Les polynômes.

(1)

Arthur LANNUZEL

le 29 Novembre 2008

http ://mathutbmal.free.fr

Les polynˆ omes

K=Rou C.

1 D´ efinition-Notation.

Définition 1.1 On appelle polynôme à une indéterminée sur K, un objet du type :

P(X) = X∞

k=0

p_kX^k avec p_k = 0 sauf pour un nombre f ini de k.

On note K[X] l’ensemble des polynômes à une indéterminée sur K.

D´efinition 1.2 (degr´e, valuation)

1) On appelle degr´e du polynˆome P(X) = P_∞

k=0p_kX^k 6= 0, le plus grand k tel que p_k 6= 0.

deg(P(X)) := max{k ∈N/p_k 6= 0}.

Par convention deg(0) =−∞.

2) On appelle valuation du polynˆome P(X) =P_∞

k=0p_kX^k6= 0, le plus petit k tel que p_k 6= 0.

val(P(X)) := min{k ∈N/p_k 6= 0}.

Par convention val(0) = +∞.

Exemples 1.3 1) P(X) = 5X⁴−X²+X, val(P(X)) = 1, deg(P(X)) = 4.

2) P(X) =−2.3, val(P(X)) = 0, deg(P(X)) = 0.

Remarque 1.4 On a une correspondance bijective entre les polynˆomes formels X∞

k=0

pk.x^k

comme d´efinis ci-dessus et les fonctions polynˆomes P : K −→ K

x 7→ P_∞

k=0p_k.x^k .

Cette correspondance est totale. Par exemple, on verra plus tard que la définition formelle du polynôme dérivée correspond avec la dérivée analytique de la fonction polynôme.

(2)

2 Op´ erations sur les polynˆ omes ` a une ind´ etermin´ ee.

Définition 2.1 i) Deux polynômes sont égaux si chacun de leurs coefficients sont égaux : X∞

k=0

akX^k = X∞

k=0

bkX^k⇐⇒ ∀i∈N, ai =bi.

ii) Somme de deux polynˆomes :

( X∞

k=0

a_kX^k) + ( X∞

k=0

b_kX^k) = X∞

k=0

(a_k+b_k)X^k.

iii) Multiplication par un scalaire λ∈K :

λ.

X∞

k=0

a_kX^k= X∞

k=0

(λ.a_k)X^k.

iv) Produit de deux polynˆomes :

( X∞

k=0

a_kX^k)×_K[X_]( X∞

k=0

b_kX^k) = X∞

k=0

( Xk

i=0

a_i.b_k−i)X^k.

Propriétés 2.1.1 i) (K[X],+,×) est un anneau commutatif (unitaire). Le neutre pour la loi + est le polynôme P(X) = 0 et celui pour la loi × est le polynôme P(X) = 1.

ii) deg(P(X) +Q(X))≤max{deg(P(X)),deg(Q(X))}avec égalité si ces deux polynômes sont de degré différents.

iii) val(P(X) +Q(X))≥ min{val(P(X)),val(Q(X))} avec égalité si ces deux polynômes sont de valuation différentes.

iv) deg(λ.P(X)) =deg(P(X)) siλ 6= 0.

v) val(λ.P(X)) =val(P(X)) siλ 6= 0.

vi) deg(P(X)×Q(X)) = deg(P(X)) + deg(Q(X)) si P(X)×Q(X)6= 0.

vii) val(P(X)×Q(X)) = val(P(X)) + val(Q(X)) si P(X)×Q(X)6= 0.

viii) P(X)×Q(X) = 0⇐⇒P(X) = 0 ou Q(X) = 0.

Preuve.

i) en exo.

(3)

ii) Soient P(X) = P

p_kX^k etQ(X) =P q_kX^k.

On a∀k >deg(P(X)),pk= 0 et∀k >deg(Q(X)),qk= 0. Donc∀k > max{deg(P(X)),deg(Q(X))}, p_k+q_k = 0, d’o`u deg(P(X) +Q(X))≤max{deg(P(X)),deg(Q(X))}.

