REM.–L’ensembler´esolvantestouvert. ens.r´esolvant = C \{ spectre } de A = { λ ∈ C | A − λ noninjectif } spec.ponctuel = { desvaleurspropres } spectrede A = { λ ∈ C | A − λ nonbijectif } H Hilbert, A : H → H RAPPELSDEF.–

RAPPELS

DEF. – H Hilbert, A : H → H

spectre de A = {λ ∈ C_{|A − λ} non bijectif}

spec. ponctuel = {des valeurs propres}

de A = {λ ∈ C_{|A − λ} non injectif}

ens. r´esolvant = C _{\ {spectre}}

REM. – L’ensemble r´esolvant est ouvert.

Op´erateurs autoadjoints compacts

DEF.

A est compact ⇔ l’image par A de la boule unit´e est relativement compacte.

TH. – A autoadjoint compact, H de dimen- sion infinie,

1. Spectre(A) = {0}^S{λ₁, λ₂, . . .} λ_j > 0.

2. Si {λ_j} infinie, λ_j −→

j→∞ 0.

3. ∀λ_j, dim(espace propre de λ_j)< +∞.

Fonctions propres du Laplacien avec con- dition de Dirichlet

Il existe :

• une base hilbertienne (Φ_j), j = 1, 2, . . . de L²(Ω),

• une suite (λ_j) de nombres r´eels t.q.

Φ_j ∈ C^∞(Ω) ; Φ_j(x) = 0 pour x ∈ ∂Ω.

∆Φ_j = −λ_jΦ_j .

0 < λ₁ < λ₂ ≤ λ₃ ≤ λ₄ ≤ . . . ; λ_k −→

k→∞ +∞

REM. – Pour une combinaison lin´eaire,

u =

N X

1

γ_jΦ_j

• u est de classe C^∞ et est nulle sur ∂Ω.

• kuk²₂ = ^PN

1 |γ_j|²

•∆u = −^PN

1 λ_jγ_jΦ_j

• k∆uk²₂ = ^PN

1 |λ_jγ_j|²

TH. & DEF. (op´erateur ∆_dir)

u ∈ L²(Ω) appartient `a D(∆_dir) (domaine de ∆_dir) si les c_j(u) = (Φ_j|u) v´erifient

Xλ²_j|c_j(u)|² < ∞

∆_dir := l’op´erateur de D(∆_dir) dans L² d´efini par

∆_diru = −

∞ X

1

λ_jc_j(u)Φ_j (cvg. dans L²) Une fonction u ∈ C²(Ω) appartient `a D(∆_dir) ssi u = 0 sur ∂Ω; on a alors ∆_diru = ∆u .

Equation –´ ∆_diru − λu = f ∈ L²; u ∈ D(∆_dir).

1. λ n’est pas v.p. de −∆ : existence et unicit´e

u = ^X c_j(f)

(λ − λ_j)Φ_j

2. λ est v.p. de multiplicit´e m, c’est-`a-dire (λ = λ_l = · · · = λ_l+m−1); r´esoluble ssi f v´erifie ^R Φ_p(x)f(x)dx = 0, l ≤ p < l + m.

Alors, l’espace des solutions est de dimen- sion m :

u = ^X

j /∈{l,...,l+m−1}

c_j(f)

λ − λ_jΦ_j + ^X

l≤p<l+m

C_pΦ_p

Fonctions propres du Laplacien avec con- dition de Neumann

Il existe :

• une base hilbertienne (Ψ_j), j = 1,2, . . . de L²(Ω),

• une suite (µ_j) de nombres r´eels t.q.

Ψ_j ∈ C^∞(Ω) ; ∂Ψ_j

∂ν (x) = 0 pour x ∈ ∂Ω.

∆Ψ_j = −µ_jΨ_j .

0 = µ₁ < µ₂ ≤ µ₃ ≤ µ₄ ≤ . . . ; µ_k −→

k→∞ +∞

Eq. de la chaleur avec condition de Dirich-´ let







∂u/∂t − ∆u = 0 (ou f(t, x)) dans Ω × [0,∞[

u(t, x) = 0 pour x ∈ ∂Ω

u(0, x) = u₀(x) donn´ee dans D(∆_dir)

u(t, x) = ^X c_j(u₀)e^−λjtΦ_j(x)

u(t, ·) ∈ D(∆_dir) et ∂u/∂t(t, ·) ∈ L² pour t > 0

u(t, x) = ^X

c_j(u₀)e^−λjt +

Z _t

0 e^{−λj(t−s)}h_j(s)ds

Φ_j(x) h_j(t) = (Φ_j|f(t,·)) =

Z

Ω Φ_j(x)f(t, x)dx

Eq. des ondes avec condition de Dirichlet´















∂²u

∂t² − ∆u = 0 dans Ω × [0,∞[

u(t, x) = 0 pour x ∈ ∂Ω u(0, x) = u₀(x)

∂u/∂t(0, x) = u₁(x)

)

donn´es dans D(∆_dir)

u(t, x) = · · ·

X j







c_j(u₀) cos(t^qλ_j) + c_j(u₁)

qλ_j sin(t^qλ_j)







Φ_j(x)

pour t fix´e la s´erie converge en moyenne quadratique et d´efinit un ´el´ement

u(t, ·) ∈ D(∆_dir).

Fonctions propres d’un Hamiltonien

H_V = −∆ + V , avec V de classe C^∞ et V (x) −→

x→∞ +∞. Il existe :

• une base hilbertienne ψ_j de L²(R³_{) avec} ψ_j ∈ C^∞

• une suite (λ_j) v´erifiant : H_V ψ_j = λ_jψ_j

min

x∈R³V (x) < λ₁ < λ₂ ≤ λ₃ ≤ . . . −→

j→∞ +∞

DEF. (domaine de H_V )

u ∈ D(H_V ) ⇔ ^X λ²_j|γ_j|² ≤ ∞ avec γ_j = (ψ_j|u)

u ∈ D(H_V ) ⇔ u ∈ L², |ξ|²uˆ ∈ L² et V (x)u(x) ∈ L².

Equation de Schr¨´ odinger

( i^∂u_∂t = H_V u dans R _× R³

u(0, x) = u₀(x) dans D(H_V ) avec ku₀k_L2 = 1

u(t, x) = ^X

j

c_j(u₀)e^−itλjψ_j(x) ; c_j(u₀) = (ψ_j|u₀)

u(t, x) = ^X

j

e^−itλjψ_j(x)

Z

ψ_j(y)u₀(y)dy