Optique géométrique
Rappel :
Formule de conjugaison de Descartes : 1 𝑂𝐴′− 1
𝑂𝐴= 1 𝑓′
Formule de conjugaison de Newton :
𝐹𝐴. 𝐹′𝐴′ = −𝑓′2 Grandissement :
𝛾 =𝐴′𝐵′
𝐴𝐵 =𝑂𝐴′
Pour s’entrainer :
𝑂𝐴Représenter les images des objets suivants à travers une lentille CV ou DV :
1)Prisme à réflexion totale :
Un rayon lumineux arrive sous incidence normale sur un prisme de verre d’indice 𝑛, et ressort parallèlement au rayon incident après deux réflexions totales sous
incidence de 45° à l’intérieur du verre lorsque le prisme est dans l’air.
Par contre, la réflexion totale n’a pas lieu si la partie inférieure du prisme est plongée dans l’eau. Dans quelles limites se situe la valeur de 𝑛 ? On donne : indice de l’eau : 𝑛𝑒𝑎𝑢 = 4/3 ; indice de l’air : 𝑛𝑎𝑖𝑟 = 1
2) Propagation dans une fibre optique à gradient d’indice :
Le cœur d’une fibre optique cylindrique, de rayon 𝑎 et de longeur 𝐿, est considérée à gradient d’indice, c’est-à-dire que
l’indice varie continûment de l’axe vers la gaine. On suppose ici l’indice 𝑛1 à l’intérieur de la fibre de la forme : 𝑛1(𝑦) = 𝑛𝑜− 𝑘. 𝑦2, l’axe 𝑦
étant perpendiculaire à la direction de propagation 𝑥 le long de la fibre.
On pose 𝑛1(𝑦 = 𝑎) = 𝑛2.
1) Exprimer 𝑘 en fonction de 𝑛𝑜, 𝑛2 et 𝑎.
2) Pour étudier la trajectoire du rayon lumineux R pénétrant la fibre en 𝑂, 𝑂 étant au
𝐵
𝐴 𝐹 𝐹′
𝐵
𝐴 𝐹′
𝐹
𝐵
𝐴 𝐹′
𝐹
𝐵
𝐴 𝐹′ 𝐹
𝐵
𝐴 𝐹
𝐹′
𝐵
𝐴 𝐹 𝐹′
𝑦
𝑥
𝑂 𝑛1(𝑦)
𝑖
centre du cylindre, on utilise l’angle 𝛼 de la tangente à sa trajectoire avec l’axe 𝑂𝑥.
On note 𝛼(𝑂) = 𝛼𝑜. Exprimer la loi de Descartes de la réfraction dans la fibre en fonction de 𝛼 et de 𝑛(𝑦) puis en fonction de 𝛼𝑜 et 𝑛𝑜.
3) Etablir l’équation différentielle de la trajectoire de R. La mettre sous la forme :
(𝑑𝑦
𝑑𝑥)2 = 𝐴(1 − 𝐵𝑦2)2− 1 En explicitant les termes 𝐴 et 𝐵 en fonction de 𝛼𝑜, 𝑛𝑜 et 𝑘.
4) Application numérique : on cherche à limiter l’amplitude de la trajectoire de R de sorte que𝑦 ≤ 𝑎. Calculer le facteur 𝐵. 𝑎2 pour que 𝑛2
𝑛𝑜= 0,99
5) Le résultat précédent montre que 𝐵𝑦2 << 1 et donc que(1 − 𝐵𝑦2)2≈ 1 − 2𝐵𝑦2. En déduire la nouvelle équation différentielle vérifiée par 𝑦(𝑥).
6) Montrer que la solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme : 𝑦(𝑥) = 𝑌. 𝑠𝑖𝑛(𝜎. 𝑥)
Expliciter les termes 𝜎 et 𝑌 en fonction de 𝛼𝑜, 𝑛𝑜 et 𝑘.
7) Donner la distance 𝑑 séparant deux passages successifs de la trajectoire sur l’axe de la fibre.
