RUL à instant donné 𝑡𝑡 est définie comme la

durée restante pour attendre un seuil critique 𝐿𝐿 à partir duquel le système ne remplit plus sa mission.

Cet article est articulé de la façon suivante. Dans un premier temps, le cas d’étude est présenté. Il s’agit d’un système mécanique classique de type oscillateur amorti composé des trois éléments masse-ressort-amortisseur.

Ces derniers sont supposés se détériorer de manière graduelle. Pour cela, différents processus Gamma homogènes sont choisis pour modéliser ces phénomènes de dégradation sous-jacents. Puis, l’indicateur de dégradation proposé pour le système est détaillé ainsi que sa modélisation à l’aide d’un processus de Gamma étendu (EGP). Un accent est mis sur l’estimation de ses paramètres en s’appuyant sur la méthode des moments généralisés (GMM). Ensuite, la fonction génératrice des moments pour le processus choisi nous permet d’écrire analytiquement la fiabilité conditionnelle du système sachant un niveau de détérioration donné. Des essais numériques confrontant la fiabilité conditionnelle ainsi obtenue à des simulations de Monte Carlo illustrent la bonne adéquation du processus EGP pour le problème considéré. Cet article se termine avec quelques perspectives notamment avec la mise en place de politiques de maintenance conditionnelle pour un système industriel du deuxième ordre.

2. Système étudié

Masse-Ressort-Amortisseur est un système mécanique le plus étudié dans le domaine contrôle-commande. Il est composé d’un ressort de traction de raideur 𝐾𝐾, d’un l’amortisseur visqueux de traction de coefficient d’amortissement 𝐶𝐶, et d’une masse 𝑀𝑀. Ces composants et sont connectés comme dans Figure 1

Figure 1. Système Masse-Ressort-Amortisseur

L’entrée du système est une force extérieure 𝐹𝐹(𝑡𝑡) entraînant le système en translation, alors que la sortie est le déplacement 𝑦𝑦(𝑡𝑡) de la masse par rapport à sa position d’équilibre. L’application du principe fondamental de la dynamique permet d’obtenir une équation différentielle du second ordre à coefficients constants, avec second membre :

𝑀𝑀^𝑑𝑑_{𝑑𝑑(𝑡𝑡)}^{2𝑦𝑦(𝑡𝑡)}+𝐶𝐶^{𝑑𝑑𝑦𝑦(𝑡𝑡)}_{𝑑𝑑(𝑡𝑡)}+𝐾𝐾𝑦𝑦(𝑡𝑡) =𝐹𝐹(𝑡𝑡) {1}

Appliquant la transformée Laplace à {1}, on en déduit la fonction de transfert :

𝐻𝐻(𝑝𝑝) =𝑌𝑌(𝑝𝑝)

𝐹𝐹(𝑝𝑝) = 1

𝑀𝑀𝑝𝑝²+𝐶𝐶𝑝𝑝+𝐾𝐾 {2}

Les pôles du système sont les racines de l’équation caractéristique du second degré 𝑀𝑀𝑝𝑝²+𝐶𝐶𝑝𝑝+𝐾𝐾= 0, soient,

𝑝𝑝1,2=−𝐶𝐶±√𝐶𝐶²−4𝑀𝑀𝐾𝐾

2𝑀𝑀 {3}

Lorsque 𝐶𝐶²−4𝑀𝑀𝐾𝐾< 0, les pôles deviennent complexes conjugués dont la partie réelle et la partie imaginaire sont respectivement :

⎩⎨

⎧ 𝑃𝑃𝑟𝑟=−𝐶𝐶 2𝑀𝑀 𝑃𝑃𝑖𝑖= ±√4𝑀𝑀𝐾𝐾 − 𝐶𝐶²

2𝑀𝑀

{4}

3. Modélisation des sources de dégradation

Plusieurs systèmes dynamiques sont soumis à des défaillances aléatoires dues à des phénomènes de dégradation continue. Sous l’effet de tels phénomènes, le système passe de l’état neuf à l’état panne en transitant par l’infinité d’états intermédiaires. Déterminer et modéliser des sources de dégradation sont donc très importants pour caractériser le système. Pour le système Masse- Ressort-Amortisseur considéré, la perte de raideur 𝐾𝐾 du ressort et la perte d’amortissement 𝐶𝐶 sont les sources principales de la dégradation du système.

De manière classique, on pourrait utiliser des processus stochastiques pour modéliser l’évolution de 𝐾𝐾(𝑡𝑡) et 𝐶𝐶(𝑡𝑡) en fonction de temps. Dans cet article, le processus Gamma homogène ordinaire {𝑋𝑋(𝑡𝑡)}𝑡𝑡≥0 de paramètre de la forme 𝛼𝛼> 0 et de paramètre d’échelle 𝛽𝛽> 0 est utilisé.

Un tel processus stochastique est défini comme suit (Van Noortwijk, 2009):

