I – Calcul algébrique dans l’ensemble R

ECG-1 )

Chapitre

Pour bien commencer l’année

A

Le but de ce chapitre est de consolider certaines connaissances et capacités acquises au lycée. Aucune difficulté théorique ne sera développée ici et les résultats seront rap- pelés, le plus souvent, sans démonstration. Ce chapitre sera également l’occasion d’in- troduire un certain nombre de notations et un vocabulaire propres à l’écriture rigou- reuse des mathématiques.

Sommaire

I Calcul algébrique dans l’ensembleR. . . . 1

I.1 Ensembles de nombres . . . . 1

I.2 Un peu de logique et de langage mathématique . . . . 5

I.3 Règles de calcul élémentaires . . . . 9

I.4 Racine carrée et valeur absolue . . . 10

I.5 Développement et factorisation . . . 12

I.6 Un zeste d’arithmétique dansN . . . 13

II Équations dansR . . . . 14

II.1 Équations polynomiales . . . 14

II.2 Équations contenant des valeurs absolues . . . 16

II.3 Équations contenant des racines carrées . . . 16

III Inégalités et inéquations dansR . . . . 17

III.1 Propriété de la relation d’ordre surR . . . 17

III.2 Démonstration d’inégalités et résolution d’inéquations dansR . . . 19

I – Calcul algébrique dans l’ensemble R

La présentation est faite ici dans le cadre des nombres réels.

I.1 – Ensembles de nombres

I.1.1 – Notion d’ensemble

Rappelons pour commencer que si E est unensemble, la notation «x∈E » signifie quexest unélémentde l’ensemble E. Par exemple la notationx∈Rsignifie quexest un élément de l’ensemble des nombres réels c’est à dire quexest un nombre réel.

Au contraire, la notationx6∈E signifie quexn’est pas un élément de E. Par exemple la notation¹₂6∈Nsignifie que ¹₂ n’est pas un nombre entier.

Remarques

1I Nous ne définirons pas la notion d’ensemble. Il s’agit d’unenotion premièreque nous nous contenterons d’uti- liser conformément à notre intuition et à certain nombre de règles que nous rencontrerons au fur et à mesure de l’année.

2I Il y a plusieurs moyens pour décrire un ensemble (dans ce contexte,décrire un ensemblesignifie être capable de dire quels sont précisément ses éléments).

Exemples

1I On peut décrire un ensembleen extensionen donnant la liste de ses éléments :

E=n

a,b,c,do

F=n 1, 2, 3o

2I On peut décrire un ensembleen compréhensionen donnant une propriété quicaractériseses éléments. L’en- semble des réelsdont le carré vaut4 se note par exemple :

n

x∈R, x²=4o

¡bien entendu cet ensemble n’est rien d’autre que lapaire©

−2, 2ª¢

.

3I On peut décrire un ensemble comme l’ensemble des images par une fonction. Par exemple :

nk²,k∈No

désigne l’ensemble descarrés parfaitsc’est à dire l’image des entiers naturels par la fonctionélévation au carré c’est-à-direx7−→x².

I.1.2 – Entiers

Les entiersnaturelssont les entiers positifs ou nuls. L’ensemble de ces nombres est notéN. Les entiers de signes quelconques sont appelés entiersrelatifset on noteZl’ensemble de ces nombres. L’ensembleNest doncinclusdans l’ensembleZce que l’on noteN⊂Z.

On note égalementN^∗ l’ensemble des entiers naturelsnon nulsetZ^∗ l’ensemble des entiers relatifsnon nuls. Par ailleurs, la notation‚n,pƒdésignent l’ensemble des entiers qui sont supérieurs ou égaux ànet inférieurs ou égaux à p. Par exemple‚−2, 5ƒest constitué des entiers−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

L’ensemble des entiers est souvent étudié sous l’angle de l’arithmétique, une sous-discipline des mathématiques qui remonte à l’antiquité. Il y est question de diviseurs, de nombres premiers et de bien d’autre choses qui ne sont pas au programme en filière ECG. Nous en parlerons un tout petit peu, plus loin dans ce chapitre.

I.1.3 – Nombre rationnels

L’ensembleQdes nombresrationnelsest l’ensemble des fractions d’entiers. Autrement dit :

Q=n a

b,a∈Z,b∈Z^∗o

La notationQ^∗désigne bien sûr l’ensemble des nombres rationnels non nuls.

Tout rationnel s’écrit de manièreuniquesous la formea

b, aveca∈Z,b∈N^∗etaetbn’ayant aucun diviseur commun (autre que 1). On dit alors que la fraction estirréductibleet c’est toujours sous cette forme qu’il est préférable de donner les résultats rationnels.

Il existe des réels non rationnels, on dit qu’ils sontirrationnels. Par exemplep

2,πet e=exp(1) sont des nombres irrationnels.

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)

Le nombrep

2 est irrationnel : p 26∈Q. Démonstration

B1

Remarque –Dans la démonstration précédente, nous avons utilisé le fait que siaest un nombre entier dont le carré est pair, alorsaest lui même pair. Justifions cela.

Démonstration B2

I.1.5 – Nombres décimaux

L’ensembleDdes nombresdécimauxest l’ensemble des fractions d’entiers dont le dénominateur est une puissance de 10. Autrement dit :

D=n a

10ⁿ,a∈Z,n∈No

De manière équivalente un nombre réel est décimal si et seulement si son écriture décimale ne comporte qu’un nombre fini de chiffres après la virgule (cette caractérisation est admise).

