Théorie dynamique des satellites galiléens

Texte intégral

(1)Théorie dynamique des satellites galiléens V. Lainey. To cite this version: V. Lainey. Théorie dynamique des satellites galiléens. Planète et Univers [physics]. Observatoire de Paris, 2002. Français. �tel-00418650�. HAL Id: tel-00418650 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00418650 Submitted on 21 Sep 2009. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) THESE DE DOCTORAT presentee a. L'OBSERVATOIRE DE PARIS specialite: Dynamique des systemes gravitationnels. VALERY LAINEY. THE ORIE DYNAMIQUE DES SATELLITES GALILE ENS Directeurs de these: A. Vienne, L. Duriez Rapporteurs: S. Ferraz-Mello, D. Pascu. Soutenue publiquement le 2 decembre 2002 devant le Jury compose de:. Monsieur Bruno Sicardy Monsieur Jean-Eudes Arlot Monsieur Dan Pascu Monsieur Jean Souchay Monsieur Alain Vienne. President.

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(4) A tous ceux, vivants ou disparus qui ont contribue a faire d'un rêve de petit garcon, une realite.. 3.

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(6) Remerciements Je tiens tout d'abord a remercier Alain Vienne pour m'avoir propose ce sujet et accepte de diriger ma these. Je remercie egalement Luc Duriez pour ses conseils scienti ques avises. Je remercie vivement Jean-Eudes Arlot pour l'interêt qu'il a porte a mon travail. Je le remercie doublement pour m'avoir communique sa recette du bonheur: des noix, du pain, du beurre, du miel et J13 (mais ne dites pas que je vous l'ai dit!). Je remercie Messieurs Bruno Sicardy, Dan Pascu, Sylvio Ferraz-Mello et Jean Souchay pour avoir accepte de faire partie de mon jury de these, et participe a l'amelioration de ce memoire. Je n'oublierai pas de remercier Anna Gomez pour son soutient chaleureux. Je remercie egalement tous les membres du \club cafe" pour leur bonne humeur et plus particulierement Nicole Baron, ainsi que Patrick Rocher dont j'ai partage le bureau avec un tres grand plaisir. Je ne saurais oublier de remercier Madame Ballenghien pour sa gentillesse et la convivialite qu'elle a su instaurer a l'observatoire de Lille. Je remercie en n tous mes proches qui m'ont entoure durant ses trois annees, et m'ont permis de mener ce travail a son terme.. 5.

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(8) 1 { Les quatre satellites Galileens Io, Europe, Ganymede et Callisto (de gauche a droite), et la grande tache rouge de Jupiter. Fig.. 7.

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(10) Resume Nous avons elabore une nouvelle theorie dynamique des satellites galileens ajustee aux observations. Un programme numerique a ete developpe a n de pouvoir simuler le mouvement des satellites. Nous avons ainsi evalue une grande quantite de perturbations generalement negligees, et ainsi grandement ameliore la modelisation du systeme. La solution numerique a ensuite ete ajustee a plusieurs types d'observations (photographiques, CCD et phenomenes mutuels) entre les annees 1891 et 2002. Un total de plus de 2000 observations a ete utilise, dont les observations des campagnes PHEMU de 1985 et 1991. Une analyse en frequence a nalement ete eectuee dans la perspective d'obtenir une representation sous forme analytique du mouvement des satellites. Une methode de ltrage pour separer les courtes periodes des longues periodes a ete developpee pour resoudre des dicultes techniques (longueur d'echantillonage, longues periodes solaires). Notre theorie a aujourd'hui une delite de representation de quelques dizaines de kilometres sur un siecle, et reste de nie sur plus de 1500 ans.. Abstract We have developed a new dynamical theory of the Galilean system based on historical observations. A numerical code has been made for simulating the motion of the satellites where many of the usually neglected perturbations have been quanti ed, thus considerably improving the modeling of the system. The numerical solution has been tted to several kind of observations (photographic, CCD and mutual phenomena) taken between 1891 and 2002. More than 2000 observations have been used, including the PHEMU campaign of 1985 and 1991. A frequency analysis was nally used as a way of obtaining a theory with an analytical form of the motion of the satellites. A digital ltering treatment for removing the short periods from the long ones has been developed, hence solving some technical problems such as the length of the sample and the long solar periods. Our theory has an accuracy of a few tens of kilometres over one century and remains valid for more than 1500 years.. 9.

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(12) Table des matieres Table des constantes Introduction. 15 18. I Description du Modele Dynamique. 19. 1 Modelisation. 21. 1.1 Preambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Choix du repere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Choix des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Equations du probleme des N -corps ponctuels dans un repere planetocentrique d'axes xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Expression des forces d'aplatissement supplementaires . . . . . . . . 1.2.2 Ecriture du potentiel perturbateur Uk^0 dans un repere d'axes xes . 1.3 Equations du probleme des N -corps non ponctuels dans un repere planetocentrique d'axes xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Equations du mouvement des centres de masse . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Rotation des corps autour de leur centre de masse . . . . . . . . . . 1.3.3 Precession et rotation du corps central . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Potentiel gravitationnel induit par les anneaux du corps central . . . . . . 1.5 Prise en compte de la relativite generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Integrale de l'energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 Estimation des Perturbations Generalement Negligees 2.1 Inuence principale . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Calcul des termes seculaires a l'ordre 1 2.1.2 Eet de la resonance laplacienne . . . . 2.2 Un cas interessant: les resonances spin-orbite . 2.2.1 Forcage exact . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Libration en rotation . . . . . . . . . . 2.3 Absorption des termes seculaires . . . . . . . . 2.4 Interêt d'une etude numerique . . . . . . . . . 11. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 21 21 22 22 22 24. 28 29 32 36 37 39 40. 43 43 45 48 49 49 50 52 53.

(13) 3 Integration Numerique. 3.1 Methode et presentation du programme utilise . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Analyse des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Le code numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Contrôle de l'integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Les perturbations solaires et planetaires . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Analyse des termes d'aplatissement supplementaires . . . . . . . . . . . . 3.3 Etude de la precession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Analyse des coecients d'aplatissement joviens . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Etude du J3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Etude des termes sectoriels c22 et s22 . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Eet de l'aplatissement des satellites .................... (k) 3.5.1 Etude des coecients J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Etude des coecients c(22k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Variations sur l'amplitude et la frequence de libration laplacienne 3.6 Les autres perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Libration en rotation des satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Inuence des satellites non galileens . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Inuence de Saturne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Bilan des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Classi cation des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Les perturbations retenues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Independance relative des perturbations . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 55 55 57 58 59 59 60 60 62 62 63 63 64 65 65 65 67 67 67 68 68 70. II Observations et Ajustements. 71. 1 Methode d'Ajustement. 73. 1.1 Principe d'ajustement . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Equations aux variations . . . . . . . 1.1.2 Methode des moindres carres . . . . 1.1.3 Ecriture des equations aux variations 1.2 Integration des equations aux variations . . 1.2.1 Le programme EQVARSOL++.f . . . . 1.2.2 Contrôle de l'integrateur . . . . . . . 1.3 Variables d'observations . . . . . . . . . . . 1.3.1 Les coordonnees absolues . . . . . . . 1.3.2 Les coordonnees dierentielles . . . . 1.3.3 Les coordonnees tangentielles . . . . 1.4 Ajustement aux observations . . . . . . . . . 1.4.1 Le cas des coordonnees absolues . . . 1.4.2 Le cas des coordonnees relatives . . . 12. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 73 73 75 76 82 82 83 85 85 85 85 86 86 87.

(14) 2 Comparaison au Modele de Sampson-Lieske. 2.1 Quelques rappels sur la theorie de Sampson-Lieske . 2.1.1 Les perturbations introduites . . . . . . . . 2.1.2 Variables utilisees et forme de la solution . . 2.1.3 Les amelioration de Lieske . . . . . . . . . . 2.2 Ajustement a la solution G5 . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Solution G5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Le probleme des coordonnees cylindriques . 2.3 Apport des petites perturbations . . . . . . . . . . 2.3.1 Ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 Ajustement aux Observations. 3.1 Presentation des observations . . . . . . . . . 3.1.1 Les observations anciennes (1891-1936) 3.1.2 Les observations de D.Pascu . . . . . . 3.1.3 Les phenomenes mutuels . . . . . . . . 3.1.4 Les observations de Flagsta . . . . . . 3.2 Ajustement a toutes les observations . . . . . 3.2.1 Les conditions d'ajustement . . . . . . 3.2.2 Les (O-C) . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Les valeurs des correlations lineaires . . 3.3 Pourquoi ne pas s'arrêter la? . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. III Representation Frequentielle 1 Analyse en Frequence et Filtrage. 1.1 Quelques rappels sur l'analyse de Fourier . . 1.1.1 Signaux continus . . . . . . . . . . . 1.1.2 Signaux discrets . . . . . . . . . . . . 1.1.3 La transformee de Fourier . . . . . . 1.2 Analyse ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Presentation theorique . . . . . . . . 1.2.2 Methode utilisee . . . . . . . . . . . 1.2.3 Determination de l'erreur numerique 1.3 Le ltrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Conception d'un ltre passe-bas . . . 1.3.2 Methode numerique . . . . . . . . . . 1.3.3 Filtres a deux etages . . . . . . . . .. 13. 89. 89 89 90 90 91 91 92 92 95 95 96. 101 101 101 102 102 102 103 103 105 110 114. 115 . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 117 117 117 118 120 121 121 122 123 123 124 124 126.

(15) 2 Etude des Spectres en Frequences. 2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Etude analytique des courtes periodes . . . . . . . . . . . 2.2.1 Determination des courtes periodes a l'ordre 1 . . 2.2.2 Recherche des courtes et longues courtes periodes 2.3 Spectre frequence-amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Determination des longues periodes . . . . . . . . 2.3.2 La plage de coupure . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 Analyse Synthetique. 3.1 Analyse des longues periodes . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Filtrage des courtes periodes . . . . . . . . 3.1.2 Recomposition des longues periodes . . . . 3.1.3 Le traitement des longues periodes solaires 3.2 Analyse des courtes periodes . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Recomposition des courtes periodes . . . . 3.2.2 La version 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 129 129 131 131 135 136 136 137. 139 139 139 141 141 145 145 147. Conclusion Annexes A Caracteristiques de la Version 1.0. 149 151 153. B Introduction des Eets de Marees. 175. A.1 Valeurs des constantes du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 A.2 Valeur des amplitudes, frequences et phases . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 B.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.1 La structure interne des satellites B.1.2 Les derives seculaires observees . B.2 Methode utilisee . . . . . . . . . . . . . . B.2.1 Les equations de Kaula . . . . . . B.2.2 Les equations de Gauss . . . . . . B.2.3 Test numerique . . . . . . . . . . B.3 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Bibliographie. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 175 175 176 176 176 177 178 179. 183. 14.

