Stabilité de la ferméture de l image et de l inverse généralisé

UNIVERSITÉ ABDELHAMID IBN BADIS-MOSTAGANEM

FACULTÉ DES SCIENCES EXACTES ET SCIENCES DE LA NATURE ET DE LAVIE

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES

Mémoire de Master

Spécialité : Modélisation, Contrôle et Optimitation Thème

Stabilité de la ferméture de l’image et de l’inverse

généralisé

Présenté par

ABBOU Soumia

AISSA Aicha

Soutenu le 24/05/2016 Devant le jury

Mr ...Bahri... Président U. MOSTAGANEM.

Mme ...Saidani... Examinateur U. MOSTAGANEM.

Mr OULD Ali Encadreur M C A U. MOSTAGANEM.

Année Universitaire 2015-2016

Table des matières

Remerciments i Résumé i Dédicaces1 i Dédicaces2 i Introduction i Notations ii 1 Rappels et dé…nitions : 1 1.1 Produit scalaire : . . . 1 1.2 Norme : . . . 1 1.3 Espace de Hilbert : . . . 2 1.4 Operateur borné . . . 2

1.5 Operateur non borné . . . 2

1.6 Adjoint d’un operateur . . . 2

1.7 projection orthogonale . . . 3

1.8 Opérateur fermé . . . 3

TABLE DES MATIÈRES 3

2 Stabilité de l’image fermé par la perturbation 5

2.1 Fermeture de l’image d’un opérateur borné . . . 5 2.2 Fermeture de l’image de la somme de deux opérateurs . . . 7

3 Stabilité de l’inverse généralisé par la somme 13

Conclusion 22

Remerciements

En tout premier lieu, nous remercions Allah le tout puissant, à la sagesse et au savoir in…nis, « Gloire à T oi ! Nous n’avons de savoir que ce que Tu nous as appris. Certes c’est

Toi l’Omniscient, le Sage.» (Sourate al-Baqarah, verset 32).

Nous souhaitons exprimer nos sincères remerciements à Mr Mohand Ouldali. C’est qui a encadré notre travail durant toute cette année. Sa patience, Ses encouragements ont été

d’un grand réconfort et d’une aide précieuse.

Nos reconnaissances vont également à l’ensemble de nos enseignants qui nous ont énormément transmis tout au long de notre cursus.

Nous tenons à remercier aussi les membres du jury d’avoir bien accepté de consacrer leurs temps a…n d’évaluer notre travail.

Résumé

Ce mémoire est consacré à :

1. L’étude de la préservation de la fermeture de l’image d’un opérateur fermé.

2. Dans le cas où le caractère de la fermeture est préservé, on donne les relations existantes entre les inverses généralisés de T et de (T + S):

dédicaces

Je dédie ce mémoire

A mes très chers parents qui m’ont toujours encouragé et orienté durant mes années d’études. Que Dieu les protège et puisse-t-il les rendre …ers de moi et de ce que j’ai pu

accomplir, aussi modeste soit-il.

Particulièrement à ma mère qui a toujours été présente a mes cotés, la femme à qui je dois tout.

Et très spécialement a mon père, sans qui, tout aurait été presque impossible, l’homme qui m’a soutenu avec tout ce qu’il a.

A mes frères

A tous mes amis et camarades qui m’ont toujours soutenu A tous qui ont participé a ce travail de

prés ou de loin.

Sans oublier avec qui j’ai partagé cette experience, celui qui a contribué à ce travail avec beaucoup de sérieux, je cite : Aicha.

SOUMIA .

dédicaces

A la personne la plus chère, celle qui compte énormément à mes yeux, qui m’a élevé et qui m’a éduqué, toi qui n’avais jamais eu une attitude négative à mon égard, toi ma mère

que je t’aimerai toujours jusqu’aux derniers de mes jours.

A mon chèr père, à celui qui m’a poussé et motivé dans mes études et à qui je dois ma place maintenant pour ses sacri…ces.

A mes sœurs, à qui je souhaite un avenir plein de succès et de bonheur. A tous mes amis et camarades,

A tous ceux que j’aime et qui m’aiment, A mon amie et camarade de ce mémoire

Soumia et toute sa famille, A tous qui ont participé a ce travail de

Prés ou de loin.

AICHA .