Prenons par exemplex=5, 283. Avec cette notation, 5 est le chiffre des unités, 2 est le chiffre des dixièmes, 8 celui des centièmes, 3 celui des millièmes et on a :

x=5+2×10⁻¹+8×10⁻²+3×10⁻³=5+ 2 10+ 8

100+ 3 1000. En réduisant au même dénominateur on a donc :

x=5283

1000=5283 10³ ce qui prouve quexest bien un nombre décimal.

Il existe des nombres réels non décimaux. Par exemple1 3. I.1.6 – Proposition

La nombre1

3n’est pas décimal : 1 36∈D Démonstration

B3

I.1.7 – Lien entre les différents ensembles de nombres On a les inclusions suivantes : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.

ℕ ℤ 𝔻 ℚ ℝ

I.1.8 – Autres notations

Il existe, pour certains intervalles deR, des notations spécifiques que nous donnons ci-dessous : R+=£

0,+∞£

=©

x∈R,x>^0ª R^∗₊=¤

0,+∞£

=©

x∈R,x>0ª R−=¤

− ∞, 0¤

=©

x∈R,x6^0ª R^∗₋=¤

− ∞, 0£

=©

x∈R,x<0ª Des notations analogues peuvent être utilisées pourQ,ZouN.

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)

I.2.1 – Proposition mathématique

Dans ce qui suit, le termepropositiondésigne un énoncé (en général mathématique) auquel on attribue (très souvent mais pas toujours) une valeur de vérité. Pour écrire une telle proposition nous aurons besoins desquantificateurs (∀,∃) et desconnecteurs logiques(ET,OU,NON,=⇒,⇐⇒).

I.2.2 – Définition (Quantificateurs)

(i) Pour indiquer qu’un énoncé (ou proposition) mathématiques est vraiquel que soitl’élémentxdans l’en- semble E on écrit : «∀x∈E ». Le symbole∀est appeléquantificateur universel.

(ii) Pour indiquer qu’un énoncé (ou proposition) mathématiques est vraipour au moinsun élémentxdans l’ensemble E on écrit : «∃x∈E ». Le symbole∃est appeléquantificateur existentiel.

(iii) Pour indiquer qu’un énoncé (ou proposition) mathématiques est vraipour un uniqueélémentxdans l’en- semble E on écrit : «∃!x∈E ».

I.2.3 – Autres notations

On utilise indifféremment les symboles «|», « / » ou une simple virgule « , » pour signifier « tel que » dans une phrase mathématiques.

o _ATTENTION

Le langage mathématique est un langage à part entière et il convient, en principe, de ne pas le mélanger avec le langage naturel (le français pour nous). Normalement, une phrase mathématique s’écrit de manière isolée sur une ligne (mais on peu parfois faire preuve d’un peu de souplesse).

Exemples

1I L’énoncé mathématique suivant : «∀x∈R,∃n∈N,n>x» signifie « pour tout nombre réelx, il existe un entier naturelntel quensoit strictement plus grand quex». Cet énoncé est-il vrai ou faux ?

B4

2I Écrivons en langage mathématiques le fait qu’il n’existe aucun réel dont le carré soit égal à−1. Attention le symbole6 ∃n’est pas véritablement considéré comme un quantificateur et on ferra en sorte de ne pas l’utiliser.

B5

Ò Exercice A1

Traduire en langage naturel les énoncés mathématiques suivant puis préciser s’ils sont vrais ou faux : 1. ∀x∈R,∃!y∈R+,x=y²

2. ∃x∈R, 3x²+1=x²+x

Ò Exercice A2

Traduire en langage mathématiques les énoncés suivant¡

vrais ou faux est bien moins évident pour(ii)¢ : 1. La suite de terme généralun=n²est bornée.

2. Tout entier naturel peut s’écrire comme la somme de quatre carrés d’entiers naturels.

Ò Exercice A3 ( )

Écrire une fonction Pythonquatre_carres(n)prenant en argument un entier naturelnet renvoyant quatre entiersa, b,cetdtels quen=a²+b²+c²+d²(par exemple dans une liste).

Indication –On pourra imbriquer quatre boucles foret provoquer une sortie anticipée grâce à un return.

Remarque –On pourra alléger le dernier énoncé mathématique de l’exercice précédent en utilisant la notion de produit cartésiende plusieurs ensembles :

I Si E et F sont deux ensembles, leproduit cartésiende E et F, noté E×F, est l’ensemble descouplesde la forme (x,y) avecx∈E ety∈F.

I ^{Si E}=F on notera E²au lieu de E×E. Par exemple,R²est l’ensemble des couples de réels. Il est donc équivalent d’écrire : ∀x∈R,∀y∈R et ∀(x,y)∈R²

ou bien : ∃x∈R,∃y∈R et ∃(x,y)∈R²

I Ce que l’on vient d’évoquer pour des couples fonctionne de même avec des triplets, quadruplets oun-uplets.

