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Fonctions trigonométriques

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020

Table des matières

1 Rappels de trigonométrie 2

1.1 Définitions, premières propriétés . . . 2

1.2 Formules de trigonométrie . . . 3

2 Fonctions sinus et cosinus 3 2.1 Définition . . . 3

2.2 Parité . . . 4

2.3 Périodicité . . . 4

3 Étude des fonctions sinus et cosinus 5 3.1 Dérivées des fonctions cosinus et sinus . . . 5

3.2 Variations, courbe représentative . . . 5

3.3 Complément : limite de ^sinx_x en zéro . . . 6

Table des figures

2 Angles remarquables . . . 3

3 Cosinus et sinus de−x . . . 4

4 Fonction cosinus . . . 6

5 Fonction sinus . . . 6

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1 RAPPELS DE TRIGONOMÉTRIE

1 Rappels de trigonométrie

1.1 Définitions, premières propriétés

Définition : SoitCle cercle trigonométrique etxun réel (voir figure 1).

On appelleM le point associé au réelxsur le cercle trigonométrique.

On appelle cosinus et sinus de x(notés cosxet sinx) les coordonnées du point M dans le repère

O;−→

OA;−−→ OB

.

cosx :abscissedu pointM sinx :ordonnéedu pointM.

Figure 1 – Cosinus et sinus

Remarques : 1. Pour tout réelx:

−1≤ cosx ≤1

−1≤ sinx ≤1 2. A(1 ; 0) donc :cos (0) = 1et sin (0) = 0.

B (0 ; 1) donc :cos ^π₂

= 0etsin ^π₂

= 1.

A⁰ (−1 ; 0) donc :cos (π) =−1et sin (π) = 0.

B⁰ (0 ;−1) donc :cos −^π₂

= 0et sin −^π₂

=−1.

3. Le triangleOHM est rectangle enH donc, d’après le théorème dePythagore : OH²+HM²=OM²

Or,OM = 1,OH²= (cosx)² etHM²= (sinx)². On a donc : (cosx)²+ (sinx)²= 1

4. Les cosinus et sinus des angles remarquables sont donnés dans le tableau 1.

x 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ π cosx 1

√3 2

√2 2

1

2 0 −1

sinx 0 ¹₂

√2 2

√3

2 1 0

Table 1 – Valeurs remarquables de cosinus et sinus.

2 FONCTIONS SINUS ET COSINUS 1.2 Formules de trigonométrie

Figure2 – Angles remarquables

Remarque : Pour retenir tous les résultats du tableau 1, on peut s’aider du cercle trigonométrique (voir figure 2).

Exercices : 50, 51 page 183¹ – 3 page 173 et 52, 53, 54 page 183² – 6, 8, 9 page 174³ [TransMath]

1.2 Formules de trigonométrie

Angles associés : 1. cos (−x) = cosxet sin (−x) =−sinx.

2. cos (π−x) =−cosxetsin (π−x) = sinx.

3. cos (π+x) =−cosxet sin (π+x) =−sinx.

4. cos ^π₂ −x

= sinxetsin ^π₂ −x

= cosx.

5. cos ^π₂ +x

=−sinxetsin ^π₂ +x

= cosx.

Formules d’addition : 1. cos (a−b)=cosacosb+ sinasinb 2. cos (a+b)=cosacosb−sinasinb

3. sin (a−b)=sinacosb−cosasinb 4. sin (a+b)=sinacosb+ cosasinb

Formules de duplication : 1. cos (2x)=cos²x−sin²x=2 cos²x−1=1−2 sin²x 2. sin (2x)=2 cosxsinx

3. cos²x= ^1+cos(2x)₂ et sin²x= ^1−cos(2x)₂

2 Fonctions sinus et cosinus

2.1 Définition

Définition : 1. La fonction qui, à tout nombre x∈R, associe cosxest appelée fonction cosinuset est notée :

cos : x→cosx

2. La fonction qui, à tout nombre x∈R, associe sinxest appeléefonction sinuset est notée : sin : x→sinx

Remarque : Les images des fonctions sinus et cosinus sont toujours dans l’intervalle [−1 ; 1].

1. Équations trigonométriques 2. Inéquations trigonométriques.

3. Avec un changement de variable.

2.2 Parité 2 FONCTIONS SINUS ET COSINUS

2.2 Parité

SoitM le point du cercle trigonométrique associé au réelxet M₁ le point associé au réel (−x) (voir figure 3).

Figure3 – Cosinus et sinus de−x

M (cosx; sinx) etM1 (cos (−x) ; sin (−x)).

CommeM etM1 sontsymétriques par rapport à l’axe des abscisses, on en déduit que :

cos (−x) = cosx sin (−x) = −sinx

Propriété 1 : La fonction cosinus estpaire.

