ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES
Yahya MATIOUI www.etude-generale.com
15 juin 2021
1 Équations du premier degré à une inconnue
Dé…nition 1 Une équation du premier degré à une seule inconnue x est toute équation de la forme ax+b= 0 avec x2R:
Exemple 2 1. Résoudre dans l’ensemble R l’équation suivante (E1) : 3x 2 = 2x 1
3x 2 = 2x 1 () 3x 2x= 2 1 () x= 1 Donc, l’équation admet une unique solution : x= 1:
D’où
S=f1g
2. Résoudre dansRl’équation(E2) :mx+ 3 =x+ 5;avec mun paramètre réel.
mx+ 3 =x+ 5 () mx x= 5 3 () x(m 1) = 2 On distingue deux cas :
* si : m 1 6= 0; alors l’équation (E2) admet une unique solution : x= m21: Donc : S = m21 :
* si : m 1 = 0, alors l’équation (E2) sera : 0 = 2, ce qui signi…e que l’équation(E2)n’admet aucune solution dans l’ensemble R. C-à-d : S = :
2 Inéquations du premier degré à une incon- nue
Dé…nition 3 Une inéquation du premier degré à une seule inconnue x est toute inéquation possédant l’une des formes suivantes :
ax+b 0 ou ax+b 0 ou ax+b 0 ou ax+b 0
Exemple 4 1. Résoudre dans l’ensemble R l’ inéquation suivante (I1) : 5x 2(x+ 1) 3x+ 1
5x 2(x+ 1) 3x+ 1
() 5x 2x 2 3x+ 1 () 5x 2x 3x 1 + 2 () 0 3
Ce qui est impossible. Donc:
S =
1. 2. Résoudre dans l’ensembleR l’inéquation suivante (I2) : 3x 1 0 3x 1 0 () 3x 1 () x 1
3 Donc
S= 1 3; +1
3 Signe du binôme ax + b , (a 6 = 0)
Propriété 5 Soient a et b deux réels, a étant non nul le signe du binôme ax+b est donné par le tableau suivant :
Démonstration 6 Soient aet b deux réels tels quea6= 0, on étudie le signe de ax+b:
ax+b= 0 () a(x+ b
a) = 0 () x+ b
a = 0 () x= b a Donc
x+ b
a 0 () x b
a () x2 b a ;+1 et
x+ b
a 0 () x b
a () x2 1; b a
D’après le signe de a, on déduit les tableaux suivants : Si : a 0
Si : a 0
On résume cette étude dans le tableau suivant :
Exemple 7 1. On étudie le signe : 2x+ 1:
On résout l’équation: 2x+ 1 = 0:
2x+ 1 = 0 () x= 1 2
Comme a= 2 0, alors le tableau de signe est le suivant :
1. 2. On étudie le signe de l’expression P(x) = 5x1+3x2
l’expression P(x) existe si et seulement si 1 + 3x 6= 0, c’est-à-dire x6= 31. Ce qui signi…e que x2Rn 31 :
5x 2 = 0 () x= 25
* 1 + 3x= 0 () x= 31
4 Équations de second degré à une inconnue
4.1 Dé…nition d’équation de second degré
Dé…nition 8 L’équation dé…nie par ax2 +bx+c = 0 pour tout x 2 R ou a; b et csont deux réels et a est non nul est appelée équation de second degré à une inconnue.
4.2 La forme canonique du trinôme du second degré ax
2+ bx + c:
On considère le trinôme du second degré ax2+bx+c, avec a6= 0:
Donc
ax2+bx+c = a x2+ b ax+ c
a
= a x2+ 2 b 2ax+ c
a
= a x2+ 2 b
2a x+ ( b
2a)2 ( b
2a)2+ c a
= a
"
x+ b 2a
2 b2
4a2 + c a
#
= a
"
x+ b 2a
2 b2 4ac
4a2
#
On obtient la propriété suivante:
Propriété 9 Soient a; b et c des réels tels que a est non nul.
Pour tout x2R on a :
ax2 +bx+c=a (x+ b
2a)2 b2 4ac 4a2 L’écriture : ah
(x+ 2ab )2 b24a4ac2
i
, s’appelle la forme canonique du tri- nôme ax2+bx+c:
4.3 Méthode de résolution d’une équation du second degré à une inconnue
4.3.1 Dé…nition et exemple
Dé…nition 10 Soient a; b et c des réels tels que a est non nul. On appelle discriminantdu trinômeax2+bx+c;le nombre réel, noté égal àb2 4ac:
Remarque 11 Le symbole se lit delta.