8) Ecrire la condition portant sur 𝛼𝑜 pour que la trajectoire de R soit effectivement confinée dans le cœur.
9) Application numérique : calculer 𝑑 et 𝛼𝑜 pour 𝑛𝑜 = 1,50 ; 𝑛2
𝑛𝑜= 0,99 et 𝑎 = 25 𝜇𝑚.
3) Etude d’un rayon lumineux dans l’atmosphère :
On suppose que l’atmosphère est un milieu transparent dont l’indice varie avec l’altitude suivant la loi : 𝑛(𝑧) = 𝑛𝑜√1 − 𝑘𝑧, l’axe des 𝑧 étant la verticale ascendante.
On suppose que la tangente à un rayon lumineux fasse en 𝑧 = 0 un angle 𝑖𝑜 avec l’axe des 𝑧. Donner l’allure de la courbe décrite par ce rayon lumineux.
Pour simplifier on suppose le rayon lumineux dans un plan (𝑥𝑂𝑧) et on introduit 𝑖𝑜 l’angle d’incidence en 𝑧 = 0.
4) Succession de lentilles convergentes :
On considère une succession de lentilles convergentes, de même distance focale 𝑓′ , de même axe et espacées régulièrement d’une distance 𝑎 << 𝑓’.
Montrer qu’un rayon lumineux a un trajet presque sinusoïdal.
5) Etude du doublet de Huygens :
Soit un doublet caractérisé par : 𝑓1
′
3 =𝑂1𝑂2
2 = 𝑒
2= 𝑓2′
1 = 𝐾 Un tel doublet est nommé doublet de Huygens
1) Déterminer la position du foyer objet 𝐹 du doublet. Vérifier le calcul en effectuant la construction de 𝐹.
2) Déterminer de même la position du foyer image 𝐹’.
3) En utilisant les formules de conjugaison de Newton à un couple objet, image bien choisie, trouver la valeur absolue de la distance focale de ce doublet.
𝛼 𝑦
𝑥
6) Système afocal :
On considère un système de trois lentilles 𝐿1, 𝐿2, et 𝐿3. 𝐿1 et 𝐿2 sont divergentes, de distances focales 𝑓1′ et 𝑓2′ et 𝐿3 est
convergente, de distance focale 𝑓3′. Un faisceau cylindrique de rayon 𝑅1, de rayons parallèles à l’axe optique donne en sortie un faisceau cylindrique de rayon 𝑅2 > 𝑅1.
On appelle 𝑎 la distance 𝑂1𝑂2 et 𝑏
la distance 𝑂2𝑂3. Donner les valeurs de 𝑎 et 𝑏 en fonction des distances focales et des rayons des faisceaux d’entrée et de sortie.
7) Etude d’un viseur :
Un viseur est constitué d’un objectif 𝐿1, assimilé à une lentille mince convergente de distance focale 𝑓1′= 10 𝑐𝑚, et d’un oculaire 𝐿2 assimilé à une lentille mince convergente de distance focale 𝑓2′= 2 𝑐𝑚. La distance entre 𝐿1 et 𝐿2est réglable et se note D.
1) Déterminer D pour que le système soit afocal. Représenter la marche d’un pinceau lumineux venant d’un point à l’infini dans une direction faisant un angle 𝛼 avec l’axe du viseur.
Calculer le grandissement angulaire 𝐺 =𝛼′
𝛼 de l’appareil, 𝛼′étant l’angle que font les rayons émergents avec l’axe.
2) On règle maintenant le viseur pour que l’œil d’un observateur, regardant à travers l’oculaire, voie nettement, sans accommoder, un objet 𝐴𝐵 situé à 20 𝑐𝑚 en avant de la face d’entrée de l’objectif.
a) Déterminer la nouvelle valeur de 𝐷.
b) L’observateur voit alors l’image 𝐴𝐵 sous un angle 𝛼′. Calculer en dioptries la quantité 𝑃 = 𝛼′
𝐴𝐵.
c) En accommodant, l’œil voit des objets situés à une distance minimale 𝑑𝑚 = 20 𝑐𝑚, l’œil de l’observateur ayant sa pupille dans le plan de l’image de 𝐿1 donnée par 𝐿2, quelle région de l’espace objet peut être vue nettement par l’observateur regardant à travers le viseur ?