(16) Table des constantes Valeur de la constante de Gauss K = 0 01720209895. Constantes relatives a Jupiter (issues de 8] et 31]) m0 Er J2 J3 J4 J6 c22 s22. 9 54588464:10;4 en masse solaire 71398 km (rayon equatorial) 1 4736:10;2 1 4:10;6 ;5 87:10;4 3 1:10;5 ;3:10;8 ;7:10;9. N I . 870:536642 degres/jour 25o 51 (a l'epoque J2000.0) 358o 05 (a l'epoque J2000.0). Constantes relatives aux satellites galileens 1 (issues de 2] et 30]) m1 m2 m3 m4. 2 3 1 1. 12766:104 90625:104 27551:104 78571:104. Er1 Er2 Er3 Er4. 1815 km 1569 km 2631 2 km 2410 3 km. J21 J22 J23 J24. 1. Les masses sont donnees sous la forme mm0 . k. 15. 1 4 1 3. 863:10;3 38:10;4 41:10;4 27:10;5. c122 c222 c322 c422. 5 1 1 1. 59:10;4 32:10;4 2:10;5 02:10;5.

(17) 16.

(18) Introduction Decouvert le 7 janvier 1610 par Galilee, les quatre plus gros satellites de Jupiter (appeles satellites galileens) porterent tout d'abord le nom \d'astres de medicis", avant d'être appelees respectivement par ordre croissant de distance a Jupiter, Io, Europe, Ganymede et Callisto. La decouverte de ces satellites fut un argument decisif en faveur de la theorie copernicienne, contredisant l'un des fondements de la physique ancienne selon laquelle le monde ne possede qu'un seul centre physique de revolution. Plus tard, l'observation des satellites galileens permis d'elaborer des predictions d'eclipse de satellites par Jupiter. Ce n'est toutefois qu'en 1788 que la premiere theorie dynamique complete des satellites galileens fut eectuee par Laplace. Il fut le premier a introduire la relation de resonance entre les trois premiers satellites, resonance qui porte aujourd'hui le nom de resonance laplacienne. Celle-ci lie les longitudes moyennes des trois satellites par l'egalite l1 ; 3l2 + 2l3 = . Le probleme mecanique du mouvement des satellites galileens devient alors egalement un probleme mathematique complexe, les arguments resonants n'aparaissant qu'a l'ordre deux des puissances des masses dans les developpements analytiques, et dont on pourra citer les travaux de De Sitter (1918), Ferraz-Mello (1966), Sagnier (1981), Duriez (1982) et Vu (1986). Le systeme galileen est aujourd'hui le theme de nombreuses recherches suite a l'arrivee de la sonde Galileo dans le systeme jovien n 1995. L'essentiel de ces recherches porte sur les modeles de structure interne de ces satellites. En revanche les theories du mouvement de revolution de ces satellites capables de fournir des ephemerides precises n'ont guere evoluees. La theorie de Sampson-Lieske dont le dernier reajustement date de 1998 (E5), prend ses fondements theoriques sur l'etude de Sampson (1921) et son amelioration par Lieske (1977). Cette theorie est devenue d'une precision insusante en regard des observations recentes (telles que les observations de phenomenes mutuels PHEMU), mais egalement par la comparaison a des observations anciennes (telles que les observations d'eclipses de satellites par Jupiter). Nous allons chercher a elaborer une nouvelle theorie dynamique des satellites galileens, independante des theories anterieures et ajustee aux observations. L'obtention d'ephemerides precises est devenu indispensable a la determination d'accelerations seculaires dans 17.

(19) les longitudes des satellites, propres a la quanti cation des eets de marees. Nous chercherons egalement une methode capable de fournir un modele reproduisant la dynamique du systeme galileen sur plusieurs milliers d'annees. En n, nous nous attacherons a delivrer a la n de notre travail une routine numerique fonctionnelle, fournissant des ephemerides issues de notre modele apres ajustement aux observations. Le point de depart de notre travail concerne la prise en compte de perturbations generalement negligees dans les modeles et susceptibles de ne pas l'être. Ce travail fait l'objet de la premiere partie intitulee: Description du Modele Dynamique. L'ecriture analytique de ces perturbations ainsi que le developpement d'un code numerique prenant en compte les dites perturbations seront presentes. La deuxieme partie de notre travail a comme objectif principal l'ajustement de notre modele (jusque-la completement numerique) aux observations dont nous disposons depuis plus d'un siecle (depuis 1891 a nos jours). Dans une premiere etape, nous commencerons toutefois par ajuster notre modele a la theorie G5 (realisee par J.E.Arlot sur la base de la theorie de Sampson-Lieske). La derniere partie de notre travail concerne la representation de notre solution sous une forme plus analytique, par le biais d'une representation frequentielle des elements d'orbites. L'analyse de Fourier et le ltrage numerique seront deux points cles pour atteindre cet objectif. En n, une annexe sera consacree a l'estimation des eets de marees susceptibles d'apparaitre dans les dierences entre les observations et notre modele, comme fonction de certains parametres physiques de Jupiter et des satellites.. 18.

(20) Premiere partie Description du Modele Dynamique. 19.

(21) 20.

(22) Chapitre 1 Modelisation Dans ce premier chapitre, nous cherchons a modeliser au mieux le systeme des quatre satellites galileens. Pour cela, il est necessaire de mettre en evidence toutes les perturbations, en plus des perturbations usuelles, susceptibles d'inuencer la dynamique des satellites a une precision recherchee d'environ dix kilometres. Nous allons nous interesser a des perturbations diverses, toutes d'origine gravitationnelle. Les equations seront presentees dans leur formulation cartesienne (essentiellement pour les besoins de l'integration numerique). Consacre principalement au developpement mathematique des equations du mouvement dans le cadre general d'un probleme des N + 1-corps, ce chapitre sera suivi d'une etude analytique et numerique permettant de determiner le caractere inuant ou non des perturbations testees. Nous pourrons alors prendre en compte dans la theorie que nous construirons, uniquement les termes utiles.. 1.1 Preambule Avant d'entrer dans le vif du sujet, commencons par presenter le repere dans lequel les equations ont ete devoloppees. Nous introduirons de plus les conventions adoptees dans toute la suite.. 1.1.1 Choix du repere. Nous developpons les equations du mouvement dans un repere planetocentrique d'axes xes (donc non equatorial a priori). Ce choix est loin d'être arbitraire. Tout d'abord, les observations determinent les positions de chacun des satellites par rapport a la position de Jupiter, ce qui justi e l'emploi d'un repere planetocentrique. En second lieu, l'utilisation d'un repere dont les axes restent de direction xe se justi e pour les simpli cations qu'il apporte. Certes dans un tel repere l'expression du potentiel perturbateur induit par l'aplatissement du corps central devient assez complexe, mais un repere equatorial engendrerait des forces d'inertie supplementaires dans le systeme (precession equatoriale et rotation de Jupiter). De plus, la complication principale interviendrait dans la formulation des equations liees a l'aplatissement des satellites eux-mêmes. En eet, il conviendrait alors 21.

(23) d'ecrire le potentiel perturbateur de l'aplatissement des satellites dans un repere xe en premier temps (J2000), puis dans un repere equatorial du corps central, donnant lieu a des equations bien plus compliquees.. 1.1.2 Choix des notations. La volonte d'introduire une formulation generale au probleme des N + 1-corps, et la complexite d'ecriture des equations que nous allons presenter, nous a amene a de nir un choix de notations formelles. Bien que la plupart des notations seront introduites avant la premiere utilisation, nous nous proposons d'en presenter les plus importantes ici. Les masses ponctuelles seront notees par le couple (Pi mi). En particulier, l'indice i sera zero dans le cas du corps central. La distance entre deux corps Pi et Pj sera notee rij , lorsque r possedera un seul indice au lieu de deux, il s'agira de la distance du corps correspondant au corps central P0. Nous surnoterons les indices 0 i j k ::: d'une barre ou d'un accent circonexe lorsque les corps P0 Pi Pj Pk ::: correspondant a chacun de ces indices seront respectivement apprehendes comme ponctuels ou aplatis. En n, la symetrie des equations relativement aux coordonnees cartesiennes Pi = (xi yi zi), necessite frequemment de designer par la variable i, l'une quelconque des trois coordonnees cartesiennes. Lors de la partie II, nous aurons même besoin d'introduire deux fois cette notation dans la même equation, et nous noterons cette deuxieme variable par ;i. Les demonstrations presentent de facon condensee les calculs que nous avons eectues au cours de notre travail. Celles-ci sont ecrites dans une police plus petite et terminee par le symbole 2 a n de faciliter la lecture. Le choix d'une ecriture explicite des equations a ete fait pour faciliter la programmation numerique, cet expose ayant egalement servi d'outil de travail.. 1.2 E quations du probleme des N -corps ponctuels dans un repere planetocentrique d'axes xes. Commencons par modeliser le systeme galileen par un probleme des N + 1-corps dont seul le corps central (Jupiter) est suppose aplati. Le nombre N pourra se voir attribuer dierentes valeurs suivant le nombre de corps introduits dans le modele, en plus des quatre satellites galileens (Soleil, planetes, satellites interieurs, ...).. 1.2.1 Expression des forces d'aplatissement supplementaires. Soient N corps Pk de masse mk supposes ponctuels et un corps central aplati P0 de masse m0 s'attirant suivant les lois de la gravitation newtonnienne. On considere un repere orthonorme note (P0 x y z) centre sur P0 dont les axes sont supposes de directions xes. On note ri = ; P;! 0 Pi , ri = jri j, rij = jrj ; ri j.. 22.