Sa courbe représentative est doncsymétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Propriété 2 : La fonction sinus estimpaire.

Sa courbe représentative est doncsymétrique par rapport à l’origine du repère.

2.3 Périodicité

Soitxun réel. Le pointM associé àxsur le cercle trigonométrique est aussi associé àx+ 2π.

Par suite, on a :

cos (x+ 2π) = cosx sin (x+ 2π) = sinx

Propriété : Les fonctions cosinus et sinus sontpériodiquesde période 2π.

Il suffit donc d’étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur 2π. On obtient leurs courbes repré- sentatives surRpar des translations de vecteur 2kπ~ı(aveck∈Z).

3 ÉTUDE DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

3 Étude des fonctions sinus et cosinus

3.1 Dérivées des fonctions cosinus et sinus

Théorème (admis)

Les fonctionscosinus et sinussontdérivables sur Ret, pour tout x∈R: sin⁰(x) = cos (x) et cos⁰(x) =−sin (x) Remarque : On en déduit donc les résultats suivants :

1. UneprimitivesurRdef(x) = cos (x)est F(x) = sin (x). 2. UneprimitivesurRdef(x) = sin (x)estF(x) =−cos (x).

3. Siu est une fonction dérivable sur un intervalleI, alors la fonction sin (u)est dérivablesur I et sa dérivée estu⁰cos (u).

4. Siuest une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction cos (u) est dérivablesurI et sa dérivée est−u⁰sin (u).

5. Siuest une fonction dérivable sur un intervalleIet sif est de la formeu⁰cos (u), alors uneprimitive def surI estsin (u).

6. Siuest une fonction dérivable sur un intervalleI et sif est de la formeu⁰sin (u), alors uneprimitive def surI est−cos (u).

Exercices : 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34 page 182⁴ – 36 page 182⁵– 11 page 201 ; 27 page 204 ; 40 page 208 ; 71 page 217 et 77, 78, 84 page 218⁶ [TransMath]

3.2 Variations, courbe représentative

Étude de la fonction cosinus : La fonction cosinus est périodique de période 2π, on peut donc limiter l’étude de cette fonction à un intervalle d’amplitude 2π. On prendra l’intervalleI= [−π;π].

On notef(x) = cosx.

f est dérivable surIet f⁰(x) =−sinx.

À l’aide du cercle trigonométrique, on a facilement le signe de sinx:

x −π 0 π

sinx 0 − 0 + 0

On en déduit le tableau de variations de la fonction cosinus :

x −π 0 π

cos⁰(x) =−sinx 0 + 0 − 0 1

cosx % &

−1 −1

La courbe représentative de la fonction cosinus se trouve sur la figure 4.

Étude de la fonction cosinus : La fonction sinus est périodique de période 2π, on peut donc limiter l’étude de cette fonction à un intervalle d’amplitude 2π. On prendra l’intervalleI= [−π;π].

On noteg(x) = sinx.

g est dérivable surI et g⁰(x) = cosx.

À l’aide du cercle trigonométrique, on a facilement le signe de cosx:

x −π −^π₂ ^π₂ π

sinx − 0 + 0 −

4. Calculs de dérivées.

5. Tangentes.

6. Primitives, intégrales.

3.3 Complément : limite de ^sin_x^x en zéro 3 ÉTUDE DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

Figure4 – Fonction cosinus

On en déduit le tableau de variations de la fonction sinus :

x −π −^π₂ ^π₂ π

sin⁰(x) = cosx − 0 + 0 −

0 1

sinx & % &

−1 0

La courbe représentative de la fonction sinus se trouve sur la figure 5.

Figure5 – Fonction sinus

Exercices : 1, 2 page 172 ; 4, 5 page 173 ; 14 page 176 ; 58 page 184⁷ – 15 page 176 et 60 page 184⁸ – 61 page 184⁹– 71, 72, 74 page 187¹⁰[TransMath]

3.3 Complément : limite de

en zéro

Propriété :

x→0lim sinx

x = 1

7. Étude de fonctions.

8. Suites et fonctions trigonométriques.

9. Vrai-Faux.

10. Type BAC.

RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES

Démonstration:

Six6= 0, le taux d’accroissement de la fonction sinus entre 0 etxest : sinx−sin 0

x−0 = sinx x

Or, la fonction sinus est dérivable en zéro, donc la limite de ce taux d’accroissement lorsquextend vers zéro est le nombre dérivé en zéro, d’où :

x→0lim sinx

x = sin⁰(0) = cos (0) = 1

Exercices : 38, 39, 41 page 182 ; 43, 45, 46, 48 page 183¹¹ [TransMath]

Références

[TransMath] TransMATH Term S, Programme 2012 (Nathan) 3, 5, 6, 7

11. Limites de fonctions et de suites.