8) Principe d'une lunette de Galilée:
Une lunette de Galilée est formée d'un objectif assimilable à une lentille convergente 𝐿1, de distance focale 𝑓1′= 50 𝑐𝑚 et d'un oculaire assimilable à une lentille mince divergente 𝐿2 de distance focale 𝑓2′= − 5𝑐𝑚.
1) Quelles sont les positions des deux lentilles pour avoir un système afocal ?
2) Déterminer le grandissement angulaire (rapport de l'angle sous lequel l'image d'un objet est vue à travers la lunette à l'angle sous lequel l'objet est vu à l'œil nu) ?
Application numérique : sous quel angle voit-on une tour de 10𝑚 située à 2𝑘𝑚?
9) Etude d’un appareil photographique :
On assimile l’objectif d’un appareil photographique à une lentille mince convergente (𝐿) de centre 𝑂 et de distance focale 𝑓′= 50 𝑚𝑚
La distance 𝑑 entre (𝐿) et l’écran (𝐸) où se trouve la pellicule est variable ce qui permet d’effectuer la mise au point.
𝐿3
𝐿2
𝐿1
𝑏 𝑎
𝑅2 𝑅1
1) On désire photographier des objets dont la distance 𝑥 à (𝐿) varie de 𝑥𝑚 = 60 𝑐𝑚 à l’infini. Dans quel domaine doit pouvoir varier 𝑑 ? Calculer les valeurs extrêmes 𝑑𝑚𝑎𝑥 et 𝑑𝑚𝑖𝑛
2) Le faisceau entrant dans la lentille est limité par un diaphragme circulaire (𝐷) dont le diamètre 𝜑 est variable. On appelle ouverture relative de l’objectif le rapport 𝑁 = 𝑓′/𝜑. La suite usuelle des valeurs de 𝑁 est : 𝑁 = 1,4 ; 2 ; 2,8 ; 4 ; 5,6 ; 8 ; 11 ; 16 ; 22.
Comment varie la puissance lumineuse reçue par l’écran quand on passe d’une valeur de 𝑁 à la suivante ?
3) L’appareil étant mis au point sur l’infini, un point 𝐴 situé à distance finie donne sur l’écran une tache circulaire. On admet que la photo reste nette tant que cette tâche n’est pas plus grande que la dimension 𝑔 d’un pixel. Donner l’expression de la distance hyperfocale 𝐿𝑜, valeur minimale de 𝑥 pour laquelle l’image d’un objet 𝐴 reste nette. Exprimer le résultat en fonction de 𝑔, 𝑓’ et 𝑁.
La profondeur de champ 𝑃 est la zone de l’espace objet pour laquelle l’image est nette : quel est qualitativement le lien entre 𝑃 et 𝑁 ? Entre 𝑃 et 𝑓’ ?
4) Pour améliorer la profondeur de champ, on peut régler 𝑑 à une distance 𝑑1 telle que l’image d’un point à l’infini reste nette. Donner l’expression de 𝑑1 correspondant à la profondeur de champ maximale en fonction de 𝑔, 𝑓’ et 𝑁 (on prendra 𝑑1> 𝑓’).
En déduire l’expression de la nouvelle distance hyperfocale 𝐿1 en fonction de 𝐿𝑜 et de 𝑓’.
10) Etude simplifiée d’un microscope :
Un microscope est constitué d’un objectif et d’un oculaire, placés relativement loin l’un de l’autre. On peut le schématiser par l’association de deux lentilles minces convergentes, 𝐿1 représentant l’objectif et 𝐿2 représentant l’oculaire.
Pour les applications numériques on prendra 𝐿1 et 𝐿2 de distances focales respectives 𝑓1′= 1,2 𝑐𝑚 et 𝑓2′= 2 𝑐𝑚. On notera ∆ la distance entre le foyer image de 𝐿1 et le foyer objet de 𝐿2 :
∆= 𝐹1′𝐹2 = 18 𝑐𝑚.