INTRODUCTION

Le théme abordé dans ce mémoire rentre dans le cadre de la théorie de perturbation, au fait, on s’intéresse à la préservation de la fermeture de l’image d’un opérateur fermé par des opérateurs bornés . On donnera des conditions su¢ santes qui réaliseront cette caractérisation. On rappelle que la fermeture de l’image d’un opérateur est directement liée à la résolotuion de l’équation y = Ax pour A un opérateur fermé de H dans H:

La manuscrit présenté est dévisé en trois chapitres .

-Le premier chapitre est un rappel des di¤érentes notions mathématiques dont on a besoin : espace de Hilbert, projection orthgonale, opérateur borné, opérateur non borné, oprateur fermé, l’inverse génralisé d’un opérateur .

-Dans le deuxième chapitre, on donne des conditions nécessairs et su¢ santes pour la fermeture de l’image d’un opérateur fermé et en deuxième lieu on dennera des conditions su¢ santes qui préserveront la fermeture de l’image d’un opérateur fermé perturbé par un opérateur borné . -Le dernier chapitre est consacré à l’étude de la stabilité de l’inverse généralisé par rapport à la perturbation.

NOTATIONS

Nous utiliserons les notations suivantes tout au long du travail. – L(E; F ) : L’ensemble des opérateurs linéaires de E dans F:

– D(T ) : Le domaine de T est l’ensemble des vecteurs x 2 E pour lesquels il existe une image y_{2 F: D(T ) = fx; T x est existeg}

– N (T ) : Le noyau de T est le sous espace de E dé…ni par : N (T ) = fx 2 D(T ); T (x) = 0g – R(T ) : L’image de T est le sous espace de F dé…ni par : R(T ) = fy 2 F ; y = T (x) ; x 2 D(T )g – B(H1; H2) : L’espace de tous les opérateurs borné entre H1 et H2:

– C(H1; H2) :La classe de tous les opérateurs fermé de H1dans H2:

– B(H; H) = B(H) et C(H; H) = C(H):

– C(T ) := D(T ) \ N(T )? _{:est appellé le support de T:}

– PM :Projection orthogonale sur un sous ensemble M de H:

– M :Adhérence de M:

– M?_{:L’orthogonale de M dans H:}

– I :L’opérateurs identité sur H: – T :Adjoint de T:

Chapitre 1

Rappels et dé…nitions :

1.1

Produit scalaire :

Dé…nition 1.1.1 Soit E un espace vectoriel complexe une application : h:; :i : E E _{! C}

(x; y)_{! hx; yi} est appelée produit scalaire - si elle est :

1. sesquilinéaire : 8 x; y; z 2 E : hx + y; zi = hx; zi + hy; zi 8 x; y 2 E; 8 2 C : h x; yi = hx; yi 2. hermitienne : 8x; y 2 E : hx; yi = hy; xi 3. positive : 8x 2 E; hx; xi 2 R+ ₍ hx; xi > 0) 4. dé…nie : 8x 2 E; hx; xi = 0 =) x = 0

1.2

Norme :

Dé…nition 1.2.1 _{Une norme sur un | espace vectoriel E est une application k:k : E ! R}+

1.3 Espace de Hilbert : 2

kxk = 0 () x = 0

k xk = j j kxk 8 2 |; 8x 2 E kx + yk 6 kxk + kyk 8x; y 2 E

Un | espace vectoriel muni d’une norme k:k est appelé un | espace vectoriel normé ou simplement espace normé.

1.3

Espace de Hilbert :

Dé…nition 1.3.1 On appelle espace de Hilbert un espace vectoriel complexe H muni d’un produit scalaire (x; y) ! hx; yi

tel que l’espace H muni de la norme induite par le produit scalaire est complet Remarque 1.3.1 _{On notera 8x 2 H; kxk =}p_{hx; xi:}

1.4

Operateur borné

Dé…nition 1.4.1 _{Soit H un espace de Hilbert et soit T : H ! H un opérateur linéaire .On} dit que T est borné si et seulement si : 9C > 0; kT xk C_{kxk ; 8x 2 H:}

1.5

Operateur non borné

Dé…nition 1.5.1 Un opérateur linéaire T non borné dans un espace de Hilbert H est un opérateur dé…ni sur un sous-espace vectoriel propre D(T ) H à valeurs dans H:

1.6

Adjoint d’un operateur

Dé…nition 1.6.1 _{Un opérateur T 2 L(E; F ) est dit densement dé…ni si D(T ) = E:}

Dé…nition 1.6.2 _{Soit T 2 L(E; F ); l’unique application linéaire T 2 L(F; E) tel que pour} tout x 2 E; y 2 F on ait: hT (x); yi = hx; T (y)i est appelée adjoint de T .