I.2.4 – Définition (Connecteurs logiques élémentaires)

Étant donné un ensemble de propositions, nous disposons sur celui-ci des opérateurs logiques usuels :

• l’opérateur binaireET(appelé aussi conjonction) ;

• l’opérateur binaireOU(appelé aussi disjonction non exclusive) ;

• l’opérateur unaireNON;

dont lasémantiqueest définie par les tables de vérité suivantes : A B AETB

1 1

1 0

0 1

0 0

A B AOUB

1 1

1 0

0 1

0 0

A A

1 0

Remarques

1I Il est très fréquent de noter A la négation de A, au lieu de¡

NONA¢

. Nous utiliserons cette notation.

2I Les logiciens notent∧à la place de ET et∨à la place de OU. Nous n’utiliseronspasces notations.

3I On appellera propositioncomposéeune proposition obtenue à partir de propositions élémentaires (parfois ap- peléesatomes), à l’aide des opérateurs définis précédemment. Par exemple :

P=AET¡

BOUC¢

4I On dira que deux propositions composées sontlogiquement équivalentessi elles ont la même table de vérité.

Autrement dit si elles ont la même valeur de vérité quel que soit lecontexte. On écrit alors P←→Q.

Ò Exercice A4 (Distributivité)

Soient A, B et C trois propositions quelconques. Démontrer, à l’aide de tables de vérité, que : 1. (AOUB)ETC est logiquement équivalente à (AETC)OU(BETC) ¡

on notera (AOUB)ETC←→(AETC)OU(BETC)¢ . 2. (AETB)OUC est logiquement équivalente à (AOUC)ET(AOUC) ¡

on notera (AETB)OUC←→(AOUC)ET(BOUC)¢ .

Ò Exercice A5 (Loi de Morgan)

Soient A et B deux propositions quelconques. Démontrer, à l’aide de tables de vérité, que : 1. AETB est logiquement équivalente à AOUB ¡

on notera AETB←→AOUB¢ . 2. AOUB est logiquement équivalente à AETB.¡

on notera AOUB←→AETB¢ .

I.2.5 – Définition (Implication)

Étant donné deux propositions A et B l’implicationA=⇒B (qui se lit AimpliqueB) est une abréviation de la proposition AOUB.

Afin de mieux comprendre cette notion, voici la table de vérité de cenouveau connecteur logique:

A B A A=⇒B

1 1

1 0

0 1

0 0

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)

1I En lisant la table de vérité, on retiendra que la proposition A=⇒B est fausse dans le seul cas où A est vraie et B est fausse.

2I Au lieu de « AimpliqueB », on pourra aussi utiliser le vocabulaire suivant : – Best impliqué parA ;

– siAalorsB (ou si A est vraie alors B est vraie) ; – B est unecondition nécessairepour avoir A ; – A est unecondition suffisantepour avoir B.

3I Notons que la négation de A=⇒B ¡

abréviation de AOUB¢

est équivalente à : A=⇒B = AOUB←→ AETB←→ AETB Exemples

1I ^Sin∈Nalors l’implication suivante est vraie : « nest divisible par 4 »=⇒«nest divisible par 2 » 2I La négation de l’implication précédente est : « nest divisible par 4 »ET«nn’est pas divisible par 2 »

Bien entendu, ce second énoncé est faux (quel que soit l’entiern).

Ò Exercice A6 (Modus ponens)

Démontrer, à l’aide d’une table de vérité, que la proposition composée¡

AET(A=⇒B)¢

=⇒B est toujours vraie (on dit qu’il s’agit d’unetautologie).

I.2.6 – Définition (Réciproque d’une implication)

Laréciproqued’une implication A=⇒B est l’implication B=⇒A.

Afin de mieux comprendre cette notion, dressons la table de vérité de laréciproque.

Il est essentiel de comprendre qu’il n’y aaucun lien lo- gique entre une implication et sa réciproque. Autrement dit elles sont vraies ou fausses, indépendamment l’une de l’autre. Et cela se comprend justement en lisant la table de vérité.

A B A=⇒B B=⇒A 1 1

1 0 0 1 0 0

Exemple –Sin∈N, la réciproque de : « nest divisible par 4 »=⇒« nest divisible par 2 » est l’implication : « nest divisible par 2 »=⇒« nest divisible par 4 » La première de ces implications est bien sûr vraie et la deuxième est fausse.

I.2.7 – Définition (Équivalence de deux propositions)

Étant donné deux propositions A et B l’équivalenceA⇐⇒B (qui se lit Aéquivautà B) est une abréviation de la proposition (A=⇒B)ET(B=⇒A).

I.2.8 – Table de vérité de l’équivalence

Afin de mieux comprendre cette notion, dressons la table de vérité de ce nouveauconnecteur logique. On constate (et cela est cohérent avec l’usage courant) que A⇐⇒B est vraie lorsque A et B sont simultanément vraies ou simul- tanément fausses (et seulement dans ce cas).

A B A=⇒B B=⇒A A⇐⇒B 1 1

1 0 0 1 0 0 Remarques

1I L’équivalence A⇐⇒B est la conjonction de l’implication (A=⇒B) et de sa réciproque (B=⇒A).

2I Dans la définition de l’équivalence A⇐⇒B il est clair que A et B ont un rôle symétrique. Autrement dit, les énoncés A⇐⇒B et B⇐⇒A sont équivalents.Ouf !