1) L’image donnée par l’oculaire étant normalement située à l’infini, à quelle distance de l’objectif faut-il placer l’objet à observer ? Faire un tracé des rayons lumineux issus d’un point B de l’objet, situé en dehors de l’axe du système. Calculer dans ces conditions le grandissement de la lentille 𝐿1 et déterminer la position angulaire 𝛼 de l’image vue par l’observateur.
2) Quand l’objet, placé à une distance 𝑑 de l’œil de l’observateur, est directement observé à l’œil nu, il est vu sous un angle 𝛼′. Calculer le rapport 𝐺 = 𝛼
𝛼′, grossissement commercial du microscope. Faire l’application numérique pour 𝑑 = 0,25 𝑚. La grandeur 𝐺 s’appelle la puissance intrinsèque du microscope. Donner son expression littérale. 𝑑
3) Le microscope n’étant pas parfaitement réglé, l’image observée n’est plus à l’infini, mais on suppose qu’elle se forme à la distance d précédente du foyer image de 𝐿2 ; grâce à l’accommodation, l’observateur la voit encore nettement. Par rapport à sa position initiale (question 1) de combien l’objet a-t-il été déplacé ? Ce déplacement correspond à la profondeur de champ du microscope. Le grossissement a-t-il été modifiée ? Si oui calculer sa nouvelle valeur.
4) On remplace la lentille 𝐿2 par un oculaire dit de Ramsden, constitué de deux lentilles convergentes 𝐿2 identiques à la précédente, placées à la distance 𝑒 = 1𝑐𝑚 l’une de l’autre.
L’objet étant placé dans la position de la question 1, comment faut-il placer ces deux lentilles pour que l’image donnée par cet oculaire se forme encore à l’infini ? On déterminera précisément la position de l’image 𝐴’𝐵’ donnée par l’objectif par rapport aux lentilles de l’oculaire. Faire une figure du tracé des rayons lumineux issus de 𝐵’ et traversant l’oculaire. Le grossissement est-il modifié ? Si oui calculer sa nouvelle valeur.
Indications
1)Prisme à réflexion totale :
On utilise les lois de Descartes : 𝑛𝑠𝑖𝑛𝑖 = 𝑛’𝑠𝑖𝑛𝑖’. La réflexion totale correspond au cas où
𝑛𝑠𝑖𝑛𝑖 𝑛′ > 1
2) Propagation dans une fibre optique à gradient d’indice :
2) Ecrire les lois de Descartes de la réfraction ; 3) Utiliser la relation : 𝑡𝑎𝑛 =dy/dxet 𝑡𝑎𝑛2𝛼 = 1
𝑐𝑜𝑠2𝛼; 5) Dériver l’équation différentielle obtenue au 3) et intégrer ; pour les conditions initiales, on connaît y(x=0) et 𝑡𝑎𝑛𝛼(𝑥 = 0) = (𝑑𝑦
𝑑𝑥) (𝑥 = 0); 8) L’amplitude de la sinusoïde ne doit pas dépasser le rayon de la fibre optique.
3) Etude d’un rayon lumineux dans l’atmosphère :
Montrer que les lois de Descartes de la réfraction entrainent l’invariance de 𝑛(𝑧)𝑠𝑖𝑛𝑖(𝑧).
Introduire l’angle 𝛼, tangent à la trajectoire. On rappelle que 𝑡𝑎𝑛2𝛼 + 1 = 1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
4) Succession de lentilles convergentes :
Il est conseillé d’introduire l’angle 𝛼𝑛 du rayon lumineux avec l’axe des 𝑥 avant la 𝑛𝑖è𝑚𝑒 lentille ainsi que la hauteur 𝑦𝑛 du rayon lumineux. Faire un DL pour trouver une relation entre 𝑦𝑛+1, 𝑦𝑛 et 𝛼𝑛 ; exprimer la formule de conjugaison de Descartes en fonction de 𝛼𝑛+1, 𝛼𝑛, 𝑦𝑛 et 𝑓′. Faire un DL pour passer à un modèle continu.