• 𝑋𝑋(0) = 0

• Les incréments de {𝑋𝑋(𝑡𝑡)}_𝑡𝑡≥0 sont stationnaires et indépendants

• Pour tout 0≤ 𝑠𝑠 ≤ 𝑡𝑡 , la variable aléatoire 𝑋𝑋(𝑡𝑡)− 𝑋𝑋(𝑠𝑠) suit une loi Gamma de paramètre 𝛼𝛼(𝑡𝑡 − 𝑠𝑠) et 𝛽𝛽 et de densité de probabilité : 𝑓𝑓𝛼𝛼(𝑡𝑡−𝑠𝑠),𝛽𝛽(𝑢𝑢) =Γ(𝛼𝛼(𝑡𝑡−𝑠𝑠))¹ 𝛽𝛽^{𝛼𝛼(𝑡𝑡−𝑠𝑠)}𝑢𝑢𝛼𝛼(𝑡𝑡−𝑠𝑠)−1𝑒𝑒^{−𝛽𝛽𝛽𝛽} {5}

où 𝑢𝑢 ≥0, et

Γ(𝑦𝑦) =∫ 𝑢𝑢₀^{∞ 𝑦𝑦−1}𝑒𝑒^−𝛽𝛽𝑑𝑑𝑢𝑢 pour 𝑦𝑦> 0 est la fonction Gamma complète.{𝑋𝑋(𝑡𝑡)}𝑡𝑡≥0est donc un processus monotone croissant. Les différentes valeurs de paramètres 𝛼𝛼 et 𝛽𝛽 permettant de modéliser le comportement de {𝑋𝑋(𝑡𝑡)}_𝑡𝑡≥0 de quasiment déterministe jusqu’à très chaotique. En effet, la moyenne et la variance par unité de temps de 𝑋𝑋(𝑡𝑡) sont respectivement calculés par 𝑚𝑚=^𝛼𝛼_𝛽𝛽 et 𝜎𝜎²=_𝛽𝛽^𝛼𝛼2 .

La raideur du ressort et le coefficient d’amortissement de l’amortisseur sont décroissants en temps. En appliquant le processus Gamma homogène ordinaire pour traduire l’évolution de ces grandeurs, leurs valeurs à un instant 𝑡𝑡 s’expriment par :

• 𝐾𝐾(𝑡𝑡) =𝐾𝐾0− 𝑋𝑋𝐾𝐾(𝑡𝑡) , ∀𝑡𝑡 ≥0

• 𝐶𝐶(𝑡𝑡) =𝐶𝐶0− 𝑋𝑋𝐶𝐶(𝑡𝑡) , ∀𝑡𝑡 ≥0

où {𝑋𝑋_𝐾𝐾(𝑡𝑡)}𝑡𝑡≥0 et {𝑋𝑋_𝐶𝐶(𝑡𝑡)} sont respectivement les processus Gamma homogène de paramètres (𝛼𝛼_𝐾𝐾,𝛽𝛽𝐾𝐾) et (𝛼𝛼_𝐶𝐶,𝛽𝛽𝐶𝐶).

4. De la dynamique de comportement à l’indicateur de dégradation du

système

On suppose que seule la dynamique de comportement du système est surveillée et qu’aucune information directe sur la dégradation de composants n’est disponible. Pour obtenir de telles informations, nous sollicitons le système à chaque période 𝑇𝑇 par un échelon unité pendant une durée ∆𝑇𝑇, et nous enregistrons la réponse indicielle associée. L’ensemble de ces sollicitations-réponses forme une base de données de surveillance. A partir des données de surveillance, nous nous intéressons à la synthèse d’un indicateur de dégradation du système considéré dans le plan complexe. Pour cela, nous cherchons à construire tout d’abord l’emplacement des pôles du système à partir de son comportement dynamique et nous étudions ensuite leur évolution dans le plan complexe.

Comme dans (Huynh et al., 2017), nous appliquons l’algorithme appelé PEM (prediction error minimization) pour estimer les coefficients de la fonction de transfert du système. Ces coefficients sont ensuite utilisés pour déterminer l’emplacement des pôles. Nous trouvons qu’au fil du temps, les pôles du système s’évoluent vers la droite, en base du plan complexe loin de leur emplacement initial (voir Figure 2). Cette tendance d’évolution rend les performances du système dégénéré dans le sens où les caractéristiques du système sont de plus en plus différentes de celles de la conception. Ainsi nous pourrons définir la distance d’un pôle à un instant 𝑡𝑡 par rapport à son emplacement initial comme un indicateur de dégradation du système dans le plan complexe.

Figure 2. Emplacement des pôles dans le plan complexe Figure 2 représente l’emplacement des pôles quand les paramètres (𝛼𝛼_𝐾𝐾,𝛽𝛽𝐾𝐾) = (𝛼𝛼𝐶𝐶,𝛽𝛽𝐶𝐶) = (0.4,0.3) et 𝐾𝐾0=𝐶𝐶0= 𝑀𝑀0= 400 sont utilisés

Mathématiquement, cet indicateur s’exprime par :

𝐷𝐷(𝑡𝑡) =�(𝑃𝑃_𝑟𝑟(𝑡𝑡)− 𝑃𝑃𝑟𝑟(0))²+ (𝑃𝑃𝑖𝑖(𝑡𝑡)− 𝑃𝑃𝑖𝑖(0))² {6}

où �𝑃𝑃_𝑟𝑟(0),𝑃𝑃𝑖𝑖(0)� et �𝑃𝑃𝑟𝑟(𝑡𝑡),𝑃𝑃𝑖𝑖(𝑡𝑡)� sont respectivement les coordonnées du pôle initial et celui à un instant 𝑡𝑡.

-0.5 -0.45 -0.4 -0.35

Pr(t) 0.74

0.76 0.78 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88

Pi(t)

5. Modélisation de la dégradation par le processus Gamma étendu

Dans cette section, nous nous intéressons à modéliser l’évolution de la dégradation du système Masse-Ressort- Amortisseur par un processus stochastique. Plusieurs études préliminaires sur des trajectoires de dégradation du système montrent que leur rapport variance sur moyenne varie en temps. Le processus Gamma ordinaire utilisé précédemment est donc inadapté pour décrire cette dégradation, car son rapport variance sur moyenne est toujours fixé. Le processus Gamma étendu (EGP) introduit par (Çinlar, 1980) s’avère un bon candidat car il ne souffre pas de cette restriction. En effet, celui-ci est un processus stochastique non décroissant à accroissements indépendants, dont les paramètres de forme 𝐴𝐴(𝑡𝑡) et d’échelle 𝑏𝑏(𝑡𝑡) dépendent du temps 𝑡𝑡 (Al Masry et al., 2017). Etant donnée les paramètres de la forme 𝐴𝐴(𝑡𝑡) et d’échelle 𝑏𝑏(𝑡𝑡), ce processus peut être construit comme une intégrale stochastique par rapport à un processus Gamma ordinaire 𝑌𝑌~Γ(𝐴𝐴(𝑡𝑡), 1).