3I Au lieu de « Aéquivautà B », on pourra aussi utiliser le vocabulaire suivant : – A estéquivalenteà B ;

– Asi et seulement siB (ou A est vraie si et seulement si B est vraie) ; – A est unecondition nécessaire et suffisantepour avoir B.

Exemple –Sin∈Ncette équivalence est vraie : « nest divisible par 2 et par 5 »⇐⇒« nest divisible par 10 » I.2.9 – Théorème

Soient P et Q deux propositions (composées) telles que P←→Q. Alors la proposition P⇐⇒Q est une tautologie.

I.2.10 – Définition (Contraposée d’une implication)

Lacontraposéed’une implication A=⇒B est l’implication B=⇒A.

I.2.11 – Théorème

Une implication A=⇒B et sa contraposée B=⇒A sont logiquement équivalente.

Démonstration

Utilisons une table de vérité.

B6

Exemple –Sin∈N, considérons l’implication suivante : « n²est pair »=⇒« nest pair » Sa contraposée est l’implication : « nest impair »=⇒«n²est impair » Nous avons déjà vu (lors de la démonstration de l’irrationalité dep

2) que ces propositions sont vraies (pour tout entiern).

I.2.12 – Négation et quantificateurs

Un grand nombre d’énoncés mathématiques se présentent sous l’une des formes suivantes : A= « ∀x∈E,P(x) »

B = « ∃x∈E,P(x) »

où E est un ensemble etP est une proposition (on dit aussiprédicat) dépendant dex.

On rappelle que la signification d’un tel énoncé est la suivante :

A= « La propriétéP est vraie pour toutxappartenant à E. » B = « Il existe (au moins) un élémentxde E ayant la propriétéP. »

La négation d’un tel énoncé s’obtient en remplaçant∀par∃,∃par∀et en niant le prédicat final (celui-ci pouvant être composé bien sûr) :

A= « ∃x∈E,P(x) » B = « ∀x∈E,P(x) »

Exemples

1I Considérons l’énoncé (vrai) suivant : A = «∃n∈N,n²=4 ».

Sa négation (fausse) est l’énoncé suivant : A = «∀n∈N,n²6=4 » 2I Considérons l’énoncé (vrai) suivant : B=«∀x∈R+,∃y∈R,x=y²»

Sa négation (fausse) est l’énoncé suivant : B=«∃x∈R+,∀y∈R,x6=y²»

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I.3 – Règles de calcul élémentaires

I.3.1 – Proposition (Calcul fractionnaire)

Pour touta∈R,b∈R^∗,k∈R^∗,c∈R^∗etd∈R^∗on a : (i) 0

a =0, a

1 =a, a

−1= −a (ii) a

−b =−a b = −a

b (iii) a

b =a1 b=1

ba (iv) 1

a b

=b

a (sia6=0) (v) a

b =k×a k×b (vi)

a b c d

=a b×d

c

Ò Exercice A7

Calculer les expressions suivantes. On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

A=

3 7 2 5

B=

2 3

6 C=3× 7

18 D=4+17 11+4

Ò Exercice A8

Calculer les expressions suivantes. On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

A=4 3×

µ13 4 −12

6

¶

B=4 3−1 C=

1 3+2

5

6−1 D=

1 3−¹₂

2 5+³₈

I.3.2 – Définition (Puissances d’exposant entier)

(i) Poura∈Retn∈N^∗, on pose : aⁿ=a×a× · · · ×a

| {z }

nfacteurs

(ii) Poura∈R^∗etn=0, on pose : a⁰=1 (iii) Poura=0 etn=0, on pose : 0⁰=1 (iv) Poura∈R^∗etn∈N, on pose : a⁻ⁿ= 1

aⁿ Remarques

1I Attention, la convention 0⁰=1 fait débat. Pour être prudent ajoutons qu’il s’agit ici de « exactement 0 » à la puissance « exactement 0 ». Cette convention est utile pour faire du calcul algébrique. Mais, en analyse, lorsque que l’on travaille avec des limites, « 0⁰» devient uneforme indéterminée.

2I Il est bon (et amusant ?) de connaître les premières puissances de 2 (que l’on rencontre souvent en informa- tique) : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

3I On remarque que 2¹⁰ =1024 est proche de 10³ =1000. Cette proximité est à l’origine de malentendus, par exemple concernant les tailles des disques durs. Combien de Go contient un disque de 1 To ? Pour certains 1024, pour d’autres 1000.

I.3.3 – Proposition (Calculs avec des puissances) Soient (a,b)∈¡

R^∗¢2

et (n,p)∈Z². (i) Puissances différentes, même base :

aⁿ×a^p=a^n+p aⁿ

a^p =a^n−p ¡ aⁿ¢p

=a^np (ii) Puissance identique, bases différentes :

aⁿ×bⁿ=(a×b)ⁿ aⁿ bⁿ =

µa b

¶n

Ò Exercice A9

Simplifier les expressions suivantes :

A=5⁴×3⁻¹×2³

15³ B=21×10⁻³ 3×10²

Ò Exercice A10

Simplifier les expressions suivantes :

A=4×10¹²×9×10⁻⁵

1, 2×10² B=4×7²−2⁵×3 4⁴−4³ C=3²×27

81² D=4ס

2²−2⁴¢2

−64

I.4 – Racine carrée et valeur absolue I.4.1 – Théorème et Définition (Racine carrée)

Pour tout réel positifa, il existe un unique réel positif dont le carré vauta. Ce nombre est appeléracine carrée deaet est notép

a.