(24) z centre de masse. P1 Pi. repère galiléen. P0. y. z x O. PN. y. x Fig.. 1.1 { Probleme des N -corps ponctuels et d'un corps principal non ponctuel.. ;$!i ; ;OP ;$!0 ou O est l'origine d'un repere galileen En vertu de l'egalite vectorielle ri = ; OP arbitraire, on passe aisement des equations du mouvement exprimees dans un tel repere, a celles exprimees dans le repere planetocentrique (P0 x y z). Il vient le systeme dierentiel classique suivant. 8 > r1 > > ... > > < ri > > ... > > > : rN. F1 ; F0 = m m ...1 ... 0 Fi ; F0 = m m ...i ...0 F N ; F0 = m m N. (1.1). 0. ou Fk designe l'ensemble des forces exterieures s'exercant sur le k-ieme corps Pk . On note plus precisement Fki la force exercee sur Pk par Pi. Introduisant les potentiels 1 de gravitation, on a Fki = Gmk mirk Uki ou Uki = Uk{ = r1ki . Pour les forces emanant du corps central on a l'egalite Fk0 = Fk0 + Fk^0 avec Fk0 = Gmk m0rk Uk0 et Fk^0 = Gmk m0rkUk^0. Ce dernier potentiel represente l'action de l'aplatissement de P0 sur Pk et s'ecrit, en fonction des coordonnees spheriques equatoriales (rk k k ) de Pk dans le repere (P0 x0 y0 z0) lie a la planete (voir la gure (1.2)), sous la forme suivante. Uk^0 =. ( 1 X (Er )n. n X. n=2. p=1. rkn+1. ;Jn Pn(sin k ) +. Pn(p)(sin k )cnp cos pk + snp sin pk ]. ). (1.2). 1. En toute rigueur, les fonctions U sont appelees fonctions de force, les potentiels associes etant ;U. Par abus de langage, nous continuerons a utiliser la terminologie de potentiel.. 23.

(25) z. z’. I y’ y. P0. x Fig.. ψ. χ. x’. ~ x. 1.2 { Repere equatorial du corps central P0 precessant et tournant note (P0 x0 y0 z0).. L'equation dierentielle qui regit le mouvement du ieme corps Pi est alors apres reecriture r ; r r N X G ( m 0 + mi )ri j i j ri = ; + Gm ; j 3 3 3 ri rij rj + G(m0 + mi)riU{^0 j =1j 6=i +. N X. j =1j 6=i. Gmj rj U|^0. (1.3). Remarquons que le dernier terme de l'equation (1.3) ainsi que la masse mi en facteur dans l'avant dernier terme sont generalement oublies dans les equations du mouvement, car ils representent des termes d'ordre 2, de l'ordre du produit mk J2 au plus. Physiquement, ces termes correspondent a des forces indirectes resultant de l'aplatissement du corps central. Nous conserverons ces termes dans la suite sous la denomination de forces d'aplatissement supplementaires.. 1.2.2 Ecriture du potentiel perturbateur Uk^0 dans un repere d'axes xes. Pour une ecriture explicite de l'equation (1.3), nous devons exprimer le gradient de l'expression (1.2) en coordonnees cartesiennes (xk yk zk ) dans le repere planetocentrique d'axes xes (P0 x y z). On remarque que l'expression (1.2) est la somme de deux quantites dont la premiere est fonction uniquement de la latitude k . A n de simpli er les developpements qui vont suivre, separons chacune d'elles en les notant Uk(1)^0 et Uk(2)^0 . Nous avons alors pour rk Uk(1)^0 la proposition qui suit. 24.

(26) Proposition 1 Soit k l'une quelconque des coordonnees cartesiennes (xk yk zk ) de Pk. dans (P0 x y z), et soit (x0k yk0 zk0 ) le jeu de coordonnees cartesiennes de Pk dans (P0 x0 y 0 z 0) l'ecriture en coordonnees initiales de l'expression rk Uk(1)^0 est. @z0 k sin k dPn (sin k ) (n + 1)k Pn (sin k ) 1 X @Uk(1)^0 ( E r )n Jn k (1.4) @k = ; n=2 rkn+2 @k ; rk d sin k ; rk. DE MONSTRATION: -Designons par M la matrice de passage transformant les coordonnees du repere xe (xk yk zk ) dans le repere equatorial tournant de coordonnees (xk yk zk ). Celle-ci s'obtient en eectuant trois rotations successives d'angles , I et suivant les axes (P0 z), (P0 x~) et (P0 z ). 0. 0. 0. 0. Il vient ainsi. 0 cos cos ; sin sin cos I cos sin + sin cos I cos sin sin I 1 M = @ ; sin cos ; cos sin cos I ; sin sin + cos cos cos I cos sin I A. (1.5) ; cos sin I sin I sin cos I Nous pouvons alors exprimer sin k en coordonnees cartesiennes dans le repere d'axes xes par les egalites suivantes. sin k = zrk = xk sin I sin ; yk rcos sin I + zk cos I 0. k. k. (1.6). En notant k l'une quelconque des coordonnees cartesiennes (xk yk zk ), il vient encore. @ Pn (sin k ) = 1 @ sin dPn (sin ) ; Pn(sin k )(n + 1)k k d sin k @k rk2 rkn+1 rkn+1 @k k. De plus en utilisant la relation (1.6), on a. . @ 1 @zk k sin k @k (sin k ) = rk @k ; rk 0. . D'ou nalement. X (Er )nJn @zk k sin k dPn(sin k) (n + 1)k Pn(sin k) @Uk(1)^0 @k = ; n=2 rkn+2 @k ; rk d sin k ; rk 1. 0. (1.7). 2. Exemple: L'application de la proposition precedente au cas de Jupiter (pour lequel interviennent essentiellement les coecients J2 J3 J4 J6) nous donne apres rearrangement des. 25.

(27) termes, les trois expressions suivantes @U(1) 3 (E )2 J x 15 k^0 @xk. =. + + + +. r. . k 2 rk4 rk 2 sin k ; 2 ; 3 sin k sin I sin (Er )3 J3 xk 35 sin3 ; 15 sin ; 15 sin2 ; 3 sin I sin k 2 k k 2 rk5 rk 2 2 (Er )4 J4 xk 315 sin4 ; 105 sin2 + 15 ; 35 sin3 ; 15 sin sin I sin k k k k rk6 rk 8 4 8 2 2 6 (Er ) J6 xk 3003 sin6 ; 3465 sin4 + 945 sin2 ; 35 k k 16 k 16 rk8 rk 16 16 (Er )6 J6 ; 693 sin4 ; 315 sin2 + 105 sin sin I sin k k k rk8 8 4 8 2. 2 J y 15 @Uk(1)^0 3 (E ) r 2 k 2 @yk = rk4 rk 2 sin k ; 2 + 3 sin k sin I cos 15 3J (E ) 15 3 r 3 yk 35 3 2 + rk5 rk 2 sin k ; 2 sin k + 2 sin k ; 2 sin I cos 4 15 + 35 sin3 ; 15 sin sin I cos 4 ; 105 2 + (Err)6 J4 yrk 315 sin sin + k k 8 k 2 k 4 2 k k 8 6 35 + (Err)8 J6 yrk 3003 sin6 k ; 3465 sin4 k + 945 sin2 k ; 16 16 16 16 k k 6J (E ) 105 693 r 6 4 ; 315 2 + rk8 8 sin k 4 sin k + 8 sin k sin I cos . 2 J z 15 @Uk(1)^0 (E ) r 2 k 2 ; 3 ; @zk = rk4 rk 2 sin k 2 3 sin k cos I 3 15 sin ; 15 sin2 ; 3 cos I 3 ; sin + (Err)5 J3 zrk 35 k k k 2 2 2 k k2 4 15 ; 35 sin3 ; 15 sin cos I 4 ; 105 2 + (Err)6 J4 zrk 315 sin sin + k k 8 k 2 k 4 2 k k 8 6 sin6 k ; 3465 sin4 k + 945 sin2 k ; 35 + (Err)8 J6 zrk 3003 16 16 16 16 k k 6 + (Err)8 J6 ; 693 sin4 k ; 315 sin2 k + 105 8 4 8 sin k cos I k. Dans ces expressions, sin k est a remplacer par son expression (1.6).. Il reste encore a ecrire le gradient de l'expression Uk(2)^0 . Celle-ci en plus de faire intervenir la latitude k fait egalement intervenir la longitude k . Rappelons que nous avons pose. U = (2) k ^0. n 1 X (Er )n X n=2. rkn+1. p=1. Pn(p)(sin k )cnp cos pk + snp sin pk ] 26. (1.8).

(28) Il vient la proposition suivante Proposition 2 Soit 0k 0l'une quelconque des coordonnees cartesiennes (xk yk zk ) dans (P0 x y z), et soit (xk yk zk0 ) le jeu de coordonnees cartesiennes dans (P0 x0 y0 z0), l'ecriture en coordonnees initiales de l'expression rk Uk(2)^0 est. ( " 0 dPn(p)(sin ) (n + 1) Pn(p)(sin ) # 1 X n n X @Uk(2)^0 @z ( E ) sin 1 r k k k k k k @k = n=2 p=1 rkn+1 rk @k ; rk d sin k ; rk :. h. cnp cos pk + snp sin pk. i. @yk 0 k xk ; yk0 @x @ @ (p) k k Pn (sin k )p x02 + y02 k k 0. +. 0. 9 = ;cnp sin pk + snp cos pk ]. DE MONSTRATION: -Partant de l'egalite n @ (E )n @Uk(2)^0 X X r P (p)(sin )c cos p + s sin p ] = k np k np k @k n=2 p=1 @k rkn+1 n 1. (1.9). pour tout couple d'indices (n p), on est amene a calculer les expressions. @ (Er )n P (p)(sin ) hc cos p + s sin p i et (Er )n P (p) (sin ) @ hc cos p + s sin p i k np k np k k @ np k np k @k rkn+1 n rkn+1 n k. En se referant a ce qui a ete fait lors de la demonstration de la propostion 1, on obtient pour le premier terme. (Er )n rkn+2. ". #. . @zk ; k sin k dPn(p) (sin k ) ; (n + 1)k Pn(p) (sin k ) : hc cos p + s sin p i np k np k @k rk d sin k rk 0. Regardons maintenant le deuxieme terme, il s'agit de calculer la derivee. @ hc cos p + s sin p i (1.10) k np k @k np qui se ramene en notation complexe au calcul de l'expression @@ eip . De plus nous avons l'egalite k = atan( xy ), il vient donc k. k. 0. k 0. k. y @y x ; y @x @eip = ip @k eip = ip @@ ( x ) eip = ip @ k k @ ip e 2+y 2 y 2 @k @k x 1 + (x ) k k 0. k. 0. k. k. k. 0. k. k. 0. 0. k k. 0. 0. k. 0. k k. (1.11). k. 0. 0. k. Cela nous permet de retrouver l'egalite annoncee. Par ailleurs, les expressions de xk et yk comme fonctions des coordonnees (xk yk zk ) sont donnees par la matrice M (voir egalite (1.5)). Nous avons ainsi 0. 0. xk = xk (cos cos ; sin sin cos I) + yk (cos sin + sin cos I cos ) + zk (sin sin I) (1.12) yk = xk (; sin cos ; cos sin cos I) + yk (; sin sin + cos cos cos I) + zk (cos sin I) 0. 0. et egalement. cos k = p 2xk 2 et sin k = p 2yk 2 xk + yk xk + yk 0. 0. 0. 0. 0. 27. 0. (1.13). 2.