𝐷𝐷(𝑡𝑡) =�𝑑𝑑𝑌𝑌(𝑠𝑠) 𝑏𝑏(𝑠𝑠)

𝑡𝑡

0 ≈ �∆𝑌𝑌(𝑙𝑙)

𝑏𝑏(𝑙𝑙) ,𝑡𝑡 ≥0

𝑙𝑙≤𝑡𝑡

{7}

où la deuxième égalité est basée sur la structure de sauts de 𝑌𝑌(𝑡𝑡). Si 𝑏𝑏(𝑡𝑡) =𝑏𝑏0 , le processus Gamma étendu devient celui ordinaire. Le premier est donc plus flexible que le dernier. Les formes différentes de 𝐴𝐴(𝑡𝑡) et 𝑏𝑏(𝑡𝑡) permettent de modéliser les comportements de dégradation très divers, de quasiment déterministes à très chaotiques. La moyenne et la variance d’un processus Gamma étendu sont présentées par :

• 𝐸𝐸(𝐷𝐷(𝑡𝑡)) =∫₀^{𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠)}_{𝑏𝑏(𝑠𝑠)} ,𝑡𝑡 ≥0

• 𝑉𝑉(𝐷𝐷(𝑡𝑡)) =∫ ^{𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠)}_𝑏𝑏2(𝑠𝑠) 𝑡𝑡

0 ,𝑡𝑡 ≥0

Les deux paramètres 𝐴𝐴(𝑡𝑡)et 𝑏𝑏(𝑡𝑡) peuvent être estimés à partir des incréments de dégradation de 𝑁𝑁 trajectoires {𝐷𝐷(𝑡𝑡)} 𝑡𝑡≥0. Parmi les méthodes d’estimation existantes dans la littérature, la méthode des moments généralisés (GMM) est celle la plus adéquate. Nous supposons que𝑁𝑁 trajectoires observées {𝐷𝐷(𝑡𝑡)}𝑡𝑡≥0𝑛𝑛 ,𝑛𝑛= 1,2 …𝑁𝑁 sont disponibles, et 𝑡𝑡0= 0 <𝑡𝑡1<⋯<𝑡𝑡𝑑𝑑=𝑇𝑇 sont les instants des observations. Ainsi, 𝑑𝑑 incréments de la dégradation sont disponibles pour chaque trajectoire. Nous considérons que les 𝑁𝑁 trajectoires {𝐷𝐷(𝑡𝑡)}_𝑡𝑡≥0^𝑛𝑛 ,𝑛𝑛= 1,2, . . .𝑁𝑁 sont soumis à un même EGP Γ(𝐴𝐴(𝑡𝑡,𝜃𝜃),𝑏𝑏(𝑡𝑡,𝜃𝜃)), où 𝜃𝜃 ∈ Θ est un vecteur des paramètres inconnu de taille 𝑝𝑝 et 𝜃𝜃₀ est la « vraie » valeur du paramètre 𝜃𝜃.

Nous notons : 𝑊𝑊𝑛𝑛𝑖𝑖=𝐷𝐷(𝑡𝑡_𝑖𝑖)− 𝐷𝐷(𝑡𝑡_𝑖𝑖−1),𝑖𝑖= 1. . .𝑑𝑑, le 𝑖𝑖^{è𝑚𝑚𝑚𝑚} incrément entre les deux instants des observations 𝑡𝑡_𝑖𝑖 et 𝑡𝑡𝑖𝑖+1. Nous obtenons alors 𝑊𝑊𝑛𝑛= {𝑊𝑊𝑛𝑛1, … ,𝑊𝑊𝑛𝑛𝑑𝑑},𝑛𝑛= 1 …𝑁𝑁 sont les vecteurs des variables aléatoires indépendants et identiquement distribués. Par la suite, nous définissons un vecteur de fonctions de critère en prenant en compte les paramètres à estimer et les données: 𝑓𝑓(𝑤𝑤,𝜃𝜃) =

�𝑓𝑓^𝑖𝑖(𝑤𝑤^𝑖𝑖,𝜃𝜃)�

1≤𝑖𝑖≤𝑑𝑑 tel que 𝑓𝑓 :ℝ^𝑑𝑑×ℝ^𝑝𝑝→ ℝ^𝑞𝑞(𝑞𝑞>𝑝𝑝).

Les restrictions sur les moments s’expriment par :

Ε[𝑓𝑓(𝑊𝑊,𝜃𝜃0)] = 0 {8}

La condition des moments donnée par l’équation {8}

permet d’identifier 𝜃𝜃₀ .