Exemple –On a :p

0=0,p

1=1,p

4=2,p

9=3,p

16=4,p

25=5,p

36=6,p

49=7,p

64=8,p

81=9,p

100=10 et p121=11.

Remarque –En langage mathématique, la propriété précédente s’écrit : B7

I.4.2 – Définition (Valeur absolue)

On appellevaleur absoluede tout nombre réela, la nombre réel positif suivant :

|a| =

(a sia>0

−a sinon Exemple –On a|23| =23 et|−4| =4.

I.4.3 – Proposition (Propriété de la racine carrée) (i) Pour tout (a,b)∈¡

R+

¢2

, on a : p

a×b=p a×p

b.

(ii) Pour touta∈R+etb∈R^∗₊, on a : ra

b = pa pb. (iii) Pour tout (a,b)∈¡

R+

¢2

, on a : a6^b=⇒p a6^pb (iv) Pour touta∈R+on a : ¡p

a¢2

=a.

(v) Pour touta∈Ron a : p

a²= |a|.

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)

Ò Exercice A11

Simplifier les nombres suivants (on ne conservera pas de racine au dénominateur) : A=p

8 B=p

48 C=

r9 32

Ò Exercice A12

1. Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la formeap

bavecaetbentiers,ble plus petit possible.

A=p 54−3p

96−5p

24 B=p

160×p 40×p

90 2. Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la formea+bp

caveca,betcentiers.

C=

³ 3p

10−5p 3´2

D=

³ 3p

5+2p 6´2

3. Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d’un nombre entier.

E=¡ 3−2p

5¢¡

3+2p 5¢

F=24p 45 9p

80 I.4.4 – Proposition (Propriété de la valeur absolue)

(i) Pour touta∈R, on a : |a| =0⇐⇒a=0 (ii) Pour tout (a,b)∈R²on a : |a| = |b| ⇐⇒a= ±b (iii) Pour touta∈Ron a : a6|a|

(iv) Pour tout (a,b)∈R²on a : |a×b| = |a| × |b|.

(v) Pour touta∈Retb∈R^∗on a : ¯

¯

¯ a b

¯

¯

¯=|a|

|b|.

(vi) Inégalité triangulaire –Pour tout (a,b)∈R²on a : |a+b|6|a| + |b|. Remarques

1I Pour l’inégalité triangulaire, il y a parfois égalité¡

par exemple|4+3| = |7| =7=4+3= |4|+|3|¢

et parfois l’inégalité est stricte¡

par exemple|(−5)+3| = |−2| =2< |−5| + |3| =5+3=8¢ .

2I Le nombre positif|b−a|représente ladistanceentreaetbsur la droite réelle.

Démonstration de l’inégalité triangulaire B8

I.5 – Développement et factorisation

I.5.1 – Proposition (Commutativité de l’addition et de la multiplication dansR)

L’addition et la multiplication dansRsontcommutativesce qui signifie que le résultat de ces deux opérations ne dépend pas de l’ordre des deux éléments. En langage mathématique cela s’écrit :

(i) Pour l’addition : B9

(ii) Pour la multiplication : B10

I.5.2 – Proposition (Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition dansR)

Ladistributivitéde la multiplication par rapport à l’addition est en quelque sorte une règle de compatibilité entre ces deux opérations.

(i) Distributivité à gauche : B11

(ii) Distributivité à droite : B12

On en déduit facilement que : B13

Remarque –Utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition permet dedévelopperune expres- sion, c’est-à-dire transformer un produit en somme.

I.5.3 – Factorisation

Factoriserconsiste au contraire à transformer une somme en un produit. Cela est en général plus difficile car il faut pouvoir reconnaitre des particularités dans l’expression sur laquelle on travaille. Pour l’instant nous nous contente- rons de factoriser à l’aide d’identités remarquables.

I.5.4 – Proposition (Identités remarquables au carré et au cube) Pour tout (a,b)∈R²on a :

(a+b)²=a²+2ab+b² (a−b)²=a²−2ab+b² (a−b)(a+b)=a²−b²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³ (a−b)(a²+ab+b²)=a³−b³ (?)

(a+b)(a²−ab+b²)=a³+b³ Démonstration de l’identité(?)

B14

Remarque –Attention,a²+b²ne peut pas se factoriser dansR.

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)

Ò Exercice A13

Soitxun nombre réel quelconque.

1. Développer (x+1)², (x+1)³, (1−x)²et (1−x)³. 2. Factoriser 4−x²et 8+x³

I.6 – Un zeste d’arithmétique dansN

La première notion à connaître en arithmétique est la relation dedivisibilité.

I.6.1 – Définition

Soit (a,b)∈N². On dit quebdivisea, et on écritb|as’il existek∈Ztel quea=kb.

Un des points fondamentaux de l’arithmétique des entiers (naturels ou relatifs) est l’existence d’unedivision eucli- dienne. Voici précisément le théorème (que nous admettrons).

I.6.2 – Théorème (Division euclidienne dansN)

Pour touta∈Net toutb∈N^∗il existe deux entiers naturelsqetr uniquesvérifiant :











a=bq+r

ET

06^r<b .