Exemple 12 On considère l’équation(E) : 3x2 5x+ 7 = 0. Déterminer le discriminant de l’équation (E):
On a: a= 3 , b = 5 et c= 7 et comme =b2 4ac: Donc :
= b2 4ac
= ( 5)2 4 3 7
= 59
4.4 La détermination de l’ensemble des solutions de l’équation du second degré à une inconnue
On considère l’équation du second degré(E) :ax2+bx+c= 0aveca6= 0:
On sait d’après la forme canonique, que :
ax2 +bx+c=a (x+ b
2a)2 b2 4ac 4a2
comme =b2 4acet 4a2 = (2a)2; donc ax2+bx+c= 0 () a (x+ b
2a)2
4a2 = 0 Ensuite
a (x+ b 2a)2
4a2 = 0 () (x+ b 2a)2
(2a)2 = 0 () (x+ b 2a)2 =
(2a)2 On distingue trois cas.
Si : 0;alors l’équation (E)n’admet pas des solutions dans l’ensemble R. Car (x+2ab )2 0 et (2a)2 0. Donc:
S = Si : = 0, alors on obtient
(x+ b 2a)2
(2a)2 = 0 () (x+ b
2a)2 = 0 () x= b 2a Donc, l’équation (E) admet une unique solution:x= 2ab Donc
S = b
2a Si : 0, alors on obtient
(x+ b 2a)2
(2a)2 = 0 () x+ b 2a
2 p
2a
!2
= 0
() x+ b 2a
p 2a
! x+ b
2a + p
2a
!
= 0 () x+ b
2a p
2a = 0 ou x+ b 2a +
p 2a = 0 () x= b
2a + p
2a ou x= b 2a
p 2a () x= b+p
2a ou x= b p 2a
Ce qui signi…e que l’équation admet deux solutions réelles distinctes :
b+p
2a et b2ap : Donc S =
( b+p
2a ; b p 2a
)
On résume ceci
On considère l’équation(E) :ax2+bx+c= 0,(a6= 0)et le discriminant de l’équation.
Si 0,alors l’équation(E)n’admet aucune solution dans l’ensembleR: Si = 0, alors l’équation(E)admet une solution unique 2ab:
Si 0 , alors l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes x1 et x2 telles que :x1 = b2ap et x2 = b+2ap :
Exemple 13 Résoudre dans l’ensemble R les équations suivantes :
(E1) : 3x2+x+ 2 = 0 , (E2) :x2 10x+ 25 = 0et (E3) :x2 3x+ 2 = 0:
4.5 Somme et produit des solutions d’équation du se- cond degré
Propriété 14 Soit l’équation du second degré ax2 +bx+c= 0, (a 6= 0) de discriminant 0. Alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes ou confondues x1 et x2 :
x1 = b+p
2a et x2 = b p 2a La somme des solutions :
x1+x2 = b a Produit des solutions :
x1 x2 = c a
Démonstration 15 On considère l’équation (E) : ax2 +bx +c = 0 avec a 6= 0 de discrimiant 0: Alors l’équation admet deux solutions réelles
distinctes :x1 = b+2ap et x2 = b2ap (On peut avoirx1 =x2): Donc x1+x2 = b+p
2a + b p
2a
= b+p
b p
2a
= 2b 2a = b
a et on a
x1 x2 = b+p 2a
! b p 2a
!
= ( b)2 (p )2 4a2
= b2 4a2
= b2 (b2 4ac) 4a2
= 4ac 4a2 = c
a
Exemple 16 On considère l’équation (E) : 2020x2 2021x+ 1 = 0. Mon- trer que 1 est une solution de l’équation (E); puis déterminer la deuxième solution.
Si x= 1, alors 2020 12 2021 1 + 1 = 0. Donc l’équation (E) admet 1 comme solution.
Cherchons l’autre solution.
Notonsx1 la première solution et x2 la deuxième solution, alors x1 x2 =
c
a. (c= 1 , a= 2020 et x1 = 1): Donc x2 = 1
2020
5 Factorisation d’un trinôme du second degré ax
2+ bx + c , (a 6 = 0)
Propriété 17 Soient a; betctrois réels tels quea6= 0, et le discriminant du trinôme du second degré ax2+bx+c et (E) l’équation suivante :ax2+ bx+c= 0:
Si 0, alors ax2+bx+c ne peut pas être factorisé dansR: Si = 0; alors pour toutx2R, on a :
ax2+bx+c=a x+ b 2a
2
Si 0, alors l’équation (E)admet 2 solutions réelles distinctesx1 et x2 et on a :
ax2+bx+c=a(x x1)(x x2)
Démonstration 18 On considère le trinôme du second degré ax2+bx+c, avec a6= 0:
On sait que la forme canonique, du trinôme ax2+bx+c est : ax2+bx+c=a (x+ b
2a)2 4a2 Si = 0, alors
ax2+bx+c=a x+ b 2a
2
Si 0; alors
ax2+bx+c=a (x+ b 2a)2
4a2
Donc, le trinôme ax2+bx+c ne peut pas être factorisé dans R:
Si 0, alors
ax2+bx+c = a (x+ b 2a)2
4a2
= a 2
4 x+ b 2a
2 p
4a
!23 5
= a 2
4 x+ b 2a
2 p
2a
!23 5
= a x+ b 2a
p 2a
! x+ b
2a + p
2a
!
