Chapitre 3 : étude de fonctions et problèmes Page 1
Chapitre 3 : Etude de fonctions et problèmes
Objectifs :
*Connaitre les propriétés des fonctions de référence 1. Fonctions affines
Définitions : Une fonction affine f est définie sur R par , où a et b sont deux nombres réels. Lorsque b = 0, la fonction f définie par est une fonction linéaire. Lorsque , la fonction f définie par est une fonction constante.
Remarques : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Dans le cas d’une fonction linéaire, il s’agit d’une droite passant par l’origine du repère. Dans le cas d’une fonction constante, il s’agit d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Pour la fonction f définie sur R par f x( )axb : a est le coefficient directeur et b est l’ordonnée à l’origine de la droite représentative.
Propriété : Soit f une fonction affine définie sur R par . Si , alors f est croissante sur R.
Si , alors f est décroissante sur R.
Si , alors f est constante sur R.
Propriété : Soit f une fonction affine définie sur R par . On a les tableaux de signes suivant :
Si , alors Si , alors x
f(x) - 0 + 2 .Fonction carré
Définition : La fonction carré f est définie sur R par . Représentation graphique :
Remarques :
* Dans un repère, la courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O.
* Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Propriété : La fonction carré f est décroissante sur l’intervalle et croissante sur l’intervalle .
x f(x) + 0 -
x -2 -1 0 1 2 f(x) 4 1 0 1 4
Chapitre 3 : étude de fonctions et problèmes Page 2 3. Fonction inverse
Définition : La fonction inverse f est définie sur R\ par .
Remarque : La fonction inverse n’est pas définie en 0.
Représentation graphique :
Remarques :
1) Dans un repère (O, I, J), la courbe de la fonction inverse est une hyperbole de centre O.
2) La courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine.
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur l’intervalle et décroissante sur l’intervalle .
Remarque : La variation d’une fonction ne peut s’étudier que sur un intervalle. On ne peut donc pas évoquer de décroissance sur ]-∞ ; 0[ U ]0 ; +∞[ qui n’est pas un intervalle mais conclure de manière séparée que la fonction inverse est décroissante sur l’intervalle ];0[ et décroissante sur
l’intervalle]0;[.
5. Fonctions homographiques
Définition : Une fonction homographique f est définie par
, où a, b, c et d sont des nombres réels donnés et c 0.
6. Fonction racine carré
Définition : La fonction racine carrée est la fonction f définie sur . par .
Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle . x -2 -1 0,25 1 2 3
f(x) -0,5 -1 4 1 0,5 1 3
Chapitre 3 : étude de fonctions et problèmes Page 3 7. Fonction cube
Définition : La fonction cube est la fonction f définie sur R par . Propriété : La fonction cube est strictement croissante sur R.
Remarques : Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction cube est symétrique par rapport au centre du repère.
Exercices :12à25p46+28à38p47+46à48p50+50p51+54,58p52+60à63p53+79p57Hyperbole ES/L 2011 Nathan
Exercices supplémentaires : p38,41,43à45+26,27,39,40p47+p54,55 Hyperbole ES/L 2011 Nathan