On dit que a est ledividende,b lediviseur,q lequotientetr lerestede la division. Au dela de cette formulation théorique il convient de savoir poser une divisionen pratique.

Divisons, par exemple, 3589 par 23 : B15

Remarque –En conservant les notations du résultat précédent, on peut affirmer quebdiviseasi et seulement sir=0 (cas où la division « tombe juste »).

Ò Exercice A14

Dans chacun des cas suivants, effectuer la division euclidienne deaparbet préciser si l’entierbdivise ou pas l’entiera: 1.a=15341 etb=16 2. a=22368 etb=24 3. a=24909 etb=57 4. a=19636 etb=35 I.6.3 – Définition (Nombre premier)

Un entierp∈Nest ditpremiers’il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (sous-entendu 1 etp sont différents).

Remarques

1I L’entier 1 n’estPASpremier (car il ne possède qu’un seul diviseur).

2I Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 sont les nombres suivants :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Ò Exercice A15 ( )

Écrire une fonction Pythonest_premier(n)prenant en argument un entier naturelnet renvoyantTrueouFalsesui- vant quenest premier ou pas.

Indications :

•On pourra parcourir tous les entiers entre2et n−1et tester la présence d’éventuels diviseurs.

•On pourra ensuite optimiser cette fonction en testant seulement les entiers entre2etp n.

I.6.4 – Lemme

Soitn>2 un entier naturel etdle plus petit diviseur denappartenant à [[2,n]]. Alorsdest premier.

I.6.5 – Théorème (Théorème fondamental de l’arithmétique)

Tout entier naturel non nul peut s’écrire comme un produit de nombres premiers de manière unique, à l’ordre près des facteurs. Si on exclut 1 (qui est le « produit vide ») ce résultat signifie que pour tout entiern>2 il existe des nombres premiersp1<p2< · · · <pret des entiers naturels non nulsα1,α2, ...,αr tels que :

n=p^α₁¹×p₂^α2× · · · ×p^α_r^r

Cette dernière écriture est unique (car on a ordonné les facteurs premiers).

Ò Exercice A16

Démontrer l’existence de la décomposition en facteurs premiers en raisonnant par récurrence forte(unicité admise).

Ò Exercice A17 ( )

1. Écrire une fonction Pythonplus_petit_diviseur(n)prenant en argument un entier natureln>2 et renvoyant le plus petit diviseur denappartenant à [[2,n]].

2. Écrire une fonction Pythonvaluation(p, n)prenant en argument un nombre premierpet un entiernet qui renvoie le plus grand entierktel quep^kdivisen.

3. À l’aide d’une bouclewhileet des deux fonctions précédentes, écrire une fonction Pythondecomposition(n)qui renvoie la décomposition denen facteurs premiers sous la forme d’une liste£

(p₁,α1), (p₂,α2), ..., (p_r,αr)¤ .

II – Équations dans R

II.1 – Équations polynomiales

II.1.1 – Équations de degré2

On considère une équation du typeax²+bx+c=0 aveca6=0, l’inconnuexétant réelle. Pour résoudre l’idée est de factoriser cette expression à l’aide d’une identité remarquable :

B16

Si l’on pose∆=b²−4ac(appelédiscriminantde l’équation) on a donc : B17

(a) Si∆est positif alors il admet une racine carrée, on a∆=(p

∆)²et donc : B18

Classe préparatoire ECG-1

)

Pour conclure on utilise une propriété essentielle de l’ensemble deR: l’intégrité. Cette propriété peut s’énoncer de la manière suivante :

B20

En utilisant la notation⇐⇒(équivalence logique) on a donc : B21

Les solutions de l’équation sont donc les deux nombres : B22

(b) Dans le cas particulier où∆=0 l’équation se résume à : B23

On a alors une solution «double» qui est le nombre : B24

(c) Si∆est strictement négatif, on a alors : B25

Cette expression ne s’annule donc pour aucune valeur du nombre réel dex ce qui signifie que l’équation n’a aucune solution réelle.

II.1.2 – Relation entre coefficients et racines d’une équation polynomiale de degré2

Supposons que l’on dispose d’une fonction polynomiale de degré 2 dont on connait les racines et que l’on sait donc écrire de manière factorisée et développée :

P(x)=ax²+bx+c=a(x−r₁)(x−r₂) En développant l’expression factorisée on obtient :

ax²+bx+c=ax²−a(r1+r2)x+ar1r2

Un théorème que nous verrons plus tard (principe d’identification) affirme que si deux expressions polynomiales sont égales, alors elles ont les mêmes coefficients, degré par degré. D’où, après petit calcul :

r1+r2= −b

a et r1r2=c a

II.1.3 – Proposition (Factorisation polynomiale à l’aide d’une racine)

Siaest une racine de la fonction polynomiale P alors l’expression P(x) peut se factoriser par (x−a).

Remarque –Cette proposition montre bien, pour une expression polynomiale, le lien entre factorisation d’une part et recherche des racines d’autre part.

­ Méthode A.1

Avant de résoudre une équation, on commenceTOUJOURSpar étudier l’ensemble de résolution c’est-à-dire le plus grand ensemble sur lequel les différentes expression de l’équations sont bien définies. En fin de résolution, il apparait parfois des « fausses solutions » qui n’appartiennent pas à l’ensemble de résolution et qu’il faut donc éliminer.