Dé…nition 1.6.3 _{Soit T 2 C(H) un opérateur densement dé…ni alors T est :} Normal si : D(T ) = D(T ) et T T = T T:

1.7 projection orthogonale 3

Symétrique si : D(T ) D(T )_{et T x = T x 8x 2 D(T ):} Auto adjoint si : T = T

Positif si : T = T et hT x; xi > 0; 8x 2 D(T ):

1.7

projection orthogonale

Dé…nition 1.7.1 Soit H un espace de Hilbert complexe. une projection orthogonale sur H est un opérateur P 2 B(H) tel que :

P = P = P2

1.8

Opérateur fermé

Soient E et F deux espaces de Banach et soit T : D(T ) E _{! F un opérateur.}

Dé…nition 1.8.1 Le graphe de T est le sous espace vectoriel de E E noté G(T ) dé…ni par : G(T ) =_{f(x; T x); x 2 D(T )g}

Dé…nition 1.8.2 _{On dit que T : E ! F est fermé si et seulement si 8 x}n2 D(T ) :

8 < : lim xn n!+1 = x lim T xn n!+1 = y 9 = ; alors x 2 D(T ) et y = T x.

Proposition 1.8.1 un operateur T : D(T ) E _{! F est fermé si et seullement si son} graphe G(T ) est fermé dans E F.

Dé…nition 1.8.3 _{On appelle conorme d’un opérateure T 2 C(H) le nombre :} (T ) = inf_{fkT xk ; x 2 C(T ); kxk = 1g Où C(T ) = D(T ) \ N(T )}?

1.9 L’inverse généralisé d’un operateur 4

1.9

L’inverse généralisé d’un operateur

Dé…nition 1.9.1 _{Un opérateur T 2 C(X; Y ) possède un inverse généralisé s’il existe un} opérateur S 2 B(Y; X) tel que : R(S) D(T ) et

1. T ST x = T x _{8x 2 D(T )} 2. ST Sy = Sy _{8y 2 Y}

On note l’inverse généralisé de T par T+:

Dé…nition 1.9.2 _{Soit T 2 C(H), alors il existe un unique opérateur T}y _{2 C(H) dé…ni sur} H de domaine D(Ty_{) = R(T )} ?_{R(T )}? _{tel que :}

– T Ty_{y = P}

R(T )y;8y 2 D(Ty)

– TyT x = PN (T )?x;8x 2 D(T )

– N (Ty_{) = R(T )}?_:

Chapitre 2

Stabilité de l’image fermé par la

perturbation

2.1

Fermeture de l’image d’un opérateur borné

Dans cette partie, on va établir une condition nécessaire et su¢ sante pour qu’un opérateur soit à image fermée.

Théorème 2.1.1 _{Si T 2 B(X; Y ), alors les propriétés suivantes sont équivalentes :} 1. R(T ) est fermé. 2. R(T ) est fermé. 3. R(T T ) est fermé. 4. R(T T ) est fermé. 5. (T ) > 0: 6. T+ _{est borné, T}y ₌ 1 (T ): 7. T0 = TjC(T ) a un inverse borné.

8. kT xk k_{kxk ; pour tout x 2 C(T ) avec k > 0:} Preuve. On montre que Ty ₌ 1

(T )

En e¤et, pout tout x 2 D(T ), nous avons (I Ty_{T )x2 N(T ):}

2.1 Fermeture de l’image d’un opérateur borné 6

d’ou : (T ) Ty 1

Comme (T ) Ty 1 _{pour tout x 2 D(T ) \ N(T )}? _{avec kxk = 1 nous obtenons pour tout}

y_{2 Y tel que T}yy = 1

(T ) T Tyy =_{kQyk kyk} pour tout y 2 Y avec Ty_{y6= 0; (T )} kyk

kTyyk, donc (T ) inf kyk kTy_yk; y 2 Y; T y_{y6= 0 = sup} ( Ty_y kyk ; y 2 Y )! 1 = Ty 1 par conséquent (T ) = Ty 1

(1) =_{) (5) Supposons R(T ) est fermé, alors l’opérateur} T : D(T )f _{jN(T )}? ! R(T ) est injectif

et on a R(T ) = R(T )f est fermé, donc Tf admet un inverse borné

0<inf 8 > > < > > : f T x k[x]k; [x]2 D( f T ) 9 > > = > > ; = inf kT xk d(x; N (T )); x2 D(T ); x =2 N(T ) =inf kT xk d(x; N (T )); x2 C(T ) = (T )

par conséquent R(T ) est fermé nous donne (T ) > 0 (5) =_{) (1) inversement si (T ) > 0 alors T}y ₌ 1

(T ) est bornée et par suite R(T ) est fermé

(1) _{() (6) Supposons R(T ) est fermé}

R(T ) est fermé ₍₎ (T ) > 0 () Ty > 0 () Ty est borné.