Supposons maintenant deg(P(X)) < deg(Q(X)), alors p_deg(Q(X) = 0 et q_deg(Q(X₎ 6= 0, donc pdeg(Q(X)+qdeg(Q(X) 6= 0,

d’o`u deg(P(X) +Q(X)) = max{deg(P(X)),deg(Q(X))}

iii), iv), v), vi), vii), viii) en exo.

CQFD

3 Division euclidienne.

Proposition 3.1 Soient A(X), B(X)∈K[X] avec B(X) 6= 0.

Il existe alors un unique polynˆome Q(X) et un unique polynˆome R(X) tels que :

½ A(X) =B(X)×Q(X) +R(X)

R(X) = 0 ou deg(R(X))< deg(B(X))

Q(X) est appel´e le quotient de la division euclidienne de A(X) par B(X).

R(X) est appel´e le reste de la division euclidienne de A(X) par B(X).

Si R(X) = 0, on dit que B(X) divise A(X).

Preuve.

1) Unicit´e

Soient Q(X), R(X), Q₁(X), R₁(X) ∈ K[X] tels que A(X) = Q(X).B(X) +R(X), A(X) = Q₁(X).B(X) +R₁(X), deg(R(X))≤deg(B(X)) et deg(R₁(X))≤deg(B(X)).

Alors Q(X).B(X) +R(X) = Q1(X).B(X) +R1(X), d’o`u B(X).(Q1(X)−Q(X)) = R(X)− R₁(X).

- SiQ₁(X)6=Q(X) alors deg(B(X).(Q₁(X)−Q(X))) = deg(B(X)) +deg(Q₁(X)−Q(X)). Or deg(R(X)−R1(X))<deg(B(X)) par hypoth`ese.

D’o`u une contradiction.

- Si Q₁(X) =Q(X) alors R(X)−R₁(X) = 0 et, par suite, R(X) = R₁(X).

2) Existence.

i) Si A(X) = 0 alors A(X) = B(X)×0 + 0, la proposition est v´erifi´ee.

ii) Si deg(A(X))<deg(B(X)) alors A(X) =B(X)×0 +A(X), la proposition est v´erifi´ee.

iii) Si deg(A(X))≥deg(B(X)).

PosonsA(X) = P

a_kX^k et B(X) =P b_kX^k.

Il existec0X^q⁰ tel que A(X) =B(X)×c0X^q⁰ +A1(X) avec deg(A1(X))≤deg(A(X))−1.

- Si deg(A₁(X))<deg(B(X)), la proposition est v´erifi´ee.

- Si deg(A₁(X))≥deg(B(X)), on continue.

Il existe c1X^q¹ tel que A(X) = B(X)×c0X^q⁰ +B(X)×c1X^q¹ +A2(X) avec deg(A2(X)) ≤ deg(A₁(X))−1≤deg(A₁(X))−2.

- Si deg(A₂(X))<deg(B(X)), la proposition est v´erifi´ee.

(4)

- Si deg(A₂(X)) ≥ deg(B(X)), on continue jusqu’à obtenir deg(A_i(X)) < deg(B(X)) (ce qui sera vérifié après un nombre d’étapes inférieure à deg(A(X)−deg(B(X)) + 1.

CQFD

Exemples 3.2 (pour illustrer la m´ethode)

Faisons la division euclidienne de X⁵−7X³+X−6 par X³ +X²−X−1.

4 Diviseur commun ` a 2 polynˆ omes.

Définition 4.1 Soient A(X) et B(X) deux polynômes de K[X]. On dit que C(X)∈K[X] est un diviseur commun à A(X) et B(X) si C(X) divise A(X) et B(X).

Exemples 4.2 X+ 1 est un diviseur commun `a X² −1 et X³+ 2X²+X.

Remarque 4.3 (en exo.)

Si P(X) divise Q(X) et Q(X) divise P(X) alors P(X) et Q(X) sont dits ´equivalents et

∃λ∈K/Q(X) =λ.P(X).

Th´eor`eme 4.4 (admis)

Soient A(X) et B(X) deux polynômes de K[X] non-nuls. Il existe des polynômes de degré maximal qui sont diviseurs communs de A(X) et B(X).