­ Méthode A.2

Il n’y a pas de méthode systématique pour factoriser une expression. On peut néanmoins retenir les méthodes suivantes (voir ci-après pour les détails) :

• Utiliser uneidentité remarquable.

• Dans le cas d’une expression polynomiale, essayer de trouver uneracine évidentepuis procéder à unedivision eucli- dienne polynomiale.

• Utiliser les formules classiques avecdiscriminantdans le cas spécifique d’une expression polynomiale de degré 2.

• Utiliser unchangement de variable(notamment pour les équationsbicarrés).

Ò Exercice A18

Factoriser dansRles expressions polynomiales suivantes et en donner les racines réelles (s’il y en a).

1. A(x)=x⁴+3x²+2 2. B(x)=x⁴+x²+1

3. C(x)=x³+x²+x−3

4. D(x)=x⁴+2x³−4x²−2x+3

II.2 – Équations contenant des valeurs absolues

­ Méthode A.3

Pour résoudre une équation contenant une ou plusieurs valeurs absolues on peut procéder pardisjonction de cas, en fonction du signe des expressions figurant dans les valeurs absolues.

Ò Exercice A19

Résoudre surRl’équation|2x+1| =x².

Ò Exercice A20

Résoudre dansRles équations suivantes : 1. 2x+5=¯

¯3x−1¯

¯ 2. x+1=¯

¯2x+5¯

¯

3. 4x−3= |4x−3| 4. |3x+4| = |5x−2|

II.3 – Équations contenant des racines carrées

Le principe général est qu’il fautabsoluments’occuper des questions designes.

­ Méthode A.4

Pour résoudre une équation comportant une (ou plusieurs) racine carrée :

• on commence par s’occuper des questions d’ensemble de résolution ;

• on peut précéder par élévation au carré,ce qui peut introduire des « fausses solutions »puis effectuer une vérification ;

• on peut procéder par équivalences successives à condition de s’occuper à chaque étape des questions de signes ;

• on peut isoler une racine d’un coté de l’équation afin de l’élever au carré (en faisant toujours attention aux signes).

Classe préparatoire ECG-1

)

Ò Exercice A21

Résoudre dansRles équations suivantes : 1. xp

x−2

x−3 = x−1 px−2

2.

q¯

¯x²−1¯

¯=x−5

Ò Exercice A22

Résoudre dansRl’équation suivante : p

x−1+p

x+4=p 5.

Ò Exercice A23

Résoudre dansRl’équation suivante : x+1=p

−x²+5.

III – Inégalités et inéquations dans R

III.1 – Propriété de la relation d’ordre surR

III.1.1 – Généralités

On rappelle que la notationa6^bsignifie que le nombre réelaest inférieur ou égal au réelb. La notaiona<bsignifie que le nombre réela est strictement inférieur au réelb. On dispose également des relations « supérieur ou égal » et

« strictement supérieur ».

Cetterelation d’ordre 6 possède les propriétés suivantes.

a) Réflexivité

Pour tous réelsa on a a 6a. Par exemple l’énoncé mathématiques 262 est exact. Le nombre 2 est en effet inférieur ou égalà 2 puisque qu’il estégalà 2.

b) Transitivité

Pour tous réelsa,b,c, sia6betb6calorsa6c c) Antisymétrie

Pour tous réelsaetb, sia6^betb6^aalorsa=b.

Remarques

1I En langage mathématique, la réflexivité s’écrit : B26

2I La transitivité de la relation d’ordre surRpeut donc s’écrire B27

et l’antisymétrie : B28

III.1.2 – Compatibilité avec l’addition

Sia6^balors pour tout nombre réelcon aa+c6^b+c, autrement dit : B29

On en déduit que l’on peut ajouter deux inégalités : sia6^betx6^yalorsa+x6^b+y. En langage mathématique cela s’écrit :

B30

En revancheon ne peut pas soustraire deux inégalités. On a par exemple : B31

Plus généralement si l’on dispose de nombre réelsa1,a2, ...,anetb1,b2, ...,bntels que : B32

alors on a : B33

III.1.3 – Compatibilité avec la multiplication

Soitaetbdeux nombres réels vérifianta6^{b. Sic}>^{0 alorsac}6^{bcet sic}6^{0 alorsac}>bc. En langage mathématique cela s’écrit :

B34

En généralon ne peut pas multiplier deux inégalités !On a par exemple : B35

Mais cela est possible si les nombres soustous positifs: B36

Plus généralement si l’on dispose de nombres réelstous positifsa1, ...,anetb1, ...,bntels que : B37

alors on a : B38

III.1.4 – Passage à l’inverse

Siaetbsont deux nombre réelsnon nulset demême signetels quea6^{b, alors1} b 6¹

a. En langage mathématique :

B39

Cela est faux si les nombres sont designes différents. Par exemple : B40

Classe préparatoire ECG-1

)

Attention,on ne peut pas diviser membre à membre des inégalités. Par exemple : B41

III.1.5 – Interprétation géométrique de la valeur absolue

Nous avons déjà vu que la distance entre deux nombres réelsaetbsur la droite réelle vaut|b−a|.