(4) =_{) (1) Si R(T ) n’est pas fermé alors (T ) = 0; d’ou (T T ) = 0 donc R(T T ) n’est} pas fermé .

(1) =_{) (4)Si R(T ) est fermé alors (T ) > 0, d’ou T}y _{est borné de même pour (T}y_{) T}y _et

comme (T T )y_{= T}y_{(T )}y _{alors :} (T T ) = 1 k(T T )y_k 1 kTy_k2 = (T ) 2 _{> 0}

2.2 Fermeture de l’image de la somme de deux opérateurs 7

d’ou R(T T ) est fermé .

(7) _{() (8) Soient l’opérateur}T : D(T )f _{=N (T )}? ! R(T ) et :

f

H = T v _{2 H : v 2 C(T ) = D(T ) \ N(T )}? Comme Tf est injectif alors Tf1 _{est bien dé…ni surH}f _{, de plus}

sup w2H=f0gf f T 1_w k[w]k = sup kvk kT vk; v 2 C(T ); v 6= 0 = inf kT vk kvk ; v 2 C(T ); v 6= 0 1 Il s’ensuit que f

T 1 est borné si et seulement si T est borné inférieurement, c’est à dire (8)

2.2

Fermeture de l’image de la somme de deux

opéra-teurs

Nous donnons dans cette partie des conditions su¢ santes pour que la fermeture de l’image d’un opérateur fermé reste fermée sous perturbation .

Proposition 2.2.1 _{Soit T 2 C(H}1; H2) densement dé…ni à image fermée . Soit S 2 B(H1; H2);

alors :

1. STy_{T = Sj}

D(T ) () N(T ) N (T + S)() N(T ) N (S)

2. Si STy < 1 et STyT = S_jD(T ) , alors N (T + S) = N (T )

Preuve. 1. (1) On veut prouver que

N (T ) N (T + S)_{() N(T )} N (S) Supposons que N (T ) N (T + S)_{c’est a dire ,soit x 2 N(T ) alors :}

x ₂ N (T ) =_{) x 2 N(T + s)} =_{) (T + S)x = 0}

=_{) T x + Sx = 0}

=_{) Sx = 0} car T x = 0 =_{) x 2 N(S)}

2.2 Fermeture de l’image de la somme de deux opérateurs 8

donc :

x_{2 N(T ) =) x 2 N(S)} D’ou : N (T ) N (S)

De méme pour l’inverse :

Supposons que N (T ) N (S); _{Soit x 2 N(T ) :}

x ₂ N (T ) =_{) T x = 0} =_{) Sx = 0 car x 2 N(S)} par sommation =) T x + Sx = 0 =_{) (T + S)x = 0} =_{) x 2 N(T + S)} D’ou le résultat

(2) maintenant et d’aprés la relation précédent on veut prouver que STyT = S _jD(T )() N(T ) N (S) Supposons que STyT = S _jD(T ), Si x 2 N(T ) D(T ) Sx = STyT x = O car TyT x = O =_{) Sx = 0} =_{) x 2 N(S)} D’ou STy_{T = S j} D(T )=) N(T ) N (S)

Pour l’inverse : Supposons que N (T ) N (S); _{Soit x 2 D(T ), x = u + v tel que u 2 N(T ) et} v _{2 C(T ), alors}

2.2 Fermeture de l’image de la somme de deux opérateurs 9 STyT x = STyT (u + v) = STyT u + STyT v = STyT v _{car u 2 N(T )} = SP_R(Ty)v = SP_{C(T )}v comme R(Ty) = C(T ) = Sv (P_{C(T )}v = v _{car v 2 C(T ))} = Su + Sv = S(u + v);( comme N (T ) N (S)) = Sx: D’ou N (T ) N (S) =_{) ST}y_{T = S j} D(T )

2. On sait déja que si STy_{T = S j}

D(T ) alors N (T ) N (T + S) , Il su¢ t de prouver que

N (T + S) N (T ) soit x 2 N(T + S) x ₂ N (T + S) =_{) (T + S)x = 0} =_{) T x + Sx = 0} =_{) T x + ST}yT x = 0 =_{) (I + ST}y)T x = 0 =_{) T x = 0 comme (I + ST}y) 1 _{2 B(H}1) =_{) x 2 N(T )} D’ou N (T ) = N (T + S)

Théorème 2.2.1 _{Soit T 2 C(H}1; H2) un opérateur densement dé…ni à image fermée, et

S _{2 B(H}1; H2) tel que :

(a) _{kSk <} 1 kTy_k et

2.2 Fermeture de l’image de la somme de deux opérateurs 10

alors R(T + S) est fermé.