= a x+ b p 2a
!
x+b+p 2a
!
= a x b+p 2a
!
x b p
2a
!
= a(x x1)(x x2) avec : x1 = b+p
2a et x2 = b p 2a
Exemple 19 Factoriser dans R les trinômes suivants : P(x) = 6x2 x 1 et Q(x) = x2+ 3x+ 4:
1. P(x) = 6x2 x 1 Calculons :
On a : a= 6, b = 1 et c= 1, donc:
= b2 4ac
= ( 1)2 4 6 ( 1)
= 25 0
Donc, l’équation P(x) = 0 admet deux solutions réelles distinctesx1 et x2:
x1 = b+p
2a = 1 +p 25 2 6 = 1
2 ; x2 = b p
2a = 1 5 2 6 = 4
12 = 1 3
D’où on obtient :
P(x) = 6 x 1
2 x+1 3 2. Q(x) =x2+ 3x+ 4
Calculons :
On a : a= 1, b = 3 et c= 4, donc:
= b2 4ac
= 32 4 1 4
= 7 0
D’où, le trinôme ne peut pas être factorisé dans l’ensemble R:
6 Signe du trinôme du second degré ax
2+ bx + c, (a 6 = 0)
Propriété 20 Soient a; b et c trois réels, a étant non nul. Soit le trinôme ax2 +bx+c, et son discriminant.
Si 0, alors le signe de ax2+bx+c est le signe de a:
Si = 0, alors le signe de ax2+bx+c est le signe de a pour tout x2R di¤érent de ab:
Si 0, alors le signe de ax2+bx+cest donné par le tableau suivant :
Démonstration 21 Soient a; bet c trois réels, a étant non nul. Soit le tri- nôme ax2+bx+c, et son discriminant.
Si 0, alors
ax2+bx+c=a
"
x+ b 2a
2
4a2
#
comme 0, alors 4a2 0 ensuite : (x+ 2ab )2 4a2 0. Donc le signe de ax2+bx+c est le signe de a:
Si = 0, alors
ax2+bx+c=a x+ b 2a
2
six6= 2ab , alors(x+2ab )2 0. Ce qui signi…e que le signe deax2+bx+c est le signe de a:
Si 0, alors ax2+bx+c = a(x x1)(x x1) avec x1 et x2 sont les deux solutions de l’équation :ax2+bx+c= 0:
On détermine le tableau de signe du produit. On suppose que:x1 x2:
Exemple 22 Étudier le signe des trinômes suivants : P(x) = 6x2 x 1;
Q(x) =x2 10x+ 25 et R(x) =x2+x+ 1 Calculons le discriminant du trinôme P(x):
On a : a= 6; b= 1 et c= 1, donc : =b2 4ac= ( 1)2 4 6 ( 1) = 25 0:
Ce qui signi…e que l’équation P(x) = 0 admet deux solutions réelles dis- tinctes x1et x2 telles que :
x1 = b+p
2a = 1
2 et x2 = b p
2a = 1
3 Comme a= 6 0, on déduit le tableau de signe suivant :
Q(x) = x2 10x+ 25
Calculons le discriminant du trinôme Q(x):
On a :a = 1; b= 10et c= 25, donc : =b2 4ac= ( 10)2 4 1 25 = 0:
Ce qui signi…e que l’équation Q(x) = 0 admet une unique solution telle que :
x= b 2a = 10
2 = 5
Comme a = 6 0, alors on déduit que le trinôme Q(x) est strictement positif pour tout x2Rn f5g:
Calculons le disicriminant du trinôme R(x):
On a : a = 1 , b = 1 et c = 1, donc = b2 4ac= (1)2 4 1 1 = 3 0:
Ce qui signi…e que le signe du trinôme est le signe dea et comme a= 1 alors le trinôme R(x) est strictement positif pour tout x de R:
7 Résolution d’une inéquation du second de- gré à une inconnue
7.1 L’étude d’un exemple
Résoudre dans l’ensemble Rl’inéquation : 6x2 x 1 0
On sait d’après le paragraphe précédent que les solutions de l’équation 6x2 x 1 = 0 sont :x1 = 31 etx2 = 12; et le tableau de signe est:
Donc, l’ensemble des solutions d’inéquationP(x) 0 dans R est: S = 1; 1
3 [ 1 2;+1
8 Équations du premier degré à deux incon- nues
R2 est l’ensemble des couples (x; y) tels que : x2R et y2R:
Dé…nition 23 Équation de la forme ax+by =ctels que a,b etcsont des réels connus est une équation du premier degré à deux inconnues x et y:
Résoudre l’équation ax+by = c signi…e de touver tous les couples ( ; ) qui véri…ent a +b =c:
Si a 6= 0 ou b 6= 0 alors l’équation ax+by = c admet une in…nité des solutions.