Cette remarque permet notamment de comprendre et de retenir facilement que les nombres réelsxvérifiant|x−a|6 εsont exactement les réels de l’intervalle [a−ε,a+ε]. Cela est fondamental en analyse pour bien comprendre les notions de limite, de continuité et de dérivabilité. En voici une illustration graphique :

B42

III.2 – Démonstration d’inégalités et résolution d’inéquations dansR

III.2.1 – Signe d’un polynôme de degré2

Reprenons l’étude de P(x)=ax²+bx+cdéjà évoquée à la sectionII.1.1.

(a) Dans le cas où le discriminant∆est strictement positif on avait obtenu la factorisation suivante : P(x)=a

µ

x−−b−p

∆ 2a

| {z }

r₁

¶µ

x−−b+p

∆ 2a

| {z }

r₂

¶

On peut alors faire un tableau de signe (la notation sgn(a) désigne le signe dea) :

x −∞ r₁ r₂ +∞

x−r₁ − +

x−r2 − +

(x−r1)(x−r2) + − +

P(x)=a(x−r1)(x−r2) sgn(a) −sgn(a) sgn(a)

Théorème – Quand ∆ > 0, on constate donc que P(x) est du signe de a à

« l’extérieur » des racines et du signe opposé àaentre les racines.

(b) Dans le cas où le discriminant est nul, P(x) avait la factorisation suivante : P(x)=a

µ x− −b

2a

|{z}r0

¶2

Théorème –Quand∆=0, on constate que P(x) s’annule en sa racine doubler0et qu’elle reste non nulle et du signe deapartout ailleurs.

(c) Dans le cas où le discriminant est strictement négatif, on avait obtenu : P(x)=a

· µ x+ b

2a

¶2

| {z }

>0

+(−∆) 4a²

| {z }

>0

¸

Théorème –Quand∆<0, on constate que P(x) n’est jamais nulle et reste du signe dea.

­ Méthode A.5

Pour démontrer une inégalité on peut utiliser une des méthodes suivantes (liste non exhaustive) :

• Pour démonter une inégalité de la formea6^bil est équivalent de démontrer queb−a>0. Pour cela on peut factoriser l’expressionb−aet faire une étude du signe de chaque facteur.

• Pour démontrer une inégalité, il peut parfois être judicieux de faire apparaitre une identité remarquable et utiliser, par exemple, le fait qu’un carré de réel est toujours positif.

• Pour démontrer une inégalité de la formea(x)6^{b(x) oùx}est une variable réelle appartenant à un intervalle I⊂R, on peut faire l’étude des variations (et ensuite du signe) sur I de lafonction différencef :x7−→b(x)−a(x).

Ò Exercice A24

Montrer que : ∀(a,b)∈R², ab6¹2

¡a²+b²¢ .

Ò Exercice A25

Montrer que : ∀(a,b,c)∈R³,ab+bc+c a6^a2+b²+c².

Ò Exercice A26

1. Démontrer que : ∀x∈R, e^x>^x+1.

2. Pour quelle valeur dexy a-t-il égalité ?

3. Illustrer et interpréter cette inégalité graphiquement.

­ Méthode A.6

Pour résoudre une inéquation on peut utiliser une des méthodes suivantes (liste non exhaustive) :

• Pour résoudre une inéquation de la formea(x)6b(x) on peut factoriserb(x)−a(x) et faire une étude de signe que l’on présente sous la forme d’un tableau.

• Dans le cas particulier d’une inéquation polynomiale de degré 2 il faut retenir que l’expressionax²+bx+cest du signe deaà l’extérieurdes racines (s’il y en a) et du signe opposé à l’intérieur des racines.

• Pour résoudre une inéquation de la formea(x)6b(x) on peut également faire l’étude des variations (et ensuite du signe) de lafonction différencef :x7−→b(x)−a(x).

Ò Exercice A27

Résoudre dansRles inéquations suivantes :

1.(x+5)(2x−1)6^(3x−7)(2x−1) 2. (5x−2)(3x+4)

(5−4x)(x+2) >^{0 3. x}_x⁺⁵

−2<x−4 x+3

­ Méthode A.7

• Pour encadrera−bsans soustraire des inégalités, on encadrea, puis−bet on ajoute ces deux encadrements.

• Pour encadrer un quotient_b^a, il faut faire attention de ne travailler qu’avec desnombres positifs(ou tous négatifs).

• Pour comparer deux nombres positifs, on peut comparer leur carré. En effet les carrés et les racines carrés de deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que les deux nombres initiaux.

Exemples

1I Sachant que 26^a64 et 36^b610, cherchons un encadrement dea b. B43

Classe préparatoire ECG-1

)

2.

B44

­ Méthode A.8

Pour résoudre une inéquation contenant une ou plusieurs valeurs absolues on peut procéder pardisjonction de cas, en fonction du signe des expressions figurant dans les valeurs absolues.

Ò Exercice A28

Résoudre dansRl’inéquation suivante : x²+ |x+1|>^3x+1.

Indication –Pour supprimer la valeur absolue on procédera par disjonction de cas en séparant le cas où x+1>^{0et le} cas où x+160. Autrement dit on résoudra l’inéquation séparément sur[−1,+∞[et]− ∞,−1].

Ò Exercice A29

Résoudre dansRles inéquations suivantes : 1. |4x+1|>²

2. |3x−2|6^x+1

Fin du chapitre

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