Preuve. _{Comme R(T ) est fermé , on a kT xk} (T )_{kxk pour chaque x 2 C(T ): Comme} C(T + S) C(T ) car :

8x 2 C(T + S) =_{) x 2 D(T + S); x =2 N(T + S)} =_{) x 2 D(T ); x =2 N(T ) D’aprés (b)}

=_{) x 2 D(T ) \ N(T )}? =_{) x 2 C(T )}

par l’inégalitée triangulaire, pour tout x 2 C(T + S) k(T + S)xk = kT x + Sxk

jkT xk kSxkj j (T ) kxk kSk kxkj ( (T ) _{kSk) kxk :} Comme kSk < 1

kTy_k =) kSk < (T ) =) (T ) kSk > 0, alors 9k > 0 tel que k(T + S)xk

k_{kxk, d’ou R(T + S) est fermé.}

Proposition 2.2.2 _{Soit T 2 C(H}1; H2) densement dé…ni à image fermée, Soit S 2 B(H1; H2)

. Alors :

(1) T TyS = S si et seulement si R(S) R(T ) (2) Si T TyS = S; alors R(T + S) R(T )

(3) Si TyS < 1 et T TyS = S, alors R(T + S) = R(T ):

Preuve. (1) Soit T Ty_{S = S alors S = T (T}y_{S) T donc R(S) R(T )}

maintenant si R(S) R(T ); on a : Soit x 2 R(S)

x _{2 R(S) =) x 2 R(T )} d0o : T TySx = PR(T )Sx = Sx

2.2 Fermeture de l’image de la somme de deux opérateurs 11

(2) Supposons que T TyS = S alors T + S = T + T TyS T (I + TyS) T d’ou R(T + S) R(T )

(3)Il su¢ t de prouver que R(T ) R(T + S) On a Ty_{S < 1 alors (I + T}y_S) 1

2 B(H1): Si y = T x ,8x 2 D(T ), par la surjectivitée de

(I + TyS)_{, 9 u 2 D(T ) tel que :}

x = (I + TyS)u =_{) y = T (I + T}yS)u = T u + T TySu = T u + Su = (T + S)u d’ou : R(T ) R(T + S);et comme R(T + S) R(T )d’aprés (2), alors R(T + S) = R(T ): Théorème 2.2.2 _{Soit T 2 C(H}1; H2) un opérateur densement dé…ni à image fermée, et soit

S _{2 B(H}1; H2) tel que :

1. Ty_{S < 1}

2. T TyS = S:

Alors R(T + S) est fermé.

Preuve. D’aprés la proposition 2.2.2, R(T + S) = R(T ) . Comme R(T ) est fermé alors R(T + S) est fermé.

Théorème 2.2.3 _{Soit T 2 C(H}1; H2) un opérateur densement dé…ni à image fermée,

sup-posons que S 2 B(H1; H2) satisfaisant aux conditions suivantes :

(1) TyS < 1 (2) T Ty_{S = S et}

(3) STy_{T = Sj} D(T ):

alors

(a) R(T + S) est fermé et

(b) (T + S)y_{= (I + T}y_S) 1_Ty_{= T}y_{(I + ST}y₎ 1_{; par conséquent T}y_{= (T + S)}y_{(I + ST}y₎

Preuve. Notons d’abord que (T + S) est un opérateur fermé avec D(T + S) = D(T ); pour prouver (a), on montre que R(T + S) = R(T ); ce qui est dejà prouvé dans la proposition 2.2.2. Il reste à déduire la formule de Ty_:

2.2 Fermeture de l’image de la somme de deux opérateurs 12

Nous voulons prouver que Ty = (I + TyS)(T + S)y: il su¢ t de prouver :(T + S)y = (I + Ty_S) 1_Ty_{:Soit U := (I +T}y_S) 1_Ty_{;on montre que U satisfait tous les axiomes de la dé…nition}

de l’inverse de Moore-Penrose. Notons que la condition STy_{T = Sj}

D(T ) avec TyS < 1 implique que N (T ) = N (T + S):

