4ème GEOMETRIE COURS-Ex
9 2.7 Propriété de Pythagore
Triangle rectangle et longueurs des côtés : propriété
théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
réciproque : Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle au sommet opposé au plus grand côté.
Cette propriété, résumée dans l’encadré de droite, signifie donc que [triangle non rectangle] équivaut à [égalité non respectée].
Exercices
1) Construire un triangle ABC tel que AB = 3 ; BC = 4 ; AC = 5 (en cm). Montrer que ce triangle est rectangle et nommer le sommet de l’angle droit.
2) Trouver un autre triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont exprimables en nombres entiers, sans être proportionnelles à (3, 4, 5).
3) On donne la figure ci-contre.
AC = 9 ; AH = 7 ; HB = 4
Le triangle ABC est-il rectangle ?
4) Quelle est la longueur des côtés d’un losange dont les diagonales mesurent 10 cm et 24 cm ? 5) L’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle mesure 10 cm. Quelle est la longueur des deux autres
côtés ?
6) Soit un triangle ABC rectangle en C, dont les côtés perpendiculaires mesurent 5 cm et 7 cm. Calculer l’aire de ce triangle et la longueur de son hypoténuse. En déduire la mesure de sa hauteur issue de C.
7) Dans un repère du plan dont l’unité est le centimètre, on donne les points A(2, 5) et B(3, 1).
Quelle est la distance séparant A et B ?
⇔
= +
2 2 2
ABC rectangle en A
BC AB AC
C
A B
H 7 2
4
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8) La Terre est ici considérée comme une sphère parfaite de 6370 km de rayon (R), pour des raisons simplificatrices (figure ci-contre).
Vous vous tenez debout et vos yeux (point Y) fixent l’horizon (point H).
De la sorte, le triangle OHY est rectangle en H.
La distance h entre vos yeux et le sol sous vos pieds est 1,60 mètre.
Avec l’aide de la figure, calculer la distance HY : distance qui vous sépare de l’horizon.
9) Une échelle de 4 mètres de longueur est appuyée contre un mur vertical.
Sachant que le pied de l’échelle se trouve à 1 mètre du pied du mur, à quelle hauteur se trouve le haut de l’échelle ? Si on avance le pied de l’échelle de 50 centimètres vers le pied du mur, de quelle longueur le haut de l’échelle remonte-t-il ?
10) Soit un cube d’arête 10 cm.
Combien mesure sa grande diagonale ? (pointillés)
H Y
O