(29) Exemple: Dans le cas de Jupiter (ou seuls les coecients c22 et s22 sont connus), la proposition precedente s'utilise en posant n = p = 2. Nous avons alors l'expression 2 ; @Uk(2)^0

(30) @z (E ) r k 2 k : c cos 2 + s sin 2 ] = 15 sin ; 9 ; 6 sin @k. 0. k. 22 k 22 k rk rk @y x ; y @x 2 (E ) r 2 + r3 3(1 ; sin k )2 @ x k2 + yk2@ ;c22 sin 2k + s22 cos 2k ] k k k 4. k @ k. 0. k k. 0. 0. 0. 0. k k. 0. Nous avons donc pour chaque coordonnee les expressions explicites suivantes 2 x ; @Uk(2)^0

(31) (E ) r k 2 = 15 sin ; 9 ; 6 sin sin I sin : c cos 2 + s sin 2 ] @xk. k k 22 rk4 rk 2 + (Err3) 6(1 ; sin2 k ) x 2 V+ y 2 ;c22 sin 2k + s22 cos 2k ] k k k 0. k. 22. k. 0. @Uk(2)^0 (Er )2 yk ;15 sin2 ; 9

(32) + 6 sin cos sin I : c cos 2 + s sin 2 ] = k k 22 k 22 k @yk rk4 rk 2 + (Err3) 6(1 ; sin2 k ) x 2 W + y 2 ;c22 sin 2k + s22 cos 2k ]. avec. k. 0. k. k. k. 0. k. 0. 2 z ; @Uk(2)^0

(33) (E ) r k 2 @zk = rk4 rk 15 sin k ; 9 ; 6 sin k cos I : c22 cos 2k + s22 sin 2k ] 2 + (Err3) 6(1 ; sin2 k ) x 2 Z+ y 2 ;c22 sin 2k + s22 cos 2k ] k. 0. V = x0k (; sin cos ; cos sin cos I ) ; yk0 (cos cos ; sin sin cos I ) W = x0k (; sin sin + cos cos cos I ) ; yk0 (cos sin + sin cos I cos ) Z = x0k (cos sin I ) ; yk0 (sin sin I ) Dans ces expressions, il reste encore a reecrire x0k , yk0 , sin k , sin 2k et cos 2k en utilisant respectivement les expressions (1.6), (1.12) et (1.13). Voila qui conclut le developpement des equations relatives a un systeme de N satellites (ou de N planetes) supposes ponctuels et d'un corps central non ponctuel. Interessons-nous a present au cas ou tous les corps sont aplatis (aplatissement des satellites).. 1.3 E quations du probleme des N -corps non ponctuels dans un repere planetocentrique d'axes xes A travers cette section, nous allons commencer par presenter les termes a introduire pour prendre en compte l'aplatissement de tous les corps, et pas uniquement celui du corps central. Nous presenterons ensuite les equations relatives a la rotation des corps, etape necessaire pour prendre en compte les termes sectoriels et tesseraux des potentiels de gravitation. 28.

(34) 1.3.1 Equations du mouvement des centres de masse. Par commodite de notation, nous reprenons ici le même repere centre sur le corps P0 d'axes xes (P0 x y z), quoique les resultats a suivre restent valides pour un repere centre sur tout autre corps. Nous avons de même toujours le systeme dierentiel (1.1) mais la force exercee par Pl sur Pk devient. Fkl = Fkl + Fk^l + Fk^l + Fk^^l (1.14) Une etude plus poussee du terme Fk^^l montrerait 2 qu'il s'agit la d'un terme tres petit, de l'ordre du 3 produit J2(k)J2(l) que nous negligerons dans toute la suite. Signalons que les termes de la forme F^0^l seront egalement negliges, pour la même raison.. En tenant compte de l'egalite (1.14) et apres calculs, trois termes doivent nalement être ajoutes a l'equation (1.3) de la page 24 pour tenir compte des aplatissements, a savoir N N X X F0^| = A + B + C F F ^{| + F{|^ ^{0 ; (m0 + mi) m m + mi i 0 j 6=ij 6=0 j 6=ij 6=0 m0. (1.15). Le premier terme (note A) est issu de la perturbation directe planete ponctuelle-satellite aplati ainsi que d'une partie de cette même perturbation mais cette fois-ci indirecte (pour la masse mi). Le deuxieme terme (note B) correspond aux perturbations mutuelles directes satellite aplati-satellite ponctuel. En n, le troisieme terme (note C) provient du reste des perturbations indirectes satellites aplatis-planete ponctuelle. L'expression explicite des accelerations de l'equation (1.15) se ramene en fait a ce qui a ete fait precedemment. En eet on peut reecrire ces trois termes sous la forme. A = ;(m0 + mi) mFm0^{ = ;G(m0 + mi)r0U0^{. (1.16). B =. (1.17). N X. j 6=ij 6=0 N. C = ;. i. 0. G (mj riU{^| ; mj rj U|^{). X. j 6=ij 6=0. Gmj r0U0^|. (1.18). ou la notation Uk^l designe le potentiel perturbateur induit sur le corps ponctuel Pk par l'aplatissement du corps Pl. Or, les equations de la section 1.2 fournissent, plus generalement, l'expression de rk Uk^l en coordonnees cartesiennes centrees sur un quelconque corps 2. On pourra se reporter par exemple a 22] ou encore a 7]. 3. Notation: Nous surnoterons d'un indice entre parantheses les coecients se rapportant a un satellite. Par exemple J2(k) designe le coecient J2 du satellite Pk .. 29.

(35) Pl, dont les angles d'Euler (l Il l) sont rapportes au repere d'axes de directions xes (Pl x y z) (voir la gure 1.3). z. repère. Il. z−zl. principal. y. d’axes fixes. y−yl. Pl. P0. x−xl ψ l. χl. x. 1.3 { Repere equatorial d'un satellite Pl rapporte au repere d'axes de directions

(36) xes (P0 x y z). Fig.. Pour obtenir l'expression de rk Uk^l dans le repere initial centre sur le corps P0, il sut de substituer formellement dans les expressions de @U@kk et @U@kk les coordonnees (xk yk zk ) par (xk ; xl yk ; yl zk ; zl) et les angles ( I ) par (l Il l). Dans le cas de A et C le changement de coordonnees revient simplement a remplacer (xk yk zk) par (;xk ;yk ;zk ). Il va de soi que doivent être egalement remplacees les valeurs du rayon equatorial et des coecients d'aplatissement par celles relatives a chaque satellite. (1) ^ 0. (2) ^ 0. Au nal, nous obtenons pour equation dierentielle associee au ieme corps Pi l'expression. ri = ;G(m0 + mi) +. N X. j =1j 6=i. r. i ri3. . ; riU{^0 + r0U0^{. r ; r r j j i Gmj r3 ; rj U|^{ + riU{|^ ; r3 + rj U|^0 ; r0U0^| ij. j. (1.19). L'ecriture explicite de l'equation (1.19) est tres lourde% en pratique on pourra se restreindre aux premieres valeurs de n et p pour les coecients Jn(k) et c(npk) representant l'aplatissement des satellites, cela d'autant plus que tres peu d'entre eux sont encore connus. En(k)eet,(ka) l'exception de la Lune, seules les valeurs des coecients (les plus importants) J2 et c22 des satellites (voir la remarque 2 a suivre) ont ete estimees par l'observation des trajectoires des sondes spatiales. 30.

(37) D'autres simpli cations sont sans doute possibles telle celle de ne pas considerer les perturbations indirectes (satellites-planete) faisant intervenir les termes en J3(k) J4(k) J6(k), voire même en J2(k). Certes ces perturbations sont des forces d'aplatissement supplementaires, mais sont aussi en facteur des rayons equatoriaux des satellites eleves au carre ou k (Er )n plus exactement du rapport rkln avec n 2. Ces termes sont donc encore plus petits que les forces d'aplatissement supplementaires liees a l'aplatissement du corps central. Toutefois, nous conserverons tous ces termes etant donne qu'ils sont necessaires a la conservation des integrales premieres du systeme (voir la section 1.6 page 40). ( ). +1. Remarque 1: Dans l'hypothese ou les satellites gardent un axe de rotation parallele a. celui du corps central (ce qui est veri e pour la plupart des satellites proches de leur planete), il existe une methode tres simple pour prendre en compte l'aplatissement polaire des satellites (coecients Jn(k)), sans a avoir recours aux equations precedentes. En eet, rappelons que la fonction perturbatrice associee a l'aplatissement polaire du corps central et de l'un de ses satellites Pi a pour expression la somme qui suit 1 1 X X ( E (Erk )m J (k)P (sin k ) r )n Uk^0 + U0k^ = ; J P (sin ) ; (1.20) k 0 n+1 n n m+1 m m r r k k n=2 m=2 En remarquant que dans le cas ou les pôles nord de rotation demeurent paralleles, il vient l'egalite k = ;k0 , nous avons alors par imparite de la fonction sinus et propriete des polynômes de Legendre E k n 1 X ( E r )n r n Jn(k) (1.21) Uk^0 + U0k^ = ; n +1 Pn (sin k ) Jn + (;1) E r r n=2 k Si les perturbations mutuelles satellite aplati-satellite aplati restent negligeables, il sut de modi er les valeurs des coecients Jn du corps central en consequence. Par ailleurs, nous pouvons en deduire que lors de l'ajustement aux observations, les co(k) ecients Jn seront correles aux valeurs des coecients Jn , si l'aplatissement polaire des satellites n'est pas pris en compte. Ainsi, si l'on desire utiliser les valeurs d'aplatissement Jn(k) issues des sondes spatiales, il est necessaire d'eectuer les corrections consequentes.. Exemple: Dans l'hypothese d'axes de rotation paralleles, pour tenir compte dans une. integration numerique de l'eet satellite aplati-planete ponctuelle induit par un coecient J2(k), il n'yk a qu'a remplacer la valeur du coecient J2 du corps central par la nouvelle valeur (J2 + ( EErr )2J2(k)), lors de l'integration du satellite considere comme aplati. De même pour une theorie analytique, il sura de modi er les valeurs du coecient J2 dans l'expression des series analytiques. 31.