Ces diviseurs sont appel´esplus grands communs diviseurs (PGCD) deA(X)et B(X). Ils sont tous´equivalents (i.e. siP(X)etQ(X)sont PGCD deA(X)etB(X)alors∃λ∈K/Q(X) = λ.R(X)).

M´ ethode de recherche d’un PGCD (algorithme d’Euclide).

Soit A(X) et B(X) deux polynˆomes.

Effectuons la division euclidienne de A(X) par B(X) :

A(X) =Q1(X)B(X) +R1(X), avec R1(X) = 0 ou deg(R1(X))<deg(B(X)).

- Si R1(X) = 0 alors B(X) divise A(X) et B(X) est un PGCD.

- Si R₁(X)6= 0, on effectue la division de B(X) par R₁(X) :

B(X) = Q₂(X)R₁(X) +R₂(X), avec R₂(X) = 0 ou deg(R₂(X))<deg(R₁(X)).

- Si R₂(X) = 0 alors R₁(X) divise B(X).

MaisA(X) =Q₁(X)B(X) +R₁(X) donc R₁(X) divise A(X).

Donc R₁(X) divise les PGCD de A(X) et B(X).

- Si R₂(X)6= 0, on effectue la division de R₁(X) par R₂(X).

...

(5)

On continue jusqu’`a obtenir R_k(X) = 0 (ce qui arrivera puisque ∀k ∈ N, R_k(X) = 0 ou degRk(X)<degRk−1(X). Le nombre maximum d’´etape est donc deg(B(X)).

Quand R_k(X) = 0, R_k−1(X) divise les PGCD de A(X) et B(X).

Montrons que Rk−1(X) est un PGCD deA(X) et B(X).

Soit P(X) un PGCD de A(X) et B(X).

AlorsP(X) divise R₁(X) = A(X)−Q₁(X)B(X) ; donc P(X) divise R2(X) =B(X)−Q2(X)R1(X),

donc par récurrence, P(X) divise R_k(X) à chaque étape, donc R_k−1(X) est équivalent à P(X),

donc Rk−1(X) est un PGCD de A(X) et B(X).

CQFD

Corollaire 4.5 (Th´eor`eme de Bezout)

Soient A(X) et B(X), 2 polynˆomes sur K et D(X) un PGCD de A(X) et B(X).

Alors il existe U(X), V(X)∈K[X] tels que D(X) = A(X)U(X) +B(X)V(X).

Preuve.

Voir exemple ci-dessous.

CQFD

Exemples 4.6 B(X) = X⁴+ 2X²+ 1 et A(X) = X⁵+X⁴−X−1.

- A(X) =Q₁(X)B(X) +R₁(X) avec Q₁(X) =X+ 1 et R₁(X) = −2X³−2X²−2X−2.

- B(X) =Q2(X)R1(X) +R2(X) avec Q2(X) = −¹₂X+ ¹₂ et R2(X) = 2X²+ 2.

- R₁(X) =Q₃(X)R₂(X) +R₃(X) avec Q₃(X) = −X−1 et R₃(X) = 0.

Donc 2X²+ 2 (ou X²+ 1) est un PGCD de A(X) et B(X).

On ”remonte” maintenant l’algorithme pour trouver U(X) et V(X) vérifiant le théorème de Bezout et

R2(X) = B(X)−Q1(X)R1(X) = B(X)−Q2(X)(A(X)−Q1(X)B(X)) ce qui donne facilement le r´esultat.

5 Polynˆ omes premiers et premiers entre eux.

Définition 5.1 Un polynôme A(X) ∈ K[X] est dit irreductible ou premier dans K[X] ssi les seuls polynômes de K[X] qui le divisent sont de degré 0 ou équivalent à A(X).

Exemples 5.2 X²+ 1 est irr´eductible dans R[X] mais r´eductible dans C[X].

(6)

Définition 5.3 Deux polynômes A(X), B(X) ∈ K[X] sont dits premiers entre eux ssi un (ou les) PGCD de A(X) et B(X) est de degré 0. Ce qui équivaut à dire que si C(X) divise A(X) et B(X) alors C(X) est de degré 0.