Dans le cas de notre EGP, 𝑓𝑓(𝑤𝑤,𝜃𝜃) s’exprime par : 𝑓𝑓(𝑤𝑤,𝜃𝜃) =� 𝑤𝑤^𝑖𝑖− 𝑚𝑚^𝑖𝑖(𝜃𝜃)

(𝑤𝑤^𝑖𝑖− 𝑚𝑚^𝑖𝑖(𝜃𝜃))²− 𝑣𝑣^𝑖𝑖(𝜃𝜃)�

1≤𝑖𝑖≤𝑑𝑑

{9}

où

𝑚𝑚^𝑖𝑖(𝜃𝜃) =� 𝑎𝑎(𝑠𝑠,𝜃𝜃)𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑏𝑏(𝑠𝑠)

𝑡𝑡𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑖𝑖−1

𝑣𝑣^𝑖𝑖(𝜃𝜃) =� 𝑎𝑎(𝑠𝑠,𝜃𝜃)𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑏𝑏²(𝑠𝑠)

𝑡𝑡_𝑖𝑖

𝑡𝑡𝑖𝑖−1

La condition des moments correspondante sur l’échantillon pour la valeur 𝜃𝜃₀ est : 𝑔𝑔�_𝑁𝑁(𝜃𝜃0) = 0. {10}

Avec 𝑔𝑔�_𝑁𝑁(𝜃𝜃) =_𝑁𝑁¹∑^𝑁𝑁𝑛𝑛=1𝑓𝑓(𝑊𝑊𝑛𝑛,𝜃𝜃) Lorsque 𝑁𝑁 → ∞ , 𝑔𝑔�𝑁𝑁(𝜃𝜃) tend vers 𝐸𝐸[𝑓𝑓(𝑊𝑊,𝜃𝜃)] selon la loi des grands nombres.

A partir de {9} et {10}, nous avons :

𝑔𝑔�𝑁𝑁(𝜃𝜃) =�

1

𝑁𝑁∑^𝑁𝑁𝑛𝑛=1[𝑊𝑊𝑛𝑛𝑖𝑖− 𝑚𝑚^𝑖𝑖(𝜃𝜃)]

1

𝑁𝑁∑^𝑁𝑁𝑛𝑛=1[(𝑊𝑊𝑛𝑛𝑖𝑖− 𝑚𝑚^𝑖𝑖(𝜃𝜃))²− 𝑣𝑣^𝑖𝑖(𝜃𝜃)]

�

1≤𝑖𝑖≤𝑑𝑑

=�𝑚𝑚�^𝑖𝑖− −𝑚𝑚^𝑖𝑖(𝜃𝜃) 𝑣𝑣�^𝑖𝑖(𝜃𝜃)− 𝑣𝑣^𝑖𝑖(𝜃𝜃)�

1≤𝑖𝑖≤𝑑𝑑

où 𝑚𝑚�^𝑖𝑖=1

𝑁𝑁� 𝑊𝑊𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑁𝑁

𝑛𝑛=1

𝑣𝑣�^𝑖𝑖(𝜃𝜃) =1

𝑁𝑁�(𝑊𝑊𝑛𝑛𝑖𝑖−

𝑁𝑁 𝑛𝑛=1

𝑚𝑚^𝑖𝑖(𝜃𝜃))²

Une valeur estimée 𝜃𝜃� est celle de 𝜃𝜃 qui rend la valeur de 𝑔𝑔�𝑁𝑁 aussi proche que possible de zéro. Cette valeur 𝜃𝜃� est alors déterminée par la minimisation d’une forme quadratique du type :

𝑄𝑄𝑁𝑁(𝜃𝜃) =𝑔𝑔�𝑁𝑁(𝜃𝜃)^𝑇𝑇𝑃𝑃𝑁𝑁 𝑔𝑔�𝑁𝑁(𝜃𝜃),𝜃𝜃 ∈ Θ

Un estimateur de 𝜃𝜃 par la méthode GMM est obtenu par : 𝜃𝜃�𝑁𝑁=𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑄𝑄𝑁𝑁(𝜃𝜃),𝜃𝜃 ∈ Θ {11}

(𝑃𝑃𝑁𝑁) est une suite des matrices de taille 𝑞𝑞×𝑞𝑞 définies semi-positives qui convergent en probabilité vers une matrice définie positive constant 𝑃𝑃. Cette matrice est encore appelée matrice de poids. L’estimation de 𝜃𝜃 dépend de le choix de la matrice 𝑃𝑃_𝑁𝑁. Les résultats dans (Hansen, 1982), montrent que, asymptotiquement, l’estimateur optimal est obtenu lorsque 𝑃𝑃_𝑁𝑁= (𝑆𝑆̂𝑁𝑁)⁻¹ où la matrice 𝑆𝑆̂𝑁𝑁est déterminée par :

𝑆𝑆̂_𝑁𝑁=_𝑁𝑁¹∑^𝑁𝑁𝑛𝑛=1𝑓𝑓(𝑊𝑊𝑛𝑛,𝜃𝜃�𝑁𝑁)𝑓𝑓(𝑊𝑊𝑛𝑛,𝜃𝜃�𝑁𝑁)^𝑇𝑇

Une procédure pour l’estimation GMM est réalisée en deux étapes principales :

• Nous prenons 𝑃𝑃_𝑁𝑁=𝐼𝐼 (la matrice identité) ou une autre matrice définie positive et nous calculons l’estimation préliminaire de 𝜃𝜃 :

𝜃𝜃�𝑁𝑁1

=𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛𝑄𝑄𝑁𝑁(𝜃𝜃) ,𝜃𝜃 ∈ Θ

• Nous déterminons une estimation de la matrice 𝑆𝑆̂𝑁𝑁 basée sur l’estimation préliminaire 𝜃𝜃�_𝑁𝑁¹ :