5) Etude d'un doublet :
1 et 2) Pour la méthode analytique, il peut être intéressant d’utiliser la formule de conjugaison de Newton avec origine aux foyers, en remarquant que 𝐹 a pour image 𝐹2 pour la première lentille et que 𝐹’ a pour objet 𝐹1′ pour la deuxième lentille ; 3) Pour le système des deux lentilles l’image de 𝐹1 est 𝐹2′ .
6) Système afocal :
Pour que le système soit afocal, il faut que 𝐹1′ ait pour image 𝐹3 pour la lentille 𝐿2 ; appliquer la formule de conjugaison de Descartes pour ce couple stigmatique. Etudier le grossissement de la deuxième lentille pour ce couple stigmatique.
7) Etude d’un viseur:
1) Système afocal si 𝐹1′ = 𝐹2 ; 2) a) L’image de 𝐴𝐵 à travers le viseur doit être dans le plan focal de 𝐿2 pour ressortir à l’infini ; 2) b) On suppose que l’œil est dans le plan de la lentille 𝐿1 ; l’œil verra net si 𝑑𝑚 ≤ 𝐴′𝑂′1 ≤ ∞.
8) Principe d'une lunette de Galilée:
1) Le système est afocal si 𝐹1′ = 𝐹2 ; 2) Faire une construction avec un rayon qui passe par 𝐹1. 9) Etude d’un appareil photographique :
1)Appliquer les formules de conjugaison de Descartes ; 2) La puissance lumineuse est proportionnelle à la surface de l’objectif ;3) L’écran étant dans le plan focal image, l’image du point 𝐴 sera nette si c’est une tache de taille maximum 𝑔 ; trouver la position de l’image 𝐴’ de
𝐴 et en déduire 𝑂𝐴 ; 4) L’écran est placé de telle sorte que l’image d’un rayon à l’infini soit une tache de dimension 𝑔.
10) Etude simplifiée d’un microscope :
1)Le plus simple est d’appliquer la formule de conjugaison de Newton ; avec la construction demandée, l’objet intermédiaire 𝐴1𝐵1 est en 𝐹2. On obtient 𝛼 en utilisant le rayon 𝐵1𝑂2 ; 3) Appliquer de nouveau les formules de conjugaison de Newton ; supposer la grandeur 𝑓2′2
∆𝑑 ≪ 1 et faites un DL d’ordre 1pour trouver la nouvelle expression de 𝐹1𝐴 ; 4) Pour que l’image de A soit à l’infini il faut que A’ soit au foyer objet 𝐹2 de l’oculaire ; utiliser les formules de conjugaison de Newton pour trouver la distance 𝐹2𝐴′ ; faites soigneusement la construction et en déduire la nouvelle valeur de 𝛼.