Théorème 5.4 Soient A(X) et B(X) deux polynômes sur K et D(X) un PGCD de A(X) et B(X). Soient A⁰(X) et B⁰(X) tels que A(X) = D(X)A⁰(X) et B(X) = D(X)B⁰(X). Alors A⁰(X) et B⁰(X) sont premiers entre eux.

Preuve.

Supposons A⁰(X) et B⁰(X) non premiers entre eux.

Alors il existeD⁰(X) tel que deg(D⁰(X))>0.

DoncD(X).D⁰(X) diviseA(X) etB(X) avec deg(D(X).D⁰(X))>deg(D(X) d’o`u une contradiction.

Donc A⁰(X) et B⁰(X) sont premiers entre eux.

CQFD

Th´eor`eme 5.5 (de Gauss)

Soient A(X), B(X), C(X)∈K[X] tels que A(X) divise B(X).C(X) et A(X) premier `a B(X) (i.e. A(X) et B(X) premiers entre eux). Alors A(X) divise C(X).

Preuve.

A(X) divise B(X)C(X) donc il existeD(X)∈K[X] tel queB(X)C(X) =D(X)A(X).

D’après le théorème de Bezout, puisqueA(X) etB(X) premiers entre eux, on a 1 =A(X).U(X)+

B(X).V(X),U(X), V(X)∈K[X].

D’o`u C(X) = A(X)C(X)U(X) +B(X)C(X)V(X) = A(X)C(X)U(X) +D(X)A(X)V(X) = A(X)(C(X)U(X) +D(X)V(X)).

Donc A(X) divise C(X).

CQFD

Corollaire 5.6 1) SiA(X)premier `aB(X)etD(X)diviseA(X)alorsD(X)premier `a B(X).

2) Si A(X) premier à B(X) et à C(X) alors A(X) premier à B(X)C(X).

3) Si A(X) premier à C(X) alors tout diviseur commun à A(X) et B(X)C(X) est diviseur commun à A(X) et B(X).

4) Si B(X) divise A(X) et C(X)divise A(X), B(X)étant premier à C(X), alors B(X)C(X) divise à A(X).

Preuve.

en exo CQFD

(7)

6 Division suivant les puissances croissantes.

Proposition 6.1 (admise)

Soit A(X), B(X)∈K[X] avec val(B(X)) = 0.

Alors, pour tout m∈N, il existe Q(X)∈K[X] unique et R(X)∈K[X] unique tels que

½ A(X) =B(X)×Q(X) +X^m+1R(X) Q(X) = 0 ou deg(Q(X))≤m

Q(X) est appelé quotient et R(X) appelé reste de la division suivant les puissances croissantes de A(X) par B(X) à l’ordre m.

Exemples 6.2 1) Diviser suivant les puissances croissantes 1 +X par 1 +X² `a l’ordre 2.

2) Diviser suivant les puissances croissantes A(X) = 2 + 3X+ 2X²−2X³ −7X⁴ + 4X⁵ par B(X) = 1 +X−X² `a l’ordre 3.

7 Polynˆ ome d´ eriv´ es, racines.

7.1 Polynˆ ome d´ eriv´ es.

Proposition-d´efinition 7.1 SoitP(X) =P_∞

k=0pk.X^k ∈K[X]. On appellepolynôme dérivé de P(X) et on note P⁰(X), le polynôme

P⁰(X) = X∞

k=0

(k+ 1)p_k+1X^k. Et deg(P⁰(X)) =deg(P(X))−1 si deg(P(X))>0.

Remarque 7.2 Soit P(X) = P_∞

k=0p_k.X^k ∈K[X].

Pour i∈N, P⁽ⁱ⁾(X) est la iéme dérivée successive de P(X) et P⁽ⁱ⁾(X) =

X∞

k=0

(k+i).(k+i−1)...(k+ 1)p_k+iX^k = X∞

k=0

(k+i)!

k! p_k+iX^k.

Propriétés 7.2.1 i) ∀λ∈K, ∀P(X)∈K[X], le polynôme dérivé de λ.P(X) est λ.(P⁰(X)).

ii) ∀P(X), Q(X)∈K[X], le polynôme dérivé de P(X) +Q(X) est P⁰(X) +Q⁰(X).

iii) ∀P(X), Q(X)∈K[X], le polynôme dérivé de P(X)×Q(X) est P⁰(X)Q(X) +P(X)Q⁰(X).