(38) Remarque 2: Les coecients c(22k) et s(22k) caracterisent l'ellipticite equatoriale des satel-. lites. Generalement le repere de reference pour de nir ces derniers a pour direction les axes principaux d'inertie du satellite. La deformation equatoriale, possedant une symetrie (jusqu'a une certaine precision) par rapport a l'un des axes d'inertie, se traduit alors par la nullite des coecients s(22k). Ainsi, pour les satellites galileens, seuls les coecients c(22k) seront a considerer.. 1.3.2 Rotation des corps autour de leur centre de masse. Le systeme (1.1) est incomplet des lors que les angles d'Euler ( I ) et (k Ik k )1kN , ne sont pas contraints a rester xes (precession et rotation diurne des corps). A n d'apprehender l'evolution des corps autour de leur centre de masse, il convient de faire intervenir les dierents moments present dans le systeme. Soit (O x y z) un repere inertiel note R, et soit Gi le centre de masse d'un corps Pi xe, nous avons l'egalite. dMGi (Pi ). = K (P ) (1.22) Gi i dt R ou MGi (Pi ) et KGi (Pi ) sont repectivement le moment cinetique en Gi du corps Pi et le moment en Gi des forces exterieures a Pi. P2 repère inertiel. z repère tournant. R O. y. zl’. yl’. x. R’i. Gi x l’ Pj P1 Fig.. 1.4 { Repere inertiel R et repere tournant R0i.. Notons R0i le repere d'axes tournant diriges selon les axes principaux du corps Pi, et centre 32.

(39) sur Gi (voir gure (1.4)), le premier membre de l'equation (1.22) devient alors. dMGi (Pi). = dMGi (Pi). + & M (P ) Gi i dt R dt Ri 0. (1.23). ou & est le vecteur rotation instantanee du corps Pi . De part le choix du repere R0i (axes confondus avec les axes principaux), le moment MGi (Pi ) peut s'ecrire de facon condensee sous la forme MGi (Pi ) = I &, ou I = (A B C ) designe la matrice principale d'inertie du corps Pi . En combinant les equations precedentes, on obtient alors l'equation suivante appelee equation d'Euler I &_ + & I & = KGi (Pi) (1.24) Celle-ci peut encore être reecrite en coordonnees cartesiennes sous la forme 8 A&_ + (C ; B )& & = (K ) < 1 2 3 Gi 1 _ 2 + (A ; C )&3&1 = (KGi )2 (1.25) B & : C &_ 3 + (B ; A)&1&2 = (KG )3 i Par de nition de KGi (Pi), nous avons en notant R un point quelconque de Pi l'egalite. Z ;;! KGi (Pi ) = Gi R dF(R). (1.26). Pi. Le second membre est assez delicat a calculer dans la mesure ou les forces exterieures proviennent de corps non ponctuels. En eet, il s'agit la d'une integrale de volume double. A n de contourner ce probleme nous allons nous contenter de traiter cette equation dans le cas ou tous les autres corps (a l'exception du satellite considere) sont modelises comme ponctuels. La somme des moments des forces exterieures dans tout systeme ferme etant nulle, nous avons alors l'egalite N X ;;! KGi (Pi ) = ; Gi Pj Fj. (1.27). j 6=ij =0. Le calcul explicite du second membre dans le cas des termes (J2(i) c(22i)) est donne dans la proposition suivante 4. Proposition 3 Soient N -corps ponctuels Pj et un corps non ponctuel Pi, le moment dynamique KGi (Pi ) du corps Pi pris au centre de masse Gi de ce dernier a pour expression. KGi (Pi) = A +. N X. ;;! N X ;;! k Pk Pj Gi Pj Gmj m r3. j =0j 6=i k=0k6=ik6=j. jk. (1.28). 4. Nous noterons par ij la coordonnee du corps Pi rapportee au repere equatorial du corps Pj et centre sur celui-ci. 0. 33.

(40) avec pour coordonnees du vecteur A les expressions. 8 > > < A1 A2 > > : A3. PN Gmi mj 3(Eri ) cos i sin i sin i hJ (i) ; 2c(i)i PNj6=ij=0 ; Gmriijmj 3(Eri ) cosji sinji cosji h2J (i) + 222c(i)i 22 PjN6=ij=0 Gmi mj 6(rijEri ) c(i) cos2ji sinj2i j 2. = = =. 2. 3. (1.29). 2. 3. j 6=ij =0. rij3. 2. j. 22. j. DE MONSTRATION: -En partant de l'expression vectorielle (1.27) du moment dynamique KG (Pi), nous i. avons encore. 0 X ;;! @ Gi Pj |{ + G (Pi ) = ; N. K i. j 6=ij =0. F. |{ +. F ^. X N. k=0k6=ik6=j. 1 |k A. (1.30). F. que l'on peut simplier en remarquant que le premier produit vectoriel est nul, et reecrire sous la forme. 0 X @ ;;! ;Gi Pj Gmj mi rj U|^{ + G (Pi) =. K. avec. i. N. X. j 6=ij =0. k=0k6=ik6=j. . N. 1 ;;! ;;! k Pk Pj A GiPj Gmj m r3. . . (1.31). jk. i 2 U|^{ = (Er3r ) ;J2(i) 32 sin2 ij ; 12 + 3(1 ; sin2 ij )c(22i) cos 2ij ij. . (1.32). ou (rij ij ij ) sont les coordonnees spheriques du corps Pj rapportees dans le repere tournant R . An d'obtenir une expression completement explicite, nous devons developper le premier terme de l'equation (1.31). Pour cela, separons comme dans la sous-section 1.2.2 le potentiel U|^{ en deux parties distinctes U|(1) ^{ et (2) U|^{ . Il vient alors apres calculs pour les trois composantes du gradient de U|(1) ^{ 0 i. @U|(1) (Er )2 J2(i) 3xij 5 2 i 1 ^{ rij5 2 sin j ; 2 @xij = @U|(1) (Er )2 J2(i) 3yji 5 2 i 1 ^{ = @yji rij5 2 sin j ; 2 @U|(1) (Er )2 J2(i) 3zji 5 2 i 3 ^{ rij5 2 sin j ; 2 @zji = 0. 0. 0. (1.33). 0. 0. 0. Calculons maintenant les trois composantes du gradient de U|(2) ^{ , il vient. ". #. 2 i i 2 i i @U|(2) ^{ i )2c(i) xj ;5 sin2 i ; 3

(41) cos 2i + 2 cos j sin2j sin j = 3(E j r 22 r5 j @xij rij3 yji ij # "i @U|(2)

(42) 2 cos2 ij sin2ij cos2 ij ^{ (i) yj ; 2 i i 2 i @yji = 3(Er ) c22 rij5 5 sin j ; 3 cos 2j ; rij3 xij @U|(2) (Eri )2 15c(22i) cos 2ij ^{ sin ij cos2 ij = ; rij4 @zji 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 34. (1.34).

(43) En remarquant que nous avons. @U xij0 @y|i^{0 j. (1). @U ; yji0 @x|i^{0 j. (1). =0. (1.35). la premiere partie de la troisieme composante du moment dynamique est simplement. A3 =. X Gmimj 6(Eri )2c(22i) cos2 ij sin 2ij N. (1.36). rij3. j 6=ij =0. L'expression de la premiere partie des deux autres composantes est un peu plus longue a obtenir, et vaut. X Gmimj 3(Eri )2 " yji zji J2(i) (i) i i i # A1 = rij4 rij ; 2c22 cos j zj sin j j =ij =0 " # i 2 i i (i) X N. 0. 0. 0. (1.37). 6. A2 =. ; Gmi mrj43(Er ) xj zrj J2 + 2c(22i) cos ij zji cos ij ij ij j =ij =0 N. 0. 0. 0. (1.38). 6. D'ou apres quelques simplications supplementaires les equations (1.28) et (1.29).. 2. Nous allons a present retrouver l'orientation du corps Pi dans l'espace, a partir de l'evolution du vecteur &. Pour cela utilisons les angles d'Euler (i Ii i) qui permettent de de nir l'orientation de Pi par rapport au repere (Gi x y z) d'axes de directions xes (voir gure (1.5)). z z’ I i y’ y. Gi. x Fig.. ψi. χi. x’. 1.5 { Les trois angles d'Euler notes (i Ii i).. Cherchons donc les equations d'evolution des angles d'Euler. On montre aisement (par projection) que ces angles sont relies a & par le systeme 8 & = _ sin I sin + I_ cos > 1 i i i i i. > < &2 > > : &3. = _i sin Ii cos i ; I_i sin i = _i cos Ii + _ i 35. (1.39).