Soit z 2 R(U); il existe y 2 D(Ty) tel que z = (I + TyS) 1Tyy, ainsi Tyy = z + TySz:Donc z = Ty_{y T}y_{Sz 2 C(T ) = C(T + S) D(T + S)} Maintenant pour z 2 D(T ); U (T + S)z = (I + TyS) 1Ty(T + S)z = (I + TyS) 1Ty(T + T TyS)z = (I + TyS) 1TyT (I + TyS)z = (I + TyS) 1P_{N (T )}?(I + TyS)z = (I + TyS) 1(I + TyS)z = z = PR(U )z: De plus : (T + S)U = (T + S)(I + TyS) 1Ty = (T + T TyS)(I + TyS) 1Ty = T (I + TyS)(I + TyS) 1Ty = T Ty = PR(T ) = PR(T +S)

Ensuite , on montre que R(U ) = R(S + T )? _{. Comme (I + T}y_S) 1 _{est inversible, N (U ) =}

N (Ty_{) = R(T )}?_{; et d’aprés proposition 2.2.2 on a R(T ) = R(T + S):}

L’unicité de(T + S)y _{est assurée par la dé…nition 1.9.2}

Comme R(S) R(T );d’aprés la série de Neumann, on a

(I + TyS) 1Ty= 1 X n=0 ( TyS)nTy= 1 X n=0 Ty( STy)n = Ty(I + STy):

Chapitre 3

Stabilité de l’inverse généralisé par la

somme

Dans ce chapitre, on donne des relations existantes entre l’inverse généralisée d’un opérateur férmé T à image fermé et l’inverse généralisé de son opérateur perturbé (T + S):

Corollaire 3.0.1 _{Soit T 2 C(H}1; H2) densement dé…ni à image fermée, supposons que

Sn2 B(H1; H2) satisfaisant les conditions du théorème 2.2.3 et Sn ! 0 alors :

(1) (T + Sn)y ! Ty dans la norme de l’opérateur de B(H2; H1):

(2) (T + Sn) ! (T ) lorsque n ! 1:

Preuve. (1) D’aprés le théorème 2.2.3 on a :

(T + Sn)y Ty = Ty(I + SnTy) 1 Ty(I + SnTy)(I + SnTy) 1 = Ty(I + SnTy) 1 (I (I + SnTy) = Ty(I + SnTy) 1( SnTy) alors : (T + Sn)y Ty = Ty(I + SnTy) 1( SnTy) Ty(I + SnTy) 1 kSnk Ty (I + TySn) 1Ty kSnk Ty comme Ty (I + SnTy) 1 = (I + TySn) 1Ty kSnk Ty Ty (I + TySn) 1 = _kSnk Ty 2 (I + TySn) 1 = kSnk T y 2 k(I + Ty_Sn)k kSnk Ty 2 jkIk kTy_Snkj = kSnk Ty 2 1 _kTy_Snk comme T y_S n < 1:

Stabilité de l’inverse généralisé par la somme 14 et kSnk Ty 2 1 _kTy_Snk ! 0 car Sn ! 0 D’ou : (T + Sn)y ! Ty (2) On a : j (Sn+ T ) (T )j = 1 k(Sn+ T )yk 1 kTy_k = T y _(S n+ T )y kTy_{k k(Sn+ T )}y_k (T + Sn)y Ty kTy_{k k(Sn+ T )}y_k kSnk Ty 2 (1 _kTy_{Snk) kT}y_{k k(Sn+ T )}y_k = _kSnk avec > 0 Ainsi j (Sn+ T ) (T )j ! 0 car Sn ! 0, alors (Sn+ T ) ! (T )

Corollaire 3.0.2 Soit T _{2 B(H}1; H2) est un opérateur injectif à image fermée, et soit

S _{2 B(H}1; H2) tel que : (a) R(S) R(T ): (b) Ty_{S < 1:} alors (1) T + S est injectif . (2) R(T + S) = R(T ): (3) (T + S)y_{= (I + T}y_S) 1_Ty_{= T}y_{(I + ST}y₎ 1 (4) (T + S)y kTyk 1 _kTyS_k (5) (T + S)y _Ty kTySkkTyk 1 kTySk

Stabilité de l’inverse généralisé par la somme 15

Preuve. (1)Comme T est injectif , TyT = I _jD(T )alors : STyT = SI jD(T )= S jD(T ) :

d’aprés la relation : (T + S)y_{= (I + T}y_S) 1_Ty_{= T}y_{(I + ST}y₎ 1 _{(qui a été déjà prouvé dans}

la preuve du théorème 2.2.3)