7.2 Racines.

Proposition 7.3 SoientP(X)∈K[X]etα∈K. Les propositions suivantes sont alors ´equivalentes : i) α racine de P(X) (i.e. P(α) = 0).

ii) (X−α) divise P(X).

(8)

Preuve.

ii) =⇒i) est ´evident.

i) =⇒ ii). Soit α une racine de P(X), alors grˆace `a la division euclidienne, on a P(X) = (X−α)Q(X) +R(X) avec R(X) = 0 ou deg(R(X))<1 (R(X) est une constante).

Mais P(α) = 0 =R(α). Donc R(X) = 0.

CQFD

D´efinition 7.4 On dit que α est une racine d’ordre k de P(X) ssi P(X) = (X−α)^kQ(X) avec Q(α)6= 0.

Proposition 7.5 (admis)Soit P(X)∈K[X]. Les propositions suivantes sont ´equivalentes : i) α racine d’ordre k de P(X).

ii) P(α) = P⁰(α) =P⁽²⁾(α) =...=P^(k−1)(α) = 0 et P^(k)(α)6= 0.

Lemme 7.6 (facile)

∀j ∈N,∀P(X), Q(X)∈K[X],

(P(X).Q(X))^(j) = Xj

i=0

C_jⁱ.P⁽ⁱ⁾(X).Q^(j−i)(X).

Preuve de la proposition. (non r´edig´ee)

8 Cas de C[X ].

Th´eor`eme 8.1 (de d’Alembert) (admis)

Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 de C[X] admet au moins une racine.

Corollaire 8.2 i) Tout polynˆome de C[X] est scind´e. i.e. Si P(X) ∈ C[X], deg(P(X)) = n alors

∃a, α1, α2, ..., αn∈C/P(X) = a.(X−α1).(X−α2)...(X−αn).

De plus, cette factorisation est unique `a l’ordre des facteurs pr´es.

ii) Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1.

iii) Soient A(X), B(X) ∈ C[X]. A(X) divise B(X) ssi toute racine de A(X) d’ordre k est racine de B(X) d’ordre au moins k.

Exercice 8.3 1) Trouver une racine ´evidente de X³+ 1 et factoriser ce polynˆome dans C[X].

2) Factoriser X³+ 2 dans C[X].

(9)

9 Cas de R[X ].

Soit P(X) =P_∞

k=0pk.X^k ∈R[X]. Alors P(X)∈C[X].

Soit α∈C une racine de P(X). P(α) = P_∞

k=0p_k.α^k = 0.

Donc P(α) = P_∞

k=0pk.α^k =P_∞

k=0pk.α^k = 0, donc α est racine de P(X).

ATTENTION : cela ne fonctionne pas siP(X)∈C[X] et P(X)6∈R[X]. Pourquoi ?

Conséquence 9.1 i) Tout polynôme de R[X] admet sur C un nombre pair de racines non- réelles.

ii) Tout polynôme de R[X] de degré impair admet une racine réelle.

D´ ecomposition des polynˆ omes de R[X ] dans R ?

Soit P(X)∈R[X].

Dans C[X], On a :

P(X) = a.

Yr

i=1

(X−αi).

Ys

j=1

(X−βj)(X−βj) avec α_i ∈R etβ_j ∈C−R.

Donc

P(X) =a.

Yr

i=1

(X−αi).

Ys

j=1

(X²−2.Re(βj))X+|βj|² avec,∀j ∈ {1,2, ..., s},X²−2.Re(β_j))X+|β_j|² de discriminant n´egatif.

Cette factorisation est unique `a l’ordre des facteurs pr´es.

Exercice 9.2 D´ecomposer dans R[X] et C[X] les polynˆomes : 1) P(X) =X⁴+ 1.

2) P(X) =X⁵+X⁴+ 3X³+ 3X²+ 2X+ 2 et Q(X) = X⁴+X³+ 3X²+ 2X+ 2 apr`es avoir trouver un PGCD.