(44) Par combinaisons lineaires on peut inverser le systeme precedent, nous obtenons alors 8 i + &2 cos i > _i = &1 sin sin > Ii > < (1.40) > I_i = &1 cos i ; &2 sin i. > > > : _ i. = &3 ; _ i cos Ii. Apres dierentiation du systeme (1.40), il vient nalement 8 > $i = &_ 1 sin i + &_ 2 cos i + I_i(_ i ; _ i cos Ii) > > sin Ii < > I$i = &_ 1 cos i ; &_ 2 sin i ; _ i_ i sin Ii. > > : $i. (1.41). = &_ 3 ; $i cos Ii + _ iI_i sin Ii. Pour avoir une ecriture en fonction uniquement des angles d'Euler, il reste a exprimer. &_ comme fonction de & et K par l'egalite (1.24) et en n a remplacer les composantes de & par les egalites du systeme (1.39).. 1.3.3 Precession et rotation du corps central. Pour les satellites naturels des grosses planetes, le corps central est a composante essentiellement gazeuse. Il est donc exclu d'utiliser les equations precedentes (valables pour un corps solide non deformable), a n d'integrer la rotation et la precession de celui-ci. Nous allons plutôt reprendre les resultats presentes dans 11] ou plus recemment dans 31], et qui donnent explicitement comme fonction du temps l'expression des angles d'Euler jovien. Ainsi, l'evolution du pôle de rotation jovien et du meridien origine pour l'equinoxe J2000 a l'epoque J2000.0 est donnee par les egalites (exprimees en degres). 8 < 0 : W 0. = 268:05 ; 0:009T = 64:49 + 0:003T = 284:95 + 870:536642d. (1.42). ou T designe la date en siecle julien de 36525 jours et d la date en jours juliens a partir de l'epoque standard du 1.5 janvier 2000. Le systeme (1.42) est ainsi directement exploitable et reste relie aux variables de notre systeme par les relations I = 90 ; 0 et = 0 + 90. 36.

(45) z. z’ I (t) y’ y. P0. x Fig.. ψ (t). χ (t). x’. ~ x. 1.6 { Repere equatorial du corps central P0 precessant et tournant, note (P0 x0 y0 z0).. 1.4 Potentiel gravitationnel induit par les anneaux du corps central Les planetes gazeuses du systeme solaire sont entourees d'anneaux. Nous allons dans cette section developper le potentiel gravitationnel associe a ces derniers. Quoique le corps de reference soit le corps central, ce qui va suivre est bien evidemment generalisable pour un corps quelconque. Nous developpons ici le potentiel gravitationnel d'un anneau s'exercant sur un satellite. Cet anneau sera considere de densite surfacique constante.. Fig.. 1.7 { Les anneaux de Jupiter observes par la sonde Galileo lors d'une eclipse de Soleil.. On considere une couronne C centree sur le corps P0, d'epaisseur negligeable, de densite surfacique supposee constante et de masse totale mA. Le centre de masse de la couronne sera donc confondu avec la position du corps P0. Nous noterons par l1 et l2 les rayons internes et externes de cette couronne. 37.

(46) Pi. φi P0. l1 dm. l2. λ’ λi. Fig.. 1.8 { Attraction exercee sur un corps Pi par un element in

(47) nitesimal de l'anneau.. Nous savons alors que le potentiel gravitationnel de C (comme de tout solide dont le centre de masse est P0) qui s'exerce sur un quelconque corps Pi est donne par. ". 1 (A) n X Gm i mA UA = r 1 ; Jnrn l2 Pn (sin i) i i n=2. #. (1.43). ou (ri i i) sont les coordonnees spheriques de Pi (la longitude i n'apparaissant pas pour des raisons de symetrie). Rappelons que les coecients Jn(A) sont de nis par ZZ 1 (A) r0n Pn (cos 0)dm (1.44) Jn = ; m ln A2 C ou cette fois (r0 0 0) sont les coordonnees spheriques d'un element in nitesimal quelconque de masse dm de la couronne. C etant supposee in niment mince, il est clair que 0 = 0, et donc si n est impair nous avons Jn(A) = 0. Si n est pair, on a alors par de nition des polynômes de Legendre (1.45) Pn (0) = (;1) n 2n((2n n)!(;n n;)!n )! 2 2 et donc en posant n = 2p 2. Zl p+1 1:3:5:::(2p ; 1) ( ; 1) J = 2 r02p+1dr0 2p 2 : 4 : 6 ::: (2 p ) mAl2 l soit encore apres integration (A) 2p. 2. (1.46). 1. 2p+2 2p+2 J2(pA) = (;1)p+1 1:23p:5:::(2p ; 1)(l2 ;2 l1 2 ) l2 2:4:6:::2p(p + 1)(l2 ; l1). 38. (1.47).

(48) D'ou nalement pour expression du potentiel gravitationnel d'un anneau. ". 1 2p+2 2p+2 X Gm l ; l i mA 2 1 p +1 1:3:5:::(2p ; 1) UA = r 1 ; (;1) 2p P (sin i) ri 2:4:6:::(2p) (p + 1)(l22 ; l12) 2p i p=1. #. (1.48). Regardons l'ordre de grandeur du premier coecient J2(pA). Celui-ci est egal a. . . 2 (1.49) J = 41 1 + ll12 2 et donc de l'ordre de l'unite. S'il est clair que l'on ne peut se contenter d'ajouter la masse (A) des anneaux dans celle de P0 (cela revient a negliger tous les coecients J2p ), on peut en revanche si l'inclinaison des anneaux sur le plan equatorial de P0 est nulle (ce qui est generalement le cas), prendre en compte completement le potentiel UA en rentrant en plus de la masse des anneaux les coecients J2(pA) dans les coecients du potentiel d'aplatissement de P0. Cela vient a remplacer l'ancienne valeur du J2 jovien par la nouvelle 2 valeur m m;mA J2 + mmA El r J2(A). (A) 2. 0. 2. 0. 0. Remarque 3: Comme dans le cas de l'aplatissement des satellites, il est utile de considerer. la masse des anneaux, dans la mesure ou les sondes spatiales peuvent eventuellement fournir la masse des planetes sans ceux-ci.. Remarque 4: Cette modelisation reste tres partielle etant donne que les anneaux sont ici. consideres comme une couronne (parfaitement circulaire) et de densite surfacique constante. En particulier, on neglige la presence de zones dans le disque plus denses que d'autres.. 1.5 Prise en compte de la relativite generale. Pour nir, nous presentons les corrections a apporter pour introduire les eets relativistes. Cette section est fortement inspiree de 18]. On part de l'equation du probleme des N -corps, developpee dans un repere galileen en formulation relativiste, donnee par W. De Sitter 8 < 2 X X 2 X G2 X ; i; j Gmj i r3 j + : Gc2 mi mj i r;4 j + 4 Gc2 mj mk ri3;r j + m m j k i = ; 2 rij3 rjk ij ij ij ik j =i j =i k=i k=jk=i c r. r. 6. r. r. r. r. 6. 6. r. _ i ; r_ j + 7G m rj ; 3G m _r (r ; r )] r_ i ; r_ j r m _ ri (ri ; rj )] + 4G j 2 c rij3 2c2 j rij c2 j j i j rij3 ) G ri ; rj 2 + 2c2 mj 2_ri + 3(_rj nij ) ; 4(_ri ; r_ j ) ; rj (rj ; ri)] r3 ij. 39. 6. r. r. 6. (1.50).

(49) ;! ou c est la vitesse de la lumiere et nij est le rayon vecteur unitaire de direction ; P j Pi , soit nij = rir;ijrj . Dans le cas du systeme satellitaire jovien, nous pouvons nous limiter aux termes relativistes faisant intervenir exclusivement la masse de Jupiter. En particulier nous negligeons les eets relativistes solaires ou d'un satellite sur un autre. Nous obtenons ainsi pour un satellite Pi , l'equation X _ i ; _ 0 7G G2 2 i ; 0 4G 0 i; j i. r. = ;. Gmj r r3 r + 4 c2 m0 r r4 r + c2 m0 _ri (ri ; r0)] r r3 r + 2c2 m0 rr (1.51) i0 ij i0 i0 j =i _ i ; r_ 0 + G m 2_r + 3(_r n )2 ; 4(_r ; r_ ) ; r (r ; r )] ri ; r0 r ; 3G m 0 i0 i 0 0 0 i r3 0 _r0 (ri ; r0 )] 2 c ri30 2c2 0 i i0 6. et pour le corps central. r0 +. X j 6=0. Gmj r0r;3 rj = 0. (1.52). 0j. ce qui revient a dire que Jupiter ne ressent pas son propre eet relativiste. Le resultat de l'equation (1.52) permet de simpli er l'equation (1.51). Il vient X G2 2 i ; 0 Gm0 3 i; j i = ;. r. . Gmj r r3 r + 4 c2 m0 r r4 r + c2 r2 4_ri ni0 ; 3_r0 ni0]_ri ; r_ 0 + 2 (_r0 ni0)2 ni0 ij i0 i0 j =i 0 2 2 ; Gm (1.53) c2 ri20 r_ i + 2_r0 ; 4_ri r_ 0 ni0 6. Nous avons donc en tenant compte des eets de la relativite generale, dans un repere jovicentrique, l'expression nale ;OP ;$!i ; ;OP ;$!0 ; ;OP ;$!i (Newt) = 4 G2m20 ni + Gm0 4(_ri ni ) r_ i ; r_ 2 ni (1.54) i c2ri3 c2ri2. 1.6 Integrale de l'energie Nous aurons a nous servir d'une integrale premiere du systeme, a n de pouvoir contrôler la abilite de notre integrateur numerique. Cela n'a de sens que sur un systeme dynamiquement complet. En particulier, l'integrale premiere ne sera pas conservee sur un systeme auquel des forces seront prises en compte de maniere incomplete. Nous avons choisi d'etudier la conservation de l'energie mecanique du systeme. En conservant les notations des sections precedentes et en notant M la somme des masses du systeme, nous avons la proposition qui suit Proposition 4 L'integrale de l'energie E d'un systeme constitue de N + 1-corps non ponctuels, dans un repere d'axes

(50) xes centre sur l'un des corps s'ecrit. E=. N X 1. (i)2. mir_ 2i + A(i)&1(i)2 + B (i)&(2i)2 + C (i)&3 2 i=1 40. 1 ; 2M. X N i=1. mir_ i. !2. ; U = h (1.55).

