2 Champ de force newtonien

PCSI Physique

Fiche Méca6 : Mouvement dans un champ de forces centrales et conservatives

1 Champ de force centrale et conservative

1.1 Définition Le champ de force−→

F(M)est un champ de forcecentrale, centré enO,et conservativesi : – pour toutM,−−→

OM∧−→

F(M) =−→0 :−→

F(M) =F(M)−→er

– il existe une fonction scalaireEP(M)telle que−→

F(M)·−−−→

dOM=−dEP(M):−→

F(r) =−^dE_dr^P−→er

1.2 Conséquences sur le mouvement

–Le moment cinétique par rapport au centre du champ de force,O, est uneconstante du mouvement:

Le mouvement a lieu dans leplanperpendiculaire à−→

LOpassant parO.

Laloi des airesest vérifiée : vitesse aréolaire=¹₂C=cste.

–L’énergie mécanique est uneconstante du mouvement:Em=¹₂mv²+EP(r) =cste 1.3 Energie potentielle effective

Em=1

2m˙r²+EP_{ef f}(r) =cste avec EP_{ef f}(r) = L²

2mr²+EP(r) 1.4 Analyse qualitative du mouvement à partir du grapheE_P

ef f(r) Au cours du mouvement,rdoit être tel queEm−EP_{ef f}(r)≥0:

– Sirpeut prendre une valeur infinie, le point matériel peut s’éloigner infiniment du centre de force O: on parle d’état libreou d’état de diffusion.

– Sirne peut pas prendre de valeur infinie, le point est contraint à se déplacer dans une région de dimensions finies : on parle d’état lié.

(EF)

2 Champ de force newtonien

Lechamp de force newtonienest un champ de forcecentrale,en_r¹2. Si le centre du champ de force estOle centre du repère :−→

F(M) =^K_r2−→er

Le champ de force newtonien est un champ de forcecentrale, mais aussiconservative, qui si il est centré enO, est associé à l’énergie potentielle :

EP(r) =K

r si EP(r→ ∞) = 0

(EF)

2.1 Exemples fondamentaux Interaction électrostatique :−→

F(M) =_4πε¹₀^q1_r^q2²−→eretEP(r) =_4πε¹₀^q1_r^q2 Interaction gravitationnelle :−→

F(M) =−G^m1_r^m2²−→eretEP(r) =−G^m1_r^m2 2.2 Différents états observables

r= p

−ε+ecos(θ−θ0) avec p= L² m|K|=mC²

|K|, K=ε|K| et Em=|K|

2p(e²−1) (EF)

1

PCSI Physique

Interaction attractive :K <0(ε=−1)

e = 0 0 < e < 1 e = 1 e > 1

Cercle Ellipse Parabole Hyperbole

r=p=a=r0 rmin=_1+e^p etrmax=_1−e^p rmin=petrmax=∞ rmin=_1+e^p etrmax=∞ Em=^−|K|_2p =^K_2p<0 Em=^−|K|_2a =^K_2a<0 Em= 0 Em=^|K|_2a =^−K_2a >0

Interaction répulsive :K >0(ε= 1)

e > 1 Hyperbole rmin=_e−1^p etrmax=∞

Em=^|K|_2a =^K_2a>0

2.3 Etude particulière de l’état lié circulaire de rayonr₀

Théorème du Viriel : (D)

Em=−EC=EP

2 =−|K|

2r0

Période de révolutionT : (D)

T² r₀³ =4π²m

|K|

3 Application au mouvement des planètes et des satellites

3.1 Mouvement des planètes autour du Soleil : lois de Képler

– 1ère loi : les centres des planètes décrivent des ellipses dont l’un des foyers est occupé par le Soleil.

– 2ème loi : Les vecteurs−→

SPbalaient des aires égales pendant des durées égales, c’est la loi des aires.

– 3ème loi : pour toute planète,

T² a³ = 4π²

GMS

.

3.2 Mouvement des satellites

– Vitesse de satellisationvSsur une orbite circulaire de rayonrautour de la Terre :

Ecriture duP F D: vS=

qGM_T r

– Vitesse de libérationvldu satellite à partir de l’orbite de rayonrautour de la Terre : Ecriture de la conservation deEmentre l’orbite de rayonret l’infini : vl=

q2GMT r

– Satellitesgéostationnaires:

La trajectoire est circulaire uniforme dans leplan équatorialet ^T

2 g (RT+h)³=_GM^4π2

T

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