𝑆𝑆̂𝑁𝑁1

=1

𝑁𝑁� 𝑓𝑓(𝑊𝑊𝑛𝑛,𝜃𝜃�𝑁𝑁1

)𝑓𝑓(𝑊𝑊𝑛𝑛,𝜃𝜃�𝑁𝑁1

)^𝑇𝑇

𝑁𝑁

Puis, une estimation de 𝜃𝜃 est calculée par 𝑛𝑛=1

𝜃𝜃�𝑁𝑁2

=𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛𝑔𝑔�𝑁𝑁(𝜃𝜃)^𝑇𝑇(𝑆𝑆̂𝑁𝑁1

)^−𝟏𝟏 𝑔𝑔�𝑁𝑁(𝜃𝜃) 𝑎𝑎𝑣𝑣𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜃𝜃 ∈ Θ Par la suite, nous utilisons l’estimateur 𝜃𝜃�𝑁𝑁2

pour mettre à jour la matrice 𝑆𝑆̂𝑁𝑁 afin donner une estimation 𝜃𝜃�_𝑁𝑁³. Nous répétons ces deux étapes jusqu’à ce qu’un certain critère convergence comme la matrice de poids où l’estimation de 𝜃𝜃 soit satisfait.

𝜃𝜃�_𝑁𝑁^𝑖𝑖+1=𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 �𝑔𝑔�𝑁𝑁(𝜃𝜃)(𝑆𝑆̂𝑁𝑁𝑖𝑖

)^−𝟏𝟏 𝑔𝑔�𝑁𝑁(𝜃𝜃) � 𝑎𝑎𝑣𝑣𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜃𝜃 ∈ Θ

6. Pronostic du système

Le pronostic permet de prédire la probabilité de défaillance d’un système tout au long de sa vie utile (période de fonctionnement). Comme la dégradation 𝐷𝐷(𝑡𝑡) du système est monotone croissante, on peut définir un seuil de dégradation 𝐿𝐿 pour laquelle le système est considéré être en panne dès que 𝐷𝐷(𝑡𝑡)≥ 𝐿𝐿. Soit 𝑇𝑇_𝐿𝐿 la date de panne du système, elle s’exprime par:

𝑇𝑇𝐿𝐿= inf {𝑡𝑡: 𝐷𝐷(𝑡𝑡)≥ 𝐿𝐿} {12}

Le pronostic d’un système vise souvent à estimer sa durée de vie résiduelle. Selon de contextes différents, plusieurs variants de de la 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿 sont utilisés. Ici, nous proposons définir la 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿 comme la durée restante avant que la dégradation du système atteint le seuil de panne 𝐿𝐿, et nous visons à déterminer sa loi de probabilité. Une telle loi est en participer signifiante pour la prise de décision en maintenance prévisionnelle (Khoury, 2012) et en reconfiguration d’une loi de commande automatique (Langeron et al., 2015).

Ainsi, la 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿 du système à une date 𝑡𝑡 s’exprime par : 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿(𝑡𝑡) =𝑇𝑇𝐿𝐿− 𝑡𝑡 {13}

La fonction de survie de 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿(𝑡𝑡) s’exprime par : 𝑃𝑃(𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿(𝑡𝑡) >𝑥𝑥) =𝑃𝑃(𝑇𝑇𝐿𝐿>𝑡𝑡+𝑥𝑥|𝐷𝐷(𝑡𝑡) =𝑑𝑑) =𝑃𝑃(𝐷𝐷(𝑡𝑡+𝑥𝑥) <𝐿𝐿|𝐷𝐷(𝑡𝑡) =𝑑𝑑)

=𝑃𝑃(𝐷𝐷(𝑡𝑡+𝑥𝑥)− 𝐷𝐷(𝑡𝑡) <𝐿𝐿 − 𝑑𝑑|𝐷𝐷(𝑡𝑡) =𝑑𝑑) =𝑃𝑃(𝐷𝐷(𝑡𝑡+𝑥𝑥)− 𝐷𝐷(𝑡𝑡) <𝐿𝐿 − 𝑑𝑑)

=𝐹𝐹𝐷𝐷𝑡𝑡+𝑥𝑥−𝐷𝐷𝑡𝑡(𝐿𝐿 − 𝑑𝑑) {14}

Selon {14}, le calcul de la fonction de survie de 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿 à la date 𝑡𝑡 revient à calculer la fiabilité conditionnelle du système à la date 𝑡𝑡+𝑥𝑥. Par la suite, nous cherchons à calculer la fonction de répartition 𝐹𝐹𝐷𝐷_{𝑡𝑡+𝑥𝑥}−𝐷𝐷_𝑡𝑡(𝐿𝐿 − 𝑑𝑑) de la variable aléatoire 𝐷𝐷(𝑡𝑡+𝑥𝑥)− 𝐷𝐷(𝑡𝑡) où 𝐷𝐷(𝑡𝑡)~Γ(𝐴𝐴(𝑡𝑡),𝑏𝑏(𝑡𝑡)). Selon la formule {7}, nous avons :

𝐷𝐷(𝑡𝑡+𝑥𝑥)− 𝐷𝐷(𝑡𝑡) =� 𝑑𝑑𝑌𝑌(𝑠𝑠)

𝑏𝑏(𝑠𝑠) ~Γ(𝐴𝐴(𝑡𝑡+𝑥𝑥)− 𝐴𝐴(𝑡𝑡),𝑏𝑏(𝑡𝑡+𝑥𝑥))

𝑡𝑡+𝑥𝑥 𝑡𝑡

L’approximation de 𝐹𝐹𝐷𝐷𝑡𝑡+𝑥𝑥−𝐷𝐷𝑡𝑡(𝐿𝐿 − 𝑑𝑑) peut être obtenue par l’utilisation de la fonction génératrice des moments. Pour appliquer cette méthode, il faut d’abord présenter 𝐷𝐷(𝑡𝑡+

𝑥𝑥)− 𝐷𝐷(𝑡𝑡) par la somme des variables aléatoires

indépendantes ∑ 𝑍𝑍𝑁𝑁 𝑖𝑖

1 avec 𝑍𝑍𝑖𝑖~Γ(𝛼𝛼𝑖𝑖,𝛽𝛽𝑖𝑖),𝑖𝑖= 1 …𝑁𝑁. Un processus EGP est considéré comme la somme des processus Gamma ordinaire si son paramètre d’échelle 𝑏𝑏(𝑡𝑡) est constant par morceaux. Ainsi, pour obtenir les paramètres de 𝑍𝑍𝑖𝑖,𝑖𝑖= 1 …𝑁𝑁, nous utilisons une technique offrant de présenter un processus EGP avec le paramètre d’échelle général par celui de paramètre d’échelle constant par morceaux.