(51) ou U est le potentiel gravitationnel du systeme et h une constante.. DE MONSTRATION: -En vertu du theoreme de l'energie cinetique (dans le cas des systemes conservatifs), nous avons dans un repere galileen l'egalite Ec = U + cste avec par denition de l'energie cinetique Ec =. X 1 ;;_!2 (i) (i)2 (i) (i)2 (i) (i)2 2 mi OPi + A 1 + B 2 + C 3 N. (1.56). i=0. On a en decomposant l'egalite precedente. X 1 ;;_!2 1 ;;! ;_!i2 _ 2 X 1 mi ; m OP m OP = i i 0 OP0 + 2 i=1 2 i=0 2 N. N. (1.57). Considerons a present que l'origine O est le barycentre du systeme. Cela n'aecte en rien le caractere general de la formulation, dans la mesure ou;;! nous allons ramener uniquement a des coordonnees relativesPau corps ;!0 +nous ;P;; ! P0. En utilisant l'egalite vectorielle OPk = ; OP 0 Pk , et en posant pour somme des masses M = i=0 mi , nous pouvons ecrire N. ;!0 = ; X mi M; OP. ;_!0 = ; X mi OP et M ;. N. i=1. N. r. i. i=1. (1.58). i. r _. Nous avons alors en reprenant l'equation (1.57). X 1 ;;_!2 1M; ;! ;! _ 02 + X 1 mi 2 + X mi ; _ 0 m OP OP OP = i i i 2 2 2 i=0 i=1 i=1 X 1 2 1 ;;_!2 N. N. N. r _. =. Et nalement. N. i=1 2. i. r _. mi r_ i ; 2 M OP0. X 1 ;;_!2 X 1 2 1 X !2 mi OPi = 2 mi i ; M mi i i=0 2 i=1 i=1 N. N. N. r _. (1.59). r _. D'ou le resultat annonce.. 2. Pour obtenir une expression completement explicite, il reste a exprimer le potentiel gravitationnel du systeme qui changera suivant les perturbations incluses dans la modelisation. Soit le modele general constitue de N +1-corps non ponctuels auxquels on associera l'equation dierentielle (1.19), nous avons par exemple comme potentiel en negligeant les termes B et C de la page 29 (equations 1.17 et 1.18) l'egalite. U=. N X. 1. Gmi m0 r i i=1. N; N X1 X Gmk mi + U ^ + U0^{ + {0. i=1 k=i+1. 41. rik. (1.60).

(52) Dans cette derniere expression il reste a exprimer U{^0, que nous obtenons facilement en exprimant les polynômes de Legendre (E )2 J 3 1 (E )3 J 5 3 U{(1) = ; rr3 2 2 sin2 i ; 2 ; rr4 3 2 sin3 i ; 2 sin i ^0 i i 4J 35 (E ) 15 ; rr5 4 8 sin4 i ; 4 sin2 i + 38 i 6J (E ) 315 105 5 r 6 231 6 4 2 ; r7 16 sin i ; 16 sin i + 16 sin i ; 16 i. 2;

(53) U{(2) = (Err3) 3 ; 3 sin2 i c22 cos 2(i ; ) + s22 sin2(i ; )] ^0 i. (2) avec U{^0 = U{(1) u on aura remplacer les expressions sin i et i par les egalites ^0 + U{^0 et o. 8 > > < sin i > > : tan i. 0 = zri i (1.61) 0 = xyi0 i De même pourra-t'on ecrire le potentiel U0^{, en reutilisant ce qui a ete dit a la page 30.. 42.

(54) Chapitre 2 Estimation des Perturbations Generalement Negligees Dans ce chapitre, nous supposerons connues du lecteur les bases de la theorie des perturbations et du developpement de la fonction perturbatrice. A ce sujet on pourra consulter 15]. Nous allons presenter ici une estimation analytique de l'e et principal a attendre des perturbations generalement negligees, et considerees dans le chapitre precedent, en developpant quelques exemples. Celles-ci seront developpees en fonction des elements d'orbite osculateurs, dans un repere equatorial planetocentrique. Nous ramenerons l'etude de ces perturbations au calcul des termes seculaires de la fonction perturbatrice moyennee. Toutefois la consideration de la libration laplacienne ne peut être mise a l'ecart, dans la mesure ou elle fait intervenir des modications importantes sur les termes seculaires. Enn, nous nous attarderons quelque peu sur le cas des resonances spin-orbite qui reclament une attention particuliere.. 2.1 In

(55) uence principale Les perturbations etudiees dans ce chapitre sont bien plus faibles que les perturbations classiques, telles que les perturbations entre satellites ponctuels et l'inuence directe de l'aplatissement du corps central. En eet, ces premieres comportent en facteur un ou plusieurs coecients de valeur faible, de l'ordre du produit de la masse de deux satellites (perturbation d'ordre 2). Nous pouvons donc pour ces raisons nous limiter a l'etude de l'eet principal de ces perturbations. Par ailleurs, nous avions dans le chapitre precedent sorti des potentiels les masses des corps, et ce a n de mettre en evidence les ordres de grandeur des perturbations. Desormais, nous appellerons fonction perturbatrice (que nous noterons R) l'expression du potentiel en y incluant les dites masses.. 43.

(56) Soit R(ai ei Ii !i &i Li) une fonction perturbatrice induite par l'aplatissement d'un corps, nous noterons 1 R = R(ai ei I i ; ; ;) le potentiel perturbateur moyenne sur le temps, c'est a dire ou chacune des variables est ramenee a son expression moyenne au cours du temps. Ainsi R ne contient plus de termes periodiques et est exclusivement fonction des variables metriques. En reprenant les equations de Lagrange que l'on pourra trouver par exemple dans 15], il vient 8 dai >> >> dedt = 0 >> i = 0 >> dt >> dI i = 0 < dt (2.1) >> d!i = 1 2 i @R ; cos I i @R niai ei @ei i sin I i @I i >> dt @R 1 >> d i = 2 >> dt nia sin I i @I i >> dLi = n ;i i2 @R + i(1 ; i) @R + 1 ; cos I i @R : dt i n a @a nia2i ei @ei ni a2i i sin I i @I i i i i. p. ou i = 1 ; e2i . Ces equations etant lineaires par rapport a R, nous pouvons donc nous restreindre a l'etude d'un seul potentiel. L'integration du systeme (2.1) a pour solution immediate 8 >> ai = ai0 >> ei = ei0 >> I i = I i0 >> 1 @R cos I @R i 0 i 0 < !i = n a2 e @e ; t + !i0 i0 i0 i0 i i0!sin I i0 @I i (2.2)

(57) >> @R 1 >> i = ni0a2 sin I i0 @I i t + i0 >>

(58) i0 i0 ! 2 @R (1 ; ) @R 1 ; cos I @R >> Li = ni0 ; i0 i0 i0 : ni0ai0 @ai + ni0a2i0ei0 @ei + ni0a2i0 i0 sin I i0 @I i t + Li0 ou l'indice 0 denote les constantes d'integration. On constate que seules les variables angulaires varient, les variables metriques restant constantes (et egales a leur valeur moyennee dans le temps). Les variables angulaires, elles, contiennent une composante seculaire supplementaire. Celle-ci a pour eet de modi er tres 1. Notation: Attention, dans ce nouveau chapitre nous surnoterons par une barre une variable pour designer sa valeur moyennee. En particulier, cette notation est a ecarter de toute notion d'aplatissement et representee par une barre sur un indice.. 44.

(59) legerement les vitesses de rotation de ces mêmes variables. On ecrira dans la suite la solution (2.2) egalement sous la forme. 8a > i > e > < Iii !i > > > : &Lii. = = = = = =. ai0 ei0 I i0 (!i + !i0 (&i + &i0 (Li + Li0. (2.3). L'inuence moyenne des perturbations generalement negligees (en fait d'une perturbation en generale), se ramene donc essentiellement aux dierences angulaires (!i (&i et (Li lineaires en temps. Par ailleurs, le signe de ces quantites sera important etant donne qu'il determinera si les perturbations etudiees s'ajoutent les unes aux autres ou ont, au contraire, tendance a s'annuler.. 2.1.1 Calcul des termes seculaires a l'ordre 1. 2 issus du coefComme premier exemple nous allons developper les termes seculaires cient J2(i) des satellites. Posons i l'une quelconque des coordonnees de Pi et 0i l'une quelconque des coordonnees de P0 ramenee au repere centre sur Pi . En particulier nous avons 0i = ;i. Nous pouvons alors ecrire la suite d'egalites suivante. . . @i = ;r R( ) @i R(i ) @ i i i 0 Soit le potentiel perturbateur R^{0, nous avons alors en utilisant l'egalite generale precedemment demontree r0R = ;riR l'expression suivante 3. r0R(0i ) = (@0i R(0i )) = (@0i R(i (0i ))) =. riR^{0 = Gm0riU0^{. (2.4). i 2 (i) i Gm 0 (Er ) J2 P2 (sin 0) R^{0 = ; ri3. (2.5). et donc. ou P2(sin i0) = 32 sin2 i0 ; 12 . Le potentiel R^{0 se reecrit encore sous la forme. 3. 2 i i 2 (i) Gm ai 0 (Er ) J2 (3 sin 0 ; 1) R^{0 = ; 3 2ai ri. (2.6). 2. Il s'agit la des termes seculaires calcules a l'ordre un des petits parametres representatifs des perturbations (coecients J2 J2(k), etc...). Nous continuerons toutefois a les appeler simplement termes seculaires. 3. Nous avons volontairement omis la masse mi dans cette expression etant donne qu'elle provient d'une perturbation d'un ordre plus eleve comme force d'aplatissement supplementaire (du satellite lui-même).. 45.