(T + S)y(T + S) = (I + TyS) 1Ty(T + S) = (I + TyS) 1(TyT + TyS) = (I + TyS) 1(I + TyS) = I

donc T + S est injectif

(2)D’aprés la proposition 2.2.2 , (a) équivalente à la condition T Ty_{S = S et comme T}y_{S < 1}

alors R(T + S) = R(T ): (4) (T + S)y = (I + TyS) 1Ty (I + TyS) 1 Ty = (I + TyS) 1 Ty = T y k(I + Ty_S)k Ty 1 _kTy_Sk

(5) a été déjà prouvé dans le corollaire précédent

Corollaire 3.0.3 _{soit T 2 B(H}1; H2) un opérateur surjectif et S2 B(H1; H2) tel que :

(a) N (T ) N (S) (b) STy _{< 1} alors (1) T + S est surjectif (2) N (T + S) = N (T ) (3) (T + S)y_{= T}y_{(I + ST}y₎ 1 _{= (I + T}y_S) 1_Ty

Stabilité de l’inverse généralisé par la somme 16

(4) (T + S)y kTyk

1 _kSTy_k

(5) (T + S)y _Ty kSTykkTyk 1 kSTy_k

Preuve. (1)Comme T est surjectif , T Ty _{= Ialors : ST T}y _{= S :}

d’aprés la relation : (T + S)y _{= T}y_{(I + ST}y₎ 1

(T + S)(T + S)y = (T + S)Ty(I + STy) 1 = (T Ty+ STy)(I + STy) 1 = (I + STy)(I + STy) 1 = I

donc T + S est surjectif.

(2)D’aprés la proposition 2.2.1 , (a) est équivalente à la condition ST Ty _{= S et comme}

STy < 1 alors N (T + S) = N (T ) (4) (T + S)y = Ty(I + STy) 1 Ty (I + STy) 1 = (I + STy) 1 Ty = T y k(I + STy_)k Ty 1 _kSTy_k (5) (T + S)y Ty = Ty(I + STy) 1 Ty(I + STy) 1(I + STy) = Ty(I + STy) 1 I (I + STy) = Ty(I + STy) 1( STy) Ty(I + STy) 1 ( STy) Ty (I + STy) 1 STy = ST y _Ty k(I + STy_)k STy _Ty 1 _kSTy_k

Stabilité de l’inverse généralisé par la somme 17

Corollaire 3.0.4 _{Soit T 2 B(H}1; H2) à image fermée et S 2 B(H1; H2) tel que :

(1) N (T ) N (S) (2) _{kSk T}y < 1 alors (i) N (T + S) = N (T ) (ii) (T + S)y kTyk 1 kSkkTy_k

Preuve. (i) regarde la proposition 2.2.1 (ii) (T + S)y = Ty(I + STy) 1 Ty (I + STy) 1 = (I + STy) 1 Ty = T y k(I + STy_)k Ty j1 kSTy_kj Ty j1 kSk kTy_kj = T y 1 _{kSk kT}y_k

Lemme 3.0.1 _{Soit T 2 B(H)tel que :}

kT xk 1kxk + 2k(I + T )xk pour tout x 2 H

Où j < 1; j = 1; 2: Alors : j 2 ( 1; 1) et (I + T ) est bijectif . De plus , 1 1 1 + 2 kxk k(I + T )xk 1 + 1 1 2 kxk pour tout x 2 H 1 1 1 + 2 kyk (I + T ) 1y 1 + 1

Stabilité de l’inverse généralisé par la somme 18

Théorème 3.0.4 _{Soit T 2 C(H}1; H2) densement dé…ni et S 2 B(H1; H2) tel que

kSxk 1kT xk + 2k(S + T )xk pour tout x 2 D(T ) ( )

Où 1 < 1 et 2 2 R: Alors :

(1) 2 > 1et k(S + T )xk 1₁₊ 1₂ kT xk pour tout x 2 D(T )

(2) N (T ) = N (T + S) = N (T )_{\ N(S)}

(3) Si R(T ) est fermé, alors R(T + S) est fermé, dans ce cas : (T + S)y 1 + 2 1 1 Ty (4) Si en plus , Ty_{T y = y 8y 2 H} 2, alors (T + S)y(T + S)y = y 8y 2 H2 et (T + S)y = Ty(I + STy) 1 Preuve.