Exemple 24 Résoudre dans R2 l’équation (E) : 2x y 3 = 0:
2x y 3 = 0 () y = 2x 3
Les solutions de l’équation (E) sont les couples (x;2x 3), et on écrit : S=f(x;2x 3) ; x2Rg
9 Résolution d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues
Dé…nition 25 Soient a; b; c; a0; b0 et c0 des réels. On considère le système suivant :
(S) : ax+by =c a0x+b0y=c0 Le réel D = a b
a0 b0 est appelé déterminant du système (S): On pose : Dx = c b
c0 b0 et Dy = a c a0 c0 :
Si D6= 0 le système admet une seule solution est le couple (x; y) tel que : y= Dy
D = ac0 a0c
D et x= Dx
D = cb0 c0b D
Si D= 0 et Dx 6= 0 ouDy 6= 0 alors le système n’admet aucun solution.
Si D = 0 et Dx = 0 et Dy = 0 alors le système admet une in…nité de solutions, ce sont les solutions de l’équation ax+by =c:
Exemple 26 Résoudre dans l’ensemble R2 les systèmes suivants : (S1) : x+ 2y= 4
x+ 4y= 2 et (S2) : x 2y= 1 2x+ 4y= 2
10 Régionnement du plan
10.1 Demi-plan
Dé…nition 27 La droite (d) d’équation ax+by+c = 0 partage le plan en deux demi-plans :
Un demi-plan fermé (P1)contenant la droite(d), qui est l’ensemble des points M(x; y) tels que: ax+by+c 0.
Un demi-plan fermé (P2)contenant la droite(d), qui est l’ensemble des points M(x; y) tels que: ax+by+c 0.
La droite (d) est appeléedroite frontière des demi-plans (P1)et(P2): Remarque 28 Si les inégalités son strictes (signes ou ); les demi- plans ne contiennent pas la droite (d):
Exemple 29 Le plan lié au repère orthonormé O;!i ;!j :
Résoudre graphiquement l’inéquation suivante (I) : 3x+y 1 0:
On représente la droite (d) d’équation 3x+y 1 = 0:
On cherche le demi-plan (P) qui véri…e l’inéquation proposée.
On sait, que le demi-plan (P) est l’un des demi-plans délimités par la droite (d) et la contenant car l’inégalité est large.
On e¤ectue alors un test avec un point n’appartenant pas à la droite (d), par exemple O(0;0):
Test : 3 0 + 0 1 = 1 0:
Le demi-plan (P)est donc celui délimité par la droite (d), contenant la droite (d) car l’inégalité est large, et contenant le point O(0;0): On représente le demi-plan (P):
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5 -6
0 1
1
x y
Les solutions d’inéquation(I)est l’ensemble des points M(x; y)du plan qui appartiennent au demi-plan fermé (P) délimité par la droite (d) et contenant le point O(0;0):
10.2 Système des inéquations du premier degré à deux inconnues
Propriété 30 Soient a; b; c; a0; b0 et c0 des réels.
Le système ax+by+c 0
a0x+b0y+c0 0 est appelé système de deux inéquations du premier degré à deux inconnues.
La résolution graphique d’un système de deux inéquation du premier degré à deux inconnues est l’intersection de deux demi-plans.
2 3
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
-1 -2 -3 -4 -5 -6
0 1
1
x y
Exemple 31 Le plan lié à un repère orthonormé (O;!i ;!j ).
Résoudre graphiquement le système suivant :
(S1) : 8<
:
2x+ 3y 12 0 x+y 1 0
FIN
Pr : Yahya MATIOUI www:etude generale:com