(60) Considerons le terme sin2 i0, nous avons en supposant que l'orientation du pôle nord de rotation du satellite soit identique a celui de la planete (voir la gure 2.1) l'egalite sin i0 = sin(;i), et donc en utilisant les relations de trigonometrie spherique sin2 i0 = sin2 Ii 1 ; cos(22!i + 2vi) (2.7). Pi i. φ0 φi ωi + v i. P0. Ii. Ωi. Fig.. 2.1 { Relation entre la latitude du corps central i0 et les angles !i vi Ii.. 3. 3. Par ailleurs, rappelons que les expressions de arii cos 2vi et arii sin 2vi sont 2;periodiques par rapport a l'anomalie moyenne Mi, et donc developpables en serie de Fourier. Il vient nalement apres calculs pour l'expression du potentiel moyenne. . . i 2 (i) 1 3 Gm 0 (Er ) J2 2 2 ; (2.8) R^{0 = a3i 2 ; 4 sin I i (1 ; ei ) Calculons donc les termes seculaires associes, il vient pour les derivees partielles par rapport aux variables metriques. . 3 2. . @R^{0 = ; 3Gm0(Eri )2J2(i) 1 ; 3 sin2 I (1 ; e2); i i @ai a4i 2 4 @R^{0 = 3Gm0(Eri )2J2(i) 1 ; 3 sin2 I (1 ; e2); e i i i @ei a3i 2 4 @R^{0 = ; 3Gm0(Eri )2J2(i) cos I sin I (1 ; e2); i i i 2a3i @I i 3 2. 5 2. 3 2. 46. (2.9).

(61) Il vient alors, en utilisant l'approximation n2i0a3i0 Gm0 et les equations du systeme (2.2) (i) 2 n 3 i0 (Eri )2J2 (4 ; 5 sin I i0) (!i = 4a2i0 (1 ; e2i0)2 t (i) 3 n i0(Eri )2 J2 cos I i0 (&i = ; 2a2 (1 ; e2i0)2 t i0 5 (i) 2 1 n I 3 cos i0 (Eri )2J2 1 i0 sin I i0 3+ (Li = t 2 + i0 ; 2i0 ; 4 i0 a2i03i0. (2.10). Nous remarquons que (Li est positif, le même resultat etant veri e pour la perturbation (ordre 1) induite par le J2 du corps central, cela est bien en accord avec le fait (voir la remarque 1 de la page 31) que l'aplatissement d'un satellite represente par un J2(i) revient en premiere approximation a augmenter le J2 du corps central. Regardons a present en deuxieme exemple, les termes seculaires issus des forces d'aplatissement supplementaires. Rappelons que celles-ci ont pour expression (voir l'equation (1.3)). GmiriU{^0 +. N X j =1j 6=i. Gmj rj U|^0. (2.11). Calculons le potentiel associe, en nous limitant au coecient J2 du corps central. Pour cela nous devons transformer le rj en ri dans la sommation sur l'indice j (partie indirecte des forces d'aplatissement supplementaires). Il vient. Gmj (Er )2J2( 3 sin2 j ; 1 ) 2 2 Gmj rj U ^ = rj ; |0. rj3. Le gradient a pour expression 3xj 15z2xj @R|^0 j 2 = ; Gm ; j (Er ) J2 5 @xj 2rj 2rj7 2 @R|^0 3 y j 15zj yj 2 @yj = ;Gmj (Er ) J2 2rj5 ; 2rj7 9z 15z3 @R|^0 j j 2 = ; Gm ; j (Er ) J2 5 7 @zj 2rj 2rj On en deduit le potentiel. R = ;Gmj (Er ) J2 2. 3. 15zj2 3 z i zj 2rj5 ; 2rj7 ri rj + rj5 47. (2.12). (2.13). (2.14).

(62) Le potentiel total RFAS associe aux forces d'aplatissement supplementaires est donc Gm (E )2J ( 3 sin2 i ; 12 ) RFAS = ; i r 2r32 i N X Gmj (Er )2J2( 32 ; 152 sin2 j )ri rj cos ij + 3zj zi] (2.15) + ; 5 r j j =16=i ou ij est l'angle entre les directions P0 =Pi et P0=Pj . En nous limitant au premier terme, nous avons Gm 1 i (Er )2 J2 2 2 ;3=2 3 RFAS = ; (1 ; ei ) (2.16) a3i 4 sin I i ; 2 On en deduit aisement les termes seculaires induit par ce potentiel, a partir de ceux deja developpes pour le J2(i) des satellites. Il vient 2 2 i (Er ) J2 (4 ; 5 sin I i ) (!i = 3Gm 4ni0a5i0 (1 ; e2i0)2 t 2 i (Er ) J2 cos I i (&i = ; 3Gm 2ni0a5i0 (1 ; e2i0)2 t 5 2 i 2 I cos 3 Gm 1 i0 sin I i0 0 (Er ) J2 1 ; 4 3+ t (Li = + ; ni0a5i03i0 2 i0 2i0 i0. (2.17). Bien evidemment les signes des termes seculaires ainsi trouves sont identiques a ceux trouves pour la perturbation du J2(i) des satellites. Les deux eets vont donc s'ajouter.. 2.1.2 E et de la resonance laplacienne. Rappelons que dans le systeme galileen, les longitudes des satellites sont reliees par l'egalite (resonance laplacienne) avec limT ;!1 21T. L1 ; 3L2 + 2L3 = + (t). (2.18). N1 ; 3N2 + 2N3 = 0. (2.19). R T (t)dt = 0, egalite que l'on peut encore ecrire sous la forme ;T. ou Ni designe le moyen mouvement moyen du satellite i. Cette resonance doit être prise en consideration pour pouvoir apprehender convenablement l'introduction de toute nouvelle perturbation dans le systeme. En eet, nous avons vu que l'eet principal d'une perturbation consiste en l'ajout de nouveaux termes seculaires dans les variables angulaires. En particulier les longitudes de chacun des satellites se voient alors evoluer a des frequences legerement dierentes. Prenons pour exemple l'introduction 48.

(63) de l'aplatissement des satellites. Faisons comme premiere approximation que seul l'aplatissement de Io (coecient J2(1)) est inuent. Comme nous l'avons vu precedemment, la longitude de Io evolue desormais a une frequence legerement plus elevee N10 = N1(1 + ) tandis que les autres valeurs N2 et N3 restent inchangees. L'egalite (2.19) n'est donc formellement plus veri ee. En realite, la stabilite de la resonance va modi er l'ensemble des moyens mouvements des satellites resonants, de sorte que la relation (2.19) soit maintenues, plus exactement nous aurons l'egalite N10 ; 3N20 + 2N30 = 0. Le nouveau moyen mouvement moyen N10 sera donc bien augmente par rapport a N1 mais en proportion moindre que prevu. De plus, N20 sera augmente tandis que N30 sera diminue. L'amplitude et la frequence de la libration laplacienne (le terme principal dans (t)) vont être egalement modi es. La quanti cation precise de ces changement va être realisee numeriquement dans le chapitre 3.. 2.2 Un cas interessant: les resonances spin-orbite Comme troisieme exemple de calcul des termes seculaires, nous allons regarder le potentiel R^{0 induit par le bourrelet equatorial des satellites. Soit le potentiel perturbateur R^{0 suivant i 2 2 i (i) R^{0 = Gm0(Er ) r33cos 0c22 cos(2i0) (2.20) i Nous supposerons de plus que le satellite est en resonance spin-orbite. Ce cas est particulierement interessant dans la mesure ou le terme seculaire de cette perturbation a en plus de son eet lineaire (comme fonction du temps) une composante sinuso$)dale via la libration en rotation du satellite considere. Ceci se repercute alors sur la longitude par un terme (ni qui n'est plus constant. En particulier cet eet ne pourra pas être absorbe dans la valeur initiale des demi-grands axes, via la methode presentee dans la section suivante. Mais commencons tout d'abord par calculer le terme seculaire issu de cette perturbation dans le cas d'une resonance spin-orbite exacte, c'est a dire ou i0 = 0 pour toutes les valeurs du temps.. 2.2.1 For

(64) cage exact. On considere un satellite non ponctuel, caracterise par le terme tesseral c(22i), dont la longitude du premier axe principal est nulle pour toute valeur du temps. Ainsi, on a l'egalite i0 = 0 et le potentiel perturbateur R^{0 est reduit a i 2 2 i (i) R^{0 = Gm0(Er ) r33cos 0c22 (2.21) i Le potentiel moyenne associe R^{0 vaut alors 1 i 2 (i) Gm 0 (Er ) 3c22 2 ;3=2 2 R^{0 = (1 ; ei ) 1 ; 2 sin I i (2.22) a3i 49.

(65) Calculons les derivees partielles par rapport aux variables (ai ei I i), on a. . . @R^{0 = ; 9Gm0(Eri )2c(22i)(1 ; e2i );3=2 1 ; 1 sin2 I i @ai a4i 2 @R^{0 = 9Gm0(Eri )2c(22i)ei 1 ; 1 sin2 I (2.23) i @ei a3i (1 ; e2i )5=2 2 @R^{0 = ; 3Gm0(Eri )2c(22i)(1 ; e2i );3=2 sin I cos I i i a3i @Ii La variation seculaire sur la longitude moyenne induite par le potentiel R^{0 vaut donc (en reprenant les equations de Lagrange). . . cos I i0 @R^{0 t ^{0 + i0(1 ;2 i0) @R^{0 + 1 ; (Li = ; n 2a @R 2 ni0ai0ei0 @ei ni0ai0i0 sin I i0 @I i i0 i0 @ai. (2.24). soit encore de facon plus explicite, en utilisant l'approximation n2i a3i Gm0. . . i 2 (i) (Li = 3ni0(2Er3) c22 3 + 4 ; cos I i0 ; 12 sin2 I i0 3 + 5 i0 i0 i0 ai0i0. . t. (2.25). Les termes seculaires des deux autres variables angulaires !i et &i ont pour expression. . . i 2 (i) 5 sin2 I t 0 (Er ) c22 (!i = 3an2 i(1 4 ; (2.26) i0 2 2 2 i0 ; ei0 ) i 2 (i) I i0 t (2.27) (&i = ; 3ni0a(2E(1r ) ;c22e2cos 2 i0 i0) Les signes des termes seculaires trouves sont identiques a ceux des deux perturbations precedentes. Ainsi tous ces eets s'additionnent.. 2.2.2 Libration en rotation. Nous supposons dorenavant que la rotation du satellite comporte a la place du forcage exact, un terme sinuso$)dal (libration en rotation). Nous considerons donc le nouveau potentiel i 2 (i) 2 i Gm 0 (Er ) 3c22 cos 0 cos(2i0) (2.28) R^{0 = ri3 avec i0 = A sin wt (on supposera avoir l'origine du temps telle que i0(0) = 0). La variable i0 peut être consideree comme une variable supplementaire du systeme dans la mesure ou elle est elle-même fonction de la variable independante i.. 50.