Solutions
1)Prisme à réflexion totale : 1,414 < 𝑛 ≤ 1,886
2) Propagation dans une fibre optique à gradient d’indice : 1) 𝑘 = (𝑛𝑜− 𝑛2/𝑎2; 2) 𝑛(𝑦). 𝑐𝑜𝑠 𝛼 (𝑦) = 𝑛𝑜𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑜 ; 3) (𝑑𝑦
𝑑𝑥)2 = 1
𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑜(1 − 𝑘
𝑛𝑜𝑦2)2− 1 ; 4) 𝐵𝑎2 =𝑛𝑜−𝑛2
𝑛𝑜 = 0.01 ; 5) la nouvelle équation différentielle est : (𝑑𝑦
𝑑𝑥)2 = 1
𝑐𝑜𝑠 2𝛼𝑜(1 −
𝑘
𝑛𝑜2𝑦2) − 1 = 𝐴′− 𝐵′𝑦2 ; 6) 𝑦(𝑥) = √𝑛2𝑘𝑜𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑜𝑠𝑖𝑛 (√2𝑘𝑛
𝑜 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑜) ; 7) 𝑑 = 𝜋. 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑜√𝑛2𝑘𝑜 ; 8) 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑜≤ √2 (−1𝑛2
𝑛𝑜) ; 9) 𝑑 = 22µ𝑚 , 𝛼𝑜= 8.13°
3) Etude d’un rayon lumineux dans l’atmosphère : 𝑧(𝑥) = − 𝑘
4𝑠𝑖𝑛2𝑖𝑜𝑥2+ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑖𝑜𝑥
4) Succession de lentilles convergentes : 𝑦′′(𝑥) + 1
𝑓′𝑎𝑦(𝑥) = 0 ; la trajectoire est sinusoïdale de période 𝐿 = 2𝜋√𝑓′𝑎 5) Etude d'un doublet :
1) 𝐹1𝐹 = 4,5𝐾 ; 2) 𝐹2′𝐹′= −0,5𝐾 6) Système afocal :
𝑏 = 𝑓3′+ 𝑓2′(1 +𝑅1𝑓3′
𝑅2𝑓1′) ; 𝑎 = 𝑓1′+ 𝑓2′(1 +𝑅2𝑓1′
𝑅1𝑓3′) 7) Etude d’un viseur:
1) 𝐷 = 𝑓′1+ 𝑓′2 = 12𝑐𝑚 ; 𝐺 = −5 ; 2) a) 𝐷 = 22𝑐𝑚 ; b) 𝑃 = 50 𝑑𝑖𝑜𝑝𝑡𝑟𝑖𝑒𝑠 ; c)
−𝐷−𝑓′𝑓′12
1−𝑓′2 ≤ 𝑥 ≤ 𝑓′12
𝐷−𝑓′1−𝑓′2+ 𝑓′22 𝑑𝑚+𝑓′2−𝑂2𝑂1′
, 𝑂1′ étant l’image de 𝑂1par 𝐿2 soit −10𝑐𝑚 ≤ 𝑥 ≤
−9.8𝑐𝑚
8) Principe d'une lunette de Galilée:
1) 𝑂1𝑂2 = 45𝑐𝑚 ; 2) 𝛼/𝛼′= −10
9) Etude d’un appareil photographique : 1) 𝑑𝑚𝑖𝑛= 𝑓′= 50 𝑚𝑚 ; 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑥𝑚𝑓′
𝑥𝑚−𝑓′= 54,5 𝑚𝑚 ; 2) Si on passe de 𝑁𝑖 à 𝑁𝑖+1 on passe de 𝑃𝑖 à 𝑃𝑖+1= 𝑃𝑖
2 ; 3) 𝐿𝑜=𝑓′2
𝑁𝑔 ; 𝐿𝑜(𝑁 = 2,8) = 44,6 𝑚 ; 𝐿𝑜(𝑁 = 16) = 7,81 𝑚 ; 4) 𝑑1 = 𝑓′+ 𝑔𝑁 ; 𝐿 = 𝑓′(𝑓′+𝑔𝑁)~𝐿𝑜 ; 𝐿 (𝑁 = 2,8) = 22,3 𝑚 ; 𝐿 (𝑁 = 16) = 3,91 𝑚
10) Etude simplifiée d’un microscope : 1)𝐹1𝐴 = −𝑓1∆′2 = −8𝑐𝑚 ; 𝛾 = −𝑓∆
1′ = −15 ; 𝛼 =𝑓∆
1′𝑓2′𝐴𝐵 ; 2) 𝐺 =𝑓∆
1′𝑓2′𝑑 = 187,5 ; 𝑃 =𝑓∆
1′𝑓2′ ; 3) 𝐹1𝐴 = −𝑓1′2
∆ (1 +𝑓2′2
∆𝑑) ; l’objet a été déplacé de 𝑓1′2𝑓2′2
𝑑∆2 = 7. 10−4𝑐𝑚 ; 𝐺′ = 185,8 ; 4) 𝐹2𝐴′ =
− 𝑓2′2
𝑒−2𝑓2′ ; 𝛼
𝛼′= ∆𝑑
𝑓1′𝑓2′(2𝑓2′−𝑒
𝑓2′ )