Preuve. (1) Par inégalité triangulaire nous avons : kSx + T xk j kT xk kSxk j j kT xk ( 1kT xk + 2k(S + T )xk)j j kT xk 1kT xk 2k(S + T )xk j (1 1)kT xk j 2k(S + T )xk D’ou (1 + 2)k(S + T )xk (1 1)kT xk k(S + T )xk 1_{1 +} 1

2 kT xk pour tout x 2 D(T ) et comme

2 > 1

Il est facile de voire que N (T ) N (T + S) _{Soit x 2 N(T ) d’apré ( )} kSxk 1kT xk | {z } =0 + 2k(S + T )xk 0 + 2kSx + T xk 2kSx + 0k 2kSxk

Stabilité de l’inverse généralisé par la somme 19

D’ou

(1 2)kSxk 0

(1 2)kSxk = 0 comme 1 < 2 < 1 d’aprés le lemme 3.0.1,et kSxk 0

et par suite kSxk = 0 cela implique que x 2 N(S) et x 2 N(T ) c-à-d x 2 N(S) \ N(T ) ainssi N (T ) = N (T + S)

(3)Si R(T ) est fermé alors (T ) > 0 ainssi (T + S) > 0 donc R(T + S) est fermé (d’aprés le théoreme 2:1:1): Donc on peut remplacer dans ( ) T et S par Ty _{et S}y _on

obtient :

(T + S) 1 1 1 + 2

(T )

1. (4) D’apré (2) ona N (T + S) = N (S) on déduit que STy_{T = Sj}

D(T ) (d’aprés la

proposition 2:2:1) ainsi :

S + T = STyT + T = (I + STy)T

pour tout y 2 H2 : T Tyy = y et d’aprés l’hypothèse ( ) nous avons :

STyy 1 T Tyy + 2 ((S + T )Ty)y 1kyk + 2 (STy+ I)y

d’ou (I + STy_{) est bijectif nous obtenons donc :}

(T + S)y(I + STy) = (T + STyT )y(I + STy) = ((I + STy)T )y(I + STy) = Ty(I + STy)y(I + STy) | {z } I = Ty Donc (S + T )y= Ty(I + STy) 1

Stabilité de l’inverse généralisé par la somme 20

Corollaire 3.0.5 _{Soit T 2 C(H}1; H2) densement dé…ni et S 2 B(H1; H2) tel que :

k(S T )x_k 1kT xk + 2kSxk pour toutx 2 D(T )

Ou 1 < 1 : Alors :

(1) N (T ) = N (S)

(2) 2 > 1etkSxk 1₁₊ 1₂ kT xk ,8x 2 D(T )

(3) Si R(T ) est fermé , alors R(S) est fermé , dans ce cas : Sy 1 + 2

1 1

Ty

(4) Si en plus , TyT y = y _{8y 2 H}2, alors (T + S)y(T + S)y = y 8y 2 H2 et

Sy= Ty(I + (S T )Ty) 1 = Ty

1

X

n=0

( (S T )Ty)n

Preuve. Cette preuve est analogue au theoreme 3.0.4 en remplaçant S par (S T ): Corollaire 3.0.6 Soient T et S satisfaisant les conditions du théoreme 3.0.4, supposons de plus que T véri…e TyT y = y _{8y 2 H}2 et 2 = 0; alors

(1) STy _{< 1 et (I + ST}y₎ 1 2 B(H2); dans ce cas : (I + STy) 1 1 1 _kSTy_k (2) (S + T )y Ty kTyk 2 kSk 1 kSTy_k Preuve. (1)On a : (I + STy) 1 = (I + STy) 1 = 1 k(I + STy_)k 1

jkIk kSTy_kj(d’aprés l’inégalitée triangulaire)

= 1

j1 kSTy_kj

= 1

1 _kSTy_k (comme ST

Stabilité de l’inverse généralisé par la somme 21 (2) (T + S)y Ty = Ty(I + STy) 1 Ty(I + STy) 1(I + STy) = Ty(I + STy) 1 I (I + STy) = Ty(I + STy) 1( STy) Ty(I + STy) 1 ( STy) Ty (I + STy) 1_{kSk T}y = T y _{kSk T}y k(I + STy_)k Ty 2_kSk 1 _kSTy_k

CONCLUSION

Dans ce mémoire, on a énnoncée des théorèmes donnant des conditions su¢ santes garan-tissant la stabilité des images fermées et on a donnée. des relations existantes entre leurs inverses généralisées.

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