Dans ce cas, il faut discrétiser le paramètre 𝑏𝑏(𝑡𝑡) pendant [𝑡𝑡,𝑡𝑡+𝑥𝑥] afin d’obtenir un nouvel paramètre 𝑏𝑏^𝜀𝜀(𝑡𝑡) constant par morceaux dans cet intervalle. La procédure pour la construction des variables 𝑍𝑍_𝑖𝑖 est alors réalisée par : Soit 𝜖𝜖> 0, 𝑏𝑏^𝜀𝜀(. )est déterminé par :

∀𝑠𝑠𝜖𝜖[𝑡𝑡,𝑡𝑡+𝑥𝑥], 1

𝑏𝑏^𝜖𝜖(. ) =�1 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑁𝑁(𝜖𝜖)

𝑖𝑖=1

𝑓𝑓[𝑙𝑙𝑖𝑖,𝑙𝑙𝑖𝑖+1](𝑠𝑠) (𝑓𝑓_{[𝑎𝑎,𝑏𝑏]}(𝑠𝑠) = 1 si 𝑠𝑠 ∈[𝑎𝑎,𝑏𝑏]. Sinon, 𝑓𝑓_{[𝑎𝑎,𝑏𝑏]}(𝑠𝑠) = 0) tel que 𝑙𝑙𝑁𝑁(𝜖𝜖)≤ 𝑡𝑡+𝑥𝑥<𝑙𝑙𝑁𝑁(𝜖𝜖)+1 et 𝑙𝑙0=𝑡𝑡.

Pour 𝑖𝑖= 1,2, … ,𝑁𝑁(𝜖𝜖) + 1, les valeurs 𝑙𝑙_𝑖𝑖 sont calculées : 𝑙𝑙𝑖𝑖+1= sup {𝑙𝑙𝜖𝜖(𝑙𝑙𝑖𝑖,𝑡𝑡+𝑥𝑥]:∀𝑙𝑙^′∈[𝑙𝑙𝑖𝑖,𝑙𝑙],� 1

𝑏𝑏(𝑙𝑙𝑖𝑖)− 1 𝑏𝑏(𝑙𝑙^′)�<𝜖𝜖}

Puis, les 𝑏𝑏_𝑖𝑖,𝑖𝑖= 1,2, … ,𝑁𝑁(𝜖𝜖) sont déterminées par :

∀𝑖𝑖= 1,2, … ,𝑁𝑁(𝜖𝜖)−1: 1 𝑏𝑏𝑖𝑖= 1

𝑙𝑙𝑖𝑖+1− 𝑙𝑙𝑖𝑖� 1 𝑏𝑏(𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑠𝑠

𝑙𝑙𝑖𝑖+1

𝑙𝑙_𝑖𝑖

avec 𝑖𝑖=𝑁𝑁(𝜖𝜖), on a :

1

𝑏𝑏𝑁𝑁(𝜖𝜖)= 1

𝑡𝑡+𝑥𝑥 − 𝑙𝑙𝑁𝑁(𝜖𝜖)� 1 𝑏𝑏(𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑠𝑠

𝑡𝑡+𝑥𝑥

𝑙𝑙𝑁𝑁(𝜖𝜖)

Finalement, les paramètres des variables 𝑍𝑍𝑖𝑖 sont :𝛼𝛼𝑖𝑖= 𝐴𝐴(𝑙𝑙𝑖𝑖+1)− 𝐴𝐴(𝑙𝑙𝑖𝑖) et 𝛽𝛽_𝑖𝑖=𝑏𝑏𝑖𝑖 avec 𝑖𝑖= 1. .𝑁𝑁. La qualité de cette approximation dépend du choix de 𝜖𝜖.

Nous pouvons présenter 𝑌𝑌=𝐷𝐷(𝑡𝑡+𝑥𝑥)− 𝐷𝐷(𝑡𝑡) = ∑ 𝑍𝑍𝑁𝑁 𝑖𝑖 𝑖𝑖 . La fonction génératrice des moments de la variable 𝑌𝑌 est définie par : 𝑀𝑀𝑌𝑌(𝑠𝑠) =𝐸𝐸(exp(𝑠𝑠𝑦𝑦)). Car 𝑍𝑍𝑖𝑖,𝑖𝑖= 1. .𝑁𝑁 sont indépendantes, 𝑀𝑀_𝑌𝑌(𝑠𝑠) est écrite sous la forme :

𝑀𝑀𝑌𝑌(𝑠𝑠) =� �exp (𝑠𝑠𝑧𝑧𝑖𝑖)𝑓𝑓𝑍𝑍𝑖𝑖(𝑧𝑧𝑖𝑖)𝑑𝑑𝑧𝑧𝑖𝑖

∞ 0

=� 𝑀𝑀𝑧𝑧𝑖𝑖(𝑠𝑠)

𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

Soit 𝑍𝑍𝑖𝑖~Γ(𝛼𝛼_𝑖𝑖,𝛽𝛽𝑖𝑖),𝑖𝑖= 1. .𝑁𝑁, la fonction génératrice des moments d’une variable aléatoire 𝑍𝑍_𝑖𝑖 s’exprime par:

𝑀𝑀𝑍𝑍𝑖𝑖(𝑠𝑠) = (1− 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑠𝑠)^{−𝛼𝛼𝑖𝑖},𝑖𝑖= 1. .𝑁𝑁 Finalement, nous avons : 𝑀𝑀_𝑌𝑌(𝑠𝑠) =∏^𝑁𝑁𝑖𝑖=1(1− 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑠𝑠)^{−𝛼𝛼𝑖𝑖} Nous pouvons obtenir la fonction de répartition de 𝑌𝑌 par la formule inversée de transformation Laplace (voir Gil- Pelaez,1951) :

𝐹𝐹𝑌𝑌(𝐿𝐿 − 𝑑𝑑) =𝐿𝐿⁻¹�𝑀𝑀𝑌𝑌(𝑠𝑠)

𝑠𝑠 ,𝑠𝑠,𝐿𝐿 − 𝑑𝑑�

⇒ 𝐹𝐹𝑌𝑌(𝐿𝐿 − 𝑑𝑑) =1 2−1

𝜋𝜋�Ј(𝑀𝑀𝑌𝑌(𝑗𝑗𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗(𝐿𝐿−𝑑𝑑)𝑡𝑡) 𝑡𝑡

∞ 0

𝑑𝑑𝑡𝑡 avec Ј(𝑀𝑀_𝑌𝑌(𝑗𝑗𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗(𝐿𝐿−𝑑𝑑)𝑡𝑡 ) est la partie imaginaire.

Donc, nous obtenons : 𝐹𝐹𝑌𝑌(𝐿𝐿 − 𝑑𝑑)

=1 2−1

𝜋𝜋�sin (∑ 𝛼𝛼^𝑁𝑁𝑖𝑖=1 𝑖𝑖arctan(𝛽𝛽𝑖𝑖𝑢𝑢)−(𝐿𝐿 − 𝑑𝑑)𝑢𝑢) 𝑢𝑢 ∏^𝑁𝑁_𝑖𝑖=1(1 + (𝛽𝛽𝑖𝑖𝑢𝑢)²)^{−𝛼𝛼𝑖𝑖2}

∞ 0

𝑑𝑑𝑢𝑢 {15}

Dans notre travail, la densité de la durée de vie résiduelle ou la fiabilité conditionnelle du système sera utilisée comme un critère pour valider le modèle proposé pour modéliser l’évolution de notre indicateur de dégradation.

7. Exemple numérique

Dans cette partie, un exemple numérique est réalisé pour étudier la pertinence d’utilisation d’un EGP pour traduire l’évolution de notre indicateur de dégradation 𝐷𝐷(𝑡𝑡).

Les paramètres à utiliser pour modéliser notre système sont

• (𝐾𝐾0,𝛼𝛼𝐾𝐾,𝛽𝛽𝐾𝐾) = (400; 0.4; 0.3)

• (𝐶𝐶0,𝛼𝛼𝐶𝐶,𝛽𝛽𝐶𝐶) = (400; 0.4; 0.3)

• 𝑀𝑀0= 400

• 𝑇𝑇= 10

On simule d’abord la dégradation des composants par le processus Gamma ordinaire. Figure 3 et 4 représentent l’évolution de la dégradation de l’amortisseur 𝐶𝐶(𝑡𝑡) et de la raideur 𝐾𝐾(𝑡𝑡) au cours de temps.

Figure 3. Evolution de 𝐶𝐶(𝑡𝑡)

0 50 100 150 200 250

Temps 260

280 300 320 340 360 380 400

C(t)

Figure 4. Evolution de 𝐾𝐾(𝑡𝑡)

La démarche de l’exemple numérique est représentée dans Figure 5.

Figure 5. La démarche de travail

Par la suite, on étudie l’exactitude de l’estimation de pôle lorsque seule la dynamique du comportement du système est observée. En effet, l’emplacement des pôles peut être déterminé analytiquement à l’aide de {4} si les informations concernant la dégradation des composant sont disponibles.

Par contre, en cas d’absence de ces informations, l’emplacement des pôles peut être estimé en basant sur les données de surveillance de type « sollicitation- réponse ». Chaque date sollicitation du système est correspondant à un pôle à reconstruire. Ici, la période de sollicitation 𝑇𝑇 est fixée à 10.

Figure 5 représente les résultats obtenus par les deux méthodes. Nous constatons que l’estimation de l’emplacement de pôles par la deuxième méthode est très proche de celle calculée par le calcul analytique.

Figure 5. Emplacement de pôle théorique et estimé Avec l’emplacement de pôles obtenu, l’indicateur de dégradation du système 𝐷𝐷(𝑡𝑡) peut être ensuite calculé par l’équation {6}.

Son évolution au fil du temps est illustrée dans Figure 6.

Figure 6. Indicateur de dégradation 𝐷𝐷(𝑡𝑡)

Cette évolution crée des trajectoires monotones croissantes. Puis, nous cherchons à modéliser l’évolution de 𝐷𝐷(𝑡𝑡) par un processus stochastique. Pour ce faire, nous étudions d’abord la moyenne, la variance de 𝐷𝐷(𝑡𝑡) et leur rapport. Ces résultats sont présentés dans Figure 7 et 8.

Construire l’indicateur de dégradation 𝐷𝐷_𝑡𝑡

Estimer les paramètres d’un processus EGP pour modéliser l’évolution

𝐷𝐷𝑡𝑡

Calculer la RUL en basant sur le processus EGP

-0.5 -0.48 -0.46 -0.44 -0.42 -0.4 -0.38 -0.36

P r(t) 0.78

0.79 0.8 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87

P i(t)

Emplacement théorique Emplacement estimé

0 50 100 150 200 250

Temps 260

280 300 320 340 360 380 400

K(t)

Récupérer les informations de surveillance de type « sollicitation-

réponse »

Simuler les données du système par la simulation de la dégradation des composants

Calculer analytiquement de l’emplacement

de pôles

Simuler la RUL du système

Comparaison

Validation Estimer l’emplacement

de pôles dans le plan complexe par les

informations de surveillance

0 50 100 150 200 250

Temps 0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

D(t)

Figure 7. La moyenne et la variance de 𝐷𝐷(𝑡𝑡)

Figue 8. Le rapport entre la variance et la moyenne de 𝐷𝐷(𝑡𝑡)

On voit que le rapport entre la variance et la moyenne de 𝐷𝐷(𝑡𝑡) varie au cours du temps (Figure 8). Cette caractéristique nous mène à modéliser 𝐷𝐷_𝑡𝑡 par un EGP : 𝐷𝐷(𝑡𝑡)~Γ(A(t), b(t)), avec A(t) et b(t) sont des paramètres à estimer.

La plupart des travaux existants considère que les formes de ces deux paramètres sont connues. Dans ce travail, nous construisons les expressions A(t) et b(t) à partir des analyses des formes de 𝐸𝐸((𝐷𝐷(𝑡𝑡)) et 𝑉𝑉((𝐷𝐷(𝑡𝑡)). Les paramètres 𝐴𝐴(𝑡𝑡)et 𝑏𝑏(𝑡𝑡) sont ensuite proposés comme suit :

� 𝐴𝐴(𝑡𝑡) =𝛼𝛼1𝑡𝑡³+𝛼𝛼2𝑡𝑡²+𝛼𝛼3𝑡𝑡 𝑏𝑏(𝑡𝑡) =𝛼𝛼4𝑡𝑡²+𝛼𝛼5𝑡𝑡+𝛼𝛼6 𝑡𝑡 ≥0 et

⎩⎪

⎨

⎪⎧𝐸𝐸(𝐷𝐷(𝑡𝑡)) =�𝑑𝑑𝐴𝐴(𝑠𝑠) 𝑏𝑏(𝑠𝑠)

𝑡𝑡

0 =� 3𝛼𝛼1𝑠𝑠²+ 2𝛼𝛼2𝑠𝑠+𝛼𝛼3

𝛼𝛼4𝑠𝑠²+𝛼𝛼5𝑠𝑠+𝛼𝛼6 𝑑𝑑𝑠𝑠

𝑡𝑡

0

𝑉𝑉(𝐷𝐷(𝑡𝑡)) =�𝑑𝑑𝐴𝐴(𝑠𝑠) 𝑏𝑏²(𝑠𝑠)

𝑡𝑡

0 =� 3𝛼𝛼1𝑠𝑠²+ 2𝛼𝛼2𝑠𝑠+𝛼𝛼3

(𝛼𝛼4𝑠𝑠²+𝛼𝛼5𝑠𝑠+𝛼𝛼6)²𝑑𝑑𝑠𝑠

𝑡𝑡

0

Avec (𝛼𝛼₁,𝛼𝛼2,𝛼𝛼3,𝛼𝛼4,𝛼𝛼5,𝛼𝛼6) sont des paramètres à estimer.

La méthode des moments généralisés (GMM) est alors appliquée pour estimer ces paramètres. Nous exécutons les deux étapes principales de la méthode GMM pour les estimer. Les résultats obtenus sont présentés dans Tableau 1.

𝛼𝛼1 −1.4766∗10⁻⁶

𝛼𝛼2 8.1138∗10⁻⁴

𝛼𝛼3 0.8578

𝛼𝛼4 −0.0114

𝛼𝛼5 3.2432

𝛼𝛼6 1.4236∗10³

Tableau 1. Valeurs estimées des paramètres de 𝐴𝐴(𝑡𝑡) et 𝑏𝑏(𝑡𝑡) à l’aide de la méthode GMM En conséquence, nous avons 𝐷𝐷(𝑡𝑡)~Γ(A(t), b(t) tels que :

� 𝐴𝐴(𝑡𝑡) =−1.477∗10⁻⁶𝑡𝑡³+ 8.114∗10⁻⁴𝑡𝑡²+ 0.858𝑡𝑡 𝑏𝑏(𝑡𝑡) =−0.0114𝑡𝑡²+ 3.2432𝑡𝑡+ 1.4236∗10³ {16}

avec 𝑡𝑡 ≥0,

Par la suite, en utilisant ces paramètres, nous générons les trajectoires de processus EGP proposé, calculons sa moyenne, sa variance et ensuite les comparer avec celles des observations 𝐷𝐷(𝑡𝑡) (voir Figure 9, 10 et 11). Figure 9 et 10 montrent que la moyenne et la variance du processus EGP proposé et celles des observations 𝐷𝐷(𝑡𝑡) sont presque similaires.

Figue 9. La moyenne des observations 𝐷𝐷(𝑡𝑡) et du modèle EGP

Figue 10. La variance des observations 𝐷𝐷(𝑡𝑡) et du modèle EGP

0 50 100 150 200 250

Temps 0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

La moyenne

Observation EGP

0 50 100 150 200 250

Temps 0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

La moyenne

0 50 100 150 200 250

Temps 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

La variance

10^-4

0 50 100 150 200 250

Temps 5.5

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5

Le rapport variance/moyenne

10^-4

0 50 100 150 200 250

Temps 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

La variance

10^-4

Observations D(t) EGP

Communication 8C /2 page 6/7